河北省承德市隆化县存瑞中学2020-2021学年高三上学期第二次质检数学(理)试题

河北省承德市隆化县存瑞中学2020-2021学年高三上学期第二次质检数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＜1}，集合B ＝{x |2log 0x <}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（﹣1，1） 2．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A ．12B ．2C ．1D 3．计算1971334717cos sin cos sin ︒︒︒+的结果为（ ）A ．12B ．2C ．12-D 4．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．15750 D ．3551136．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83BC ．43D ．37．平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0)a =，||2b =，则2a b +=（ ）A B C ．7 D ．3 8．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 （）A ．13B ．12C ．23D ．14 9．若实数a ，b 满足1a b >>，()log log a a m b =，()2log a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 10．若函数()()3242253f x x ax a x =---+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12a -≤≤B ．21a -≤≤C ．2a >或1a <-D ．1a >或2a <- 11．已知双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞b ＞0）的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝5交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为A ．y ＝±14x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±4x 12．若函数()22f x m x lnx =-+在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为 （）A ．(2,2e e ⎤-⎦B ．2411,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ C ．411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．[)1,∞+二、填空题13．抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点P （2，m ）到其焦点F 的距离为4，则p =______． 14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.15．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上动点，则12PF PF ⋅的取值范围是________．16．如图,在矩形ABCD 中,4AB =,2AD =,E 为边AB 的中点.将三角形ADE 沿DE 翻折,得到四棱锥1A DEBC -.设线段1A C 的中点为M ,在翻折过程中,有下列三个命题: ①总有//BM 平面1A DE ;②三棱锥1C A DE -体积的最大值为3; ③存在某个位置,使DE 与1A C 所成的角为90.其中正确的命题是______.（写出所有．．正确命题的序号）三、解答题17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=81，a 3+a 5=14．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =11n n a a +，若{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12． 18．已知函数f （x ）＝2sinx •cosxcos 2x （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A满足f （26A π-）=b +c 13=，求bc 的值． 19．如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE 沿BE 翻折到1A BE 的位置，如图2，1A ED 为正三角形．（1）求证：平面1A DE ⊥平面BCDE ；（2）求直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F ∆．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于点,A B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数()()e ln ,e xf x a x x x=+-为自然对数的底数. (1)当0a >时,试求()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的极值点,求实数a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．参考答案1．C【解析】【分析】先利用对数函数的单调性求出集合B ,再根据交集运算即可求出．【详解】 因为{}01B x x =<<，A ＝{x |x ＜1}，所以()0,1AB =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及对数函数的性质应用，属于基础题．2．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴||2z ==． 故选B ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．C【分析】先利用诱导公式将各个三角函数化成锐角三角函数，再利用两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()cos197sin133cos 47sin171801718047cos 47sin17cos sin ︒︒︒︒︒︒︒=+-++()()1sin17cos 47cos17sin 47sin 1747sin 302=-=-=-=-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，属于基础题．4．D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5．B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，， 所以，即的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中的近似计算，容易题.6．C【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为2的三棱锥∴三棱锥体积：11142223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=本题正确选项：C【点睛】 本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题. 7．A【详解】试题分析：∵平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0)a =，2b =， ∴21cos 32()332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯-=-， ∴222|2|(2)4491612a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=故选A. 考点：平面向量数量积的运算. 8．B【分析】设出椭圆方程为：22221x y a b+=以及直线l ：1x y c b +=，再根据椭圆中心原点到直线的距离公式列出方程，即可求出离心率． 【详解】不妨设椭圆方程为：22221x y a b +=，则可设直线l ：1x y c b +=，依题有， 2b =，即222114b c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 223b c ∴=，2223a c c -=， 1e 2c a ∴== 故选：B ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离公式的应用，以及离心率的求法，意在考查学生的数学计算能力．9．B【分析】先利用对数函数的性质求出m,n ，l 的范围，再比较l 和n 的大小关系.【详解】∵实数a ，b 满足1a a a b m log log b=＞＞，（），2()a n log b =，2a l log b =， 01110a a a a a a log log b log a m log log b log ∴==∴==＜＜，（）＜，0＜ 2()a n log b = 1＜，1＞ 2a l log b = 2a log b =＞ 2()a n log b =．∴m ，n ，l 的大小关系为l n m >>．故选B ．【点睛】(1)本题主要考查对数函数的图像和性质及对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先和“0”比，再和“±1”比,比较时常用作差法.10．D【解析】因为函数()()3242253f x x ax a x =---+恰好有三个单调区间， 所以2()44(2)f x x ax a =---'有两个不等零点，则21616(2)16(1)(2)0a a a a ∆=+-=-+>，解得1a >或2a <-.故选D.11．B【分析】求出交点坐标，利用四边形MNPQ 为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，2c c ⋅=，结合222c a b =+可得12b a =，从而可得结果. 【详解】 依题意，不妨设点(),M x y 在第一象限，联立225,,x y by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中222c a b =+）， 可知四边形MNPQ 为矩形且面积为82=， 即225c ab =，又因为222c a b =+， 所以可得()2222252520b ba bab a a+=⇒⨯-⨯+=，解得12b a =（2ba=舍去）， 故所求渐近线方程为12y x =±，故选B. 【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于,a b 的齐次方程. 12．C 【分析】 令0f x得，22m x lnx =-，所以直线y m =与函数()22ln g x x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，利用导数判断出函数()22ln g x x x =-的单调性，画出图象，即可求出． 【详解】 令0f x得，22m x lnx =-，所以直线y m =与函数()22ln g x x x =-在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点．因为()()22122x g x x x x-'=-=，当211x e<≤时，()0g x '≤，当1x e <≤时，0g x ，而24114g e e⎛⎫=+⎪⎝⎭，()22g e e =-，()11g =， 作出图象，由图可知，4114m e ∴<≤+． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力． 13．4 【分析】根据抛物线的定义可知，242p+=，即可求出p ． 【详解】根据抛物线定义可知，准线方程为2px =-，所以242p +=，解得4p =．故答案为：4． 【点睛】本题主要考查抛物线定义和简单性质的应用，属于基础题． 14．300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度. 15．[2,1]- 【分析】设(,)P x y 为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求12PF PF ⋅，利用二次函数求值域即可. 【详解】设(,)P x y 为椭圆上任意一点,则12(3,),(3,)PF x y PF x y =---=--，所以22222123(,),)31244x PF PF x y x y x y x x ⋅=--⋅-=+-=+-=-，因为P 在椭圆上，所以22x -≤≤， 所以232214x -≤-≤， 即12PF PF ⋅的取值范围是[2,1]- 故答案为：[2,1]- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题. 16．①② 【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误. 【详解】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，可得平面MBF ∥平面A 1DE ， 所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C ﹣A 1DE体积取得最大值，最大值为：1111223232AD AE EC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°．因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ， 可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，矛盾，所以③不正确； 故答案为①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 17．（1）a n =2n -1（2）证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的性质可知，S 9=9a 5=81，a 3+a 5=14，即可求出a 3=5，a 5=9，因而可求出公差2d =，故可求得通项公式．（2）由n b 的形式可知，采用裂项相消法求出数列{b n }的前n 项和，即可证明． 【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 9=9a 5=81，得a 5=9， 又由a 3+a 5=14，得a 3=5， 由上可得等差数列{a n }的公差d 5353a a -=-=2， ∴a n =a 3+（n -3）d =2n -1； （2）由题意得，()()111111212122121n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭. 所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ (11112212)n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用等差数列的性质求通项公式以及裂项相消法求和的应用，意在考查学生的数学计算能力，属于基础题．18．（1）最小正周期T π=,单调减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z （2）40 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化简成()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可利用周期公式求出周期以及利用代换法求出单调减区间；（2）先由26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sinA =A ，再根据余弦定理即可求出bc ． 【详解】()()212f x sinx cosx x =⋅+22223sin x x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,2ω=,()f x ∴的最小正周期T π=,令3222232k x k πππππ+≤+≤+,k ∈Z ,解得71212k x k ππππ+≤≤+,()f x ∴的单调减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ；()2由22226263A A f sin sinA πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即sinA =A 为锐角,3A π∴=，由余弦定理可知：22222()21222b c a b c bc a cosA bc bc +-+--===， 整理得：40bc =． 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，余弦定理以及三角函数的性质应用，意在考查学生的转化能力和数学计算能力，属于中档题．19．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，只需证明BE ⊥平面1A DE 即可；（2）在平面1A DE 内过E 作ED 的垂线，由BE ⊥平面1A DE ，建立空间直角坐标系，由向量法即可求出直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值． 【详解】1（）证明：1BE A E ⊥，BE DE ⊥，且1A E DE E ⋂=，1A E ，DE ⊂平面1A DE ，BE ∴⊥平面1A DE ，BE ⊂平面BCDE ，∴平面1A DE ⊥平面BCDE ；2（）解：在平面1A DE 内过E 作ED 的垂线，由BE ⊥平面1A DE ，建系如图．则110,2A ⎛ ⎝⎭，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,D 1，0)，(0,E 0，0)．111,,2A B ⎛=- ⎝⎭，110,,2A D ⎛= ⎝⎭，()1,0,0DC =， 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则100n A D n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1022y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，得()0,3,1n=，1113,22A B ncos A B nA B n⋅∴==-=⋅⋅．1A B∴与平面1A CD所成角的正弦值为4【点睛】本题主要考查面面垂直、线面垂直判定定理的应用以及利用向量法求直线与平面所成角，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力．20．（1）2214xy+=；（2）见解析【分析】（1）由面积最大值可得bc=ca=222a b c=+，解得,a b，即可得到椭圆的方程，（2）假设y轴上存在点()0,M t，ABM∆是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y，()22,B x y，线段AB的中点为(),N x y，根据韦达定理求出点N的坐标，再根据AM BM⊥，MN l⊥，即可求出m的值，可得点M的坐标.【详解】（1）12AF F∆bc=又cea==，222a b c=+，解得：24a=，21b=∴椭圆C的方程为：2214xy+=（2）假设y轴上存在点()0,M t，ABM∆是以M为直角顶点的等腰直角三角形设()11,A x y，()22,B x y，线段AB的中点为()00,N x y由2214xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y可得：2258440x mx m++-=()()2226420441650m m m∆=--=->，解得：25m<∴1285m x x ∴+=-，212445m x x -=120425x x m x +∴==-，005m y x m =+= 4,55m m N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥由MN l ⊥可得：5114015mt m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =- 由AM BM ⊥可得：12121y t y tx x --⋅=- 11y x m =+，22y x m =+代入上式化简可得：()()()2121220x x m t x x m t +-++-=则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形 【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21．（1）单调增区间为()1,∞+,单调减区间为()0,1；（2）()e -- 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）函数的定义域为()0,x ∈+∞,()()()()()()22211111'1xx x e ax x e x e x ax x f x a xx xx+---+-⎛⎫=+-==⎪⎝⎭.当0a >时，对于()0,,0x x e ax ∀∈+∞+>恒成立，所以，若()1,'0x f x >>，若()01,'0x f x <<<，所以()f x 的单调增区间为1,，单调减区间为0,1.（2）由条件可知()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0x e ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，且a e ≠-，令()xe g x a x==-，则()()1'xe x g x x-=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()1,2x ∈单调递减，()g x ∴的最大值为()()2111,222g e g g e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，而22110,22e e a e ⎛⎫--=->∴-<- ⎪⎝⎭.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()()ln xe f x a x x x=+-为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数()()ln xe f x a x x x=+-的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数()xe g x a x==-,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.22．（1）22=y x ；（2）6πα=或56π【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12t t +和12t t ，根据直线参数方程参数的几何意义可知12AB t t =-=.【详解】 （1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ= 22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--=()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-∴12228sin AB t t α=-==== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴= 6πα∴=或56π【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于α的方程，属中档题．。