河北省承德市隆化县存瑞中学2020-2021学年高三上学期第二次质检数学(理)试题

河北省承德市隆化县存瑞中学2020-2021学年高三上学期第

二次质检数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合A ＝{x |x ＜1}，集合B ＝{x |2log 0x <}，则A ∩B ＝（ ）

A ．（﹣∞，1）

B ．（﹣1，0）

C ．（0，1）

D ．（﹣1，1） 2．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．

A ．12

B ．2

C ．1

D 3．计算1971334717cos sin cos sin ︒︒︒+的结果为（ ）

A ．12

B ．2

C ．12-

D 4．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，

处的切线方程为( )

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x = 5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36

v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275

v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113

6．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．83

B

C ．43

D ．3

7．平面向量a 与b 的夹角为

23π，(3,0)a =，||2b =，则2a b +=（ ）

A B C ．7 D ．3 8．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的

14,则该椭圆的离心率为 （）

A ．13

B ．12

C ．23

D ．14 9．若实数a ，b 满足1a b >>，()log log a a m b =，()2log a n b =，2log a l b =，则m ，

n ，l 的大小关系为（ ）

A ．m l n >>

B ．l n m >>

C ．n l m >>

D ．l m n >> 10．若函数()()3242253

f x x ax a x =

---+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．12a -≤≤

B ．21a -≤≤

C ．2a >或1a <-

D ．1a >或2a <- 11．已知双曲线C ：22

221x y a b

－＝（a ＞b ＞0）的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝5交于M ，N ，P ，Q 四点，若四边形MNPQ 的面积为8，则双曲线C 的渐近线方程为

A ．y ＝±1

4x B ．y ＝±1

2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±4

x 12．若函数()22f x m x lnx =-+在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为 （）

A ．(2,2e e ⎤-⎦

B ．2411,2e e ⎡

⎤+-⎢⎥⎣⎦ C ．411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．[)1,∞+

二、填空题

13．抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点P （2，m ）到其焦点F 的距离为4，则p =______． 14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的

俯角为45°

,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.

15．已知椭圆2

214

x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上动点，则12PF PF ⋅的取值范围是________．

16．如图,在矩形ABCD 中,4AB =,2AD =,E 为边AB 的中点.将三角形ADE 沿DE 翻折,得到四棱锥1A DEBC -.设线段1A C 的中点为M ,在翻折过程中,有下列三个命题: ①总有//BM 平面1A DE ;

②三棱锥1C A DE -

体积的最大值为

3; ③存在某个位置,使DE 与1A C 所成的角为90.

其中正确的命题是______.（写出所有．．

正确命题的序号）

三、解答题

17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=81，a 3+a 5=14．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n =11n n a a +，若{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12

． 18．已知函数f （x ）＝2sinx •cosx

cos 2

x （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间

（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A

满

足f （26

A π-

）=b +c 13=，求bc 的值． 19．如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE 沿BE 翻折到1A BE 的位置，如图2，1A ED 为正三角形．

（1）求证：平面1A DE ⊥平面BCDE ；

（2）求直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；

20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，

A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F ∆

．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于点,A B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数()()e ln ,e x

f x a x x x

=+-为自然对数的底数. (1)当0a >时,试求()f x 的单调区间;

(2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

上有三个不同的极值点,求实数a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα

⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）

．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ

=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．