人教B版新教材高中数学必修第四册课件祖暅原理与几何体的体积

A．43π
B．38π
C．136π
D．332π
D [因为球 O 的表面积是 16π，所以球 O 的半径为 2，所以球 O
的体积为43π×23＝332π，故选 D．]
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π，那么圆柱的体积 等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
B [设轴截面正方形的边长为 a， 由题意知 S 侧＝πa·a＝πa2.∴4π＝πa2，a＝2. ∴V 圆柱＝ 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也 相等，求正方体和圆柱的体积之比．
[解] 设正方体边长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a2π2＝rhπ＝r24，a2，
① ②
由①得 r＝ ππa，
由②得 πrh＝2a2，∴V 圆柱＝πr2h＝2ππa3，
∴V
正方体∶V
∵AB＝BC＝CA＝3(cm)， ∴O′为正三角形 ABC 的中心， ∴AO′＝ 33AB＝ 3 (cm)． 设 OA＝R，则 OO′＝21R，
∵OO′⊥截面 ABC， ∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝ 23R＝ 3 (cm)，∴R＝2(cm)， ∴V 球＝43πR3＝332π(cm3)，S 球＝4πR2＝16π(cm2)． 即球的体积为332π cm3，表面积为 16π cm2.
圆柱＝a3∶2
π
πa3＝
2π∶1＝
π∶2.
求锥体的体积
【例 2】 如图，三棱台 ABC-A1B1C1 中，AB∶A1B1＝1∶2，求三 棱锥 A1-ABC，三棱锥 B-A1B1C，三棱锥 C-A1B1C1 的体积之比．
[思路探究] AB∶A1B1＝1∶2 ―→ S△ABC∶S△A1B1C1 ―→ 计算VA1－ABC ―→ 计算VC－A1B1C1 ―→ 计算VB－A1B1C
B．缩小为原来的32
C．扩大为原来的 2 倍 D．不变
A [设圆锥的高为 h，底面半径为 r， 则圆锥的体积 V＝13πr2×h， 当圆锥的高扩大为原来的 3 倍， 底面半径缩短为原来的12时， 圆锥的体积 V′＝13π×12r2×3h
＝34×13πr2×h. 所以圆锥的体积缩小为原来的34.故选 A．]
4 [设球的半径为 r，放入 3 个球后，圆柱液面高度变为 6r. 则有 πr2·6r＝8πr2＋3·43πr3， 即 2r＝8， 所以 r＝4 cm.]
课堂 小结 提素 养
知识： 1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同． (2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得 出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的 3 倍．
计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径 R，一般题目不直 接给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，一定要注意 挖掘隐含条件.
[跟进训练] 3．圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入 三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水 恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 ______cm.
4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________cm3. 288π [由题意，知球的半径 R＝6 cm，故其体积 V＝34πR3＝43 ×π×63＝288π(cm3)．]
合作 探究 释疑 难
求柱体的体积
【例 1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm， 高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从 中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积．
3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，
则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )
A．1∶3∶4
B．1∶3∶2
C．1∶2∶4
D．1∶4∶2
B [设球的半径为 R，则 V 圆锥＝13πR2·2R＝32πR3，V 圆柱＝πR2·2R
＝2πR3，V 球＝43πR3.所以 V 圆锥∶V 圆柱∶V 球＝23∶2∶43＝1∶3∶2.]
43πR3
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的
某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体
积相等．
()
(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．
()
(3)由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． ()
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行 “补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台 体的体积．
2．球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为 平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到截面的距 离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH 的长即为该正三
棱锥的高．连接 AH 并延长交 BC 于 E，则 E 为 BC 的中点，且 AE⊥BC．
∵△ABC 是边长为 6 的正三角形， ∴AE＝ 23×6＝3 3.∴AH＝32AE＝2 3. 在△ABC 中， S△ABC＝21BC·AE＝12×6×3 3＝9 3. 在 Rt△SHA 中，SA＝ 15，AH＝2 3，
方法： 不规则几何体的体积问题的求解策略：若几何体是组合体，可将 其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再根据相关公式求解．还 有很多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分 割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式．
1．已知球 O 的表面积为 16π，则球 O 的体积为( )
A．16 C．21
B．31 D．1
A [三棱锥 D-ACD1 的体积 VD-ACD1＝VD1-ACD＝13S△ADC×D1D ＝13×12×AD×DC×D1D＝13×12＝16.]
求台体的体积
【例 3】 已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm，侧 面积是 780 cm2.求正四棱台的体积．
[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面 积和高，从而求出体积．
[解] 如图所示，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1＝10 cm， AB＝20 cm.取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角 梯形．
式，能用公式解决简单的实际问 想象的核心素养.
题．(重点)
情境 导学 探新 知
祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，他 在总结前人研究的基础上，总结出祖暅原理．在欧洲直到 17 世纪， 才由意大利的卡瓦列里提出这个事实．
1．祖暅原理 (1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两 个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面 积总相等，那么这两个几何体的体积相等 ”． (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r′和 r 分别表
示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径．
名称
体积(V)
棱柱
S_h__
柱体
圆柱
πr2h
锥体 棱锥
13Sh
锥体 圆锥
台体
棱台 圆台
球
13πr2h 13h(S＋ SS′＋S′)
13πh(r2＋ r′＋r′2)
求球的体积
【例 4】 过球面上三点 A，B，C 的截面到球心 O 的距离等于 球的半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．
[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截 面圆半径和球心距构成的直角三角形．
[解] 如图，设过 A，B，C 三点的截面为圆 O′，连接 OO′、AO、 AO′.
第十一章 立体几何初步
11.1 空间几何体 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
学习目标 1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公
核心素养
式的推导方法，了解“祖暅”原 1.通过学习柱体、锥体、台体和球
理，将空间问题转化为平面问 的体积公式，培养数学运算核心素
题．(重点、难点)
养．
2．知道柱、锥、台和球的体积公 2．借助组合体的体积，提升直观
BB1＝2 cm，MB＝2 2－ 2＝ 2 (cm)． 根据勾股定理 MB1＝ BB21－MB2＝ 22－ 22＝ 2(cm)．
S 上＝22＝4 (cm2)， S 下＝42＝16(cm2)，
∴V 正四棱台＝13× 2×(4＋ 4×16＋16) ＝13× 2×28＝283 2 (cm3)．
求台体体积的技巧 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意 充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
割补法与等积法求锥体体积 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积 和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方 法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．
[跟进训练] 2．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则三棱锥 D-ACD1 的体积是( )
[ 解 ] 设 棱 台 的 高 为 h ， S△ABC ＝ S ， ∵AB∶A1B1 ＝ 1∶2 ， 则 S△A1B1C1＝4S.
∴VA1-ABC＝13S△ABC·h＝13Sh， VC-A1B1C1＝13S△A1B1C1·h＝34Sh. 又 V 台＝31h(S＋4S＋2S)＝73Sh，
∴VB-A1B1C＝V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 ＝73Sh－S3h－43Sh＝23Sh， ∴三棱锥 A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1 的体积比为 1∶2∶4.