《算法分析与设计》作业参考答案

《算法分析与设计》作业参考答案
作业一
一、名词解释：
1.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

2.程序：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。

二、简答题：
1.算法需要满足哪些性质？简述之。

答：算法是若干指令的有穷序列，满足性质：
（1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。

（2）输出：算法产生至少一个量作为输出。

（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。

（4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。

2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。

答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

3.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。

答：将递归算法转化为非递归算法的方法主要有：
（1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。

该方法通用性强，但本质上还是递归，
只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

（2）用递推来实现递归函数。

（3）通过Cooper 变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。

后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。

三、算法编写及算法应用分析题：
1.冒泡排序算法的基本运算如下：
for i ←1 to n-1 do
for j ←1 to n-i do
if a[j]<a[j+1] then
交换a[j]、a[j+1]；
分析该算法的时间复杂性。

答：排序算法的基本运算步为元素比较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求比较次数与n 的关系。

（1）设比较一次花时间1；
（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：
∑-=-=i
n j i n 1)(1 （3）外循环次数为：n-1，花时间为：
2.设计一个分治算法计算一棵二叉树的高度。

答：算法思想：对于二叉树T ，若为空树，则其高度为0；否则，分别求其左子树和右子树的高度，最
大者加1 即为树T 的高度。

其描述如下：
)1(2)()(1
-=-=∑=n n i n n T n i
int BTLength(BT T)
//为了便于描述，假定二叉树类型为BT。

T 的左子树为T.lchild，右子树为T.rchild。

{
if(T= =NULL) return 0; //T为空树
return max(BTLength(T.lchild),BTLength(T.rchild)) +1
}
3.设计一个分治算法来判定给定的两棵二叉树T1 和T2 是否相同。

答：算法思想：对于两棵二叉树T1 和T2，若其根结点值相同，且其左右子树分别对应相同，则T1＝T2；否则T1≠T2。

其描述如下：
boolean BTEQUAL(BT T1，BT T2)
//为了便于描述，假定二叉树类型为BT。

二叉树T的左子树为T.lchild，右子树为T.rchild。

二叉树T的根结点值T.data。

{
if(T1= =NULL&& T2= =NULL) return True; //均为空树
if(T1&&T2&&T1.data==T2.data&&BTEQUAL(T1.lchild,T2.lchild)&&BTEQUAL (T1.rchild, T2.rchild))
return True;
return False;
}
4.给出一个分治算法来找出n 个元素的序列中的第2大元素，并分析算法的时间复杂度。

答：算法思想：当序列A[1..n]中元素的个数n=2 时，通过直接比较即可找出序列的第2 大元素。

当n>2 时，先求出序列A[1..n-1]中的第1 大元素x1 和第2 大元素x2；然后，通过2次比较即可在三个元素x1x2 和A[n]中找出第2 大元素，该元素即为A[1..n]中的第2 大元素。

算法描述如下：
SecondElement(A[low..high],max1,max2)
{//假设主程序中调用该过程条件为high-low>=2
if(hight-low= =2)
{
if(A[low]<A[hight]){max2= A[low];max1=A[high];}
else {max2= A[high];max1=A[low];}
}
else
{
SecondElement(A[low..high],x1,x2);
if(x1<=A[n]) { max2=max1; max1=A[n];}
else if(x2>=A[n]) { max2=x2; max1=x1; }
else { max2=A[n]; max1=x1; }
}
}
该算法的时间复杂度满足如下递归方程：T(n)=T(n-1)+2；T(2)=1。

解得T(n)=2n-3。