《算法分析与设计》作业参考答案

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《算法分析与设计》作业参考答案

作业一

一、名词解释:

1.递归算法:直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。

2.程序:程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。

二、简答题:

1.算法需要满足哪些性质?简述之。

答:算法是若干指令的有穷序列,满足性质:

(1)输入:有零个或多个外部量作为算法的输入。(2)输出:算法产生至少一个量作为输出。

(3)确定性:组成算法的每条指令清晰、无歧义。

(4)有限性:算法中每条指令的执行次数有限,执行每条指令的时间也有限。

2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。

答:分析分治法能解决的问题主要具有如下特征:

(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;

(2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质;

(3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;

(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。

3.简要分析在递归算法中消除递归调用,将递归算法转化为非递归算法的方法。

答:将递归算法转化为非递归算法的方法主要有:

(1)采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强,但本质上还是递归,

只不过人工做了本来由编译器做的事情,优化效果不明显。(2)用递推来实现递归函数。

(3)通过Cooper 变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归,从而迭代求出结果。

后两种方法在时空复杂度上均有较大改善,但其适用范围有限。

三、算法编写及算法应用分析题:

1.冒泡排序算法的基本运算如下:

for i ←1 to n-1 do

for j ←1 to n-i do

if a[j]

交换a[j]、a[j+1];

分析该算法的时间复杂性。

答:排序算法的基本运算步为元素比较,冒泡排序算法的时间复杂性就是求比较次数与n 的关系。

(1)设比较一次花时间1;

(2)内循环次数为:n-i 次,(i=1,…n ),花时间为:

∑-=-=i

n j i n 1)(1 (3)外循环次数为:n-1,花时间为:

2.设计一个分治算法计算一棵二叉树的高度。

答:算法思想:对于二叉树T ,若为空树,则其高度为0;否则,分别求其左子树和右子树的高度,最

大者加1 即为树T 的高度。其描述如下:

)1(2)()(1

-=-=∑=n n i n n T n i

int BTLength(BT T)

//为了便于描述,假定二叉树类型为BT。T 的左子树为T.lchild,右子树为T.rchild。

{

if(T= =NULL) return 0; //T为空树

return max(BTLength(T.lchild),BTLength(T.rchild)) +1

}

3.设计一个分治算法来判定给定的两棵二叉树T1 和T2 是否相同。

答:算法思想:对于两棵二叉树T1 和T2,若其根结点值相同,且其左右子树分别对应相同,则T1=T2;否则T1≠T2。其描述如下:

boolean BTEQUAL(BT T1,BT T2)

//为了便于描述,假定二叉树类型为BT。二叉树T的左子树为T.lchild,右子树为T.rchild。

二叉树T的根结点值T.data。

{

if(T1= =NULL&& T2= =NULL) return True; //均为空树

if(T1&&T2&&T1.data==T2.data&&BTEQUAL(T1.lchild,T2.lchild)&&BTEQUAL (T1.rchild, T2.rchild))

return True;

return False;

}

4.给出一个分治算法来找出n 个元素的序列中的第2大元素,并分析算法的时间复杂度。

答:算法思想:当序列A[1..n]中元素的个数n=2 时,通过直接比较即可找出序列的第2 大元素。当n>2 时,先求出序列A[1..n-1]中的第1 大元素x1 和第2 大元素x2;然后,通过2次比较即可在三个元素x1x2 和A[n]中找出第2 大元素,该元素即为A[1..n]中的第2 大元素。

算法描述如下:

SecondElement(A[low..high],max1,max2)

{//假设主程序中调用该过程条件为high-low>=2

if(hight-low= =2)

{

if(A[low]

else {max2= A[high];max1=A[low];}

}

else

{

SecondElement(A[low..high],x1,x2);

if(x1<=A[n]) { max2=max1; max1=A[n];}

else if(x2>=A[n]) { max2=x2; max1=x1; }

else { max2=A[n]; max1=x1; }

}

}

该算法的时间复杂度满足如下递归方程:T(n)=T(n-1)+2;T(2)=1。解得T(n)=2n-3。

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