数字信号处理及MATLAB实现(清华第二版)第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法

z N D( z 1 ) D( z )
式中 D( z) 1 d1 z 1 ``` d N 1 z ( N 1) d N z N 当 z e j 时，满足 D(e j ) D* (e j ) （6.21）
j | H ( e ) | 1 所以有
（6.22）
( ) ap ( ) d ( )
当通带中满足 ( ) 0 则逼近误差的平方值
1 z0 z 1 z0 z * 1 z0 1 z 0 z 1
1 1 * z z z z * 1 0 0 H 1 ( z ) (1 z 0 z ) (1 z 0 z 1 ) * 1 1 1 z0 z 1 z0 z（ 6.25）
* z 1 z0 z 1 z0 位延时， * 1 1 z0 z 1 z0 z 1
* 1 1 | z | 1 H ( z ) (1 z z ) (1 z z )是最小相 0 0 由于 0 ，所以 1
是全通级联。所以可表
示为6.23式。
（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用 级联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。 1 j 例：原滤波器有一对极点在单位圆外 z e r 级联一个全通系统
6.3 全通系统
定义：是指系统频率 响应的幅度在所有频 率下均为1或某一常数 的系统。满足 | Hap (e j ) | 1
H ap ( z )
简单一阶全通系统函 数 z 1 a
1 az
1
,0 | a | 1
A为实数 （6.16） 零极点如图6.3
高阶全通系统包含实零点－实极点系统；还包括 复数零点－极点系统；复数零点－极点的全通节 的系统函数
H ( z) Hap ( z)Hd ( z)
即
H (e j ) H ap (e j ) H d (e j ) H ap (e j ) H d (e j ) e
j ap ( ) d ( )
相位关系
y( ) ap ( ) d ( )
按 ( )
Im H (e j ) (e ) arctg j 所以 Re H ( e )






（6.4） （6.5）
由于 H (e ) H (e ) e 所以又有
*
j
j
j ( e j )
j j 1 H ( e ) 1 H ( e ) 1 H ( z) (e j ) ln * j ln ln j 2 j H (e ) 2 j H (e ) 2 j H ( z 1 ) z e j
p0 N ,
K
pi 0
称为相位超前系统。
arg
2 mi 2 ( N M ) 2
a 当全部零点在单位圆内时，即 mi M (mo 0)有
H (e j ) arg 2 N 2 p0 K 2
z 1 a * ,0 | a | 1 1 1 az
a为实数
（6.17）
如图6.4所示。
当h(n)是实函数，因而其系统函数的复数极点零 点必须共轭出现。实系数有理二阶全能系统函数 z 1 a z 1 a （6.18） H ap ( z ) , | a | 1 1 1 1 az 1 a z 如图6.5。
z 1 re j z 1 re j H ap ( z ) j 1 1 re z 1 re j z 1
则可将单位圆外极点抵消，但不改变系统幅度特 性。
（3）可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用， 来得到线性相位，但不改变幅度特性。 设全通滤波器为 H ap ( z ) ，系统为 H d ( z) 级联后 H(z)
H ( z)
m 0 N
b
k 0
M
m
z
m
k a z k
K
(1 c
m 1 N k 1
M
m
z ) Kz N M
1
(z c
m 1 N k 1
M
m
)
1 ( 1 d z ) k
d ) (z （ 6.12）
k
系统频率响应表达式
H (e ) Ke
（6.6）
3.群延迟响应
它是滤波器平均延迟的一个度量 j d ( e ) （6.7） ( e j ) d 可以化为 d ( z ) dz d ( z ) j (e ) jz z e j dz d dz （6.8） j j j (e j ) 由于 In[H (e )] In[| H (e ) |] e 所以 (e j ) Im{[ H (e j )]} 因而又有
b 当全部零点在单位圆外，即 mi 0(mo M ) 有 H (e j ) arg 2 M K 2 这时相位变化最大，又是负数，即最大相位延时 系统，是因果稳定系统。 （2）对逆因果移动系统，此时
2 ，则辐角变化量 当 从0变到 2 时， 为 H (e j )
z e j
H (e j ) H (e j ) H * (e j ) H (e j ) H (e j ) H ( z ) H ( z 1 )
2.相位响应
由于 H (e ) H (e ) e
j
j
j
j ( e j )
Re H (e j ) j Im H (e j )
就是去求出滤波器的各系数 ak , bk，使得在规定意 义上，逼近所要求特性。在z平面上逼近，得到 数字滤波器。 设计方法： （1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换 成满足指标的数字滤波器。 （2）计算机辅助设计方法。
6.2 最小与最大 相位延时系统， 最小与最大相位超前系统
任一个线性时不变系统，其系统函数为
数字滤波器按频率特性划分为为低通、高 通、带通、带阻、全通等。其理想幅度频 率响应如图6.1。
数字滤波器在复频率响应H (e j 下三个参量分析： ) 1. 幅度平方响应 (6.3) 由于 的极点既是共轭的，又是以单 1 H ( z ) H ( z ) 位圆对称的，故只取单位圆内的极点作为 H ( z) 的极点。 如果选 在z平面单位圆的零点作为 1 H ( z) H ( z ) H ( z ) 零点，则得到是最小相位延迟滤波器。
数字信号处理
第六章 无限长单位冲激响应（IIR） 数字滤波器的设计方法 6.1 引言
6.2 系统 最小与最大相位延时系统，最小与最大相位超前 6.3 全通系统
6.4
6.5 6.6 6.7
用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
冲激响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法
本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数 的设计问题。
最小相位系统重要性质
j H ( e ) （1）在傅里叶变换 相同的所有系统中，它
的负相位最小。 （2）最小相位系统能量集中在n=0附近。 （3）相同傅里叶变换幅度的各序列，最小相位 序列的hmin (0) 最大。 j H ( e ) 相同的系统中，只有唯 （4）在幅度响应 一的一个最小相位延时系统。 （5）利用级联全通的方法，可将最小相位系统 的零点反射到单位圆外，构成幅度响应相同的 非最小相位延时系统。
z e j
ห้องสมุดไป่ตู้
d (e ) Im ln H (e j ) d
j


（6.9）
同样可化为
d lnH ( z ) dz (e ) Im dz d z e j d lnH ( z ) d Im jz Re z ln H ( z ) j dz j dz z e z e
这时相位变化最大，称最大相位超前系统，是逆 因果稳定系统。 b 当全部零点在单位圆外时即 mi 0(mo M )有 H (e j ) arg 2 ( p0 mo ) K 2 这时相位超前最小，称最小相位超前系统，是逆 因果移动系统。
表6.1 四种系统及其因果性、稳定性、零 点、极点的关系。
全通系统应用
（1）任何一个因果稳定的（非最小相位延时） 系统的H(z)都可以表示为全通系统 Hmin ( z) 和最小 相位延时系统 H ap ( z) 的时延。 H ( z) Hmin ( z) Hap ( z) （6.24） 它们频率响应的相位相同，相位不同。即
| H (e j ) || H min (e j ) | | H ap (e j ) || H min (e j ) |
H (e ) arg 2 [mi pi ] 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo
它称为相位延时系统。 a 当全部零点在单位圆内，即 mi M (mo 0)有
其相位变化最小，称为最小相位系统。
H (e j ) arg 0 K 2
H ( z )
k 1
一般来说，N阶数字全通系统的系统函数频率响 应的模都为1。 证明：N 阶全通系统函数为 1 * ( N 1) N N
z ak d N d N 1 z 1 ``` d1 z z 1 1 ak z 1 d1 z 1 ``` d N 1 z ( N 1) d N z N
j
dH ( z ) 1 Re z dz H ( z ) z e j
（6.10）
当滤波器为线性相位响应特性时，则通带 内延迟特性为常数。
IIR滤波器逼迫问题
M
IIR系统函数
H ( z)
k b z k k 0 N k
1 ak z
k 1
（6.11）
（6.25）
* H ( z ) H 1 ( z ) ( z 1 z 0 ) ( z 1 z 0 )
证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统 H(z)为 * H ( z) H1 ( z) ( z 1 z0 ) ( z 1 z0 ) （6.24） 将6.24式表示为 * 1 1
H (e ) K
其相角为
j | ( e dk ) | k 1
m 1 N
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积 （6.14）
M H (e j ) M j j arg arg e c arg e dk ( N M ) m m 1 K m1 （6.15）
若mi , mo , pi , po分别表示单位圆内外的零极点数则 M mi mo , N pi po 注：零（极）矢是指零（极）点指向z平面单位 圆上频率点的矢量。当 从0到 2 时，只有单 位圆内的零极点对相角有影响。
零点、极点的分布对系统相角影响的讨论 （1）对因果稳定系统，此时 p0 0, pi N 2 时， 2 则辐角变化量 当 从0变到 j
j j ( N M ) m 1 N j ( e cm ) M
H (e j ) k 1 我们对 进行研究。 K
j ( e dk )
H (e ) e
j
j arg H ( e j )
（6.13）
H (e j ) 的模为 M j K | ( e cm ) | j