2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试卷及答案
2021届广东省茂名市高三第一次综合测试数学(理)试题(原卷版)参照模板
2020年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(理科)2020.1一、选择题：1.已知集合{}|24A x Z x =∈-<<，{}2|230B x x x =--<，则AB =( )A. ()2,1-B. ()1,3-C. {}1,0-D. {}0,1,22.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为( ) A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知5316S a =+，11a =，则26a a +=( ) A. 10B. 11C. 12D. 134.剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.( )A. B. C. D.5.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，37S =，则35a a ⋅=( ) A. 64B. 729C. 64或729D. 64或2436.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则π的近似值是( )(精确到0.01).(参考数据sin150.2588︒≈) A. 3.14B. 3.11C. 3.10D. 3.057.已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且线段1PF 的中点坐标为()0,b ，则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.3C.5D. 28.前进中学高二学生会体育部共有5人，现需从体育部派遣4人，分别担任拔河比赛活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有( )种派遣方法. A. 120B. 96C. 48D. 609.设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++(0>ω，||2πϕ≤)的最小正周期为π，且过点()0,2，则下列正确的为( ) ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ②()f x 的一条对称轴为2x π=.③()fx 的周期为2π. ④把函数()f x 的图像向左平移6π个长度单位得到函数()g x 的解析式为()2cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④10.下列函数图象中，函数()()||x f x x e Z αα=∈的图象不可能的是( )A. B.百度文库精品文档C .D.11.已知()2,0A -，()2,0B及抛物线方程为()281x y =-，点P 在抛物线上，则使得ABP ∆为直角三角形的点P 个数为( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.已知函数()21,1ln ,1ax ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 有四个零点，则a的取值范围是( )A. (),0-∞B. (),e +∞C. ()4,+∞D. ()24,e二、填空题：13.已知实数x ，y 满足5210220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最小值为______.14.在ABC ∆中，60B C ==∠∠，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则AM BC =______. 15.点P 为曲线()22ln 41y x x =++14x ⎛⎫>-⎪⎝⎭图象上的一个动点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则当α取最小值时x 的值为______.16.如图，网格纸上小正方形的边长为0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于______.三、解答题：17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin b B a A B c C +-=. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求sin sin A B +的取值范围.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，222AB DC ==，14AA =.(Ⅰ)求证：1//BC 平面1A CD ；(Ⅱ)求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳 绳个数 [)165,175[)175,185[)185,195[)195,205[)205,215得分 1617181920(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布()2,N μσ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差277.8S ≈(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：(ⅰ)预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.(结果四舍五入到整数) (ⅱ)若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，9σ=≈，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=20.设函数()xf x e mx n =-+，曲线()y f x =在点()()ln 2,ln 2f 处的切线方程为2ln 20x y --=.(Ⅰ)求m ，n 的值；(Ⅱ)当0x >时，若k 为整数，且()()11x k x f x x +>-++⎡⎤⎣⎦，求k 的最大值.21.在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且12DM DP =，点M 的轨迹为曲线1C . (1)求曲线1C 的方程； (2)过抛物线2C ：28y x=焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交曲线1C 于另一点C ，求ABC ∆面积的最小值，以及取得最小值时直线l 的方程.22.设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点. (Ⅰ)写出1C 参数方程和2C 普通方程； (Ⅱ)求AB 最大值和最小值.23.已知函数()()22f x x a a R =-∈，对R x ∀∈，()f x 满足()()2f x f x =-. (Ⅰ)求a 的值；百度文库精品文档(Ⅱ)若R x ∃∈，使不等式()()2122f x f x m m -+≥+，求实数m 的取值范围.百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2021年广东省茂名市高考数学一模试卷理科及答案
2021年广东省茂名市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．〔5分〕复数z满足〔z﹣i〕i=2+i，i是虚数单位，那么|z|=〔〕A．B．C．D．33．〔5分〕变量x，y满足约束条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．﹣14．〔5分〕设X～N〔1，1〕，其正态分布密度曲线如下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是〔〕〔注：假设X～N〔μ，σ2〕，那么P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，P〔μ﹣2σ＜X＜μ+2σ〕=95.44%〕A．.7539B．6038C．7028D．65875．〔5分〕数学文化?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一〞，其意大致为：有一栋七层浮屠，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，那么该塔中间一层有〔〕盏灯．A．24B．48C．12D．606．〔5分〕甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，获得面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．假设这三人中仅有一人说法错误，那么以下结论正确的选项是〔〕A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了7．〔5分〕函数的局部图象大致为〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕执行如下图的轨范框图，那么输出的S值是〔〕A．B．﹣1C．2021D．29．〔5分〕设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，假设△PF1F2的面积是1，且a+b=3，那么双曲线的离心率为〔〕A．.2B．C．D．10．〔5分〕△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，假设2sin〔﹣〕=1，且a=2，那么△ABC的面积的最大值为〔〕A．B．C．D．211．〔5分〕三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕定义在R上的奇函数f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，假设函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔e，e3〕C．〔e，e2〕D．〔1，e3〕二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，13．〔5分〕，假设，那么λ=．14．〔5分〕在〔1﹣x〕2〔1﹣〕4的展开式中，x2的系数是．15．〔5分〕函数f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx〔ω＞0〕在区间上是增函数，且在区间[0，x]上刚好取得一次最大值，那么ω的取值范围是_．16．〔5分〕从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，假设直线AB的倾斜角为，那么P点的横坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔12分〕设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，假设T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．〔I〕求证：平面EAC⊥平面PCD；〔II〕求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．〔12分〕交强险是车主必需为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为a元，鄙人一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通变乱的情况相联系，发生交通变乱的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔I〕按照我国?机动车交通变乱责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，a=950〔元〕，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；〔II〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为变乱车，假设购进一辆变乱车亏损5000元，一辆非变乱车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆变乱车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．20．〔12分〕椭圆C1：〔〔a＞b＞0〕〕的一个焦点为F1，且经过点P．〔I〕求椭圆C1的标准方程；〔II〕椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍〔λ＞1〕，过点C〔﹣1，0〕的直线l与椭圆C2交于A，B两个分歧的点，假设，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．21．〔12分〕函数〔a∈R〕．〔I〕讨论g〔x〕的单调性；〔II〕当时，函数在其定义域内有两个分歧的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，假设m≥1，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选标题问题对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为〔t为参数〕，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．〔I〕假设直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；〔II〕设M〔x，y〕为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅰ〕设函数f〔x〕的最大值为M，假设不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2021年广东省茂名市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.1．〔5分〕假设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B=〔〕A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，那么A∩B={0，1，2}．应选：C．2．〔5分〕复数z满足〔z﹣i〕i=2+i，i是虚数单位，那么|z|=〔〕A．B．C．D．3【解答】解：由〔z﹣i〕i=2+i，得z﹣i=，∴z=1﹣i，那么|z|=．应选：A．3．〔5分〕变量x，y满足约束条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A〔1，2〕，此时z max=3×3+2=11，应选：B．4．〔5分〕设X～N〔1，1〕，其正态分布密度曲线如下图，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是〔〕〔注：假设X～N〔μ，σ2〕，那么P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，P〔μ﹣2σ＜X＜μ+2σ〕=95.44%〕A．.7539B．6038C．7028D．6587【解答】解：∵X～N〔1，1〕，∴μ=1，σ=1．μ+σ=2∵P〔μ﹣σ＜X＜μ+σ〕=68.26%，∴那么P〔0＜X＜2〕=68.26%，那么P〔1＜X＜2〕=34.13%，∴暗影局部的面积为：0.6587．∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，那么落入暗影局部的点的个数的估计值是6587．应选：D5．〔5分〕数学文化?算法统宗?是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一〞，其意大致为：有一栋七层浮屠，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，那么该塔中间一层有〔〕盏灯．A．24B．48C．12D．60【解答】解：按照题意，设最底一层有a盏灯，那么由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7==381，解可得a=192，那么a4=a×〔〕3=24，即该塔中间一层有24盏灯；应选：A．6．〔5分〕甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，获得面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．假设这三人中仅有一人说法错误，那么以下结论正确的选项是〔〕A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，那么乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，那么丙说的是真话，假设乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；假设乙被录用，那么甲和乙的说法都错误，不成立．应选：C．7．〔5分〕函数的局部图象大致为〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，可得f〔x〕为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间〔1，+∞〕上f〔x〕单调递增，排除D，应选C．8．〔5分〕执行如下图的轨范框图，那么输出的S值是〔〕A．B．﹣1C．2021D．2【解答】解：依题意，执行如下图的轨范框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2021时，S2021=S1=，k=2021，退出循环．输出S=．应选：A．9．〔5分〕设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，假设△PF1F2的面积是1，且a+b=3，那么双曲线的离心率为〔〕A．.2B．C．D．【解答】解：方式一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，那么mn=1，得mn=2，∵Rt△PF1F2中，按照勾股定理得m2+n2=4c2∴〔m﹣n〕2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，结合双曲线定义，得〔m﹣n〕2=4a2，∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，那么b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，应选C．方式二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，由PF1⊥PF2，那么∠F1PF2=90°，那么△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，∴该双曲线的离心率为e==，应选C．10．〔5分〕△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，假设2sin〔﹣〕=1，且a=2，那么△ABC的面积的最大值为〔〕A．B．C．D．2【解答】解：∵2sin〔﹣〕=1，A∈〔0，π〕，∴∈，∴=，∴．又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．按照根本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．当且仅当b=c时，等号成立．△ABC面积S=bcsinA≤=〔当且仅当b=c时，等号成立〕∴△ABC的面积的最大值．应选：B．11．〔5分〕三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A．B．C．D．【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，那么截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，那么截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，那么球的半径R为，所以球的体积为=4．应选：A．12．〔5分〕定义在R上的奇函数f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕，当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，假设函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔0，1〕B．〔e，e3〕C．〔e，e2〕D．〔1，e3〕【解答】解：∵f〔x〕满足条件f〔1+x〕=f〔1﹣x〕且为奇函数，函数f〔x〕=f 〔2﹣x〕=﹣f〔﹣x〕∵f〔﹣x〕=f〔2+x〕⇒f〔x+4〕=f〔x〕∴f〔x〕周期为4，∵当x∈[0，1]时，f〔x〕=x，按照m〔x〕=|f〔x〕|与n〔x〕=ae﹣|x|图象，函数g〔x〕=|f〔x〕|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2021，2021]上有4032个零点，即m〔x〕=|f〔x〕|与n〔x〕=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，∴即e＜a＜e3．应选：B二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分，13．〔5分〕，假设，那么λ=．【解答】解：∵，，∴=﹣1+2λ=0，解得λ=．故答案为：．14．〔5分〕在〔1﹣x〕2〔1﹣〕4的展开式中，x2的系数是﹣10．【解答】解：〔1﹣x〕2〔1﹣〕4=〔1﹣2x+x2〕〔1﹣4+﹣+x2〕∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．故答案为：﹣10．15．〔5分〕函数f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx〔ω＞0〕在区间上是增函数，且在区间[0，x]上刚好取得一次最大值，那么ω的取值范围是_．【解答】解：f〔x〕=4sinωx﹣sin2〔+〕﹣2sin2ωx=4sinωx﹣﹣2sin2ωx=2sinωx〔1+sinωx〕﹣2sin2ωx=2sinωx，即：f〔x〕=2sinωx，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在上递增，∴，∴得不等式组，得，又∵ω＞0，∴，又函数在区间[0，π]上刚好取得一次最大值，按照正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得．故答案是：．16．〔5分〕从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，假设直线AB的倾斜角为，那么P点的横坐标为．【解答】解：如图，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，P〔x0，﹣1〕，那么，又∵，，∴，那么．由x2=4y，得，∴，∴切线PA的方程为y﹣y1=〔x﹣x1〕，切线PB的方程为y﹣y2=〔x﹣x2〕，即切线PA的方程为y﹣=〔x﹣x1〕，即；切线PB的方程为y﹣=〔x﹣x2〕，即．∵点P〔x0，﹣1〕在切线PA、PB上，∴，，可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，∴x1+x2=2x0，得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔12分〕设正项等比数列{a n}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设b n=log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列，T n为数列{c n}的前n项和，假设T n＜λn恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：〔I〕设等比数列{a n}的公比为q〔q＞0〕，由题意，得…〔2分〕解得…〔3分〕所以…〔4分〕〔II〕由〔I〕得，…〔5分〕．…〔6分〕∴，…〔8分〕∴，…〔10分〕假设恒成立，那么恒成立，那么，所以…〔12分〕18．〔12分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．〔I〕求证：平面EAC⊥平面PCD；〔II〕求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】证明：〔I〕∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2△ABC是等腰直角三角形，∴AC=，CD=，…〔2分〕∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…〔3分〕又∵PC∩CD=C，…〔4分〕∴AC⊥平面PCD，…〔5分〕∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．…〔6分〕解：〔II〕解法1：由〔1〕得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，作PH⊥EC，那么PH⊥平面EAC，…〔8分〕∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…〔9分〕在Rt△PAC中，PA=，在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…〔10分〕sin=，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…〔12分〕解法2：∵PC⊥底面ABCD，那么建立如下图的直角坐标系，…〔7分〕那么P〔0，0，2〕，，，，．…〔8分〕设平面EAC的法向量为=〔x，y，z〕，那么，即，…〔9分〕令z=1，解得…〔10分〕记直线PA与平面EAC所成角为θ，那么sinθ==，所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…〔12分〕19．〔12分〕交强险是车主必需为机动车购置的险种，假设普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用〔基准保费〕统一为a元，鄙人一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通变乱的情况相联系，发生交通变乱的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成以下问题：〔I〕按照我国?机动车交通变乱责任强制保险条例?汽车交强险价格的规定，a=950〔元〕，记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；〔II〕某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于根本保费的车辆记为变乱车，假设购进一辆变乱车亏损5000元，一辆非变乱车盈利10000元：①假设该销售商购进三辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆变乱车的概率；②假设该销售商一次购进100辆〔车龄已满三年〕该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．【解答】解：〔I〕由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…〔1分〕由统计数据可知：，，，，，．…〔4分〕∴X的分布列为：X0.9a0.8a0.7a a 1.1a 1.3aP…〔5分〕∴…〔6分〕〔II〕①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为变乱车的概率为，…〔7分〕三辆车中至多有一辆变乱车的概率为…〔9分〕②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，P〔Y=﹣500〕=，P〔Y=10000〕=，∴Y的分布列为：Y﹣500010000P…〔10分〕…〔11分〕所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…〔12分〕20．〔12分〕椭圆C1：〔〔a＞b＞0〕〕的一个焦点为F1，且经过点P．〔I〕求椭圆C1的标准方程；〔II〕椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍〔λ＞1〕，过点C〔﹣1，0〕的直线l与椭圆C2交于A，B两个分歧的点，假设，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：〔1〕设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2为直角三角形，那么，∴，由椭圆的定义得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，∴椭圆C1的标准方程；〔2〕设椭圆C2的方程为，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．∵λ＞1，∴点C〔﹣1，0〕在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个分歧的交点．当直线l 垂直于x 轴时，〔不是零向量〕，不合条件；故设直线 l 方程为y=k 〔x +1〕〔A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0〕，由，得．∴，∵，而点C 〔﹣1，0〕，∴〔﹣1﹣x 1，﹣y 1〕=2〔x 2+1，y 2〕，即y 1=﹣2y 2，那么y 1+y 2=﹣y 2， ∴．∴△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ===═×==．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB 的面积取得最大值． ∴直线l 的方程为或．21．〔12分〕函数〔a ∈R 〕．〔I 〕讨论g 〔x 〕的单调性； 〔II 〕当时，函数在其定义域内有两个分歧的极值点，记作x 1，x 2，且x 1＜x 2，假设m ≥1，证明：．【解答】解：〔I〕〔a∈R〕，方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a，①当时，△≤0，g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕为增函数，②当时，△＞0，方程2x2+x﹣a=0的两根为，当时，x1＜x2≤0，g〔x〕在〔0，+∞〕为增函数，当a＞0时，x1＜0＜x2，g〔x〕在〔x2，+∞〕为增函数，在〔0，x2]为减函数，综上所述：当a≤0时，g〔x〕的增区间为〔0，+∞〕，无减区间，当a＞0时，g〔x〕的增区间为〔x2，+∞〕，减区间〔0，x2]，〔II〕证明：f〔x〕=xlnx﹣x2﹣x+a，所以f'〔x〕=lnx﹣ax因为f〔x〕有两极值点x1，x2，所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲证等价于要证：，即1+m＜lnx1+mlnx2，所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a〔x1+mx2〕，因为m≥1，0＜x1＜x2，所以原式等价于要证明：．又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得ln=a〔x1﹣x2〕，所以a=所以原式等价于要证明：，令t=，t∈〔0，1〕，上式等价于要证：，t∈〔0，1〕，令，所以，当m≥1时，h′〔t〕＞0，所以h〔t〕在〔0，1〕上单调递增，因此h〔t〕＜h〔1〕=0，所以在t∈〔0，1〕上恒成立，所以原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选标题问题对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为〔t为参数〕，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中〔取一样的长度单位〕，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．〔I〕假设直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；〔II〕设M〔x，y〕为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，整理得：〔x﹣2〕2+y2=4∴曲线C是圆心为C〔2，0〕，半径为2的圆．∵直线l过点P〔﹣2，0〕，当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；∴当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y=k〔x+2〕，即kx﹣y+2k=0直线l与圆有公共点，那么，解得：∵α∈[0，π]，∴α的取值范围是：[0，]．〔II〕曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，可化为：〔x﹣2〕2+y2=4．其参数方程为：〔θ为参数〕∵M〔x，y〕为曲线C上任意一点，∴=2+，由于：那么：所以：∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣3|﹣|x+5|．〔Ⅰ〕求不等式f〔x〕≥2的解集；〔Ⅰ〕设函数f〔x〕的最大值为M，假设不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕当x≥3时，f〔x〕=﹣8，此时f〔x〕≥2无解；…〔1分〕当﹣5＜x＜3时，f〔x〕=﹣2x﹣2，由f〔x〕≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…〔3分〕当x≤﹣5时，f〔x〕=8，此时f〔x〕≥2恒成立．…〔4分〕综上，不等式f〔x〕≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…〔5分〕〔Ⅰ〕由〔Ⅰ〕可知…〔6分〕易知函数f〔x〕的最大值M=8，…〔7分〕假设x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…〔8分〕即m≤[﹣〔x+1〕2+9]max=9．…〔9分〕因此，m的取值范围是m≤9．…〔10分〕。
导数中的参数问题(解析版)
【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。
而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。
【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。
广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题(解析版)
五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学本试卷分选择题和非选择题两部分.第I 卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用钢笔或黑色墨迹签字笔作答，将答案书写在答题卡规定的位置上，答题卡上不得使用铅笔或涂改液.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复数范围内，方程232i z =+的解有（）A .0个B.1个C.2个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】设i z a b =+(),R a b ∈，根据复数相等得到方程组，消元求出a 的值，即可判断.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，又232i z =+，所以22322a b ab ⎧-=⎨=⎩，消元整理得42310a a --=，解得23132a =或231302a =<（舍去）所以a =故在复数范围内，方程232i z =+有两个解.故选：C2.二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为（）A.512B.1512C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】令1x =进而求解即得.【详解】令1x =，则二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：B3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则4AF BF +的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知()1,0F ，设:AB l 1x ky =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线AB 与抛物线方程2212444041y xy ky y y x ky ⎧=⇒--=⇒=-⎨=+⎩，所以221212144y y x x =⋅=，而()121241414559AF BF x x x x +=+++=++≥=.当且仅当1212,2x x ==时取得等号.故选：D4.现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（）A.事件A ，B 不相互独立B.()12P A B =C.()P B A 可能等于()P B D.()1130P A B +=【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=⨯≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===，故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故D 正确；故选：C5.将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A.4πB.68π9- C.11π2D.52π9-【答案】B 【解析】【分析】首先分类讨论得出，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，进一步求出底面四边形外接圆圆心1O 坐标、半径，从而得1O 到直线EF 的距离4d ，设出外接球球心到底面的距离1h ，结合OA OB R ==可得()222221314R r h d h d =+=-+，由此可得外接球半径R ，进而即可求解.【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边，由题意以D 为原点，以边长为2的等边三角形的AB 边为x 轴，AB 边上的高CD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系：由题意()()(1,0,1,0,A B C -，不失一般性，设(:CD y kx k =+>（也就是设点D 在不包含端点的线段OA 上），在(:CD y kx k =+>中，令0y =得3x k=-，所以BCD △的面积为113331222BCD k S BD CO k k ⎛⎫+=⋅=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，而点()1,0A -到直线(:CD y kx k =+>的距离为1d =，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2111336BCD V S d =⋅= ACD ⊥面BCD ），所以()()2221222231103412121121133k V k k k k -<==<⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以1306V <<；若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边，此时上述情况中的点D 于原点O 重合，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2211111311332326BCO V S d BO OC AO ⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（此时面ACO ⊥面BCO ），其中2d 为点A 到OC 的距离，即AO 的长度；将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示：不失一般性，设该直线分别与,AB BC 交于点,E F ，折叠后的立体图形有外接球，则,,,A E F G 四点共圆，从而πCFE CAE ∠+∠=，又因为ππ,33CFE FEB FBE FEB CAE ∠=∠+∠=∠+∠=，所以π3FEB CAB ∠==∠，所以~FEB CAB ，由题意()()(1,0,1,0,A B C -，设)():,11EF y x a a =--<<，所以)()2213111122122224ABC AEFCa a a a S S ⎡⎤⎤+---⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯⨯-=⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四边形，过点B 向EF 引垂线，垂足为G，则)312a d BG -==，所以四棱锥B AEFC -体积的最大值为()()()()()()()232331131111333,113888AEFC a a a V S d a a a a a a +--=⋅==--=--+-<<四边形（此时四边形AEFC 与三角形BEF 垂直），从而()()2313618V a a a '=--，()()231233610183V a a a a '=--=⇒=-或2313a =+，当113a -<<-时，()30V a '>，()3V a 单调递增，当23113a -<<时，()30V a '<，()3V a 单调递减，所以当且仅当2313a =-时，有()233max231232323311113383396V V ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎢⎥=-=⨯--⨯--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，综上所述，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，此时我们首先来求四边形AEFC 外接圆圆心1O ，因为AB 中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB所以AB 的垂直平分线方程为331232y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，而AE中垂直线方程为2311323x ⎛-+- ⎝⎭==-，从而解得11,33O ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，所以四边形AEFC外接圆半径为1r O A ===而1O到直线23:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭的距离为413d -=，又满足题意的四棱锥B AEFC -的高为)3112a d BG -===，设满足题意的四棱锥B AEFC -的外接球球心为O ，设球心到平面AEFC 的距离为1h ，则由OA OB R ==可得，()222221314R r h d h d =+=-+，即1164313431299h --=-+，解得211164311743,3999h R --==+=，从而满足题意的外接球表面积为68163π9-.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得出满足题意的直线为:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭，且此时)3112a d BG -===，由此即可顺利得解.6.令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n ︒︒︒︒+=+++∈ ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（）A.(0.49,0.495)B.(0.495,0.5)C.(0.5,0.505)D.(0.505,0.51)【答案】B 【解析】【分析】先通过()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦，利用裂项相消法求出n a ，观察得其最大值可取90a ，然后计算其范围即可.【详解】由于()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦()sin 0.5cos1cos 2cos n a n ︒︒︒︒=+++ sin 0.5cos1sin 0.5cos 2sin 0.5cos3sin 0.5cos n ︒︒︒︒︒︒︒︒=++++ ()().50.5.5.5.1sin1sin sin 2sin1sin 3sin 2sin 5.50.50.5sin 2n n ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤=-+-+-+++--⎣⎦ ()0.50.51sin sin 2n ︒︒︒⎡⎤=+-⎣⎦根据三角函数的性质可知，当90360,Z n k k =+⋅∈或89360,Z n k k =+⋅∈时，().in 05s n ︒︒+取最大值，不妨取90n =，则()()0.50.5cos 0.50111sin 90sin sin 44.5452222.52︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤+-=-=<=⎣⎦,又())11sin sin 22cos 0.50.50.5︒︒︒-=，因为当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，sin x x≤ππ0.5si 36n 0s 3in 60︒->-=π360与0.495的大小，即比较2π1360⎛⎫- ⎪⎝⎭与299π200360⎛⎫+ ⎪⎝⎭的大小，222299π9999π122003602003ππ13660000063⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭22222222π100100π32ππ324439210360200360004360360436036049090⨯⎛⎫>---=->---> ⎪⨯⎝⎭π360.9045>-.所以()0.50.110.495sin 90225sin ︒︒︒⎡⎤<+-<⎣⎦.故选：B.证明：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x≤设()sin f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00f x f ≤=，即当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x ≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用sin x x ≤对式子进行放缩，可以将三角运算转化为非三角运算.7.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1,4AB BC AA ===．则四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分的体积为（）A.23B.313C.1039D.726【答案】A 【解析】【分析】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，建系，利用空间向量分析可知G 为1A BD 的重心，进而根据体积关系运算求解.【详解】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，以D 为坐标原点，1,,DC DA DD分别为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()1131,0,0,1,3,0,0,0,0,1,,2,1,0,4,0,3,42A B D E A C ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()()1131,0,4,1,3,0,1,,2,1,3,42DA DB DE AC ⎛⎫====- ⎪⎝⎭，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z = ，则14030n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，则4,3y z =-=-，可得()12,4,3n =--，设()1,3,4AG AC λλλλ==-，则()1,3,4DG DA AG λλλ=+=-，因为DG n ⊥uuu r r，则()12112120λλλ---=，解得13λ=，可得24,1,33DG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即23DG DE =uuu r uuu r ，在1A BD 中，结合E 为1A B 的中点，可知G 为1A BD 的重心，则116BEG A BD S S =△△，所以四面体1GEBC 的体积11111111112314618183GEBC A C BD ABCD A B C D V V V -===⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知公共部分，利用空间向量的相关知识确定点G 的位置，即可得结果.8.设有正数列{}n a ，其前k 项和为k S ．则下列哪一个()0f n ≥能使对任意的n +∈N 都有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立（）A.()2f n n =B.2()2n f n =C.()ln f n n =D.1()f n n=【答案】BCD 【解析】【分析】首先当1n =时，要满足()11f ≤，故可排除A ，先证明两个引理，借助引理说明B 选项符合题意；对于CD 而言只需分别证明221ln ,22n n n n ≤≤即可说明CD 符合题意.【详解】首先取1n =，则有()111112f a a a +≤成立，其中10a >（因为数列{}n a 是正数列），从而需要满足()11f ≤，对比选项可知A 不符合题意，接下来我们证明如下引理1：()()()222111,2121ni kn k k ii n =+≤≥++∑，证明：首先当n k =时，左边等于()()()()()()()2222222222111212121212121k k k k k k k k k k k k k k ++++==≤=+++++，其次假设结论已对n 成立，即()()2221112121ni kk i i n =+≤++∑（*），由于()()()()()()()()2222222112322212121212n n n n n n n n n n ++-=≥=++++++++，从而()()()()222111122221n n n n +≤++++（**），（*）与（**）相加有()()12221112122n i kk ii n +=+≤++∑，故结论对1n +也成立，综上所述，引理1成立，我们继续来证明引理2：()()()221212121412,,,,0n n n n a a a n a a a a a a ⎛⎫++++++≥+++> ⎪⎝⎭ ，证明：当1n =时，左边211111a a =⋅=≥=右边，即此时引理1成立，设结论已经对n 成立，即()()2212121412n n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥+++ ⎪⎝⎭ ，记2121214,n nn a a a p q a a a +++=++= ，显然,0p q >，从而()()22121121114n n n n n n a a a a a a a a ++⎛⎫+++++++++⎪ ⎪⎝⎭()()()()2221111111n n n n n n p a q pq pqa n a a ++++⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭(()2211pq n n ≥+++)()221121n n n =+=+++++⎡⎤⎣⎦ ，故结论对1n +也成立，综上，引理2成立，现在我们回到原题，对于B ，也就是2()2n f n =，则()111212()n n k k n kn k f n f n k kS S a a a a a a ==+=+++++++∑∑ ()()()22221121214141212nk n k f n n kk a a a a a a n k =⎛⎫⎛⎫≤+++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∑()()()2222122112141441141k n nk f n k n a a a n k k a a a n =⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝+⎭∑ ()()()()()2222222111114411121nn n n k i k k i k k kf n k k a a i i n n i i n ====⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑22111242nn k k k kk a k a ==≤⋅=∑∑，故B 符合题意，对于C ，当1n =时，()1ln101f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较2ln ,2n n 的大小，令()2ln ,22x g x x x =-≥，从而()10g x x x '=->，即()g x 单调递增从而()()22ln 20g x g ≥=->，也就是当*2,N n n ≥∈时，2ln 2n n <，结合B 选项分析可知C 选项也符合题意；对于D ，当1n =时，()11111f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较21,2n n 的大小，显然此时22112222n n ≤=≤，结合B 选项分析可知D 选项也符合题意.故选；BCD.【点睛】关键点点睛：关键是先证明上述两个引理，从而当2()2n f n =时，有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设01p ≤≤，随机变量X 的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）X 012P1412p -14p +A.()E X 恒为1B.()E X 随p 增大而增大C.()D X 恒为12D.()D X 最小值为0【答案】AC 【解析】【分析】由概率之和为1求出0p =，再由数学期望和方差的公式求解即可.【详解】因为111+1424p p -++=，解得：0p =，所以随机变量X 的分布列如下图，X 012P141214因为()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=，()E X 恒为1，故A 正确；B 错误；()()()()222111111011121424442D X =-⨯+-⨯+-⨯=+=，故C 正确，D 错误.故选：AC .10.关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A.2sin xB.sin(cos sin )x x +是周期函数，最小正周期为4πC.cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为πD.sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，利用周期函数的定义，结合正余弦函数的最小正周期逐项判断即得.【详解】对于A ，假设2sin x 是周期函数，则对任意实数x ，存在非零常数T ，使得22si s n(in )x x T =+，即222)s n sin(i 2x Tx T x =++，显然222π,Z Tx T k k +=∈对任意实数x 不恒成立，因此2sin x 不是周期函数，A 错误；对于B ，任意实数x ，sin[cos(2π)sin(2π)]sin(cos sin )x x x x +++=+成立，因此sin(cos sin )x x +是周期函数，2π是其周期，B 错误；对于C ，函数cos ,cos 2,cos3y x y x y x ===的最小正周期依次为2π2π,π,3，显然cos(cos 2(cos 2π2π2πc ))333(os cos 2co 3s3x x x x x x ++≠+，如0x =，左边为14，而右边为1，而cos(cos 2(cos3(cos cos 2(cos3)cos cos )2co ππ)3)s πx x x x x x x x x +==-++-恒成立，因此cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为π，C 正确；对于D ，函数cos 2,sin 3y x y x ==的最小正周期依次为2ππ,3，显然π)sin3sin3sin3([o cos 2(s 2)xx x xx x +-=+≠，而πsin3(2)sin3π)](cos 2)[cos 2(2x x x x +=+恒成立，因此sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π，D 正确.故选：CD11.设有数列{}*,N n a n ∈，记110()nn n n n f x a x a xa --=+++ ，其中0n a ≠．则下列说法正确的有（）A.()n f x 有零点对任意奇数n 成立B.若n 为偶数且00a <，则()n f x 至少有两个零点C.对任意*N n ∈与0M >，一定存在X 使当x X >时，()n f x M >恒成立D.若{}n a 恒为1，则对任意*N ,()2n n f x ∈=都有唯一正零点，且一定大于12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，化简得到01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，根据绝对值不等式得到当0n a x >时，1()0n n f x x ->；当0na x <时，1()0n n f x x -<，据此可判断AC 的正误.结合零点存在定理和导数可判断D 的正误，利用反例可判断B 的正误.【详解】对于A ，若n 为奇数，不失一般性，设0n a >，由110()nn n n n f x a x a x a --=+++ ，其中0n a ≠，可得01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，因为00221111n n n n a a a a x x x x ----⋅++≤⋅++ ，取1M =202max 1,n n a a a -⎧⎫+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当1x M >时，0022201111n n n n n a a a a a a x x x x -----⋅++≤⋅++≤++ ，所以当1x M >时，()20201()n n n n n f x a a a x a a x ----++≤-≤++ ，即201()n n n n f x a x a a x --≤+++ 且()201()n n n n f x a x a a x --≥-++ ，故当1x M <-时，1()20n n f x x -≤-<且1x M >时，1()20n n f x x-≥>，而n 1-为偶数，故x M <-时，()0n f x <且x M >时，()0n f x >，故()n f x 有零点对任意奇数n 成立，故A 成立.对于B 中，例如：函数22()1f x x =--，此时函数2()f x 无零点，所以B 不正确；对于C 中，对任意的0M >，由A 中分析可取X =202max 1,n n a a M a -⎧⎫++++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当x X >时，有01211()12n n n n n n f x a a x a a M x x x ----⎛⎫≥-+⋅++>+ ⎪⎝⎭ ，故1()2n n f x M xM -≥+>，故C 成立.对于D 中，若1()1nn n f x x x -=+++ ，可得12()(1)1n n n f x nx n x --'=+-++ ，当0x >时，()0n f x '>，()n f x 在(0,)+∞上单调递增；由(0)12n f =<且(1)12n f n =+≥，所以()n f x 有唯一的正零点，又由11111()((11()22222nn n n f -=+++=-< ，所以函数的零点大于12，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3xy =，则+=______．【答案】±【解析】【分析】分0,0x y >>和0,0x y <<两种情况分类计算.【详解】当0,0x y >>时，+==，当0,0x y <<时，+==-故答案为：±13.()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为______个．【答案】2【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.【详解】由()3cos cos 22cos cos f x x x x x ==-⇒()()2326sin cos sin 6sin 5sin sin 6sin 5f x x x x x x x x =-+=-=-'，令()0f x '=，则sin 0x =或sin x =，显然当[]0,πx ∈时，sin 0x ≥，则sin 0x =或sin x =，满足sin 0x =的根为0x =或πx =，端点值不能做为极值点，舍去；满足sin x =的根有两个12,x x ，根据正弦函数的性质可知()()120,,πx x x ∈⋃时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，即()f x 在()()120,,,πx x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，所以()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为2个.故答案为：214.已知O 为ABC 的外接圆圆心，且1,1AO BC BC ⋅== ．设实数,λμ满足AO AB λ=AC μ+ ，则221λμ-的取值范围为______．【答案】()3,1--【解析】【分析】以BC 中垂线为y 轴，BC 为x 轴建立直角坐标系，设出圆心坐标及半径，写出外接圆的方程，再分别写出,,A B C 坐标，将题干条件带入，即可得到等式，根据等式得出,λμ的关系及范围，再将关系带入221λμ-中，根据范围即可求得结果。
广东省茂名市2021届新高考一诊数学试题含解析
广东省茂名市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B【解析】【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断.【详解】 由于0.20110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<= 故b a c >>.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.2．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】 由()11z z i -=+得：()()()211111i i z i i i i ++===-+- 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种. 如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B【点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.4．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ）A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =- 【答案】C【解析】【分析】由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =， 则()112AA AB AD +-+1122a b c =-++ 即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.6．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >， 则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++，当且仅当n m m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．7．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<< 【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.8．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ）A ．49B ．49-C ．43D ．43- 【答案】B【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =∴P 是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC ⋅+ 2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA = ∴()49PA PB PC ⋅+=-故选B ．【点睛】 判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．9．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】 设抛物线的解析式22(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称轴为x 轴，准线为2p x =-， ∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点，又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫⎪⎝⎭， 代入22y px =，解得2p =， 又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p p DP p =+-==， ∴11||||24422ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C.【点睛】 本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．10．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 【答案】C【解析】【分析】由双曲线1C 与双曲线2C 有相同的渐近线，列出方程求出m 的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【详解】 由双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，2=，解得2m =，此时双曲线221:128x y C -=，则曲线1C 的离心率为2852c e a +===，故选C ． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．12．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东茂名五校联盟2021高三数学上第一次联考(解析版)
2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题 1．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.2．已知集合(){}210,|ln 61x A x B x Z y x x x ⎧⎫-==∈=+-⎨⎬+⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-【答案】A【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-， 所以{0,1}AB =.故选：A.3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算．【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果.【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222422216A A A A -=.故选：C.5．若10.3221,log 3,32a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】易得12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，然后由222log 3b =推出32b >比较即可. 【详解】12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3222222log 3log 9log 82log 23=>==，32b ∴>， 又0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以c a b <<. 故选：D6．在ABC 中，,4B AD π=是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）A B C ． D ．【答案】C【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.【详解】设AD x =，因为,24B CD AD π==，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，由余弦定理，可得cos BAC ∠==. 故选：C.7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6.故选：C .【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占13C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确： 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14，故B 错误； 对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ）A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案.【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得||OM c ==0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有2||||3OE OP =，得23a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题 12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11()22ABCD A B CD V h x V '''-===可判断D ． 【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B正确； 连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N 为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．三、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_________. 【答案】210【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2n S n =，进而得nS n n=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案. 【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22n n n a a n n S n ++-===，所以n Sn n =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为2020(120)2102T +==. 故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列. 14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求.【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．【答案】3515-. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得355OH =，即可求得PQ 长度的最小值. 详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值.作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ∆的面积为1113222111212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.∴11322A N OH ⨯=，则OH =.∴PQ 1-故答案为15-. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.四、双空题16．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________. 【答案】2545 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF 的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3,45AM AB BM BF ==， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由24(1)34y xy x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y整理得241740x x-+=，所以12174x x+=，所以1225||4AB x x p=++=，所以254||||sin545CD AB BAM=∠=⨯=，所以CDF的面积为15252⨯⨯=，故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p=++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD中，120,2,B BC ABC∠=︒=的面积为3(1)求AC ；(2)若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解. （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求得m n +最大值即可.【详解】（1）由ABC 面积公式得1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=， 所以4AB =，在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ︒=+-⨯⨯⨯=， 所以27AC = （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ︒=+-，2()3m n mn =+-则22()2832832m n m n mn +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即2()284m n +≤，所以47m n +≤当且仅当m n ==. 所以四边形ABCD周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2nT <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出2n T <即可.【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，因为12a =，所以22332131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以234224q q q =+-，即()()22211q q q+=+.又0q >，解得2q，所以2nn a =.选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则212a q a ==， 所以2nn a =. （2）因为2nn a =，所以22(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n =+=+=+，所以22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪++⎝⎭， 所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221111112121223(1)(1)n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 222(1)n =-+因为n ∈+N 时，220(1)n >+，所以2n T <.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式： （1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（3）111n n n n=+-++；（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----. 19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .(1)证明:MN AH ⊥；(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60°，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且ACBD O =，连结PO .因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AH ⊂平面PAC ，所以，BD AH ⊥，因为，//BD 平面AMHN BD ⊂，平面PBD ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ︒∠=， 所以，13,2AO PA PO PA ==， 因为，3PA =，所以，36BO PA =. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,,0,33O A B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，133),,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，23330,,0,,0,2BD AH ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即233302y x z ⎧=⎪⎨⎪-=⎪⎩，令2x =，解得0,23y z ==，所以，(2,0,3)n =.因为PO ⊥平面ABCD ，所以3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3cos |cos ,|2||n OP n OP n OP θ⋅=<>==‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为6π. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名 后50名 近视 40 32 不近视1018(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，34. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可；（2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值2003.175 3.84163k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++⨯=，所以0.75a =，4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.25.10.250.2 4.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6.（2）因为2K 的观测值2100(40181032)2003.175 3.8415050722863k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.2510.250.754=+所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，则1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3313(),0,1,2,344k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0312013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2132333139131(2),(3)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为14，进而得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭.是中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0,F c P 椭圆上的一动点，且PF 的最小值是1，当PF 垂直长轴时，3||2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O x y +=于,M N 两点，求MON △面积的最大值，并求此时直线l 方程.【答案】（1）22143x y +=；（2y =【分析】（1）由||PF 的最小值为1，得到1a c -=，再由3||2PF =， 结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求得椭圆的方程. （2）设切线l 的方程为y kx t =+，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得2234t k -=，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MON △的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 椭圆上的一动点，且||PF 的最小值是1，得1a c -=，因为当PF 垂直长轴时，可得3||2PF =，所以232b a =，即223b a =， 又由222a bc =+，解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON △，设切线l 的方程为y kx t =+， 联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()222(8)4344120kt k t ∆=-+-=，化简得2234t k =+，则2234t k -=， 因为点O 到直线l的距离d =所以||MN ==||MN = 故MON △的面积为114||122||||S MN d t t =⋅==+ ， 因为22304t k -=≥，可得23t ≥，即t ≥1||||y t t =+在)+∞上单调递增，所以1||||3t t +≥||t =则3S ≤=MON △当||t =0k =，所以直线的方程为y =【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.22．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+. (1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222x xf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-.【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln xm x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞， 1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立，即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln x m x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立.设()(2)ln x h x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭， 当1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<， 设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x →+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增.()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。
广东省茂名市五校联盟高三级第一次联考数学参考答案
因为， AC PO O 且 AC 、 PO 平面 PAC ，
所以， BD 平面 PAC ， ……………………………3 分
因为， AH 平面 PAC ，所以， BD AH ，…………4 分
因为， BD / / 平面 AMHN ，
且平面 AMHN 平面 PBD MN ，
所以，BD / /MN ，
又 q 0 ，解得 q 2 ，………………………………………………………………………………3 分
所以 an 2n . …………………………………………………………………………………………4 分
选③：因为 an1 Sn 2 ，所以 a2 S1 2 4 ， ……………………………………………………1 分
6
62
6
11.ACD【解析】如图：双曲线 C 的焦距 2c= 2 13 ，|OM|=c= 13 ，则 P（0，b）， 由 EO EM EN 0 得点 E 是 OMN 的重心，可得| OE | 2 | OP | ， 3
即 a 2 b ，解得 a 2，b 3, e 13
3
2
从而得到 ACD 正确.
………………5 分
所以， MN AH ．
………………………………6 分
（2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，
因为 PA PC ，且 O 为 AC 的中点，
所以， PO AC ，所以， PO 平面 ABCD ,
所以 PA 与平面 ABCD 所成的角为 PAO ，
所以 PAO 60 ， ………………………………7 分
所以 an 2n .
…………………………………………………………………………4 分
选②：因为 S1 ， S2 2 ， S3 成等差数列，
2021年广东省茂名市第一高级中学高三数学理联考试题含解析
2021年广东省茂名市第一高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3}B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}参考答案：D【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为?U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为?U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则?U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．2. 已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P =120°，则C的离心率为A.B．C．D．参考答案：D因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由AP斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.3. 一组观察值为4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为（）Ａ．4.56 Ｂ．4.5 Ｃ．12.5 Ｄ．1.64参考答案：A4. 设，其中，则函数是偶函数的充分必要条件是（）A．B．C．D．参考答案：解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数是偶函数，则，，故排除A，B．又，，．选D．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取，验证．5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．B． C. D．D6. 若变量x，y满足条件，则的最大值为（）A． B．0 C．3 D．4参考答案：C7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移B. 向右平移C. 向左平移D.向左平移参考答案：D8. 已知向量=（1，﹣2），=（﹣3，5），若（2+）⊥，则的坐标可以是（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（4，﹣4）D．（4，4）参考答案：D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（2+）⊥，可得（2+）?=0，即x=y．即可得出．【解答】解：2+=（﹣1，1），设=（x，y），∵（2+）⊥，∴（2+）?=﹣x+y=0，即x=y．只有D满足上述条件．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 当时，则下列大小关系正确的是A．B．C．D．10. 设集合A={}，集合B为函数的定义域，则A B=（）A．（1，2） B.[1，2] C. [ 1，2） D.（1，2 ]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为．参考答案：【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】先求函数f（x）=e x cosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x=0处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角．【解答】解：∵f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为tanθ=1∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角θ为．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于综合题．12. 已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.1013. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_________.参考答案：214. 已知，，，则a，b，c 的大小关系为▲．（用“<”连接）参考答案：c＜b ＜a∵a=21.2＞20=1，=20.8，由指数函数y=2x 是增函数，∴21.2＞20.8＞20=1，∴a＞b＞1．又＜=1，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．15. 命题“，使得”的否定是▲．参考答案：，使得考点：命题否定16. 若正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧面积为▲.17. 在三角形ABC中，若tan A tan B=tan A+tan B+1，则cos C的值是___________;参考答案：在三角形ABC中，由题设得：，即所以，,而，所以,所以，．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省五校协作体2021届高三上学期第一次联考理数试题Word版含答案
理科数学第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.2{2530}A x x x =--≤，{2}B x Z x =∈≤，那么A B 中的元素个数为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．5a 为实数，假设复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，那么20161a i i++的值为〔 〕A ．1B ．0C ．1i +D ．1i - 3.以下命题错误的选项是〔 〕A ．假设p q ∨为假命题，那么p q ∧为假命题B ．假设[],0,1a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<〞的否定是：“x R ∀∈，210x x ++>〞D ．函数()f x 可导，那么“'0()0f x =〞是“0x 是函数()f x 的极值点〞的充要条件4.从1至9共9个自然数中任取七个不同的数，那么这七个数的平均数是5的概率为〔 〕 A ．23 B ．13 C ．19 D ．18D 是ABC ∆所在平面内一点，2AB DC =，那么〔 〕A ．32BD AC AB =-B ．32BD AC AB =- C ．12BD AC AB =- D ．12BD AC AB =- 12,F F 别离是双曲线22221x y a b -=〔0,0a b >>〕的左、右核心，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,M N两点，假设120MF MF •>，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是〔 〕A．1) B．1) C． D．)+∞(,)42ππα∈，cos (cos )a αα=，cos (sin )b αα=，sin (cos )c αα=，那么〔 〕A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<230330210x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,)p x y D ∀∈，231x y +≥-； 2:(,)p x y D ∃∈，253x y -≥- 3:(,)p x y D ∀∈，1123y x -≤-； 4:(,)p x y D ∃∈，2221x y y ++≤ 其中的真命题是〔 〕A ．1p ，2pB ．2p ，3pC ．2p ，4pD ．3p ，4p321()2f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记'1()()g x f x =，程序框图如下图，假设输出的结果20162017S >，那么判断框中可以填入的关于n 的判断条件是〔 〕A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤C ．2016?n >D ．2017?n >cos xk x=在(0,)+∞上有两个不同的解,αβ〔αβ<〕，那么下面结论正确的选项是〔 〕 A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 11.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔 〕A 1+B ．136π C 1+ D 1 ()(ln )f x x x ax =-有极值，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1(,)2-∞B ．1(0,)2C ．1(,]2-∞D ．1(0,]2二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分.〕23n x dx =⎰，那么(x 的展开式中常数项为____________. (1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，那么向量a 与b 夹角为____________.15.如下图，在一个坡度必然的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得015DAC ∠=，沿山坡前进50m 抵达B 处，又测得045DBC ∠=，按照以上数据可得cos θ=__________.222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，假设a R ∈，b R ∈且0ab ≠，那么2211a b+的最小值为_____________. 三、解答题 〔解允许写出文字说明、证明进程或演算步骤.〕 17.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和n S 知足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.〔本小题总分值12分〕以下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数〔AQI 〕小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天抵达该市，并停留3天.〔1〕求这人至达当日空气质量重度污染的概率；〔2〕设ξ是这人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的散布列与数学期望. 19.〔本小题总分值12分〕如图，菱形ABCD 中，060ABC ∠=，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，2AB AE ==. 〔1〕求证：BD ⊥平面ACFE ；〔2〕当直线FO 与平面BED 所成角为045时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小. 20.〔本小题总分值12分〕椭圆2222:1x y C a b+=〔0a b >>〕的两核心与短轴的一个端点的连线组成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右核心为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，假设椭圆C 上存在点P 知足OS OT tOP +=〔其中O 为坐标原点〕，求实数t 的取值范围. 21.〔本小题总分值12分〕 函数()ln f x x x =，()x xg x e=. 〔1〕记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间(1,2)内的零点个数并说明理由；〔2〕记()F x 在(1,2)内的零点为0x ，()min{(),()}m x f x g x =，假设()m x n =，〔n R ∈〕在(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明.请考生在2二、23二题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线212:22x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴，取一样长度单位成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=. 〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕假设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的值. 23. 〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲 函数()f x x a =-.〔1〕假设1a =，解不等式：()41f x x ≥--； 〔2〕假设()1f x ≤的解集为[0,2]，112a m n+=〔0m >，0n >〕，求mn 的最小值. 广东省五校协作体2021届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细那么一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕BDDCA BDCBD CA二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．32- 14．6π15．13- 16． 1 三、解答题〔第17-21题每题12分，第22,23题每题10分〕 17．解：〔I 〕由12a a S n n -=，当n ≥2时，1112a a S n n -=--， …………………………1分∴122--=n n n a a a ，化为12-=n n a a ．…………………………2分由a 1，a 2+1，a 3成等差数列．∴2〔a 2+1〕=a 1+a 3， …………………………3分∴2〔2a 1+1〕=a 1+4a 1，解得a 1=2．…………………………4分∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n =2n ． …………………………6分〔II 〕a n+1=2n+1，S n ==2n+1﹣2，S n+1=2n+2﹣2．………8分b n ===． ………10分∴数列{b n }的前n 项和T n =++…+=． ……… 12分18.解：设i A 表示事件“这人于11月i 日抵达该市〞〔 i =1,2，…，12〕. 依题意知,1()12i P A =,且()i j A A i j =∅≠.--------------------------2分〔1〕设B 为事件“这人抵达当日空气质量重度污染〞，那么123712B A A A A A =,(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2，3且-----------------------------6分 P(ξ=0)=P(A 4∪A 8∪A 9)= P(A 4)+P(A 8)+P(A 9)=31124=,-------------------7分 P(ξ=2)=P(A 2∪A 11)= P(A 2)+P(A 11) =21126=,-------------------------------8分 P(ξ=3)=P(A 1∪A 12)= P(A 1)+P(A 12) =21126=,-------------------------------9分P(ξ=1)=1－P(ξ=0)－P(ξ=2)－P(ξ=3)=1115146612---=,--------------10分(或P(ξ=1)=P(A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)= P(A 3)+P(A 5)+ P(A 6)+P(A 7)+P(A 10)=512)所以ξ的散布列为： -----------------------------------------11分 故ξ的期望151150123412664E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．---------------------12分 19．解〔Ⅰ〕证明： 四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥．-------------------2分⊥AE 平面ABCD ,BD ⊂平面ABCDBD AE ∴⊥．-------------------2分 A AE AC =⋂ ,∴BD ⊥平面ACFE ． -------------------5分〔Ⅱ〕解：以O 为原点，OA ，OB 为x ，y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，成立空间直角坐标系，那么3,0)B ，(0,3,0)D -，(1,0,2)E ，(1,0,)(0)F a a ->，()1,0,OF a =- --6分 设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n ，1 2 3 P那么有00OB OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020x z ⎪⎩=+=令1z =，那么(2,0,1)=-n -----------8分由题意得||sin 45|cos ,|||||OF OF OF ⋅=<>===nn n ，解得3a =或13-．由0a >，得3a = ------10分 即所求的异面直线所成的角余弦值为---------------------12分 20．解：〔Ⅰ〕由题意，以椭圆C 的右核心为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-， ∴圆心到直线01=++y x 的距离d a ==〔*〕--------------------1分 ∵椭圆C 的两核心与短轴的一个端点的连线组成等腰直角三角形，∴b c =,a ， 代入〔*〕式得1b c ==， ∴a ==，故所求椭圆方程为.1222=+y x………………………………4分 〔Ⅱ〕由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ，将直线方程代入椭圆方程得：22228820(12)x k x k k -+-=+， ∴422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，解得212k <． 设11(),S x y ,22(),T x y ，那么22121222882,1212k k x x x x k k -+==++， -----------6分 ∴121224(4)12x x ky y k k ++=-=-+由OS OT tOP +=，得012012,tx x x ty y y =+=+当0t =时，直线l 为x 轴，那么椭圆上任意一点P 知足OS OT tOP +=，符合题意； 当0≠t 时，20202812412k tx k k ty k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴2021812k x t k =⋅+，021412ky t k -=⋅+．--------------------------------9分 将上式代入椭圆方程得：()()42222222321611212k k t kt k+=++，整理得： 2221612k t k =+=21612k +是2k 的递增函数， 由212k <知，204t <<，所以(2,0)(0,2)t ∈-，综上可得(2,2)t ∈-． -----------------------------------12分 21．解〔1〕证明：()ln x x F x x x e =-，概念域为()0,x ∈+∞，()11ln xx F x x e-'=++， 而()1,2x ∈，故()0F x '>，即()F x 在()1,2上单调递增， …………2分又()11F e =-，()2222ln 20F e=->，而()F x 在()1,2上持续，故按照根的存在性定理有：()F x 在区间()1,2有且仅有唯一实根………………4分显然当01x x <<时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+>因此()m x 单增；当0x x >时，()xxm x e =，()10xxm x e -'=<，因此()m x 递减；()m x n =在()1,+∞有两不等实根1x ，2x ，那么()101,x x ∈，()21,x ∈+∞…………7分显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明．要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e--<，…………9分 记()0022ln x x x xh x x x e --=-，01x x <<，其中()00h x =．()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e ---+--'=++=++-， …………10分 记()t t t e ϕ=，()1t t t e ϕ-'=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max 1t eϕ=，而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e ---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--'=++=++->->，…………11分即()h x 单增．从而01x x <<时，()()00h x h x <=即01011122ln x x x xx x e --<，故1202x x x +>得证…………12分22. 〔此题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕直线l 的普通方程为10x y --=，…………………………………………………………2分 由()222224cos 04cos 04024x y x x y ρθρρθ-=-=+-=-+=⇔⇔⇔，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，…………………………………………………………5分 〔Ⅱ〕把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得 221422⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230t --=，设方程230t --=的两根别离为12t t ，，那么12AB t t =-．……………………………………………10分23.〔此题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕当1a =时，不等式为141x x -≥--，即12x -≥， ∴12x -≥或12x -≤-，即3x ≥或1x ≤-， ∴原不等式的解集为(1][3)-∞-+∞，，；…… …………………………………………………5分〔Ⅱ〕()111111f x x a x a a x a ≤-≤-≤-≤-≤≤+⇔⇔⇔， ∵()1f x ≤的解集为[]02，∴10112a a a -=⎧⇒=⎨+=⎩…………………………………………………………………7分∴)111002m n m n +=≥>>，， ∴2mn ≥〔当且仅当11122m n ==即21m n ==，时取等号〕 ∴mn 的最小值为2．…………………………………………………………………10分。
广东省茂名市2021届新高考数学一模考试卷含解析
广东省茂名市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13 B ．4C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒.又2245BF AF =，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．2．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【解析】【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．3．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．15B．13C．35D．23【答案】A【解析】【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C 【解析】 【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.【详解】在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.5．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种【答案】B 【解析】 【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 此时椭圆长轴长为2212665+=，短轴长为6，所以椭圆离心率26251565e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以250,e ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.7．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ） A ．2-或2 B ．-1或1 C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，()()2111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可【详解】∵1z ai =+，∴()()2111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题 8．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．5B ．3C ．2D ．72【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出7c e a ==，故选D ． 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 10．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.11．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 12．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<， 由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
本试卷共4页。
总分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡对应位置上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数
2i
1i+
,的虚部为
A.－1
B.1
C.i
D.－i
2.已知集合A＝{x|x1
x1
-
+
≤0},B＝{x∈Z|y＝ln(6＋x－x2)},则A∩B＝
A.{0,1}
B.{－1,0,1}
C.(－1,1]
D.[－1,1]
3.己知向量|a|＝4,|b|＝8,a与b的夹角为60°,则|2a＋b|＝
4.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事,打造一部见证新中国体育改革40年的力作,该影片于2020年09月25日正式上映。
在《夺冠》,上映当天,一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片,订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起。
为安全起见,影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐,则不同的坐法种数是
A.8
B.12
C.16
D.20
5..若a＝(2
3
)－1,b＝log
2
3,c＝(
1
2
)0.3,则
A.a<b<c
B.c<b<a
C.a<c<b
D.c<a<b
6.在△ABC 中,B ＝4π,AD 是BC 边上的高,且CD ＝2AD,则cos ∠BAC ＝ A.310 B.10 C.－10 D.－310
7.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础。
著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的
区间段(13,23),记为第一次操作；再将剩下的两个区[0,13],[23
,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；…如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段。
操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”。
若使去掉的各区间长度之和不小于
910,则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg2＝0.3010,lg3＝0.4771)
A.4
B.5
C.6
D.7
8.若函数f(x)＝
12cos2x ＋3a(sinx －cosx)＋(4a －1)x 在[2π-,0]上单调递增,则实数a 的取值范围为
A.[17,1]
B.[－1,17]
C.(－∞,－17
]∪[1,＋∞) D.[1,＋∞) 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：
如右下图是某市12月1日～20日AQI 指数变化趋势,则下列叙述正确的是
A.这20天中AQI 指数值的中位数略高于100。