用几何性质优化解析几何计算

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高考解析几何中线段比值问题

高考解析几何中线段比值问题
在高考解析几何中，线段比值问题是比较常见的一类问题。

这类问题通常涉及到直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及点、线段之间的位置关系和长度计算。

以下是一些解决线段比值问题的方法和思路：
1. 利用坐标表示线段长度：在解析几何中，可以通过坐标来表示点的位置，进而计算线段的长度。

对于线段比值问题，可以将线段的两个端点坐标求出，然后利用两点间距离公式计算出线段长度，再进行比值计算。

2. 利用几何性质：解析几何中的几何图形具有一些特殊的性质，例如圆的性质、椭圆的性质、双曲线的性质等。

在解决线段比值问题时，可以利用这些性质来简化计算，例如利用圆的切线性质、椭圆的定义等。

3. 建立函数关系式：对于一些复杂的线段比值问题，可以通过建立函数关系式来解决。

例如，可以设出线段长度的变量，然后根据题目条件列出方程，进而求出线段比值。

4. 利用三角形相似或全等：在一些情况下，可以通过判断线段所在的三角形是否相似或全等来解决线段比值问题。

如果两个三角形相似或全等，则它们对应边的比值相等。

5. 数形结合：在解决线段比值问题时，要注重数形结合，将几何图形与代数计算相结合，通过画图、观察等方法帮助理解和解决问题。

需要注意的是，具体的解题方法会因题目不同而有所差异，需要根据具体情况选择合适的方法。

同时，在解题过程中要注意对题目的条件和要求进行仔细分析，避免出现错误。

解析几何大题的解题步骤和策略

解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。

2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。

选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。

3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。

可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。

4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。

可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。

5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。

可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。

6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。

最后，回答问题，给出相应的解释和结论。

在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。

同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。

根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。

空间解析几何解密立体形与空间曲线的解题技巧

空间解析几何解密立体形与空间曲线的解题技巧在空间解析几何中，立体形和空间曲线是我们经常遇到的问题。

解题的过程中，掌握准确的解题技巧可以帮助我们更好地理解和解析这些几何问题。

本文将介绍一些解密立体形和空间曲线的解题技巧，帮助读者更好地应对这些问题。

一、立体形立体形是三维空间中的物体，如立方体、圆锥、圆柱等等。

在解析几何中，我们常常需要求解这些立体形的体积、表面积等问题。

下面将介绍解题时的一些技巧：1. 确定坐标系：首先，我们需要确定一个适合的坐标系来描述立体形的位置和形状。

通常我们可以选择直角坐标系或者柱坐标系、球坐标系等。

在选择坐标系时，要考虑到问题的简化和计算的方便性。

2. 分析几何性质：在确定了坐标系后，我们需要分析立体形的几何性质，比如边长、半径、高度等。

通过对这些几何性质的了解，我们可以建立数学模型，从而求解问题。

3. 利用解析几何公式：解析几何中有一系列的公式和定理，比如体积、表面积的计算公式，以及平面与立体形的交点等。

在解题过程中，我们可以灵活运用这些公式，将几何问题转化为代数问题，从而求解。

二、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，如直线、圆锥曲线、椭球曲线等。

解题时，我们需要掌握一些技巧来解密这些曲线的性质和方程。

下面将介绍解题时的一些技巧：1. 参数方程与一般方程的转换：空间曲线常常可以使用参数方程进行描述，通过引入参数，我们可以更好地理解和分析空间曲线的性质。

同时，我们也需要掌握将参数方程转换为一般方程的技巧，以便求解问题。

2. 对称性与轴线方程：空间曲线通常具有对称性，比如与坐标轴相交的点对称，或者轴对称。

利用对称性的特点，我们可以推导出曲线的轴线方程，从而更好地解析曲线的性质和特点。

3. 切线和法线的计算：对于空间曲线上的一点，求解切线和法线是我们经常需要做的问题。

通过计算曲线方程的导数，我们可以求得该点处的切线和法线方程。

这样，我们可以更好地分析曲线的变化趋势和轨迹。

结语通过掌握解密立体形与空间曲线的解题技巧，我们可以更好地理解和解析这些几何问题。

利用几何法解解析几何问题

平面几何知识易知：ＩＰＦ￣Ｉ＝ａ，．￣１］［ＰＦＩＩ＝３ａ，且△ 为
点，过点Ａ做抛物线准线的垂线，垂足为点Ａ，由抛
物线的定义知Ｉ尸ＱＩ＝ＩＰＦＩ，所以Ｉｌ＋Ｉｌ＝Ｉｌ＋Ｉｌ ≥
最大值为— — 。解：设圆０，ｏ￣ｔｌ弦ＡＣ，肋的距离为ｄ。，ｄ：，垂足分
别为Ｅ、Ｆ，则四边形ＯＥＭＦ￣矩形，，可以起到事半功倍的效果，本文结合实
例来见证利用几何法解决解析几何问题的美妙之
，
例３已知点Ｐ是抛物线ｙ２＝８上的动点，Ｆ为抛
物线的焦点，Ａ（３，２），求ＩＰＦｉ＋ＩＰＡＩ的最小值。
解：过点尸作抛物线Ｙ＝８准线的垂线，垂足为Ｑ
为Ｐ的中点，Ｊ￣．ＯＥｊ＿Ｐ，在△ Ｐ中为中位线，由
— —
解：延长Ｑ交Ｐ的延长线于点日，连接ＯＱ。
取值范围为
由平面几何知识知ｌ日ｌ＝ｌＰｌ＋ＩＩ＝１０，Ｊ￣．ＯＱ为
解：由定义和ｌ啊Ｉ＝２ｌＩ易知，ＩＰＦＩＩ＝４ｎＩＰＦ￣Ｉ＝
三、利用几何性质求解离心率的有关问题
＋例５椭圆ａ２
、Ｐ／１ｎ
＼Ｆｉ０
—
，
吾＝１（ｒｚ＞６＞０）的两个焦点为，

高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2

[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标．

例谈平面几何法解决解析几何问题的几种途径

例谈平面几何法解决解析几何问题的几种途径周华【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)013【总页数】4页(P78-81)【作者】周华【作者单位】江苏省启东市吕四中学【正文语种】中文众所周知，解析几何是高中数学的主要内容，也是历年高考的首选题型.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，数形结合是其主要特征.因此，灵活运用代数知识的同时，充分利用问题中的“几何性质”，往往是解决解析几何问题的关键.在解决高中解析几何问题时，若能够巧妙地运用平面几何知识，不仅能够有效解决问题，而且会使问题变得简洁明了.特别是在高三复习过程中，能将相关知识点联系起来，将平面几何与解析几何融为一体，在提高解题的技能和速度的同时，也使学生解题中感受到数学的无限魅力.下面笔者就从平面几何的一些性质出发，探讨几类解析几何问题的巧妙解法.中位线定理是平面几何中较容易掌握和理解的结论，在解析几何题中经常含有中点一类的信息，若能在解析几何中巧妙地加以运用，则会使有关问题变得更加简单容易，利于解题.例1设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足解析：如图1，设F′为椭圆的右焦点，连接PF′.因为所以M是线段PF的中点，从而OM为△PFF′的中位线，则.又点P到椭圆左准线的距离为10，椭圆离心率e=，所以|PF|=10×=6，从而|PF′|=10-6= 4，故评注：本解法是从几何角度入手，巧妙地利用了三角形的中位线的性质，充分发挥了数形结合的作用，揭示了题目的本质.解析几何经常是点、线之间的关系，经常会涉及点、线的对称问题，若能巧妙用好直线与点的对称问题，就能轻松求解.例2如图2，使抛物线y=ax2-1（a≠0）上总有关于直线l：x+y=0对称的两点，试求实数a的取值范围.解析：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上关于直线l对称的两点，直线P1P2的方程为y=x+b.因为直线与抛物线有两个相异的交点，所以联立方程组得方程ax2-x-（1+ b）=0，Δ>0，即1+4a（1+b）>0.由韦达定理知x1+x2=由对称性质知，线段P1P2的中点既在直线P1P2上，又在直线l上，故有解得b=-代入1+4a（1+b）>0，解得a>在解析几何题中，常常会有过已知曲线内某一个定点，作互相垂直的直线一类题，从几何图形看，构造了矩形，就可以用矩形里的性质解题，取得意想不到的效果. 例3已知AC、BD为圆：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为______.解法一：如图3，S四边形ABCD=当且仅当AC=BD时取“=”号，且Smax=此时圆心O到AC、BD的距离OE、OF相等，在正方形OEMF中，由OM=，得到OE=在Rt△AOE中，由勾股定理得到AE=故当AC=BD=时，S四边形ABCD取到最大值Smax=5.解法二：如图4，设E、F分别为AC、BD的中点，则在矩形OEMF中，OE2+OF2=OM2=3.又AC2+BD2=4（4-OE）2+4（4-OF）2=20，则S四边形ABCD=当且仅当AC=BD时，取“=”号. 评注：在解题时，需要灵活思考，解法一巧用基本不等式及特殊的纯几何图形直接求解，解法二是在解法一的基础上优化了解题过程，变正方形为矩形.可见，在解决解析几何题时，我们不妨考虑得细致一点儿，方法多样一点儿，则能灵活解决相关问题.垂直平分线定理是平面几何中常见并且运用较为广泛的定理，也是我们熟知的定理，若能在解析几何中巧妙运用，则可避开复杂运算，使解答直观容易.例4如图5，A、B是两个定点，且|AB|=2，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且点B到直线k的距离为3.求证：点P到点B的距离与到直线k的距离之比为定值.证明：以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.因为直线l为线段MB的垂直平分线，所以|PM|=|PB|，所以|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|MA|=4.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长轴为4的椭圆，易求其方程为=1，直线k是椭圆的准线.根据定义知，点P到点B的距离与到直线k的距离之比为e=评注：本题巧妙地运用垂直平分线定理及椭圆定义很快使问题获解.圆和三角形是平面几何中的基本图形，也是解析几何问题中常见的“构造”元素，所以圆和三角形的有关性质的应用，在解析几何问题中是十分重要的.例如，解析几何中曲线上的两动点连线过定点问题是高考考查的重点内容之一，是近年来高考、竞赛的常见题.此类问题定中有动，动中有定，常与轨迹问题、曲线系问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线的关系等相关知识，若利用图形中的几何特征来解题能起到事半功倍的作用.例5如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a （其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1、A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1、MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.分析：此题解法很多，若按照解析几何的基本思路循规蹈矩，即用代数方法解决几何问题，设出点的坐标，找出题目中的关系，转化为代数关系式，解得结果.思路简单、清晰，学生易上手，但由于题中涉及的未知量较多，因此运算过程复杂，计算量大，需要学生有足够的耐心和细心，一般学生很难解到最终结果（具体解法略），若能关注到图形的几何特征即可很快得到结果.证明：运用圆直径所对的圆周角是直角，建立代数关系，列出动点P、Q满足的曲线系方程，求出动直线PQ的方程，得出定点.由题设可知，A1（-r，0），A2（r，0），设M点的坐标为（a，t），直线MA1的斜率为k1，MA2的斜率为k2，则MA1的方程为y=k1（x+r），过点M（a，t），则t=k1（a+r），得到k1=MA2的方程为y=k2（x-r），过点M（a，t），则t=k2（a-r），得到k2=.连接AQ并延长交直线x=a与N，如图6所示，由于A1A2是圆C的直径，A1Q⊥MQ，所以直线A1Q的方程为y=-（x+r），将k2代入，即y=-x+r），得N点坐标为同理，连接PA2并延长交直线x=a于点N′，得直线PA2的方程为y=-可知N′的坐标为⊥，所以N和N′实际为同一点.根据几何特征，P、Q、N、M四点共圆，P、Q在以MN为直径的圆上，即（x-a）2+（y-t）所以PQ为两圆的交线，求得PQ的方程为（x-a）2+（y-令 y=0，得x=，故直线PQ恒过定点评注：在解析几何题设中均隐藏着一些特定的几何特征.利用图形中的几何特征，寻找代数关系，真正体现了数形结合的思想.避开烦琐复杂的整理、转化的过程，而借助于几何特征建立曲线系，设而不解，运算的量小，不易出错.这种方法在很多题目中都可应用，在解析几何繁杂的运算中利用图形的几何特征解题将起到事半功倍的作用.平行线分线段成比例是初中几何的一个重点内容，而在解析几何中若能巧用此定理，则可减少计算量，降低解题难度.例6已知直线x-2y+2=0经过椭圆C=1（a＞ b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，S为椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x=分别交于M、N两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由.解析：（Ⅰ）过程略）（Ⅱ）如图8，过点S作SE垂直于x轴，设S（x0，y0），显然SE∥l，则有所以又由，得，所以由基本不等式得MI+NI≥当且仅当MI= NI=时取等号，即线段MN的长度的最小值为（Ⅲ）由（Ⅱ）可得N⊥，此时BS的方程为x+y-2=0，S⊥，所以|BS|=，要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于只需T到直线BS的距离等于，所以T 在平行于BS且与BS距离等于的直线l′上.设直线l′：x+y+t=0，则由，解得t=-或t=-.经检验t=-不符合，故只有二个.评注：第（Ⅱ）问巧妙运用平行线分线段成比例，找出线段与线段的相等关系，从而得到结论，大大减小运算量，使解题速度大大提高.此解法体现的另一思路是圆锥曲线中与顶点相关的线段可以考虑将圆锥曲线的方程变形，然后用平方差公式得到相关比例，使解题的运算量大大减小.角平分线定理在初中虽然仅出现在习题中，但它在高中内容中时常出现，若作为结论加以介绍，并学会应用，将使解决有关问题变得简单易行.例7已知椭圆=1，F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上一动点，I为△F1F2P 的内心，延长PI交F1F2于点M，求的值.解析：如图9，因为I为△F1F2P的内心，连接F1I，F2I，则F1I、F2I、PI分别是三角形F1F2P的角平分线，由角平分线的性质定理可得，即所以评注：本题结合角平分线定理，使问题简单明了，角平分线定理可以用正弦定理证明，便于理解和记忆.总之，解析几何中，“解析”只是方法，“几何”才是本质.平面几何在教学目标上侧重于培养学生的作图识图能力和逻辑推理能力.只有利用平面几何相关知识，正确把握问题中各个对象的位置关系，并转化出其内在的数量关系，才能用解析的方法顺利解决问题.教学中若利用平面几何知识可避免烦琐计算，收到意想不到的解题效果；这样不仅能起到变难为易、化繁为简的作用，还有助于打破学生学习过程中易于形成的一种思维定势，有益于学生的发散性思维的培养.F。

“设而不求”在解析几何中的应用

“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1，又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。

解析几何解题策略

用三角函数求最值要有主
元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是难点。
三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的几何特征
及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或定义来处理最值问题。
1．赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，由
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3．线性规划当实数对x、y所应的点
在一个区域或一条线段上
时，求最值题可以从线性规划的角度去处理。如若x、
y满足，则–2 x + y 的最大
值是（略解）
4．利用平面几何知识解析几何与平面几何是
密切相关的，灵活运用平面
几何知识亦会使一些最值问题易于解决。
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求
三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求
四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的。
4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技巧与方法，同时三条件“一正二定三相等”缺一不可。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的
参数方程，为我们将某些最值问题转化为三角问题且利用三角函数的有界性来研究提供了可能性。利

解析几何解题思路总结

解析几何巧妙解题思路总结解析几何巧妙解题思路总结一．直线和圆的方程一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、掌握直线方程的点斜式、两点式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域．．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】考点1.1.求参数的值求参数的值求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一求参数的值是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,构造方程解之构造方程解之. . 例1．（2009年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线222y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 2. 求线段的长求线段的长求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一求线段的长也是高考题中的常见题型之一,,其解法为从曲线的性质入手其解法为从曲线的性质入手,,找出点的坐标找出点的坐标,,利用距离公式解之离公式解之. .例2．（2009年四川卷)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于A.3 B.4 C.32D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x bì=-+Þ++-=Þ+=-í=+î，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-´-=．故选C 例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =\=∴12345677277535.2aPF P F P F P F P F P F P F a ´++++++==´=´= 故填35. 考点3. 3. 曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,,其解法为充分利用其解法为充分利用: : (1)(1)椭圆的离心率椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁越大则椭圆越扁); );(2) (2) 双曲线的离心率双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, (1, ＋∞＋∞＋∞) (e ) (e 越大则双曲线开口越大越大则双曲线开口越大). ).结合有关知识来解题结合有关知识来解题. .例4．（2008年全国卷）文（年全国卷）文（44）理（）理（44）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为双曲线方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -= D ．221610x y -=考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程：解答过程： 2,4,ce c a=== 所以22,12.a b \==故选(A). 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例5．（2008年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（到右准线的距离之比等于（）A. 2B.332 C. 2 D.4 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力. 解答过程：依题意可知解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ．考点4.4.求最大求最大求最大((小)值求最大求最大((小)值, , 是高考题中的热点题型之一是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是特别是,,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. .例6．(2006年山东卷年山东卷))已知抛物线y 22=4x,=4x,过点过点P(4,0)P(4,0)的直线与抛物线相交于的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-\-+=()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k \-++=+æö\+=+=´=+³ç÷èø 故填32. 考点5 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）年广东卷文）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆9222y ax +=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为的圆心为 (m, n) 则,222,m n n =-ìïí×=ïî 解得2,2.m n =-ìí=î所求的圆的方程为所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得由已知可得 210a = ， 5a =．椭圆的方程为椭圆的方程为 221259x y += , 右焦点为右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q 点()222cos ,222sin q q -++使QF OF =, ()()22222cos 4222sin 4q q-+-++=．整理得整理得 s i n 3c o s 22q q=+，代入代入 22sin cos 1q q +=．得:210cos 122cos 70q q ++= , 122812222cos 11010q -±-±==<-．因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）年安徽卷理）如图,曲线G 的方程为)0(22³=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t 为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的轴的正半轴相交于正半轴相交于 A 与点B. 直线直线 AB 与 x 轴相交于点C. （Ⅰ）求点（Ⅰ）求点 A 的横坐标的横坐标 a 与点与点 C 的横坐标c 的关系式；的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值. [考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以由于.2,02a a t t +=>故有（1）由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t y c x又因点A 在直线BC 上，故有,12=+ta c a将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a ca 解得解得 )2(22+++=a a c . （II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为的斜率为1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD ，所以直线CD 的斜率为定值. 例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程. 解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )，则221122x y 1a b+=，222222x y 1a b +=，二式相减得：，二式相减得： 21212AB 21212y y (x x )b k x x (y y )a -+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--，所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c2e a 2==；（2）椭圆E 的右准线为22a(2c)x 2c cc===，双曲线的离心率11e 2e==，设P(x,y)是双曲线上任一点，则：是双曲线上任一点，则： 22(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c ||x 2c |-+-==--，两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去；，不合题意，舍去；当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：典型例题：例10．(2008年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y=x 3为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程；的方程；(2)过点P(0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）当12PQ QA QB l l ==，且3821-=+l l 时，求Q 点的坐标. 考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=, 由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，\对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线的一条渐近线\3ba = 解得解得 221,3ab ==，\双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k -. 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. 111111114444()44x k k x k k y y l l l l ì=--ìï-=+ïï\Þííïï-==-îïî 11(,)A x y 在双曲线C 上，上，\2121111616()10k l l l +--=. \222211161632160.3k k l l l ++--=\2221116(16)32160.3k k l l -++-=同理有：2222216(16)32160.3k k l l -++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k \-¹12,l l \是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根. 122328163k l l \+==--,24k \=，此时0,2k D >\=±. \所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 1PQ QA l = ， Q \分PA的比为1l . 由定比分点坐标公式得由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y l l l l l l l ìì-==-+ïï+ïï®íí+ïï=-=ïï+îî下同解法一下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB l l == ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y kkkl l \--=+=+. 11224y y l l \-==， 114y l \=-，224y l =-，又1283l l +=-，121123y y \+=,即12123()2y y y y +=. 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=. 230k -¹ ，否则l 与渐近线平行. 212122224483,33k y y y y k k -\+==--. 222244833233k k k -\´=´--.2k \=±(2,0)Q \±. 解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k- 1PQ QA l = ,11144(,4)(,)x y kkl \--=+. \1114444k kx x kl -==-++.同理同理 1244kx l =-+. 1212448443kx kx l l +=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）又 22413y kx y x =+ìïí-=ïî消去y 得22(3)8190k x kx ---=. 当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -¹. 由韦达定理有：由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ì+=ïï-íï=-ï-î代入（*）式得）式得24,2k k ==±. \所求Q 点的坐标为(2,0)±. 例11．（2007年江西卷理）年江西卷理）设动点P 到点A(－l ，0)和B(1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围, 使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．的双曲线．方程为：2211x y l l-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．在双曲线上．即2111511012l l l l l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l lì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x kl l l =--=--．因为0=×ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以 2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l ll -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î．由①②知，51223l -<≤．解法2：（1）同解法1 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB l l l l l=-=Þ+-=-，因为01l <<，所以512l -=； ②当12x x ¹时，002222212111111y x k y x y xMN ×-=Þïïîïïíì=--=--l l l l l l ．又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x l l l -=-；由2MON p =∠得222002MN x y æö+=ç÷èø，由第二定义得2212()222MN e x x a æö+-éù=ç÷êúëûèø 22000111(1)211x x x l l ll æö=--=+--ç÷--èø．所以2220(1)2(1)(1)y x x l l l l -=--+-．于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x l l l l l l l ì-=-ïí-=--+-ïî得20(1).23x l l -=-因为01x >，所以2(1)123l l->-，又01l <<，C BA oy x解得：51223l -<<．由①②知51223l -<≤．考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA2BC = ，求当AOB D 的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1ì+=í=+î得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3D =-=+＝66322|m ||m |£+，当23m 2=，即6m 2=±时，AOB D 面积取最大值，面积取最大值，此时2122222t32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为6x y 102±+=，椭圆方程为222x 3y 10+=. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例13．已知P A (x 5,y)=+，PB (x 5,y)=- ，且|P A||P B|6+= ，求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程：设P(x,y)，A(5,0)-，B(5,0)，因为|P A ||PB|6+=，且|AB|256=<，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =q =q ，则|2x 3y 12|--＝|62cos()12|4pq +-，当cos()14pq +=-时，|2x 3y 12|--取最大值1262+，当cos()14pq +=时，|2x 3y 12|--取最小值1262-. 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷）年福建卷）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ， O 为坐标原点. （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==\=-=-圆过点O 、F ， \圆心M 在直线12x =-上. 设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±\所求圆的方程为2219()(2).24x y ++±=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+¹代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，\方程有两个不等实根. ylG ABF OF EP DBA Oy x记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB \的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++¹\-<<\点G 横坐标的取值范围为1(,0).2- 例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF| 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ×=×；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB|,|OF| 成等比数列，故22|OB |a|OA |c |OF|== ，即2a A(,0)c ，直线l ：ay (x c)b=--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y xa ì=--ïïÞíï=ïî，故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-，则：222a b PA OP PA FP c×=-=×，即PA OP PA FP ×=× ；（或P A (OP FP)P A (PF PO)P A OF 0×-=×-=×=，即PA OP PA FP ×=× ）（2）由44422222222222222ay (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ì=--ïÞ-+-+=íï-=î，由4222212422a c (a b )b x x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e 2.>Þ=->Þ>Þ>（或由DFDO k k >Þa bb a->-Þ2222222222b c a a e 2e 2=->Þ>Þ>）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a (x,0)= ，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+^- ，（1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+¹与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围. 解答过程：（1）a 3b +＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)+=+，a 3b -＝(x,0)3(13(1,,y)(x 3,3y)-=--，因(a 3b)(a 3b)+^- ，故(a 3b)(a 3b)0+×-=，即22(x 3,3y)(x 3,3y)x 3y 30+×--=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx mx 3y 3=+ìí-=î得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0D =----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k=+=-，即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k --，则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----，将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，PQCBA xy O则由222m 13k 04m 3k 1ì+->ïí=-ïî得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+¥ . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0×= ，|BC|2|AC|=，（1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ Ð的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y14b+=，不妨设C 在x 轴上方，轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|==Þ= ，又AC BC 0×=AC OC Þ^，即ΔOCA 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=，即，椭圆方程为22x 3y 144+=；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB //PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--，若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1ì+=ïÞ+--+--=íï=-+î，由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根，的一个根，由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=×=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+，故P Q P Q PQ P Q P Q yy k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB //PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =. 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC D 的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =l ，（1）求点C 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OPOQ 0×= 若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =l ，所以GM //AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC D 的外心，则|MA ||MC |=，即2222x x ()a (x)y 33+=-+，整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=¹；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-ìïí+=¹ïî得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=，设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+，由OP OQ 0×=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a13k 13k --+=++，解之得k 3=±，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y 3(x a)=±-. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 专题训练与高考预测专题训练与高考预测一、选择题一、选择题1．如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（），那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（为（） A.15x y 2=± B. 15y x2=± C. 3x y 4=± D. 3y x 4=± 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，轴，且12FMF 60Ð=°，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（） A.12 B.22 C.33 D.324．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]Î--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（的取值范围是（）A.23[,]22B. 35[,]22C.56[,]22D. 36[,]225．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（的取值范围是（）A.(2,2)-B.(1,2)C.[2,2)-D.[1[1,,2)6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（抛物线的焦点的轨迹方程为（） A. 22xy1(y0)34+=¹B. 22x y 1(y 0)43+=¹ C. 22x y 1(x 0)34-=¹ D. 22x y 1(x 0)43-=¹二、填空题二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，若021=×PF PF 21tan 21=ÐF PF ，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，轴正方向上的一定点，若过点若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ . 9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ×=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；F 2F 1A 2A 1PNM oy x FQoyx②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292；③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ|+等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题三、解答题 11．已知两点A(2,0)，B(2,0)-，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ×=，（1）求动点P 的轨迹E 的方程；的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，两点，（1）求双曲线C 的方程；的方程；（2）求证：12FM F N × 是定值. 13．已知OFQ D 的面积为S ，且OFFQ 1×= ，建立如图所示坐标系，，建立如图所示坐标系，（1）若1S 2=，|OF|2= ，求直线FQ 的方程；的方程；（2）设|OF|c(c 2)=³，3S c 4=，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程. 14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0×= ，3PM MQ 2=-，BAMQ E T HP o yx（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE D 为等边三角形，求0x 的值. 15．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量AB 与OM 是共线向量．是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使NPNM PN PM MN MP ×××,,成公差小于零的等差数列，数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，q 为PN PM 与的夹角，求tan θ．参考答案参考答案一. 1．C .提示，设双曲线方程为提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=l ，将点(6,3)代入求出l 即可. 2．D .因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为22(3m 5n ,0)-，双曲线焦点为22(2m 3n ,0)+，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |22|n |=，所以，双曲线的渐近线为6|n |3y x 2|m |4=±=± . 3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |3d =，11212|FF |c 2c 3d3e a2a|MF ||MF |d 2d 3=====++ . 4.C .曲线为双曲线，且曲线为双曲线，且512>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=×PF PF ，∴21PF PF ^ . 又21tan 21=ÐF PF ∴ïïïîïïïíì==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：255()93,cc e aa === ．选D ． 8．解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由，由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 22+2y 22=12 34021x x x =+，31222021-=×x x x ，则，则 2020221221212363234889164)(||x x xx x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -×+=，即202363223144x -××=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =×=+-=- . 10．②④. 三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，P A (2x,y)=-- ，PB (2x,y)=---，22P A PB x 2y ×=-+ ，因为2PA PB 2PQ ×= ，所以222x 2y 2x -+=，即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x 2)(0k 1)=-<<，依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为2的直线上，的直线上，设此直线为1m :y kx b =+，由2|2k b |2k 1+=+，即2b 22kb 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0D =---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：25k 5=，10b 5=，此时，由方程组222510y x C(22,10)55y x 2ì=+ïÞíï-=î . 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a4c 3=，所以a 2=，2b 5=，所求双曲线C 的方程为22x y145-=；（2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+ ，200A P (x 2,y )=- ，1110A M (,y )3= ，222A N (,y )3=- ，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--，则1113F M (,y )3= ，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ×＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-´--=-- . 13．解：（1）因为|OF|2= ，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=- ，0OF FQ 2(x 2)1×=-= ，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=×== ，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF|c(c 2)=³，则00FQ (x c,y )=- ，)))设椭圆方程为22x y a b +=222594a4b í+=ïî所以，椭圆方程为x y106+=MQ 2-)2-Q(,0)3)(x,)22-22(k 2)k -，2(,)k k-2(x )k k k-=--2k=+2E(k+的距离等于3|2221212(x x )(y y )=-+-＝22241k 1k k -×+，所以，422231k 21k k |k |-=+，解得：3k 2=±，011x 3= . 15．解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= . ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a bac b -=-2，∴b=c,故22=e . （2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c q ==Ð=\+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r q +-+--===-³-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[pÎ . 16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得）得(1,),PM MP x y =-=--- ),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-=NM MN . 所以所以 )1(2x MN MP +=× . 122-+=×y x PN PM ， )1(2x NP NM -=× . 于是，于是， NP NM PN PM MN MP ×××,,是公差小于零的等差数列等价于是公差小于零的等差数列等价于îîïíì<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 îíì>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。

操千曲而晓声,观百剑而识器——简化解析几何运算的策略

时，Ａ＝｝为最小；将
直线绕点Ｐ逆时针旋转至相切（，重合）有Ａ＝Ｉ；回转至Ａ（０，一３），Ｂ（０，３）有Ａ－５为最大，故有Ａ＝
— 、Ａ（Ｂ）
０
Ｂ（ａ）
图１
＼
例３．椭圆内车＋车＝１有一点Ｐ（１，１），一直线
为、／的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义．此轨迹
为双曲线．选Ｃ．点评：本题采用了 “ 回归定义”的策略，达到准
确判断、灵活解题、避免大量运算的麻烦．其实，很多解析几何问题都是由定义派生出来的，这时理解定
免繁琐的推理运算，往往事半功倍、别样精彩．
ｆ－Ｏｆｌ－成等差数列，￣Ｂ－ｆ与同向，求双曲线的离
心率．
求简思维是建立在对定义、概念深入理解的基础
上，掌握其本质属性，运用相关的概念、定义对问题
的定性分析和定量计算有机结合起来，可以使运算过程简捷明快，因此我们在解题中若能回归定义，则很
以事半功倍．解析：由、／（ｘ＋３）２＋（ｙ一１）一Ｉｘ — ｙ＋３１＝０，得
一
平分线盼眭质定理得＝槲，再由等比性质可得］＝＝斟＝
１
，
即ｔａｎ０
，由渐近线方程由＝，再
我们备战高考同样如此本文笔者通过认真研究近6年来的广东高考数学选做题发现对几何证明选讲部分内容的考查多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形相似三角形的判定和性质定理射影定理圆的切线的判定和性质定理圆周角定理弦切角定理相交弦定理割线定理切割定理圆内接四边形的性质和判定定理等知识上难度不算大一般为中等难度题目

解析几何问题中优化运算的技巧策略

ʏ南京大学附属中学于冬解析几何是历年高考中的主干知识点之一,涉及解析几何的考题还经常出现在各种题型中的压轴题位置,运算量大,综合性强㊂优化数学运算,简化解题过程是圆锥曲线问题中追求的一个目标㊂在解答解析几何问题时,合理探究一些必要的策略技巧,选用适当方法,优化数学运算,往往可以收到事半功倍的效果㊂一㊁挖掘内涵,回归定义例1 (2022届辽宁省丹东市高三下学期复习质量测试(二)数学试题)已知圆M经过点(0,1),且与直线y =-1相切,圆心M 的轨迹为曲线C ㊂(1)求曲线C 的方程;(2)经过点N (0,2)且不平行于x 轴的直线与C 交于P ,Q 两点,点P 关于y 轴的对称点为R ,证明:直线Q R 经过定点㊂解析:(1)设圆心M (x ,y ),根据题意可知点M 到点(0,1)的距离与到直线y =-1的距离相等,结合抛物线的定义,可知圆心M 的轨迹是以(0,1)为焦点,y =-1为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为x 2=4y ㊂(2)由题意知直线P Q 的斜率存在且不为0,设直线P Q 的方程为y =k x +2(k ʂ0),P x 1,x 214,Q x 2,x 224,则R -x 1,x 214,联立x 2=4y ,y =k x +2,消去y 整理得x 2-4k x -8=0,则Δ=16k 2+32>0,x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8㊂因为k Q R =x 224-x 214x 2+x 1=x 2-x 14,所以直线Q R 的方程为y -x 224=x 2-x 14(x -x 2),整理得y =x 2-x 14x +x 1x 24,即直线Q R 的方程为y =x 2-x 14x -2,所以直线Q R 经过定点(0,-2)㊂点评:熟练掌握圆锥曲线的定义可以有效解决解析几何问题,回归定义,揭示问题的本质属性,从而直接确定圆锥曲线的类型与对应的方程,为解析几何的进一步分析与解决提供条件㊂充分理清题意,挖掘内涵,回归本源,利用定义,化繁为简,直达目的㊂二㊁数形结合,平几直观例2 (2022届江西省赣州市高三3月摸底考试(一模)数学试卷)在平面直角坐标系x O y 中,A (-2,0),B (2,0),M (-1,0),N (1,0),P 是平面内的动点㊂若以A B为直径的圆O 与以P M 为直径的圆T 内切㊂(1)证明:|P M |+|P N |为定值,并求点P 的轨迹E 的方程㊂(2)设斜率为12的直线l 与曲线E 交于C ,D 两点,试问:在E 上是否存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是底边在y 轴上的等腰三角形若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)依题意有,|O T |=|A B |2-|P M |2=2-|P M |2,如图1,连接P N ,由O 和T 分别是MN 和P M 的中点,可知|O T |=|P N |2,故|P N |2=2-|P M |2,整理得|PM 图1|+|P N |=4,其为定值㊂又因为4>2=|MN |,所以点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,而2a =4,c =1,则有b 2=a 2-c 2=3,故点P 的轨迹E 的方程为x 24+y23=1㊂42 解题篇创新题追根溯源高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(2)假设存在满足条件的点Q ㊂依题意知k Q C +k Q D =0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),Q (x 0,y 0),则3x 20+4y 20=12㊂由k Q C +k Q D =0,可得y 1-y 0x 1-x 0+y 2-y 0x 2-x 0=0,整理得x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=0㊂设直线l 的方程为x =2y +t ,代入椭圆方程,整理得16y 2+12t y +3t 2-12=0,由Δ=144t 2-64(3t 2-12)>0得t 2<16,由韦达定理得y 1+y 2=-34t ,y 1y 2=3t 2-1216㊂又因为x 1=2y 1+t ,x 2=2y 2+t ,所以x 1y 2+x 2y 1-y 0(x 1+x 2)-x 0(y 1+y 2)+2x 0y 0=4y 1y 2+(t -2y 0-x 0)(y 1+y 2)-2t y 0+2x 0y 0=3t 2-124-34t (t -2y 0-x 0)-2t y 0+2x 0y 0=14[(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12]=0,则有(3x 0-2y 0)t +8x 0y 0-12=0,可得3x 0-2y 0=0,8x 0y 0-12=0,解得x 0=1,y 0=32,或x 0=-1,y 0=-32,以上解显然满足3x 20+4y 20=12,所以在E 上存在一点Q ,使得直线Q C ㊁Q D 与y 轴所围成的三角形是以øC QD 为顶角的等腰三角形,此时点Q 的横坐标为ʃ1㊂点评:数形结合法是处理解析几何问题时常用的思想方法之一,可以使某些抽象的解析几何更加直观化㊁生动化,能够变抽象思维为形象思维,还原解析几何的平面几何本质,有助于把握数学问题的本质,构建与之相吻合的关系式,使得问题迎刃而解,直观形象㊂三㊁合理构建,设而不求例3 (2022年江苏省南京市盐城市高考数学二模试题)已知双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)经过点(3,1),且渐近线方程为y =ʃx ㊂(1)求a ,b 的值㊂(2)A ,B ,D 是双曲线C 上不同的三点,且B ,D 两点关于y 轴对称,әA B D 的外接圆经过原点O ㊂求证:直线A B 与圆x 2+y2=1相切㊂解析:(1)依题意可得3a 2-1b 2=1,a =b ,解得a =b =2,所以双曲线C 的方程为x 2-y 2=2㊂(2)易知直线A B 一定不为水平直线,设直线A B 的方程为x =m y +n ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则D (-x 2,y 2),其中y 1ʂy 2,联立x 2-y 2=2,x =m y +n ,消去x 整理得(m 2-1)y 2+2m n y +n 2-2=0,由韦达定理得y 1y 2=n 2-2m 2-1,由于әA B D 的外接圆过原点且关于y 轴对称,设外接圆的方程为x 2+y 2+E y =0,则有x 21+y 21+E y 1=0,x 22+y 22+E y 2=0,所以E =-x 21+y 21y 1=-x 22+y 22y 2,所以y 21+2+y 21y 1=y 22+2+y 22y 2,结合y 1ʂy 2,可得y 1y 2=1,所以y 1y 2=n 2-2m 2-1=1,即n 2=m 2+1,则原点到直线A B 的距离为d =|n |m 2+1=1,故直线A B 与圆x 2+y 2=1相切㊂点评:本题借助直线方程的设置,巧妙融合参数的关系式,采用设而不求法进行整体代换处理,借助相关知识加以综合与应用,合理过渡,巧妙转化,优化运算,从而提升解题效率㊂以上只是结合几类比较常见的破解解析几何问题的技巧策略加以剖析㊂当然,在实际解答解析几何问题时,关键是抓住问题的本质,掌握通性通法 ,结合一些常见的技巧策略,诸如巧引参数㊁整体构建㊁极端策略㊁特例思维等,灵活应用解析几何中的定义㊁方程与几何性质,综合相应的技巧策略,以更加简捷明快的方式来分析与处理问题,优化数学运算,简化解题过程,提升数学能力,培养核心素养㊂(责任编辑王福华)52解题篇创新题追根溯源高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

数学解析几何题的解题思路和技巧

数学解析几何题的解题思路和技巧数学是一门抽象而又具体的学科，而解析几何则是数学中的一个重要分支。

解析几何通过运用代数和几何的方法研究几何图形的性质和变换规律，是数学中的一种重要工具。

在解析几何中，我们常常需要解决一些具体的问题，下面将介绍一些解析几何题的解题思路和技巧。

一、直线和平面的交点问题在解析几何中，直线和平面的交点问题是比较常见且基础的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和平面的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个平面P：2x + y - z = 1，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和平面P的方程联立，得到一个含有两个未知数x和y的方程组：2x + y - z = 1，y = 2x + 3。

然后，我们可以通过代入法或消元法求解这个方程组。

将y = 2x + 3代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 3) - z = 1，化简得到4x - z = -2。

接下来，我们可以将这个方程代入直线L的方程中，得到y = 2x + 3，化简得到y = 2x + 5。

最后，我们可以将y = 2x + 5代入平面P的方程中，得到2x + (2x + 5) - z = 1，化简得到4x - z = -4。

综上所述，我们得到了两个方程4x - z = -2和4x - z = -4，它们的解为x = 1，z = 6。

因此，直线L和平面P的交点为(1, 5, 6)。

二、直线与曲线的交点问题除了直线和平面的交点问题，直线与曲线的交点问题也是解析几何中常见的问题。

解决这类问题的关键在于找到直线和曲线的方程，并求解它们的交点。

以一个具体的例子来说明。

假设有一条直线L：y = 2x + 3和一个曲线C：y =x^2，我们需要求解它们的交点。

首先，我们可以将直线L的方程和曲线C的方程联立，得到一个含有一个未知数x的方程：x^2 = 2x + 3。

解析几何重在几何———谈图形法解决解析几何问题

ｌＭＦ。ｌ而ＭＦＩ的最大值
，｛三
考点：转化为圆心（３，０）到直线的距离的最小值问题
中又是Ｍ、（、Ｆ＿二点共线时掌取得最大值ＰＭ１＋ＰＦ的生
例５已知Ｆ是双曲线等。Ｙ２ — １的左焦点，Ａ（１，４），Ｐ
．
四、利用图形特点解决问题
２
÷ 一１（除去点（２，０））．
为
例４由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值
．
（２）结合图ｌ及椭圆定
答案： √ ．
Ｍ
义ｌＰＭｌ＋ｌＰＦｌ一４＋ｌＰＭｌ — ｌＰＦ ≤ ｌ
考点：圆锥曲线与方程．
、『二
例１一个动圆与Ｃ：（
（２：（ｑ－１）ｑ－ｙ一９内切．（１）求此动圆圆心Ｐ的轨迹Ｅ的方
点评：本题考查主要圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到
３．如罔３，已知Ａ、Ｂ
２２
于０｝的值为～．
答志 ‘
分析：南于角形是内心是个内角的平分线的交点，使
１．双曲线

平面几何知识在解析几何中的运用

2
・19・
高中数学教与学 2007 年
评注该题的解答既可采用常规的坐标法 , 又可如上采用圆锥曲线的几何性质 , 借助平面几何的方法进行推理 , 但几何方法较之解析法比较快捷 . 2001 年广东高考第 21 题对椭圆性质的考查 , 用上面的方法也可以容易证明 . 我们在复习解析几何时要对圆锥曲线的几何性质引起重视 , 注意数形结合 , 尤其是有关抛物线的一些性质用平几知识证明更为方便 . 如圆锥曲线中的一般结论 :
x y = 2 + 2 a b
2 2
足 AM = 2 A P, N P・ AM = 0的点 N 的轨迹为曲线 E, 求曲线 E 的方程 . 解 ∵ AM = 2 A P, N P ・AM = 0, ∴N P 为 AM 的垂直平分线 ,
| NA | = | NM |.
例 4 已知椭圆 C 的方程为
・21・
x
2
5
+
y
2
4
= 1.
评注过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点 , 若知道两焦半径之比 , 那么直线的斜率与圆锥曲线的离心率两者知一可求其另一 . 以上两例都把条件集中在焦点弦所在的直角三角形中 , 再结合几何知识 , 给问题的解决带来了一定的方便 , 特别是大大减少了运算量 . 四、综合应用
若在左准线 l上存在点 R, 使 & PQR 为正三角形 , 则椭圆离心率 e的取值范围是
.
∴
m - 1 e m - n n = = 2 m +n m 2 - e +1 n
=1 1 ≤ 3
2
m +1 n e
∈
1 ,1 . 3

完整版人教版高中数学第二册上《抛物线及其标准方程》2课时单元教学设计

抛物线及其标准方程” 单元讲课方案（选自人教版高中数学第二册（上）第八章第五节）一、教材解析1.在教材中的地位与作用（1）抛物线在初中以二次函数图象的形式初步商讨过，在物理上也研究过“抛物线是抛体的运动轨迹” ，这些足以说明抛物线在本质生活中应用的广泛性，在这一带里我们将更深入地研究抛物线的定义及其标准方程。

（2）抛物线是在学习了椭圆、双曲线的基础上研究的又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统必定义（即第二定义）进行张开学习的，由此形成了圆满的圆锥曲线看法系统。

本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是相同的。

利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为此后用解析法研究抛物线的几何性质，本节起到一个承上启下的作用。

（3）本节可经过类比的思想，由椭圆与双曲线的第二定义顺利得出抛物线及其焦点与准线的定义，接下来用轨迹思想建立合适坐标系求出抛物线的标准方程，一共有四种（开口向上、向下、向左或向右），在讲课过程中应重视标准方程中的“ P”，P 的几何意义以及焦点坐标、标准方程与 P 的关系是本节的要点，学生应掌握如何依据标准方程求P，焦点坐标与准线方程或依据三者求标准方程。

2．教材的编排系统解析教材内容表现的序次是：回顾椭圆与双曲线的第二定义（P132练习2）依据e＝1的几何意义设计试验活动抛物线的定义轨迹思想推导抛物线的标准方程总结抛物线标准方程及相关看法标准方程的直接运用（例1、 P132 练习 1、 3、 4， P133习题 1、2、4）抛物线定义的灵巧运用及定义法求解轨迹方程（例2、 P132 练习 5、P133 习题 3、）抛物线焦点弦长解析（例3、 P133 习题 7）直线与抛物线关系分析（ P133 习题 5、 6）3.例习题解析与教材发掘①教材在编排中特别是 P132 练习 2 的设计本质上已经表现了圆锥曲线统必定义这一假想，所以在总结中没关系明示这一知识的整合结论。

②定义的讲课中联合椭圆、双曲线定义中简单被忽视的条件的回顾，思虑教材定义表达中的不慎重性（应要求：定点 F 不在定直线l上），借此培育学生类比思想能力及慎重的思想意识。

关注几何性质唤出简捷解法——例谈解析几何题的几何剖析与教学启示

一
÷ １／）ｂ－ ÷７，－此。１１（、；￣ａ（Ａ）时：下一＋，当－ｍ一３，＋（
、西）／．，
对于《考试说明》能根据要求对数据进行估计和中“
近似计算” 主要是在客观题中的一些运算问题，，这里不
再涉及．从以上分析我们看到，考对运算求解能力的考查高
的几何性质” 才是本质、更是其 “ 灵魂” 更能深刻、，直观地揭示出解析几何的本质属性．在解题中，若能注重挖掘、活运用解析几何的几何性质，灵唤醒“ 灵魂 ” 出窍，就
剖析
此题在当年的得分率最低，主要是考生阅读
题后，不知如何下手而失分．只要能同时综合考虑题设
５２
中。擞・（１年Ｏ高版７注几何性质
一
唉出硒捷锝珐
例谈解析几何题的几何剖析与教学启示
７１０甘肃天水市一中宫前长４００
解析几何中，代数” “ 是方法、是手段， “ 析几何而解
（收稿日期：１０２）２０７７０
・
复习参考・
中。擞・（１年０高版７２０第１期・中）０
四边形ＡＣＢＤ的面积取得最大值，其值为５．点评
这时２＝ｌ＝－－，６－－，４２２８０ａｘ＋２ａｂ３即＝ａ３＝ｘ— ＝ —
６３ —＋
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一＝＋，ｏｏ２
一＝一；ｎｎ２
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解析几何解题技巧归纳

解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的点、直线、曲线以及它们之间的关系。

在解析几何中，解题技巧的掌握对于提高解题效率和准确性至关重要。

下面将从以下几个方面对解析几何解题技巧进行归纳总结。

1. 理解基本概念和性质解析几何的基本概念包括点、直线、曲线等，而基本性质则包括距离、角度、斜率等。

在解题过程中，首先要对题目中涉及的基本概念和性质有清晰的理解，这样才能准确地运用相关公式和方法进行求解。

2. 利用坐标系解析几何中，坐标系是解决问题的重要工具。

通过建立合适的坐标系，可以将问题转化为代数方程或函数的形式，从而利用代数方法进行求解。

在建立坐标系时，要考虑到题目的特点和要求，选择合适的坐标系类型，如直角坐标系、极坐标系等。

3. 利用几何性质解析几何中的几何性质是解题的关键。

通过观察和分析几何图形的性质，可以得出一些结论和关系，从而简化问题的求解过程。

例如，利用平行线的性质可以解决与平行线相关的题目；利用垂直线的性质可以解决与垂直线相关的题目等。

4. 利用相似三角形相似三角形是解析几何中常用的一个工具。

通过构造相似三角形，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。

在构造相似三角形时，要注意选择合适的基准点和基准线，以及利用已知条件和几何性质进行推导。

5. 利用对称性对称性是解析几何中的一个重要性质。

通过利用对称性，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。

在利用对称性时，要注意选择合适的对称轴和对称中心，以及利用已知条件和几何性质进行推导。

6. 利用参数方程参数方程是解析几何中常用的一种表示方法。

通过将问题转化为参数方程的形式，可以简化问题的求解过程。

在利用参数方程时，要注意选择合适的参数和参数范围，以及利用已知条件和几何性质进行推导。

7. 利用三角函数三角函数是解析几何中常用的一个工具。

通过利用三角函数，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。

充分利用平面几何性质巧解解析几何题

一． ’ ‘ （、１（）ｖＴ（Ｍ３（２Ａ）／０Ｂ２ｆＣ）Ｄ）ＶＴ
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一
解法（ ‘ 分别是双曲线Ｉ）。．、
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（）剪出的所有的正方形。成原来的正方形，画况，集数据，析数据，就 “ 何理财 ” 向父母提出自己５将拼并收分并如，出平面图形，过观察这个图形你发现了什么规律？通
，
．（／，￣／－）．一ｉ’）（ｉ，＾、ｘ … ｏ＇ｏ－ｄ “ ’
‘ 。Ｆ－．上．Ｐ．０ ’ 踢￣明则点Ｐ是为以即 △ 为直角三角形为直径的圆与双曲线的交点（四有
长公式，一元二次方程根的判别式等进行大量繁杂的计算，完全当成了纯代数ｉＳ来解决。至连必要的图形都没有，￣ｌｉ甚
范后。生动手操作。把结果填于表中：学
性、放性问题的设计，习形式要有趣味性。法要多样开练方
剪的次数（】ｎ
正方形的个数（）ｓ
１
２
３
４
５
６
性，有足够的探索与交流的时间。现数学课程标准中：要实 “ 同的人在数学上得到不同的发展 ” 要求。尊重学生的不的个体差异。学生不断感到成功和愉悦。使