初二数学下册二次根式
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
数学八下二次根式
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八下二次根式知识点
八下二次根式知识点
八年级下册的数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
二次根式，也被称为平方根式，是一种特殊的代数式，其根指数是2，也就是说，被开方数的次数是2。
理解和掌握二次根式的相关知识，对于学生理解代数运算、培养逻辑思维和空间想象力具有重要意义。
首先，我们需要理解二次根式的定义。
二次根式是形如√a（a≥0）的代数式，其中a 是被开方数，根号表示开方运算。
被开方数a必须是非负数，这是因为在实数范围内，负数没有实数的平方根。
其次，我们需要掌握二次根式的性质。
二次根式有一些重要的性质，如非负性、对应性等。
非负性指的是，对于任何非负实数a，√a都是非负的。
对应性则是指，如果两个二次根式的被开方数相等，那么这两个二次根式也相等。
此外，我们还需要学习二次根式的运算。
二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一些基本的运算法则，如先乘除后加减、括号内的运算优先等。
同时，我们还需要注意运算结果的化简，尽可能将结果化为最简二次根式。
最后，我们还需要了解二次根式在实际生活中的应用。
二次根式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
通过学习二次根式，我们可以更好地理解这些领域中的一些实际问题，提高解决实际问题的能力。
总之，二次根式是八年级下册数学课程中的重要知识点。
通过学习和掌握二次根式的定义、性质、运算和应用，我们可以更好地理解代数运算的本质，提高数学素养和实际应用能力。
二次根式运算专题：八年级下册
二次根式运算专题：八年级下册1. 简介二次根式是数学中的一种基本表达形式，通常表示为√a，其中a是非负实数。
在八年级下册的数学课程中，我们将学习如何进行二次根式的运算，包括加减乘除以及指数幂的运算。
2. 二次根式的加减法2.1 同底数二次根式的加减法同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √a = 2√a√a - √a = 02.2 不同底数二次根式的加减法不同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √b = √(a + b) （a ≥ b）√a - √b = √(a - b) （a ≥ b）3. 二次根式的乘除法3.1 同底数二次根式的乘除法同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √a = √a^2 = a√a / √a = 13.2 不同底数二次根式的乘除法不同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √b = √(a * b)√a / √b = √(a / b)4. 二次根式的指数幂二次根式的指数幂运算规则如下：(√a)^n = √(a^n) （n为正整数）(√a)^(-n) = 1 / (√(a^n)) （n为正整数）5. 综合练习以下是一些八年级下册数学课程中关于二次根式运算的综合练习题：1. 计算：(√2 + √3) * (√2 - √3)2. 计算：√8 / √23. 计算：(√3)^44. 计算：√(16 * 9)6. 总结通过本专题的学习，我们了解了二次根式的加减法、乘除法以及指数幂的运算规则，并通过综合练习题进行了巩固。
希望同学们能够掌握这些运算方法，并在实际问题中灵活运用。
人教版八年级下册数学二次根式
人教版八年级下册数学二次根式二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a\geq 0$。
最简二次根式是指被开方数的因数是整数且因式是整式（分母中不含根号），同时被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
如果几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有一些性质，比如$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（其中$a\geq 0$，$b\geq 0$），以及$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}$（其中$a$为任意实数）。
分母有理化是指将分母中的根号化去，有理化因式则是指两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
在解题时，需要掌握二次根式的计算和化简求值，以及二次根式的运算法则，包括加减乘除四则运算和分母有理化。
在选择题中，常考查最简二次根式、同类二次根式的概念，而在中等难度的解答题中，则常考查二次根式的计算和化简求值。
在计算或化简求值时，可以使用因式的外移和内移的方法，将被开方数中的因式移到根号外面或根号里面。
11.当$x=-2$时，代数式$5x^2-3x-1$的值是多少？1.计算：$(3-2)+\frac{1}{3}+4\cos30^\circ-|-12|$。
2.在进行二次根式化简时，有时会遇到如下式子：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，其实我们还可以将其进一步化简：begin{aligned} \frac{\sqrt{5}-1}{2} &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} \\ &= \frac{5-1}{4} \\ &=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \end{aligned}$$以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：begin{aligned} \frac{3+1}{\sqrt{2^2\cdot 3^2}} &=\frac{3+1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{6} \end{aligned}$$1) 请用不同的方法化简$\frac{2}{5+\sqrt{3}}$。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
八年级下册数学第一章二次根式
第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。
而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。
八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。
在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。
1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。
其中√b表示对b开平方的结果。
2√3和-5√8都是二次根式。
在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。
第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。
开方是指找出一个数的平方根。
对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。
2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。
数学八年级下册二次根式
数学八年级下册二次根式
一、二次根式的定义
二次根式是指形如√a（a≥0）的式子，其中a叫做二次根式的被开方数。
二、二次根式的性质
1. 偶次根式的被开方数可取一切正数，因此二次根式是双钩性质的体现。
2. 当二次根式中的被开方数小于0时无意义，说明开偶次方时，要求底数非负。
三、二次根式的运算
1. 乘法运算：二次根式相乘（除），把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行相加或相乘。
2. 加法运算：几个二次根式合并成一项时，需要把被开方数相同的二次根式进行合并。
四、二次根式的应用
1. 求实际问题的解：在解决实际问题时，需要把实际问题转化为数学问题，再利用二次根式进行求解。
2. 判断近似值是否合理：在进行近似计算时，需要利用二次根式对结果进行判断，看是否符合实际要求。
总之，二次根式是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用，需要我们熟练掌握其定义、性质和运算。
初二下册数学二次根式知识点
初二下册数学二次根式知识点
一、二次根式的定义
二次根式是一种常见的函数，是表示二次函数y = ax2+ bx+ c (a≠ 0) 的根的简写形式。
它一般由一个未知数 x 和一些常数 a、b、c 组成，它的形式如：ax2+ bx+ c= 0。
二次根式又称二次方程根，二次根式中的常数 a、b、c 可以推倒出
二次函数 y = ax2+ bx+ c，这时 x 可以表示为 ax2+ bx+ c = 0中它的解，也就是 y 轴上的两个变化点，这样 x 就变成了 ax2+ bx+ c = 0 中
一个变量，而不是一个常数。
二、二次根式的解法
1、求根公式法
即已知二次根式 ax2+ bx+ c = 0，求解 x 的一般解法，首先用根公
式法，即设 x1、x2 是该方程的根，则有：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
根据以上两式可求出：
x1 = [-b + √(b2- 4ac)]/2a x2 = [-b - √(b2- 4ac)]/2a
2、分部分求根法
即将二次根式分成两部分，一部分是首项与其系数之积 ax2，另一部
分是常数项 c，将两部分分别化简。
(1) 首先将 ax2 化简为 A，求出 bx + c = 0 的解 x1；
(2) 然后将 A + bx = 0 化简为 ax2 + bx = -c，求出其解 x2
二次根式的解有一般解和特殊解，当a、b、c中有变数时，可以用一般解；当a、b、c中有常数时，可以用特殊解。
三、二次根式的应用
1、二次根式可以用来求解一元二次方程，根据一元二次方程 y = ax2+ bx+ c = 0 的特点，可以求出两个不同的解，分别为 x1、x2。
人教版数学八年级下册：二次根式(含答案)
二次根式》1．二次根式的概念(1) 一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2) 对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“ ”的根指数是2，二次根号下的 a 叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0 时才叫二次根式．即a≥0 是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数 a 的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但 2 不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“” ；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为 a 为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1> 0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为 a 是实数时，并不能保证a＋10，a2－ 1 是非负数，即a＋10，a2－1 可能是负数．如当a<－10时，a＋10<0；又如当0<a<1时，a2－1<0，因此，a＋10，a2－1 不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x 是怎样的实数时，式子x－3在实数范围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3 是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3 时，式子x－3在实数范围内有意义．2．二次根式的性质(1) a(a≥0)是一个非．负．数．a (a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________ ．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，b＝2.所以a b＝(－3)2＝9.答案：9(2) ( a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数 a 的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数 a 的算术平方根平方，就等于它本身，即( a)2＝a(a≥0)．例② ( x －3)2(x ≥3)＝ ________ .解析： ①直接利用公式 ( a)2＝a(a ≥ 0)，可得 ( 32)2＝23； ②因为 x ≥ 3，所以 x －3≥0， 所以由公式 ( a)2＝a(a ≥0)，可得 ( x －3)2＝ x －3(x ≥3)．2 答案： ①32 ② x － 33a(a ≥ 0)， 由算术平方根的定义，可得 a 2＝ |a|＝ －a(a<0). a 2＝a(a ≥0)表示非负数 a 的平方的算术平方根等于 a. 【例 2－3】 计算：(1) (－ 1.5)2；(2) (a －3)2(a < 3)；(3) (2x3)2( x 32)(1) ( a)2＝a 的前提条件是 a ≥0；而 a 2＝|a|中的 a 为一切实数．(2) a(a ≥ 0)， |a|，a 2 是三个重要的非负数，即 a(a ≥0)≥0，|a|≥0，a 2≥0，在解题时 应用较多．(3) a 2＝( a)2 成立的条件是 a ≥ 0，否则不成立．(4) ( a)2＝ a(a ≥ 0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方 形式．(5) 在利用 a 2进行化简时，要先得出 |a|，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清 被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值范围 由二次根式的意义可知， a 的取值范围是： a ≥0.即当 a ≥ 0 时， a 有意义，是二次根 式；当 a <0 时， a 无意义，不是二次根式．(1) 确定形如 a 的式子中的被开方数中的字母取值范围时，可根据式子 a 有意义或无 意义的条件，列出不等式，然后 解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．(3) a 2＝ |a|＝a(a ≥ 0)，－ a(a<0).求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a(a ≥ 0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例 3】 当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1) a 2＋ b 2； (2) － 3x ；分析： 必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时， 分母不能为 0，根据这些要求列不等式解答即可．解： (1)因为 a ， b 为任意实数时，都有 a 2＋b 2≥0，所以当 a ，b 为任意实数时， a 2＋b 2是二次根式．(2)－ 3x ≥ 0， x ≤ 0，即当 x ≤0 时， － 3x 是二次根式．1(3) ≥ 0，且 x ≠0，所以 x > 0. 2x4．二次根式非负性的应用(1)在实数范围内，我们知道式子 a(a ≥ 0)表示非负数 a 的算术平方根，它具有双重非 负性：① a ≥0；② a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于 这几个非负数都等于 0”可以解决一些算术平方根问题． 巧记要点： 二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：① |a|≥ 0；②a 2≥0；③ a ≥0(a ≥0)．【例 4－ 1】已知 x ，y 都是实数，且满足 y ＝ 5－x ＋ x － 5＋ 3，求 x ＋y 的值． 分析： 式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于 x 的 不等式组．当 x ＝5时， y ＝ 5－5＋ 5－5＋3＝3. ∴x ＋y ＝5＋3＝ 8.两个算术平方根，当 被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个 式子才能都有意义．1【例 4－ 2】已知 x ，y 为实数，且 y ＝2＋ 8x －1＋ 1－ 8x ，则 x ∶ y ＝ _______ 解析： 因为 y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负1 1 1解得 x ＝8，于是 y ＝2＋ 0＋0＝2.故 x ∶y ＝ 1∶4.(4) ≥ 0， 2－x故 x －2≥0 且 x － 2≠0，所以 x >2.0，则 解： 由题意知 5 － x ≥ 0，x ≤5， ∴ x ＝ 5.x － 5≥ 0， x ≥5， 数．实际上，若 a 和 － a 都有意义，则 a ＝0.即依题意得8x －1≥0，1－ 8x ≥0.(3)－3答案：1∶4,5．式子( a)2的意义和运用二次根式的一个性质是：( a)2＝a(a≥0)．因为2＝( 2)2，35＝( 53)2，所以上面的性质又可以写成：a＝( a)2(a≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的 2 3表示2× 3，这与带分数221表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32× 3应写成32 3，而不能写成121 3.【例5－1】计算：(1)(2 3)2；(2)( －2 21)2；(3)(－5×3)2.解：(1)(2 3)2＝22×( 3)2＝12.(2)(－2 21)2＝(－2)2×( 12)2＝ 2.(3) (－5× 3)2＝(－1)2× ( 5× 3)2＝15.【例5－2】把多项式n5－6n3＋9 n 在实数范围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n5－6n3＋9n 提取公因式，得n(n4－6n2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n(n2－3)2，要求在实数范围内分解，所以可以将3写成( 3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n5－6n3＋9n＝n(n4－6n2＋9)＝n(n2－3)2＝n(n＋3)2(n－3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a|≥0，b≥0(b≥0)，c2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a|＋b＝0? a＝0，b＝0；|a|＋c2＝0? a＝0，c＝0；b＋c2＝0? b＝0，c＝0；|a|＋b＋c2＝0? a＝0，b＝0，c＝0.【例6－1】若|a－b＋1|与a＋2b＋4互为相反数，则(a＋b)2 011＝ ____ .解析：|a－b＋1|与a＋2b＋4互为相反数，∴ |a－b＋1|＋a＋2b＋4＝0.而|a －b＋1|≥0 ， a ＋2b＋ 4 ≥0 ，a－b＋1＝0，a＝－2，a＋2b＋4＝0. b＝－ 1.∴(a＋b)2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011. 答案：－32 011【例6－2】若a2＋b－2＝4a－4，求ab的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a－2)2＋b－2＝0，由二次根式的性质可知b－2≥0，由完全平方数的意义可知(a－2)2≥0，而它们的和为零，则a－2＝0，b－2＝0，从而可求出a，b 的值．解：由a2＋b－2＝4a－4，得a2－4a＋4＋b－2＝0，即(a－2)2＋b－2＝0.∵(a－2)2≥0，b－2≥0 且(a－2)2＋b－2＝0，∴ a－2＝0，b－2＝0，解得a＝2，b＝2.∴ ab＝2，即ab的值为 2.7．二次根式( a)2＝a( a≥0)与a2＝|a|的区别、运用( a)2＝a(a≥0)与a2＝|a|是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解( a)2与a2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a≥0(a≥0)，即a是一个非负数，a是非负数a的算术平方根，那么( a)2就是非负数 a 的算术平方根的平方，但只有当a≥0 时，a才能有意义．对于a2，则表示a2的算术平方根，由于a2中的被开方数是一个完全平方式，所以 a 无论取什么值，a2总是非负数，即a2总是有意义的．(2)( a)2与a2的区别和联系区别：①表示的意义不同．( a)2表示非负实数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．( a)2是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a2则是先求实数 a 的平方，再求a2的算术平方根．③取值范围不同．在( a)2中，a只能取非负实数，即a≥0；而在a2中，a可以取一切实数．④写法不同．在( a)2中，幂指数 2 在根号的外面；而在a2中，幂指数 2 在根号的里面．a(a> 0)，⑤结果不同．( a)2＝a(a≥0)，而a2＝0(a＝0)，－a(a< 0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即( a)2≥0，a2≥0.③仅当a≥0 时，有( a)2＝a2. 如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．【例7－1】已知x< 2，则化简x2－4x＋4的结果是( )．A．x－2 B．x＋2 C．－x－ 2 D．2－x解析：x2－4x＋4＝(x－2)2＝(2－x)2，因为x<2,2－x>0，所以x2－4x＋4＝2－x.答案：D【例7－2】化简1－6x＋9x2－( 2x－1)2得( )．A ．－5xB ．2－5x C．x D．－x解析：错解正解由 2x －1，知 2x －1≥ 0，得 x ≥1，从而有原式＝ （1－3x ）2－ （2x －＝（1－3x ）－（2x － 1）＝2－5x ， 3x － 1≥ 0，所以原式＝ （1－ 3x ）2－ （2x －1） ＝ 故选 B. （3x －1）2－（2x －1）＝（3x －1）－（2x －1）＝x.故 选 C. 错因剖析：思路分析： 本题错在忽视了二次根式成本题主要应用二次根式的性质： 立的隐含条件．题目中a a 0 , (1) a 2＝ |a|＝ a a 0 ,2x － 1有意义， 说明隐含了 － a a <0 .1 条件 2x －1≥ 0，即 x ≥2，可(2)( a)2＝a(a ≥0) . 知 3x －1≥ 0.正确应用二次根式的性质是解决本题的关键 . 答案： C【 例 7 － 3 】 若 m 满 足 关 系 式 3x ＋5y －2－m ＋ 2x ＋3y －m ＝ x － 199＋y · 199－ x －y ，试确定 m 的值． 分析： 挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应 用，是解决本题的关键．解： 由算术平方根的被开方数的非负性，得x － 199＋ y ≥ 0， x ＋ y ≥ 199，即 ∴x ＋y ＝ 199.199－x － y ≥ 0， x ＋ y ≤ 199.x － 199＋ y · 199－x －y ＝0.＋5y －2－ m ＋ 2x ＋ 3y －m ＝0. 再由算术平方根的非负性及y ＝－ 197. ∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×（－197）＝201.点拨： （1）运用二次根式的定义得出： x ≥a 且 x ≤a ，故有 x ＝ a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．a ≥ 0，（2）由 b ≥ 0， 推出 a ＝ b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之a ＋b ＝ 0 两个非负数的和为零，① 3x ＋ 5y －2－m ＝0，得 2x ＋ 3y －m ＝0. 由①－②，得 x ＋2y ＝ 2.x ＋ y ＝199 ， 解方程组 得 x ＋2y ＝ 2， x ＝ 396，。
初二数学下册笔记总结大全
初二数学下册笔记总结大全初二数学下册笔记（人教版）一、二次根式。
1. 二次根式的定义。
- 形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中“√()”称为二次根号，a叫做被开方数。
- 注意：被开方数a必须是非负数，这是二次根式有意义的条件。
例如，√(x -1)有意义的条件是x-1≥0，即x≥1。
2. 二次根式的性质。
- (√(a))^2 = a(a≥0)。
例如(√(3))^2 = 3。
- √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)。
例如√((-2)^2)=| - 2| = 2。
3. 二次根式的运算。
- 乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
例如√(2)·√(3)=√(2×3)=√(6)。
- 除法法则：(√(a))/(√(b))=√((a/b))(a≥0,b > 0)。
例如(√(8))/(√(2))=√((8/2))=√(4) = 2。
- 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
例如√(12)+√(27)=2√(3)+3√(3)=5√(3)。
二、勾股定理。
1. 勾股定理。
- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，在直角三角形中，a = 3，b = 4，则c=√(3^2)+4^{2}=√(9 +16)=√(25)=5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，三角形三边为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 = 169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。
三、平行四边形。
1. 平行四边形的定义与性质。
- 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
- 性质。
- 边：平行四边形的对边平行且相等。
例如在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD，AD∥ BC，AD = BC。
初二数学下册：二次根式化简的4个方法
初二数学下册：二次根式化简的4个方法二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．1乘法公式法例1计算：分析：因为2=，所以中可以提取公因式。
解：原式==××=192因式分解法例2化简：。
分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。
但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。
解：原式===0.3整体代换法例3化简。
分析：该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。
不妨另辟蹊径，设=a，=b则a+b=2，ab=1.解：原式=====4x+24巧构常值代入法例4已知，求的值。
分析：已知形如（x0）的条件，所求式子中含有的项，可先将化为=，即先构造一个常数，再代入求值。
解：显然x0，化为=3.原式===2.end。
八年级数学下册课件(人教版)二次根式的乘除
例3 计算：(1) 14 7； (2) 3 5 2 10；
(3) 3 x 1 xy .
3
解：(1) 14 7 14 7 72 2 72 2 =7 2；
(2) 3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
6 52 2 6 5 2 30 2;
(3) 3 x 1 xy 3x 1 xy x2 y
二次根式的乘除
第1课时
复习提问
1.什么叫二次根式？
形如 a (a≥ 0)的式子叫做二次根式 .
2.两个基本性质:
2 a =a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0) －a (a＜0)
知识点 1 二次根式的乘法法则
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 4 9 =_______, 4 9 =_______; (2) 16 25 =_______, 16 25 =_______;
1 下列各式计算正确的是( C )
A.
3 3 22
B.
8 2
2
C. 3 3 42
D. a a 9b 3b
2
若
1a a2
1a a
，则a 的取值范围是( D )
A．a≤0 B．a<0
C．a>0 D．0<a≤1
3 下列等式不一定成立的是( A )
A. a a ＝(b≠0) bb
B．a
3·a－5＝
(3) 2a 6a ；(4)
b 5
b 20a 2
.
解： (1) 3；
(2) 2 3;
(3) 3 ; 3
(4)2a.
2
a 3 a 3 成立的条件是( D )
a1 a1
人教版数学八年级下册《二次根式的除法》ppt课件
不是“ a ”，而是“
a 3
a a”3刘敏说：哎呀，真抄错了，好在
不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？
解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按
a
a
3计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0；
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a 3
课堂小结
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4 ； 99
(2) 16 = 16 ； 25 25
(3)
36 36 . 49 49
猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发
现的规律吗？ 猜测： a a bb
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范 围有没有限制呢？
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
h 5
40时，此时
他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到 的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？
除法有没有类似的法则？
(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进
行化简,如 0.3 3 30 30 .
10 100 10
巩固练习
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是
最简二次根式的进行化简．
（1）
45
;
（2） 1 ;
3
（3） 5 ;
2
（4）
0.5
;（5） 1 4
5
.
二次根式知识点整理：初二下册数学
二次根式知识点整理：初二下册数学效果的提高是同窗们提高总体学习效果的重要途径，大家一定要在往常的练习中不时积聚，小编为大家预备了二次根式知识点整理：初二下册数学，希望同窗们不时取得提高!
1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必需同时满足以下条件：
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，假定被开方数相反，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：
a(a0) 22(1)(a)=a (a≥0); (2)a a
0 (a=0);
5.二次根式的运算：
a(a0)
(1)因式的外移和内移：假设被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根替代而移到根号外面;假设被开方数是代数和的方式，那么先解因式，变形为积的方式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号外面.
(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再兼并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相
乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
以上就是查字典数学网为大家整理的二次根式知识点整理：初二下册数学，大家还满意吗?希望对大家有所协助!。
人教版数学八下课件-二次根式
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 或不等式组求出其解集.
二次根式 的双重非 负性
二次根式 a 中,a≥0且
a ≥0
第二课时
二次根式化简
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导入新知
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0 -4 1
1 2
1
-1
4
1 4
算术平方根之门
a
a
a≥0
平方之门
( a )2
我们都是非 负数哟！
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性
【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
1 2
时， x 2 有意义．
2x 1
课堂小结 二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义 条件下求 字母的取 值范围
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65，
h 5
的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
初中数学人教八年级下册第十六章二次根式二次根式 PPT
总结：被开方数不小于零．
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a （a≥0）是一个非负数．
初步应用 巩固知识
例3 a 取何值时，下列根式有意义？
（1）
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（ a -1）≥2 0，得 a为任何实数．
初步应用 巩固知识
变式 a 取何值时，下列根式有意义？ （1） a2-2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
双重非负性
综合应用 深化提高
练习1 判断下列各式哪些是二次根式：
（1） - 1 6 ；
×
（2） a+10（ a ＞ 0） ； √
（3） a 2 + 1 ；
√
（4） -x（x ≤ 0）．
√
综合应用 深化提高
练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．
（1）
3- 4 x
；（2）
x
x -1
；
（3） - x 2 ； （4） x-2- 2-x ．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
初步应用 巩固知识 5 ； √
（2） - 3 ； （3）3 2 1 ；
（4） x 2 + 1 ； √ （5） a-2（a ≥ 2）； √
（6） a-b（a＜ b）．
人教版八年级下数学16.1二次根式优质课件
x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
为_____0_．
课堂检测
基础巩固题
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
课堂检测
基础巩固题
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≠3
x 1 2.（2019•黄石）若式子 x 2 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ A ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1
C．x＞1且x≠2 D．x＜1
巩固练习
连接中考
3.（2018•苏州）若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值
范围在数轴上表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a2 1 B. 3 33 C.
D.-1 a
1 2
2.（2018•达州）二次根式 2x 4中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
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一、知识要点：1）形式： 一般地，把式子)0(≥a a 叫做二次根式。
二次根式的根指数为2次。
2）意义：被开方数0≥a 时，a 才有意义，a a ,0<没有意义。
注意：a 是被开方数，是根号里面的所有内容，可以是单项式，也可以是多项式。
特别地，当a a -,均有意义时，0=a 。
即，一个式子中，有2个被开方数互为相反数时，则这两个被开方数均为0。
思考：设：n m ,都是实数，且满足369922-+-+-=n n n m 。
求：n m ⋅的值注意：a a ,0≥是个非负数特别地，()2,""，均为非负数，当几个非负数的和为0时，则每个非负数均为0。
3）利用)0()(2≥=a a a 给多项式在实数范围内分解因式反过来2)(a a =)0(≥a ,这样任何一个非负数都能写成一个数（其正的平方根）的平方。
特别地，这样可把在有理数范围内不能分解因式的式子在实数范围内分解因式。
4）最简二次根式的条件：1、被开方数中不含有分母（或小数）2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
特别：当被开方数为多项式时，先因式分解分解成因式再判断根式是否是最简。
5）同类二次根式的概念同类二次根式条件：化简后，1、被开方相同 2、都是二次根式特别提醒：判断二次根式是否同类二次根式，必须先将二次根式化为最简二次根式，再判断。
6）根式的化简)0(<-a a2a 的化简：a a =2，即a = )0(0=a)0(>a a 7）根式的乘除法积（商）的算术平方根：)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a ba b a注意： 1）利用公式时，要注意a,b 的符号。
当a,b 为负数时，可以通过添（减）负号，将其变为正数，添（减）负号时，不要改变式子的值。
2）在化简时，首先要根式的意义确定各字母的符号，不能确定的要分开讨论。
3）将根号里的因式．．移到根号外时，要去平方并加绝对值。
将根号外的非负因式移到根号内添平方：如果要移动的因式是负数移到根号内时，要先添负号变正。
在移动因式之前，一定要先判断因式的符号。
8）根式的加减法二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
合并同类二次根式与在多项式中合并同类项类似，因此，二次根式的加减类似于整式的加简。
9）二次根式的混合运算分母有理化问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。
b a 的有理化因式为bd c b a ±的有理化因式为d c b a μ（两数和的有理化因式为这两数的差，两数的差的有理化因式为这两数的和）。
10）混合运算乘除法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a)0,0(>≥=b a baba(c ≥0) n =( a ≥0)加减法法则：合并同类二次根式（把根式前的系数相加减）根号不变。
混合计算法则，有括号先算括号，先乘除，后加减，能化简尽量先化简。
二、典型例题【例1】下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、11x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
1、已知a b 是 12a b ++的值。
2、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的运用）【例5】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4【例6】已知2x <,A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1、( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3、若23a p p）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 5、2得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．7、已知0a<【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．ob a【例8】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ）Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ）（A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ）A. -aB. --aC. -aD. a2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x xb＝ ；a a --11)1(＝ 。
例11.化简计算已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyy x xyy x x x y例12. 化简：a31)3a (--例13.已知：4x y ,5y x =-=+，求xy y x+的值。
例14.（忽略同类二次根式的定义）（1）已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D.0b ,2a ==（2）m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-是同类二次根式？三、总结与反思：四、课后作业：1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A ．a a a 321与B ．232a a 与C ．3233a a 与D ．2a aa a 12与 2.下列各式中，计算正确的是（ ） A ．532=+ B ．2+626= C ．a 10)(1010b a b -=-D ．9432712+=+3.把（a －b ）)(1b a ba <--化成最简二次根式，其正确结果是（ ） A ．ab - B ．b a - C ．－b a - D ．－a b -4．化简aa a 13---得（ ） A ．（a －1）a - B ．（1－a ）a - C ．－（a +1）a D ．（a －1）a5.在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2aa 和③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm nm n m n m 和，是同类二次根式的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④6．将（a －2）)0(22<-a aa 化简的结果是（ ）A ．a a -2B ．－a a -2C ．a 2-aD ．－a 2-a7. 计算：（1）8x3293514x x x x x +-- （2）)0,0()3(33>>÷+-b a ab ab ab b a8．已知：x =5－2,625,6+=y 求5x 2－12xy +5y 2的值。
9．已知()()x y =+=-12751275，，求下列各式的值。
（1）x x y y 22-+ （2）x y y x+10．已知-≤≤121x ，则x x x x 2221441-++++的结果为（ ）A. xB. x +2C. --x 2D. -3x4、当a<0时，||2a a -=________5、满足5-<x<3整数x 是_______________________6、在Rt △ABC 中，直角边BC=5，AB=25则△ABC 的面积是________.三、计算或化简（1-4每题8分，5-6每题10分，计52分） 1、315.01812+-- 2、)65153(1021-⨯3、)2463)(2463(+-4、)35)(15()25(2+++-5、2362723423a ab b a a b a -+ 6、523a ab a b b a a b-+-。