经济数学基础线性代数之第3章 线性方程组
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第一单元 线性方程组的表达
一、学习目标
了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念
二、内容讲解
线性方程组的一般表示 方程数目为m ，未知量个数为n . 下面举一个例子.
例: 用矩阵形式表示方程组
⎩⎨
⎧-=-+=+-1
65443321321x x x x x x
解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A ，n ＝3，m ＝2
系数矩阵
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=165143A ，未知数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x X ，常数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14b 线性方程组用矩阵表示为b AX =
即⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡--165143⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=14
线性方程组三种表示形式
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡---=11654143A
三、例题讲解
例1 将线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+-=+=++-=--43502515432131
321321x x x x x x x x x x x 改写成矩阵的形式.
解：增广矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=43
150101215111
54A 系数矩阵⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=315101151154A 常数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4021b
线性方程组的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----315101151154⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡4021 例2若已知矩阵
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500101111231
021A 表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？
解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.
（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是50004321=+++x x x x 即52=x
例3，线性方程组b AX =，矩阵A 是4×6矩阵，矩阵b 是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？
解:有6个未知量，有4个方程.
四、课堂练习
练习写出下列线性方程组的增广矩阵，并写出矩阵表达形式.
五、课后作业
将下列方程组写成矩阵形式：
(1)⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
-
=
+
+
-
=
+
2
4
2
3
3
2
5
2
3
2
1
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
；(2)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
-
=
+
-
=
+
+
=
+
+
-
=
+
+
=
+
4
6
5
2
6
5
2
6
5
2
6
5
1
6
5
5
4
5
4
3
4
3
2
3
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(1)
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
-
2
3
5
4
2
3
2
1
1
1
2
3
2
1
x
x
x
；(2)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
-
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
1
2
2
2
1
6
5
6
5
1
6
5
1
6
5
1
6
5
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
第二单元消元法
一、学习目标
熟练掌握求线性方程组一般解的消元法，掌握求线性方程组的特解.
二、内容讲解
例：若一个线性方程组的增广矩阵为
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
=
2
2
2
1
1
1
1
1
2
A
，求方程组的解.
解:从最后一行开始，得
2
2
3
-
=
x，1
3
-
=
x
第二行表示的方程是
2
3
2
=
+x
x，
3
2
2x
x-
=3
)1
(
2=
-
-
=
第一行表示的方程是
1
2
3
2
1
=
-
+x
x
x，2
3
)
1(
2
1
3
2
1
-
=
+
-
=x
x
x