经济数学基础线性代数之第3章 线性方程组
线性代数-线性方程组课件
行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如
1 0 0 0
4 1 10 1 0
线性方程组有解判别定理
（导学127页例7）
例题3
三、用初等行变换解线性方程组并写出线性方程组的解（非齐次写出 唯一解或一般解；齐次写出一般解）
•
•
例题1
例题2
例题3
行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 1 1 2 1 4 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
• ① ② • a. b. c.
线性方程组解的情况判定
•
•
一、齐次线性方程组解的判定及其解法 内容讲解
二、非齐次线性方程组解的判定（用秩来刻画）内容讲解
__ __
{
•
•
AX b有 解 秩A 秩 A AX b无 解 秩A 秩 A
例题1 例题2
{
AX b有唯一解秩A秩 A n AX b有无穷多解 秩A秩 A n
n元线性方程组的矩阵表示形式
•
2、
a11 a12 a1n x1 b1 a 21 a 22 a 2 n x 2 b2 a m 1 a m 2 a mn x n bn 简写为 b Ax
文档：线性代数第三章 线性方程组
第三章 线性方程组第一章中的克莱姆法则解决了部分线性方程组的求解问题。
当系数矩阵行列式||0A =，或方程组的个数与未知量个数不相等时，克莱姆法则就无法给出解的存在性。
另外即使可用克莱姆法则求解的线性方程组，其计算量也非常大，这一章主要解决一般线性方程组的求解问题。
§1 解的有关概念对于一般线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩， 记()ij m n A a ⨯=，12(,,,)T n X x x x =，12(,,,)T m B b b b =，则线性方程组可写成矩阵形式AX B =。
记(|)A A B =，称为线性方程组的增广矩阵。
如果0X 满足0AX B =，则称0X 为线性方程组AX B =的解；如果对任意X ，AX B =均不成立，称线性方程组AX B =无解。
有解的线性方程组也称为相容的线性方程组，无解的线性方程组称为不相容的线性方程组。
定义1：设有线性方程组11 (I)A X B =和22(II)A X B =，如果(I)的解全是(II)的解，且(II)的解也是(I)的解，则称线性方程组(I)与(II)同解。
如果线性方程组的解能用统一的形式来表示，称该解为线性方程组一般解（或通解）；相对应的具体的解称为特解。
求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。
从而写出方程组的解。
§2 线性方程组的解法定义2：下列变换称为方程组的初等变换： 1) 交换两个方程位置； 2) 某一方程的非零k 倍；3) 某一方程的k 倍加到另一方程上。
性质1：方程组的初等变换是同解变换。
按同解的定义验证每经过一次方程组的初等变换均不改变方程组的解即可。
性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。
线性代数第三章线性方程组
二、线性方程组解的判定定理
定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过 求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结：
设r=秩(A)，n为未知量的个数.
（1）若 r 秩( A) 秩( A),则方程组无解。 （2）若 r 秩( A) 秩( A) 则方程组有解。
（2.1）若r = n 就有唯一解； （2.2）若r < n 就有无穷多解。
5x3 0, 5,
4x3 3,
4x1 5x2 7x3 6.
【解】 对增广矩阵进行初等行变换，将其化
成行简化阶梯形矩阵，即
2 1 5 0
1 3 0 5
A
1
3
0
5 (①,②)
2
1 5
0
1 1 4 3
1 1 4 3
4
5 7 6
4
5 7 6
②+①(-2) ③+①
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a12x2 a1n xn b2 ,
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
aij：第i个方程,
1 3 2
0 1 1 ①+②×3
0 0 0
1 0 1 0 1 1 0 0 0
所以方程组化简为：
x1 x2
x3 x3
0, 0.
得方程组的一般解：
即：xx12
x3 , x3.
其中x3是自由未知量.
A
a21
a2j
a2n
b2
经济数学基础线性代数之第3章 线性方程组
第一单元 线性方程组的表达一、学习目标了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念二、内容讲解线性方程组的一般表示 方程数目为m ，未知量个数为n . 下面举一个例子.例: 用矩阵形式表示方程组⎩⎨⎧-=-+=+-165443321321x x x x x x解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A ，n ＝3，m ＝2系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=165143A ，未知数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x X ，常数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14b 线性方程组用矩阵表示为b AX =即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--165143⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14线性方程组三种表示形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A三、例题讲解例1 将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=++-=--43502515432131321321x x x x x x x x x x x 改写成矩阵的形式.解：增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4315010121511154A 系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=315101151154A 常数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4021b线性方程组的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----315101151154⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4021 例2若已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500101111231021A 表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是50004321=+++x x x x 即52=x例3，线性方程组b AX =，矩阵A 是4×6矩阵，矩阵b 是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？解:有6个未知量，有4个方程.四、课堂练习练习写出下列线性方程组的增广矩阵，并写出矩阵表达形式.五、课后作业将下列方程组写成矩阵形式：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=+2423325232132121xxxxxxxx；(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=++=++-=++=+4652652652651655454343232121xxxxxxxxxxxxx(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---23542321112321xxx；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12221656516516516554321xxxxx第二单元消元法一、学习目标熟练掌握求线性方程组一般解的消元法，掌握求线性方程组的特解.二、内容讲解例：若一个线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=222111112A，求方程组的解.解:从最后一行开始，得223-=x，13-=x第二行表示的方程是232=+xx，322xx-=3)1(2=--=第一行表示的方程是12321=-+xxx，23)1(21321-=+-=xxx方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=1323321xxx归纳：当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系结论：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解.消元法：用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵；从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法。
线性代数讲义03线性方程组
第三章 线性方程组第一节 线性方程组与矩阵的行等价一 线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义3.1 多元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.例3.1 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-52452132321321321x x x x x x x x x .解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=310232321x x x .再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31-=x , 52=x , 33=x .解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.证 先证明只进行一次初等变换.首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.二 矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111写作 11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21, 称为线性方程组的矩阵表示. 其中n m ⨯矩阵)(ij a A =称为方程组的系数矩阵, 1⨯n 列矩阵),,,(21'=n x x x x 称为未知数(矩阵), 1⨯m 列矩阵),,,(21'=m b b b b 称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作b Ax =.如果数组n c c c ,,,21 是线性方程组b Ax =的解, 令列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=, 则有矩阵等式A b ξ=. 列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=是方程组的解的矩阵表示.将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵),(b A A =, 称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.(1) 交换A 的两行;(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.定义 3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作B A r−→−. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.(1) 反身性: A A r −→−; (2) 对称性: 如果B A r −→−, 则A B r −→−; (3) 传递性: 如果B A r −→−,C B r −→−, 则C A r −→−. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为B A =. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号B A r −→−. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.例3.2 用行初等变换化简矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A .解 做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−343042201312r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r . 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−3100100208012r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r .最后, 每行除以其首元素, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−310050102/3001r .定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.习题3-11. 写出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.2. 设线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1681355422351312, 写出该线性方程组, 并用消元法求解.3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1）102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; (2) 023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 11343335412232033421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭; (4) 23137120243283023743--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 求t 的值, 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----t 22122351311321的行等价标准形恰有两个非零行.第二节 矩阵的秩一 矩阵的秩的定义定义 3.8 设矩阵n m ij a A ⨯=)(, 从A 中任意选取k 行,k 列(},min{n m k ≤), 位于这些行与列的交叉点上的2k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 例如, 位于矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=312097102431A 的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为133223-=-. 一个n m ⨯矩阵有kn k m C C 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.定义3.9 如果矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不等于零, 而所有1+r 阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作r A =)rank(.如果矩阵的所有1+r 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.约定 对于零矩阵O , 约定0)rank(=O .由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设A 是非零矩阵, 则1)rank(≥A ;(2) 设A 是n m ⨯矩阵, 则},min{)rank(n m A ≤;(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为n A =)rank(. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.例3.3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=064212100321A , 求它的秩.解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, 2)rank(=A . 例3.4 求对角阵),,,diag(21n a a a A =的秩.解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.例3.5 设矩阵A 的秩等于0>r , 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.已知r A =)r a n k (, 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则r B =)rank(. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的1-r 行中, 至少有一个1-r 阶子式不等于0. 于是1)rank(-≥r B .仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者1+r .性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则(1) 转置: )rank()rank(A A =';(2) 数乘: 如果0≠k , 则)rank()rank(A kA =.证 只证(2).考虑矩阵A 的一个s 阶子式s D , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于s s D k .已知0≠k , 因此0=s s D k 的充分必要条件为0=s D .设r A =)rank(, 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有1+r 阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, r kA =)rank(.二 行初等变换用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank()rank()A B =.证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r A =)r a n k (, 则A 的所有1+r 阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有1+r 阶子式也都等于0.(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个1+r 阶子式或者就是A 的相同位置的1+r 阶子式, 或者是A 的相同位置的1+r 阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个1+r 阶子式D , 则A 有一个1+r 阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个1+r 阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果B 的一个1+r 阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为21kD D +, 其中1D 就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则2D 可以由A 的某个1+r 阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则2D 有两个相同的行. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.总之, )rank()rank(A r B =≤.另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有)rank()rank(B A ≤. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank()rank()A B =.最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有1+r 阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是r R =)rank(. 根据定理 3.4, 有r A =)rank(.例3.6 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A 的秩. 解 用行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A −→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81440472047201511−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000047201511. 矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, 2)rank(=A .例3.7 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A , 求证: )rank()rank()rank(C B A +=. 证 设矩阵C B ,的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−S O O R r , 其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.习题3-21. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=75211111A ，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. 2. 设n m ⨯矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: m s r B -+≥)rank(. *3. 设A 是n m ⨯矩阵，求证：1)rank(=A 的充分必要条件为: 存在1⨯m 非零矩阵B 与n ⨯1非零矩阵C ，使得BC A =.4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.(1) 123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (2) 321322131345561---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 1010011000011000011001011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (4) 132541413514243273613-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 求t 的值, 使得方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.第三节 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的矩阵表示为0=Ax . 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.齐次线性方程组0=Ax 总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质 3.3 如果列矩阵1ξ与2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的两个特解, 则对于任意的数k h ,, 列矩阵21ξξk h +也是方程组的解.证 将21ξξk h +代入方程组, 得)(21ξξk h A +00021=+=+=ξξkA hA . 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明.例1求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-----=+++0434503223006225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的系数矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=14345321231111162210A . 然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------14345321236221011111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−00000010006221011111r . 继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010006021050101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−00000010006021050101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=--000062054532531x x x x x x x .将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移到方程组的右边, 得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=+=0006254532531x x x x x x x . 任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设),,,,(54321'd d d d d 是方程组的任意的特解, 上面求解时3x 与5x 可以任意取值, 自然包含取值33d x =与55d x =. 由于),,,,(54321'd d d d d 是方程组的解, 必须满足方程组.因此5315d d d +=,53262d d d --=,04=d . 于是, 这个特解可以由上面的方法产生.令h x =3,k x =5, 得到齐次线性方程组的通解k h x 51+=,k h x 622--=,h x =3, 04=x , k x =5, 其中k h ,是任意常数.在通解中令1=h ,0=k , 得到齐次线性方程组的一个特解1(1,2,1,0,0)ξ'=-. 反之, 令0=h ,1=k , 得到另一个特解2(5,6,0,0,1)ξ'=-. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: 12x h k ξξ=+, 其中k h ,是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解1ξ与2ξ， 因此, 称12,ξξ为齐次线性方程组的基础解系.注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.定理 3.5 设A 是n m ⨯矩阵, 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所包含的特解的个数等于)rank(A n -.证 根据推论 3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩)rank(A 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.推论 3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数.证 根据定理 3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 根据推论3.2, 齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为n A =)rank(. 由矩阵的秩的定义, n A =)rank(的充分必要条件为0||≠A .例 3.9 设A 是n 阶方阵, 且n r A <=)rank(, 求证: 存在n 阶方阵B , 满足O AB =, 且r n B -=)rank(.证 考虑齐次线性方程组0=Ax , 根据定理3.5, 它的r n -个特解12,,,n r ξξξ-组成基础解系. 即有0i A ξ=, r n i -=,,2,1 .构造分块n 阶方阵12(,,,,0,,0)n rB ξξξ-=, 即B 的前r n -列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前r n -列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此r n B -=)rank(.另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有12(,,,,0,,0)n r AB A ξξξ-=12(,,,,0,,0)n r A A A O ξξξ-==.习题3-31. 求下列齐次线性方程组的通解.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-03200231321321x x x x x x x x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+--+=-+-+024242052420632543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ; (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ; （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+--=-+-+=+-+-02252022303220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x ax x x x ax 只有零解?4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++004202321321321x x x x x x x x ax 有非零解. 并求其基础解系.5. 设0>n , 求证: n 次多项式至多有n 个两两不同的零点.第四节 非齐次线性方程组的通解解非齐次线性方程组b Ax =的基本问题是:(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;(2) 如果有解, 求出全部解(通解).定义 3.10 将非齐次线性方程组b Ax =中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组0=Ax 称为方程组b Ax =的导出组.性质3.4 设列矩阵1η与2η是线性方程组b Ax =的两个特解, 则它们的差21ηηξ-=是它的导出组0=Ax 的解.证 将21ηηξ-=代入导出组的左边, 得)(21ηηξ-=A A 021=-=-=b b A A ηη.推论 3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.证 首先, 设列矩阵η是方程组b Ax =的特解, 列矩阵ξ是其导出组0=Ax 的特解, 则有b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ,即列矩阵ηξ+是方程组b Ax =的解.其次, 设列矩阵ζ是方程组b Ax =的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ηζξ-=是导出组0=Ax 的解. 移项, 得ξηζ+=, 即方程组b Ax =的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组0=Ax 的解ξ的和.综合两方面, 即得本推论.注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.例 3.10 求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334533237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311232462210711111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−→−0000000000002462210711111r . 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000024622101751101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−00000000000024622101751101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++-=---00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数移到右边, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+---=-++=00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的值, 即得非齐次方程组的一个特解)0,0,0,24,17('-=η.根据推论 3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系)0,0,1,2,1(1'-=ξ, )0,1,0,2,1(2'-=ξ,)1,0,0,6,5(2'-=ξ.于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为332211ξξξηk k k x +++=, 其中321,,k k k 是任意常数.例 3.11 解非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334523237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解 这个方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 通过行初等变换, 得到行阶梯形阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000001000002462210711111. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 10=. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.定理 3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论 3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.推论 3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.证 综合定理3.6和推论3.2即可.例 3.12 当b a ,取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x bx x a x x x x x x x x 有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.解 对增广矩阵做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----112323101221001111a b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−1321023101221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−→−01000101001221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----−→−01000101001221011101a b a r 根据定理3.6, 当1,1-≠=b a 时无解.当1,1-==b a 时, 非齐次线性方程组的特解为)0,0,1,1('-=η, 导出组的基础解系为)0,1,2,1(1'-=ξ, )1,0,2,1(2'-=ξ，通解为2211ξξηk k x ++=, 其中21,k k 是任意常数.当1≠a 时有唯一解)0,1,32,2(11'+--+--=b b a a b a η. 例3.13 设A 是n 阶方阵, 且0||≠A . 将A 分块),(C B A =, 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组C Bx =无解.证 线性方程组的增广矩阵就是A , 由0||≠A , 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有1-n 列, 它的秩不大于1-n . 根据定理3.6, 线性方程组C Bx =无解.推论 3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 充分性. 设0||≠A , 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵),(b A 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有≤=)rank(A n n b A ≤),rank(.根据推论3.5, 方程组有唯一解.必要性. 设方程组b Ax =有唯一解, 根据推论 3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式0||≠A .条件0||≠A 保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘b Ax =, 得b A x 1-=. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 b A x 1-=b A A *||1=, 其中方阵*A 是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得)(||12211n nj j j j b A b A b A A x +++= , n j ,,2,1 =. 根据定理 1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式||A 的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作j D , 又将||A 改写作D , 则上式为D D x jj =, n j ,,2,1 =.这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.习题3-41. 设列矩阵i η(m i ,,,2,1 =)是非齐次线性方程组Ax b =的特解, 数i k (m i ,,,2,1 =)满足121=+++m k k k , 求证: 列矩阵1122m mk k k ηηη+++也是方程组Ax b =的特解.2. 求下列非齐次线性方程组的通解. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+--=-+337713434234313214321431x x x x x x x x x x x x x ; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-22344324314324321x x x x x x x x x x ; (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-=--=++0644352523222321321321321x x x x x x x x x x x x ; (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++----nx x x x x x x x x x x x n n n n n n 122113113221 , 其中1>n .3. 求证: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++2543222432143214321x x x x x x x x x x x x 无解. 4. 求b的值, 使得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-b x x x x x x x x x x x x 432143214321114724212有解, 并求其通解.5. 当d c b a ,,,满足什么条件时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+d x x cx x b x x a x x 42314321有解? 并求其通解.6. 当b a ,取何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b ax x x x x x x x x 32132132132263132有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.*7. 设A 是n 阶方阵, b 是1⨯n 矩阵, 且分块方阵满足)rank(0rank A b b A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛', 求证: 非齐次线性方程组b Ax =有解.第五节 初等方阵与初等变换一 初等方阵定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.三种行初等变换产生三种初等方阵:(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作ij P ;(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作)(k D i ;(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作)(k T ij .三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有ij ij P P =-1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k D k D i i 1)(1, )()(1k T k T ij ij -=-.定理 3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.推论 3.7 任意矩阵A 可以表示成R E E E A s 21=, 其中i E 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.证 对A 做行初等变换, 可得其行等价标准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵i E 左乘矩阵A . 即有R A E E E s =12 . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得R E E E A s 11211---= . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.例3.14 设B A ,都是n m ⨯矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得B PA =.二 矩阵方程矩阵方程B AX =, 其中A 是n 阶可逆阵, B 是m n ⨯矩阵, 而X 是m n ⨯未知矩阵.已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得矩阵方程的解B A X 1-=. 对于可逆阵A , 存在初等方阵i E , 使得E A E E E s =12 . 用同样的初等方阵左乘矩阵方程B AX =, 得EX AX E E E s =12 B E E E X s 12 ==这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程B AX =的解B A X 1-=.例3.15设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012112A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=521234311B , 解矩阵方程B AX =.解 做分块矩阵: 左边部分是A ,右边部分是B . 做行初等变换, 得()=B A |⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----521111234012311112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−311112234012521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−143100872230521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−1431003/1053/80103/813/2001r .于是，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-1433/1053/83/813/21B A X . 如果矩阵方程B AX =中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解E A X 1-=1-=A 就是A 的逆阵. 由此得到计算逆阵的简单方法.例3.16 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆阵. 解 用初等变换法.()=E A |⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100523010012001101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−127200012210001101r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−2/112/71001150102/112/5001r于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/112/71152/112/51A . 如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得到线性方程组B AX =的解B A X 1-=. 而且这种解法正是前面的消元法.性质 3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.证 设A 是p m ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵, r A =)rank(. 先证明r AB ≤)rank(.根据推论 3.7, 有R A E E E s =12 , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得RB AB E E E s =)(12 . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有)rank()rank()rank(A r RB AB =≤=.转置可证明另一部分.例3.17 设A 是可逆阵,则)rank()rank(B AB =.证1 记矩阵AB C =. 由性质 3.5, 有)rank()rank(B C ≤. 用逆阵1-A 左乘AB C =, 得C A B 1-=, 从而有)rank()rank(C B ≤.上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有B E E E AB s 12 =. 再根据定理 3.4, 有)rank()rank(B AB =.三 初等变换与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.(1) 交换A 的两列;(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去,与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.性质 3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;(3) 矩阵的列等价是等价关系;(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得B AQ =.与用行初等变换解矩阵方程B AX =类似, 可以用列初等变换解矩阵方程B XA =.例3.18设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=234311B , 解矩阵方程B XA =.解 做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B变成矩阵方程的解1-=BA X . 如果用→表示列等价, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---234311111012112⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→423131*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→253321301011001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→3/253/8122100010001. 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X . 例 3.19 设分块矩阵),(B A , 求证: )rank()rank(),rank(B A B A +≤.证 设矩阵B A ,的列等价标准形分别为S R ,,则R 与S 分别有)ra nk(A 与)rank(B 个非零列. 从而分块矩阵),(S R 有)rank()rank(B A +个非零列. 另一方面, 如果在矩阵),(B A 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵),(S R . 于是, 有)rank()rank(),rank(),rank(B A S R B A +≤=.。
线性代数 第三章 线性方程组 3.3
提示 根据方程x1a1x2a2 xn ano有非零解的充要条件
定理34(判断方法) 设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性相关的 充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小于向量 的个数n 定理的另一叙述 设a1 a2 an是m维行向量组 则a1 a2 an线性相关的 充分必要条件是 以a1T a2T anT为列向量的矩阵的秩小于 向量的个数n 定理的另一叙述 设a1 a2 an是m维列向量组 则a1 a2 an线性无关的 充分必要条件是 以a1 a2 an为列向量的矩阵的秩小等于 向量的个数n
秩(A)3 恰等于向量组中向量的个 所以此向量组线性无关
例9 证明 如果向量组a1 a2 a3线性无关 则向量组 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1也线性无关 证 设x1b1x2b2x3 b3 o 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)o 整理得 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3o 因为向量组a1 a2 a3线性无关 所以必有
和
a1n a11 a12 a a a 21 x1 22 x 2 2 n a m1 am 2 a mn
线性方程组有无解的等价提法 线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
秩(A)23 所以向量组a1 a2 a3)线性相关
例8 判断向量组 a1(1, 2, 0, 1) a2(1, 3, 0, 1) a3(1, 1, 1, 0) 是否线性相关 解 因为
《经济数学基础》线性代数.doc
《经济数学基础》线性代数第3章 线性方程组1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．• 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ；AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )．• 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ；AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．A ．2×3矩阵B ．3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ．例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ．A ．可能有解B ．有无穷多解C ．无解D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．正确的选项是D ．例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．12解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12． 正确的选项是D ．例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )．A ．秩(A ，B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ rC ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．例5 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=001001301038001002001311001231131101311001231123211212101231A 因为 ，秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3，所以，方程组有解．一般解为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0318334241x x x x x (x 4是自由未知量)例6 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121 可见，当c = 0时，方程组有解．且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 所以，原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x xx（x 3是自由未知量）。
线性代数第三章第三节线性方程组的解课件
B1 1 ~1 1
1
1 2
1
1
1
1 1
2
~ 0 - 1 1 - - 2
0
1-
1 - 2
1
-
2
1 1
~ 0 -1 1-
2
- 2
0
0
2 - - 2
1
-
2
-
3
1 1
0 -1
1-
2
1 -
0
0
1 - 2
1
-
1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
-
x2 x2
x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x2 x3 x4
x2
1 0
0
x4
0 2 1
102 .
0
其中x2 , x4任意.
x1 - x2 a1
例４
证明方
程组
x2 x3
-
x3 x4
a2 a3
x4
-
x5
a4
x5 - x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
0
0 1
-2 2
《线性代数》教学课件—03线性方程组
1 1 0 2 ((11))rr32 0 1 1 0
0 0 1 3
阶梯形矩阵所对应的线性方程组为
x1 x2 2
x2
x3
0
x3 3
第三步 运用逐步回代求出阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解
x1 1
x2
3
x3 3
上述解即为原方程组的解. 由于此方程组中未知数的个数n和方程m的个 数相同，故方程组的解是惟一的.
rr1223rr33 0 1 0 20 5 0 r1(3)r2 0 1 0 20 5 0
0 0 1 7 2 0
0 0 1 7 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
第三步 增广矩阵的秩 R(AB) 3，基本未知量的个数是3，未知量的个数是5， 所以自由未知量个数为2个.
第四步 写出行最简形阶梯矩阵所对应的线性方程组
x1 x3,
x2
x3
1,
x4
x3
1.
（3.1.4）
表示式（3.1.4）也是方程组（3.1.1）的一般解. 虽然两个一般解的 表达形式上不一样，但它们本质上是一样的，都表示了方程组（3.1.1） 的所有解.式(3.1.4)的矩阵形式为：
x1 1 0
x2
k
1
1.
x3 x4
3 7 1 1 3 0
1
4
5
1
0
0
第二步用初等行变换将( A B)化为行最简形阶梯矩阵
(3.1.9)
1 3 2 2 1 0
1 3 2 2 1 0
( A B) 2 5 1 5 3 0 rrr342(2r1r13)r10 1 3 1 1 0
3 7 1 1 3 0
0 2 5 5 0 0
线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S2 线性方程组的解法 (2)
a11 a12 a21 a22
a1r a2r 0
ar1 ar 2
arr
因此，增广矩阵B的前 r 个行向量是其行向量组 的一个极大线性无关组.
从而知，方程组(1)中后m－r个方程可用前 r 个方 程表出. 因此可消去（即是多余的），改写前 r 个方程
xr1 xr1, , xn xn 因 0 ，由Cramer法则得方程组(2)的唯一解 ：
x1 x1, x2 x2 , , xr xr
故( x1, x2 , , xr , xr1, , xn ) 就是方程组(1)的一个解.
这就证明了，当 rA rB 时方程组(1)有解.
9
定理2
充分性的证明过程也是解线性方程组的一般 规则. 当r<n时，解向量依赖于n-r个参数.
8
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ar1 x1 ar 2 x2
a1r xr b1 a1r1 xr1 a2r xr b2 a2r1 xr1
arr xr br arr1 xr1
a1n xn
a2n x(n2)
arn xn
方程组(1)与(2)是同解的. 对于任一组数
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式 D=|A|=|aij|≠0 时，存在唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
,, xnBiblioteka Dn D.5
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数列代替后所得到的 n 阶行列式，即
第3章 线性方程组 3PPT课件
方程组中首项非零元是: x1,x3,x4 自由变量是: x2 , x5
14
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2z 1 3 x y 2z 7 5 x 3 y 4z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2y 2z 1 x2y2z1 x2y2z1 3x y 2z 7 7y11z107y11z10
返8回
1.高斯消元法
3x14x26x34
例1 用高斯消元程 法组 解 x1线 2x2性 4x3方 1
x12x27x30
99
3x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 4x3 1
解:
x1
2x2
4x3
1
r 1 r23x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 7x3 0
x1 2x2 7x3 0
注: 对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能 取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到 三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无 解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
16
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
5x 3y 4z 2
7y11z7
0y0z3
这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退 化方程，该方程无解，所以该方程组无解.
15 15
定理3.2.1 任一线性方程组必满足以下三项中之一项： （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.
实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组， 即可判断出无解的情形; 当方程有解时，如果化简后的方 程组中没有自由变量，即为三角形方程组，则方程组有惟 一解；若方程组中有自由变量，则方程组有无穷解.
线性方程组教案
经济数学基础教案—第3章 线性方程组任课教师：赖景东3.1线性方程组教学目标：了解线性方程组的系数矩阵、增广矩阵的概念，会用矩阵方法求线性方程组的解。
重点难点：求线性方程组的解 教学过程与内容：【1】考虑由n 个线性方程式构成的n 元线性方程组，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++22m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221222************ （3.1.1）其中，i x 是未知量，ij a 是第i 个方程中第j 个未知量j x 的系数，i b 是第i 个方程的常数项（1,2,,;1,2,,.im j n ==）（1）当常数项1,2,,m b b b 不全为0时，称方程组（3.1.1）为非齐次线性方程组（2）当常数项1,2,,m b b b 不全为0时，称方程组（3.1.1）为齐次线性方程组则（3.1.1）线性方程组可以用矩阵形式表示为：假设由未知量系数构成的行列矩阵称为系数矩阵，记为A ，即由未知量构成的矩阵称为未知量矩阵，记为X ；由常数项构成的矩阵称为常数项矩阵，记为b ，即与这时此线性方程组可以表示为矩阵形式AX=b【2】已知由个线性方程式构成的元线性方程组，由未知量系数与常数项构成的行列矩阵称为增广矩阵，记为[]A A b 或3.1.1方程组的增广矩阵为1111212j 21j n n m mjmn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系数矩阵A未知量矩阵X常数矩阵b11121121222212n n m m mnm a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过下面两道例题来教会学生如何写增光矩阵和增广矩阵的用法【例1】 写出下列线性方程组的系数矩阵,增广矩阵和矩阵形式1231231312345152 + 0534x x x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎪⎨=⎪⎪-+=⎩解：系数矩阵是451151101513A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦451115*********4A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦增广矩阵该增广矩阵的线性方程组如下：12131212233x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩练习：方程组的矩阵形式是AX ＝b ，即1234511151210105134x AX x b x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出 它的线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=303122011011A 写出下列线性方程组的增广矩阵123412341234123425323324234713244x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--++=-⎪⎨-+--=-⎪⎪+++=⎩【3】解线性方程组常用的方法——消元法 1.交换线性方程组的任意两个方程；2.线性方程组的任意一个方程乘以非零常数；3.线性方程组的任意一个方程的常数倍加到另外一个方程上去；例1：解线性方程组123412341234123425323324234713244x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪--++=-⎪⎨-+--=-⎪⎪+++=⎩123412341234123424432423471325323x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--++=-⎪⎨-+--=-⎪⎪++-=⎩(①, ④)1234234234234244514487455 545x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++=⎪⎨+-=-⎪⎪--=-⎩②+ ①3 ③+ ①2 ④+ ①(-2) 1234234234234244 5457455 51448x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=-⎪⎨+-=-⎪⎪++=⎩(②, ④)③+ ②(-7)④+ ②(-5)12342343434244545392330 392433 x x x xx x xx xx x+++=⎧⎪--=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩1234234344244545 3923303 x x x xx x xx xx+++=⎧⎪--=-⎪⎨+=⎪⎪=⎩④+ ③(-1)因此，可得该方程组的解为 12341,2,1,3x x x x ===-=上面表格中的方法称为高斯消元法练习：黑板的上例2，例3 例2：解线性方程组123412341234423932884x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪-+--=-⎩ 例3：解线性方程组1234123412342342323883295 234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩ 同学们做完例2和例3是不是感觉这种解方程的方法很简单啊，那么这就是我们这种消元法的作用了，和大家之前学的矩阵求逆很相似吧！总结，高斯消元法可以快速的解决方程的求解问题，是我们用来解n 元线性方程组的有效武器。
线性代数线性方程组第三章线性方程组
见例2：
2x1 x2 x3 2x4 0 x1 x2 2x3 x4 0
x1 x2 2x3 2x4 0
3
X
t
5
1
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
由此可得原方程组的通解(general solution)
x1 = 5x3+1
5c+1
x2 = 2x32 或写成向量形式 x = 2c2 ,
x3 = x3(任意)
c
其中c为任意数.
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1. 线性方程组的初等变换
(elementary reduction operations /
row operations / Gaussian operations)
对换变换(swapping)
倍乘变换(rescaling)
倍加变换(pivoting)
注: 倍乘变换必须用非零的数去乘 某一个方程(multiplying by a
nonzero scalar).
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
2. 阶梯形线性方程组的有三中基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
leading variables
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
free variables
非齐次线性方程组(nonhomogeneous ~)
线性代数第三章课件：线性方程组
章
有无穷多解 R(A) R(A, b) n
线
(2)无解 R(A) R(A,b)
性
方 由定理1容易得出：
程
组
定理 2 n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解
R(A) n 进一步，由定理1还可以推广得到：
定理 3 矩阵方程AX B有解 R(A) R(A,B)
例1 设A是一个 mn 阶矩阵,且 R(A) r, 则 (a)
1. 多元线性方程组
第 一般地，n 个未知数 x1, x2, , xn 的如下形式的方程
三
章
a1x1 a2 x2 an xn b
线
性 称为n元一次方程，也称为n元线性方程，其中
方
程 组
a1, a2 , , an , b是已知常数，a1, a2 , , an是一次项系数,
b是常数项。
具有同样n个未知数 x1, x2, , xn 的若干个一次方程 组成的方程组：
x2
0
0
所有满足x1 x2 的数都是它的解
所以该方程组有无数多解。
程
组
x1 x2 0
③
x1
x2
1
x1 x2 2
显然不存在 x1, x2 , 使 x1 x2 1
和 x1 x2 2同时成立 故该方程组无解。
第
④
x1 x1
x2 x2
0 2
系数行列式 D 1
1 0
11
由Cramer法则知其有唯一解 x1
a21
a22
组
am1
am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
,
xn
b1
b
第三章线性代数ppt课件
二. Gauss消元法 • 阶梯形线性方程组的有三中基本类型 2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 无解 0=1 x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 有唯一解
有无穷多解
第三章 ·线性方程组
§3.1线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
一. 非齐次线性方程组的相容性
定理3.4. 设ARmn, bRm, 则
(1) Ax = b有解秩([A, b]) = 秩(A);
(2) 当秩([A, b])=秩(A)=n时, Ax = b有 唯一解; (3) 当秩([A, b])=秩(A)<n时, Ax = b有 无穷多解, 且通解中含有n秩(A) 个自由未知量.
第三章线性代 数
第三章 ·线性方程组
§3.1线性方程组和Gauss消元法
Ax = b 齐次线性方程组( b = 0)
线性方程组的分类 非齐次线性方程组 (b 0)
线性方程组的解
无解 (不相容) 有解 (相容)
唯一解 无穷多解 (通解)
表示全部解的表达式
第三章 ·线性方程组
§3.1线性方程组和Gauss消元法
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
§3.2 齐次线性方程组 齐次线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn = 0 a21x1+a22x2+… a2nxn = 0 … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn = 0 零/平凡解, 非零/平凡解
【免费下载】经济数学基础线性代数之第3章 线性方程组
x1 x2
5x2 5x3
6
x3 6x4
x3 5x4 6x5 2
5x4 6x5 4
5 6 0 0 0 x1 1
1 5 6 0 0 x2 2
0
1
5
6
0 0 1 5 6 x4 2
写线性方程组的增广矩阵时，必须将每一个未知量前的系数及常数项都写出，若为 0，也必须写上 0. 写出增广矩阵
1 1 0 1 5
2
0
2 1
1 2 8 4 1
(1)
(1) 3
五、课后作业
0
将下列方程组写成矩阵形式：
2xx11
1
A
4 5 1
1 1
1 1 3
5
x1
x2
x3
5 0
1
表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有
几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？
解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前 4 列是未知量的系数，故这个方
案填写 0.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
线性代数 经管类 第三章 线性方程组
1 1 1 l B 1 1 l 1 1 1 1 l
0 3 l
解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．
1 1 1 l 1 l 1 1 1 1 1 l 1 1 ~ 0 l r3 (1 l ) r1 0 l
1 1 1 0 1 1 1 0 r 当 l = 0 时， B 1 1 1 3 ~ 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解．
2 1 1 0 1 0 1 1 r 当 l = －3 时， B 1 2 1 3 ~ 0 1 1 2 1 1 2 3 0 0 0 0
R( A) n
否 无限多个解 包含 n-R(A) 个自由变量 的通解
习题3-1
选择题 (1)设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必 要条件是系数矩阵的秩r(A)（ D ） A.小于m； B.小于n； C.等于m； D.等于n (2)非齐次线性方程组Ax=b的导出组 Ax=0，如果Ax=0仅有零 解，则Ax=b（ D ） A.必有无穷多解； B.必有唯一解； C. 必定无解； D.都不对 (3)设A为m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b的导出组 Ax=0 ，如果m<n，则（ C ） A.Ax=b必有无穷多解； B.Ax=b必有唯一解； C.Ax=0必有非零解； D.Ax=0必有唯一解.
②
③ ④
1 0 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 B4 0 0 1 3 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
x1 x2 2 x3 x4 4, x2 x3 x4 0, x4 3, 0 0. 4, x1 x3 x2 x3 3, x4 3, 0 0.
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第一单元 线性方程组的表达一、学习目标了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念二、内容讲解线性方程组的一般表示 方程数目为m ，未知量个数为n . 下面举一个例子.例: 用矩阵形式表示方程组⎩⎨⎧-=-+=+-165443321321x x x x x x解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A ，n ＝3，m ＝2系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=165143A ，未知数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x X ，常数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14b 线性方程组用矩阵表示为b AX =即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--165143⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=14线性方程组三种表示形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11654143A三、例题讲解例1 将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=++-=--43502515432131321321x x x x x x x x x x x 改写成矩阵的形式.解：增广矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4315010121511154A 系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=315101151154A 常数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4021b线性方程组的矩阵表示为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----315101151154⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4021 例2若已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=500101111231021A 表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是50004321=+++x x x x 即52=x例3，线性方程组b AX =，矩阵A 是4×6矩阵，矩阵b 是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？解:有6个未知量，有4个方程.四、课堂练习练习写出下列线性方程组的增广矩阵，并写出矩阵表达形式.五、课后作业将下列方程组写成矩阵形式：(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=+2423325232132121xxxxxxxx；(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=++=++-=++=+4652652652651655454343232121xxxxxxxxxxxxx(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---23542321112321xxx；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12221656516516516554321xxxxx第二单元消元法一、学习目标熟练掌握求线性方程组一般解的消元法，掌握求线性方程组的特解.二、内容讲解例：若一个线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=222111112A，求方程组的解.解:从最后一行开始，得223-=x，13-=x第二行表示的方程是232=+xx，322xx-=3)1(2=--=第一行表示的方程是12321=-+xxx，23)1(21321-=+-=xxx方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=1323321xxx归纳：当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系结论：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解.消元法：用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵；从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法。
问题：若一个线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后，若最后一个非0行：（1）出现了“0 0 0 0 2 0”行，该方程组有解吗？（2）出现了“0 0 0 0 0 2”行，该方程组有解吗？答案（1）有解，因为这个方程代表了方程254321=++++xxxxx，所以05=x；（2）无解.三、例题讲解例1解线性方程组解:增广矩阵它所对应的方程组就是这种形式的方程组称为阶梯形方程组.用回代的方法求出方程组的解为例2解线性方程组解：增广矩阵为因为最后一行表示的方程是1321=++xxx，所以原方程组无解.例3解线性方程组解将增广矩阵化成阶梯形矩阵第二行表示的方程是132432=++-x x x ，432212321x x x ++-=第一行表示的方程是14321=+-+x x x x ，43211x x x x -+-=43232123x x --=原方程组的解为等号右边的未知量43,x x 称为自由未知量，用一组自由未知量表示其它解的形式称为线性方程组的一般解，含有自由未知量的线性方程组有无穷多解.将阶梯形矩阵继续化简，化成行简化阶梯形矩阵：定义：阶梯形矩阵如果具有下列特点，则称为行简化阶梯形矩阵： （1）每行的首非0元素都为1；（2） 每行的首非0元素所在的列其余元素都为0. 所以上述方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=432431212321232123x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量） 四、课堂作业 练习解线性方程组五、课后作业1．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000001251001831203536121 求方程组的解.2.用消元法解下列线性方程组：(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=---=++-=-+1512432734452873321321321321x x x x x x x x x x x x ；(2)⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-113254236532432143214321x x x x x x x x x x x x(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=----=+-+--=-+-11635194912439325432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x ；(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------161211394223411210551324321x x x x 3.解下列齐次线性方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+-=-+-023025303425432143214321x x x x x x x x x x x x第三单元 线性方程组解的情况判定一、学习目标理解线性方程组有解判定定理，熟练掌握线性方程组解的情况判定方法二、内容讲解在这一节里我们关心的问题是，一个线性方程组究竟是有解，还是无解？如果有解，是有一个解，还是有无穷多个解？我们先来讨论齐次线性方程组.先介绍什么叫齐次线性方程组.称0=AX 为齐次线性方程组，)0(≠=b b AX 为非齐次线性方程组 1.关于齐次线性方程组0=AX 解的情况： (1)0=AX 总有解，至少有一个0解；(2)0=AX 在什么条件下只有0解？在什么条件下有非0解？ 结论：A ——n m ⨯矩阵当秩n A <)(时，0=AX 有非0解; 当秩n A =)(时，0=AX 只有0解.下面结合前面讲过的例子来分析齐次线性方程组解的情况. 例3 解线性方程组解 增广矩阵化成阶梯形矩阵 线性方程组的一般解为⎩⎨⎧=-=323145x x x x （3x 是自由未知量）结论：A ——n m ⨯矩阵当秩n A <)(时，0=AX 有非0解，当秩n A =)(时，0=AX 只有0解. 下面我们要讨论关于线性方程组解的第二个问题： 非齐次线性方程组)0(≠=b b AX 解的情况.首先看一个问题：非齐次线性方程组)0(≠=b b AX 在什么条件下无解？ 我们从以前作过的例子分析. 例2 解线性方程组解 增广矩阵化成阶梯形矩阵为 A最后一行表示的方程是 1000321=++x x x ，原方程组无解. 再来看以前解过的一个方程组. 例4 解线性方程组解A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00000100002521004321第三行表示的方程100004321=+++x x x x 线性方程组无解.总结线性方程组无解时的特征，观察例4的增广矩阵化成阶梯阵后的形式：A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00000100002521004321特点：A 的秩是3，A 的秩是2，从中归纳出系数矩阵与增广矩阵的秩的特点与解的关系. 2.定理15.1⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ - → 1 0 0 0 3 1 3 0 1 1 1 1线性方程组)0(≠=b b AX 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与它的增广矩阵的秩相等，即当秩)(A ＝秩 (A ).再来讨论第二个问题：如果有解，解是一个还是无穷多个？看前面讨论的例子.例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=--+--=++--=-++442137432423323524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：增广矩阵化成阶梯阵A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→31000302339005451041421有唯一解.例3：解线性方程组解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵 有无穷多解，一般解中有两个自由未知量. 3.定理3.2若线性方程组)0(≠=b b AX 有解，则当秩=)(A 秩n A =)(（未知量的个数）时，方程组有唯一解；当秩=)(A 秩n A <)(时，方程组有无穷多解.三、例题讲解例1解线性方程组b AX =，其中解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=25210334322111104321A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00000100002521004321第三行表示的方程100004321=+++x x x x ，线性方程组无解。
例2解线性方程组 解：增广矩阵由第二行得1232=-x x ，)1(2132x x +=线性方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=323121212323x x x x （3x 是自由未知量）方程组有无穷多解.例3 解线性方程组 解：增广矩阵 化成行简化阶梯形矩阵线性方程组的一般解为⎩⎨⎧=-=323145x x x x （3x 是自由未知量）例4 判断线性方程组解的情况 解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵这是齐次线性方程组，由于系数矩阵的秩等于未知量的个数，所以方程组只有0解 例5线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=++23022132321321x x x x x x x x ，是否有解？解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵由于秩（A ）＝3≠秩（A ）＝2，方程组无解. 例6 线性方程组当b a ,为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 解：将增广矩阵化成阶梯形矩阵当a +1≠0，a ≠－1时，秩（A ）＝秩（A ）＝3，解唯一； 当a ＝－1，b ≠1时，秩（A ）＝3≠秩（A ）＝2，无解； 当a ＝－1，b ＝1时，秩（A ）＝秩（A ）＝2，有无穷多解. 四、课堂练习练习1 判断下列齐次线性方程组解的情况，并求解.系数矩阵是未知量系数组成的矩阵,不含有常数项.这是齐次方程组，只列系数矩阵.将未知量的系数按在方程组中的次序写成矩阵形式A =------⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2513421212156 由于齐次线性方程组增广矩阵的最后一列都是0,进行初等行变换时这一列不影响矩阵的秩，故最后一列可以不写出，只对系数矩阵进行初等行变换即可.当系数矩阵化成阶梯形矩阵时，若非0行数(矩阵的秩)等于未知量的个数，则只有0解；若非0行数(矩阵的秩)小于未知量的个数，则有非0解，继续将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，从中得到齐次线性方程组的一般解.练习2 当b a ,为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++b ax x x x x x x x x 32132132122352023 ，有唯一解、无穷多解或无解.五、课后作业1.判断下列方程组解的情况（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-14752332511131112321x x x （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------412131122115322311124321x x x x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+----=+-+-=++-=---262424205836234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=---=+-=+++0523503203540352343214314214321x x x x x x x x x x x x x x2. 判断下列方程组是否有解?若有解，求出解.3.判断下列方程组解的情况, 若有解，求出解.（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5123533111222311321x x x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-23254236532432143214321x x x x x x x x x x x x 1.（1）唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解 (4)有非0解；2.（1）λ=-3时，有无穷多解，一般解为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=623843421x x x x x (其中4x 是自由未知量)；（2）λ≠-3时，无解.3.（1）⎩⎨⎧=-=1321x x x (2x 是自由未知量) （2）无解.。