两直线平行的充要条件

合集下载

两直线夹角和到角

；
姿态享用。它们接受了残酷的现实，并学会把这看成生存的常态。他们的适应能力是很强的。适应能力强，这对人，对鸟，对任何生物，都是一个褒奖的词语。它们无师自通，就懂得了站在主人为它们架在笼中的假树杈上，站在笼子的中心位置，而不是在笼壁上徒劳地乱撞。就像主人所期待的那样，优雅地偏头梳理它们的羽毛，如果有同伴，就优雅地交颈而眠。更重要的是，当太阳升起的时候，或者主人逗弄的时候，就适时适度地婉转歌唱，让人感觉到生活是如此的自由、祥和、闲适。而天空和扑翼这种与生俱来的事情，也就是多余的了。但有一些鸟的适应能力却很差，这大抵是鸟类中的古典主义者或理想主义者。它们对生命的看法很狭隘，根本不会随现实场景的转换而改变。在最初的惊恐和狂躁之后，它们明白了厄运，它们用最荏弱的姿态来抗拒厄运。他们是安静的，眼睛里是极度的冷漠，对小碟小碗里伸过来的水米漠然置之，那种神态，甚至让恩赐者感到尴尬，感到有失自尊。鸟儿的眼睛里一旦现出这样的冷漠，就不可能再期待它们的态度出现转机，无论从小笼子换到大笼子，还是把粗瓷碗换成金边瓷碗，甚至于再赏给它们一个快乐的伙伴，都没有用了。这一切与它们对生命的认定全不沾边儿。事实上，这时候它们连有关天空的梦也不做了，古典主义者总是悲观的，绝望的，它们只求速死。命运很快就遂了它们的心愿。而我一直怀有敬意的，是鸟儿中的另一种理想主义，这种鸟儿太少，但我侥幸见过一只，因为总是无端想起，次数多了，竟觉得这鸟儿的数目似乎在我感觉中也多了。我见到这只鸟儿的时候，它在笼中已关了很久了，我无从得见它当初的惊恐和焦灼，不知它是不是现出过极度的冷漠，或者徒劳地撞击笼壁，日夜不停地用喙啄笼壁的铁枝。我见到它的时候，它正在笼子里练飞。它站在笼子底部，扑翼，以几乎垂直的路线，升到笼子顶部，撞到那里，跌下来，然后仰首，再扑翼……这样的飞，我从来没见过。它在笼中划满风暴的线条，虽然这些线条太短，不能延伸，但的确饱涨着风暴的激情。它还绕着笼壁飞，姿态笨拙地，屈曲着，很不洒脱，很不悦目，但毕竟它是在飞。它知道怎样利用笼内有限的气流，怎样训练自己的翅膀，让它们尽可能地张开，尽可能地保持飞翔的能力。在这样一只鸟的面前，我感觉惭愧。一般我们很难看见鸟是怎样学飞的，那些幼鸟，那些被风暴击伤了的鸟，那些在岩隙里熬过隆冬的鸟，还有那些被囚的鸟。这是一件隐秘的事。我们只看见它们在天空中划过，自由地扑翼，桀骜地滑翔，我们只羡慕上帝为它们造就了辽阔的天空。但在看到那只在笼中以残酷的方式练飞的鸟之后，我明白，天空的辽阔与否，是由你自己造就的，这种事情上帝根本无能为力。上帝只是说，天空和飞翔是鸟类的生命形式，而灾难和厄运也是世界存在的另一种形式。至于在灾难和厄运中你是否放弃，那完全是你自己的事情。只要眼睛里还有蓝天? 兰心人们常常爱将“遗憾” 两字挂在嘴边。遗憾，一个颇为伤感的字眼，令人心碎。十多年前的一个茫茫暗夜，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，在车厢黯淡的灯影下，我凭窗而坐，凝望着那一棵棵如风掠过的白桦树，蓦地，“遗憾”这两个字扑进眼帘。就在这一刹那，我在人生交叉点上作了一个重要的抉择。而在往后的岁月里，因为这个决定，又引起了种种不同的遗憾，却是始料不及的。曾经听过这样一个故事。一位美国宾夕法尼亚艺术学院的教授，在不惑之年，竟然尝试去实现童年梦想，他不惜放弃优职高薪，从养狮开始到驯狮、驯虎豹，最终成为美国一代马戏大师。当他向万千观众致谢时，盈泪的双眼，令他看不清那无数个兴高采烈的欢颜。在舞台探照灯的照耀下，他的梦想实现了，事业达到了顶峰。然而，这期间，结婚十几载的妻子因无法理解他的行动，离开了他。生命，最终留下了遗憾。每个人都有自己遗憾的故事。当我们站在母亲的墓前，咀嚼着“子欲养而亲不在”的悲哀时；当空间与时间的不吻合而改变了一生的命运时；当一段美丽的情缘，最终刻在心坎上的，只是惆怅的回忆时；当滚滚红尘中，寻觅到一张亲切的面孔，却又在擦身而过的瞬间消逝时；当逝水年华，岁月蹉跎，留下了一个个苍白、空虚的印记时……遗憾带来的况味，竟是如此悲凉、无奈。在这一瞬间，世界变得残缺不全，我们仿佛成了生命的弃儿，缘于那神秘的玄机不在自己的掌握之中。叔本华说过，人们就像那些炼金者，原指望炼出金子，谁知却往往发现了一些更有价值的事物，如火药、药、化学化合物和一些自然原理。从这个角度去说，当人们感到遗憾时，可能有另一种意想不到的收获出现。芳心虽然憔悴，灵魂却更为坚强。 ?谁说遗憾不是一种苦难？而在诗人的眼里，苦难也是美丽的。有遗憾，就意味着有惋惜、有追悔，心儿念念不忘的，仍是对憧憬的追寻，生活中也可能出现一个个感人至深的故事。哀莫大于心死，一旦伤痕化为云烟，深深的遗憾也不会来光顾心房了。一位朋友，夫妇俩年轻有为，事业有成，在上天的眷顾下，人生已经太完美，夫复何求之际，却令人感到寂寞，没有新鲜感可言。我想，他的遗憾，恰恰是因为没有遗憾吧？遗憾，令人流泪，也令心灵更加温柔。世上再没有一种东西，让你能如此快乐而忧伤。只要我还有一双眼睛，这眼睛里装满了如洗的碧空，天色蓝得让瞳仁里满是细碎的小蓝点在跳跃，人生就依然有希望。那已逝去的无数个遗憾，点缀了平淡的日子；涟漪过后，更留下点点余韵，回味无穷。如果说，人生是一本书，遗憾不啻是一串串省略号，空白之处，蕴含深刻的哲理；如果说，人生是一出音乐剧，遗憾不啻是一个个休止符，无声之中，酝酿着新的活力！一瞬间的寂静，凝聚起下一个乐章的序幕。 ?我想，遗憾，在生命的历程里，扮演的，恰恰是这样一种角色吧？熬? 药? 吴克诚所谓的药就是一些亡去很久的草。长得正好的草是不配叫药的，即使硬放进药屉，不久它也会烂掉，因为它未经晒、烘、焙或炒——九九八十一劫，少了一劫，也不能成药。所以药都身世沧桑。身世沧桑的药只能以文火慢熬。我喜欢这个“熬”，“煎药”的煎太轻薄，与药的身世不协调。 ?急火出菜，文火出药——饱经沧桑之心，除了以文火轻拢慢捻，是断不能把它再打开了——且看文火不疾不徐在药锅底下缭绕，缭绕成花的瓣，那么锅中药就是瓣中蕊了。熬着熬着，蕊心舒开，尘封已久的沧桑便一丝一缕地倾吐出来。越王勾践很善于用文火熬药。越国病入膏肓，他却不慌不忙，他用去二十多年的光阴，来熬一服复国之药。伍子胥在这方面可就逊色了，他输在一个“急” 字上，一急，药煳了。急火攻心，自己当然也在劫难逃。沧桑是苦涩的，所以药都苦。苦药祛病。魏征是个善献苦药的人。唐太宗善喝苦药。虽然有时他也会紧皱眉头，但他最终还是咽了下去。商纣王咽不下去，渐渐就百病缠身了。病是潜伏着的阴谋，肉眼一时半会儿很难看到，它一旦显山露水，就势如破竹了。小孩子理解不了药的苦心，所以小孩子总拒绝好心好意的药。我甚至都拒绝走进父亲的药房——我至今仍记着那个春夜，月色正好，我溜进父亲的药房，倚着门，看他熬药。摇曳的烛影里，父亲被药拥着，也如一味药了。药香如蝶，满室翩跹。父亲说：“过来啊，过来叫药熏熏。”我可不愿让它熏，我一扭头，转身就跑，一地花影都被我踩碎了。今夜，父亲故去已整整十年。当初那些被我踩碎的花影仍在。春夜也在。月也正好。可是再也不会有人唤我熏药了…… 当初面对那些苦药，我真不应拔腿就跑…… 从生到老，谁能离得了那些药？从生到老，谁能说清，究竟要咽下多少药？我们这样近，我们这样远? ?冷夏阳光像梦一样，安静的落入我平凡琐碎的生活深处，在这个春天的下午。我坐在阳台上，手里捧着一本梭罗的《瓦尔登湖》。多少年来，每次阅读它，我都会闻到那片树林的青涩气，那面湖水波光淡然冷静，潮湿的新鲜的水气。我感到一种非常遥远的愉快，可以在一本书里自由的跑步呼吸。许多的事情，过去了就过去了，不可能重现。惟有音乐和文学，适合等待、遥望、冥想。 ?一直认为梭罗还活着，他活在一个地方，离我的住处遥远，离我的感觉很近的某个地方。对他文字的爱恋，就像我对生命的向往一样，永远不会消失。阳光穿透玻璃的窗子，使我感觉温暖。手禁不住要伸出去握住什么。这个多么重要，在我表面生活的背后，意识到自己蕴藏着丰富的情感，而这些情感一直活在心里。 ?梭罗的文字，是干净安静的雪，可以清凉燥渴的灵魂。可以听见来自纯粹生命深处的自然歌吟----“曾有个牧羊人活在世上，他的思想有高山那样崇高，在那里他的羊群，每小时都给予他营养。” 那与我失之交臂的时光和旧梦，充满恍惚怅然的珍惜之感。想到夏洛蒂.勃朗特、奥尔科特和奥思汀的时代，从古堡到庄园，马车的轱辘慢慢辗转，那些沐浴在舒适阳光里的蔓草丛生的小径，夏天开满野蔷薇，秋天以山楂和黑莓著名，冬天最令人赏心悦目的是完全的寂静和无叶的安宁。可以步履缓慢、从容。可以用一个上午的时间写一封并不长的信，用一个下午的时间眺望牧场上丝绒似的草坪和栅栏两侧的冬青。晚上坐在炉火旁怀揣着心事，躲避祖母探询的目光，阅读或编织。却努力等待着有马车夫忽然的脚步声，急匆匆撩开寒冷的夜色带来了温暖克制的爱情的回音。我合上《瓦尔登湖》，从阳台尽力向远方眺望。这个春天的午后和以往没有什么不同，宽阔的街道依然人群如织，车水马龙。很多次我试着站在高处，超越自己有限的目力，尽力透过繁华而富有生命的城市，透视那些纷纭热闹的核心究竟是什么。生存的紧迫和焦虑带来一张张匆忙麻木的面孔，不知道在那样面孔的身体里，除了对名利的疯狂追逐，是否还留有一点时间对珍贵东西的失落进行偶尔打捞，是否还留有一点空间可以温情的抗拒或冲淡什么。世界嘈杂多变。人们拥有广泛的人际关系，却缺乏深刻的情感交流。人们在虚拟的互联网上寻找知己，为或许根本不存在的爱情痛苦沉沦，而不在乎结局如何。人心越来越疲惫困顿，情感越来越冷酷灵活。我对实际生活中过分热络的友情，对虚拟世界激情的可靠性一直保持平和的怀疑态度。夜晚，当一切安静下来，我对自己说：写吧，无论写什么。文字是心灵的古典音乐，是柏油路上的清泉。为了不失去它，用自己的方式来等待和怀念。喜欢阅读的人，也可以从我的文字中看见

平行的条件(1)

F
（1）请写出图中相等的角；
（2）写出图中平行的线段，并说明理由。
E
A B C D
墙壁的边缘所夹的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？
答: 木条 a 与墙壁的边缘也垂直时
才能使木条a与木条b平行.
合作探究：
动手做一做
如图，三根木条相交成∠1,∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1， ∠2大小关系以及直线 a与b的位置关系.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
如图，在屋架上要加一根横梁 DE ，已知 ∠ B=32°, 要使 DE∥BC, 则∠ ADE 必须等于多少度？为什么？ A D B E C
F
1、找同位角的关键是抓住第三线,
从F形中去找第三线同侧、另两线的同一方位的两个角。
2、“同位角相等，两直线平行”
是判断两直线平行的公理。
学会从复杂图形中分解出简单图形
C 7 4 A
图2--6
3
E 1
5
2
D B
同位角是 3
左上
将上述互为同位角的两个角，从图2—6中分解出来，画出如图①②③④的草图，从这些简单图形中容易识别出∠1和∠2都是同位角．
8 F 6
F 形状
7
左下右下
2
1
右上
5
4 ②
①
8 ③
6 ④
练一练
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2
学习目标：
1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念及有条理表达的能力； 2、经历探索直线平行的条件的过程，并能用其解决问题 3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；

两直线夹角和到角

目标2：直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹
角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是

2
请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有何不同?
1 tan 2 tan1 1 k 2 k1
l1到l2的角的取值范围是（0， )，
l1与l2的夹角的取值范围是(0，
2］
目标3：直线l1到l2的角的公式
tanθ＝
k2 k1 1 k1k2
推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋ b＝－1，则θ＝
2
如果1＋k1k2≠0
.
一新知探究
O 如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2.
目标1： 1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两
对与对l2重顶合角时，所我转们的把角直，线叫l1做按逆l1到时l针2的方角向. 旋转到
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。（10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。（11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争

两直线夹角和到角

1 2
k3 1 ＝－3 ，解得k3＝2. 1 k3
因为l3经过点(－2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为y＝2（x－(－2) 〕即：2x－y＋４＝0 这就是直线l3的方程.
课堂练习
求下列直线L1到L2的角及夹角
1L1 ：x+y=5 2L1 ：x-y=5
3π 4 π 2 π-arctan1/2
tanα＝ α不为90O
k 2 k1 1 k 2 k1
二知识应用与解题研究
3 例1、求直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝x－ 2 的夹角
解：由两条直线的斜率k1＝－2，k2＝1得
k 2 k1 1 ( 2) 3 tanα＝ 1 k k 1 ( 2) 2 1
∴α＝arctan3
如果1＋k1k2≠0
2 1
设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2，则k1＝ tanα1，k2＝tanα2由上图(1)(2)分别知： θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2 －α1） ∴tanθ＝tan（α2－α1）或tanθ＝tan［π＋（α2 －α1）］＝tan（α2－α1）于是 tanθ＝
k 2 k1 4直线l1和l2的夹角公式 tanα＝ 1 k 2 k1
；
/ 防裂贴
hoq148egk
的过客，这一次却要同新婚不久的妻子奔赴到一个陌生的地方——江苏海涛州绿溪镇江苏花开啤酒厂工作。虽然花开啤酒厂他已于一月前去看过一次，并跟海涛州人事局和花开啤酒厂的领导都谈过，对它有了一定的了解，但这一次是跟妻子一道去且极有可能要长期地生活在那里，心情和之前全然不同，仿佛美好的生活已经在向自己频频招手！马启明的心都飞到天空中去了，如果此刻能有一幅卡通漫画的话，你会看见半空中一颗跳动的心在快乐地舞蹈。在镇江下了火车以后，马启明小夫妇俩又马不停蹄地坐上开往海涛州的汽车。公共汽车刚离开长途汽车站差不多十几分钟便停了下来，刘丽娟看着前面排成长队的车辆，以为遇到了堵车，再加之长途奔波的劳累，情绪有些低落。马启明安慰妻子说： “汽车马上就要过轮渡了，就是轮船拉着汽车横渡长江，你没有见过吧？感受一下人民解放军横跨长江的气度。”因为马启明上一次来过，他知道,刘丽娟不知道。她新奇地想：汽车也能上船？也能横渡长江？在北方不要说没见过，连听都没听说过。“汽车也能上船，真的吗？真的要过长江？”刘丽娟一下子兴奋起来。在渡口下了汽车，希奇地看着汽车驶上了轮渡。马启明站在微微晃动的甲板上，听着汽笛声，凝望着轮渡行驶在波光粼粼的长江之上，竟有种人在梦中的感觉，面对浩瀚绵长的江水他的心胸突然豁然开朗，一缕缕清风吹拂着他的面颊，浑身自在、舒坦。马启明突然对未来陌生的生活有了更多幢憬！刘丽娟呢！她紧紧地抓住马启明的手，生怕船突然沉到微波滚滚的长江里，而马启明会葬身长江。马启明和刘丽娟是傍晚的时候才赶到海涛州的，转弯绕行距离离花开啤酒厂还有十多里，此时已经没有开往他们目的地---绿溪镇的班车了，他们只好在海涛州住了下来。晚上睡觉，刘丽娟仿佛还在火车上奔波“哐当---哐当---哐当---”，辗转难眠。而马启明由于旅途劳累、已经是疲惫不堪，倒在床上便酣然入睡，而把妻子的调动手续紧紧地搂在怀里才放心踏实，这可是用金银珠宝都换不来的超级宝贝。第二天，马启明与刘丽娟起了个大早，吃完早饭便坐上汽车，汽车摇摇晃晃地驶出了车站。路面状况较差，坑洼不平，到处是碎石，路两面零散地立着一些平房，多是些小卖部和小饭店，门脸矮矮小小的，似乎很有了些年代，门口竖着大大的、用纸板做的招牌“停车吃饭”，年纪轻轻的、打扮花枝招展的饭店服务小小（是真正的小小还是假小小，马启明搞不清楚）在马路边不停地向过往司机招手，做着妩媚的动作，形成了一道独特的“美人招手”的风景！很拉风！无时无刻不在挑战马启明的视觉底线。汽车颠簸了约四五十分钟，开开停停，终于到了啤酒厂所在的城镇——绿溪镇。一下车，就看见远处两只高耸的砖红色大

两条直线平行的充要条件

课题两条直线平行的充要条件教学目标：1.知识教学点：掌握两条直线平行的条件，会运用条件判断两直线是否平行，能运用条件确定两平行直线的方程系数．2.能力训练点：通过研究两直线平行的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．3.学科渗透点：通过对两直线平行的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．重点：两条直线平行的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教学过程一、引入新课：我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行．二、讲授新课1.讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行.2.两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行条件设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2; 反之则不一定.充要条件：l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2时，直线l 1∥l 2的充要条件是k 1＝k 2且b 1≠b 2接下来引导学生推到方程一般形式的充要条件：两条直线的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0、A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0）在直线都有斜率的条件下，平行的充要条件是212121C C B B A A ≠=．例1 已知直线0586:0743:=+-=+-y x PQ y x AB ,求证：AB ∥PQ. 解: 直线BA 的斜率k 1=43, 直线PQ 的斜率k 2=43, 因为 k1=k2,b1≠b2所以直线BA ∥PQ.例2 求过点A （-2，4）且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程。

两条直线平行与垂直的判定课件

又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0，则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在，此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3，因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－－12－－10＝1，k2＝32－－43＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－－（（－－12））＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．

2020届高三理数一轮讲义：9.2-两直线的位置关系(含答案)

第2节两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.[微点提醒]1.两直线平行的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).2.两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为()A.235 B.2310 C.7 D.72解析由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y ＋1＝0，则m＝________.解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.答案 14.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.答案 C5.(2018·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C. 2D.2 2解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C6.(2019·高安期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l 的方程是()A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件. (2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)C (2)D规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (一题多解)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 (1)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二由l 1∥l 2知⎩⎨⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎨⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2019·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10].(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313，解得c ＝2或－6.答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2019·贵阳监测)已知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点A (m ，n )，则点A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________.(2)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，可知曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过点(0，1)，所以A (0，1)，点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋1－3|2＝ 2.(2)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案 (1)2 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三对称问题多维探究角度1 对称问题的求解【例3－1】若点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点在x 轴上，则a ，b 满足的条件为( ) A.4a ＋3b ＝0 B.3a ＋4b ＝0 C.2a ＋3b ＝0D.3a ＋2b ＝0解析设点(a ，b )关于直线y ＝2x 的对称点为(t ，0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －t ×2＝－1，b ＋02＝2×a ＋t 2，解得4a ＋3b ＝0. 答案 A角度2 对称问题的应用【例3－2】 (一题多解)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解法一由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－（y ＋y 0）＋7＝0. 可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直.2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.3.若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上. 【训练3】已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________. 解析 A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线所在直线.点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0，3).同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1). 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案 2x －y ＋3＝[思维升华]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y的系数分别化为相同的形式.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2).类型1相交直线系方程【例1】(一题多解)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解法一解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝34，所以直线l的斜率k＝－43，方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.法二设所求l的直线为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.类型2平行直线系方程【例2】求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程.解设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.【例3】已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1能和x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.解设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝c3，依照题意有：12×|－c|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c3＝8，c＝±4 3.所以l1的方程是：x－3y±43＝0.【例4】(一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.解法一设存在直线l：xa＋yb＝1，则a＋b＝1和－ba＝34组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为：x4－y3＝1，即3x－4y－12＝0.法二根据平行直线系方程的内容可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－c3，c4，由－c3＋c4＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0.类型3垂直直线系方程【例5】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例6】已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0，2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程.解设所求高所在的直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝11 5，所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.【例7】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B (5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x －21y －1)＝0，即(2＋7λ)x ＋(7－21λ)y ＋(－4－λ)＝0，由点A (－3，1)，B (5，7)到所求直线等距离，可得 |（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.答案 C2.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A.2B.－2C.12D.－12解析因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a 2＝－1，解得a ＝－2. 答案 B3.(一题多解)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A.19x －9y ＝0B.9x ＋19y ＝0C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.法二设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.答案 D4.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0 解析由直线与向量a ＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A5.(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( ) A.102 B.10 C.5 D.10解析由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10.答案 D6.(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A.7B.172C.14D.17解析直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.答案 B7.已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )A.2x ＋3y ＋5＝0B.3x －2y ＋5＝0C.3x ＋2y ＋5＝0D.2x －3y ＋5＝0 解析设A (x 0，y 0)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 02－y 02＋1＝0，y 0x 0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1，即A (－1，1).设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－1k AB＝32，∴直线l 2的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0 . 答案 B8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )A. 2B.2C.3D.4解析点(0，0)关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点为(－1，1)，则最短路程为（－1－1）2＋（1－1）2＝2.答案 B二、填空题9.(2018·郑州模拟)如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a＝________.解析 ∵直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，即直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －(a －7)＝0平行，∴a 3＝2a －1≠3a －（a －7），解得a ＝3.答案 310.(2019·安徽四校联考)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝011.(一题多解)(2018·南昌模拟)已知点A (1，0)，B (3，0)，若直线y ＝kx ＋1上存在一点P ，满足PA ⊥PB ，则k 的取值范围是________.解析法一设P (x 0，kx 0＋1)，依题意可得k PA ·k PB ＝－1，即kx 0＋1x 0－1×kx 0＋1x 0－3＝－1，即(k 2＋1)x 20＋(2k －4)x 0＋4＝0，则Δ＝(2k －4)2－16(k 2＋1)≥0，化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. 法二若直线y ＝kx ＋1上存在点P ，满足PA ⊥PB ，则直线y ＝kx ＋1与以AB 为直径的圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，故|2k ＋1|1＋k 2≤1，即3k 2＋4k ≤0，故－43≤k ≤0，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0 三、解答题12.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)证明过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，即|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·丹东二模)已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718 解析设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－3，y 0＝12不符合题意；联立方程得⎩⎨⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718. 答案 D 14.(2019·岳阳模拟)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94C.1D.9解析因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，设点Q (4，0)到直线l 的距离为d ，当d ＝|PQ |时取最大值，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号.答案 B15.若△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________. 解析由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5，1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0，B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3).于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.答案 6x －5y －9＝016.在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________________.解析由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －3m 4， ∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案 6x －8y ＋1＝0。

高考数学一轮复习第2节两直线的位置关系

第2节两直线的位置关系考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知识梳理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝0的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x2＋y2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C1－C2|A2＋B2.4.对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0).(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y′－y0x′－x0·k ＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b ，可求出x ′，y ′. [常用结论与微点提醒] 1.两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0). 2.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合.(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235B.2310C.7D.72解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.答案 D3.(老教材必修2P110B1改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案－94.(2020·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3. 答案 C5.(2020·重庆重点中学联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝06.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________. 解析法一由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，x0＋4x0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋x0＋4x02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x0＋4x02≥22x0·4x02＝4，当且仅当2x 0＝4x0，即x 0＝2时取等号. 故所求最小值是4.法二设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，4x0＋x0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x20.令1－4x20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.答案 4考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)(2019·河北五校联考)直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020·西安模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋3y －1＝0垂直，则12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( )A.310B.35C.－310D.110解析 (1)由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件.(2)∵直线x ＋3y －1＝0的斜率为－13，∴直线l 的斜率k ＝3，∴tan α＝3，∴12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192π－2α＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2α＝－12sin 2α＝－12×2sin αcos α＝－sin αcos αsin2α＋cos2α＝－tan αtan2α＋1＝－39＋1＝－310.答案 (1)C (2)C规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (1)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A.－2B.－4C.－6D.－8(2)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎫－a 4×25＝－1，a ＋4c －2＝0，2－5c ＋b ＝0，解得a ＝10，c ＝－2，b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝－4.(2)由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点.当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23或－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.答案 (1)B (2)D考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________.(2)(2020·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________.解析 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]. 答案 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0，10]规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等.【训练2】 (1)(2020·葫芦岛调研)若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( ) A.－23B.23C.－32D.32(2)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95B.185C.2910D.295(3)(一题多解)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________.解析 (1)由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.(2)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(3)法一当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意.法二当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)A (2)C (3)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 考点三对称问题多维探究角度1 点关于点对称【例3－1】直线x －2y －3＝0关于定点M (－2，1)对称的直线方程是________________.解析设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2，1)的对称点(－4－x ，2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0. 答案 x －2y ＋11＝0规律方法 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于O (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解. 角度2 点关于线对称【例3－2】如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A.33 B.6 C.210D.25解析直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案 C规律方法 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A·a ＋m 2＋B·b ＋n 2＋C ＝0.2.几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y ).(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x ). (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ，2b －y ). 角度3 线关于线对称【例3－3】直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________.解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x02－y ＋y02＋2＝0，x －x0＝－（y －y0），得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝y －2，y0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 答案 x －2y ＋3＝0规律方法求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2，有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程.(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程.【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(一题多解)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程.解(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3).又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上.易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.数学抽象——活用直线系方程1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2). 类型1 相交直线系方程【例1】 (一题多解)已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0，2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二设所求直线l 的方程为：4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为：x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 类型2 平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程.解设直线l 1的方程为：x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，则令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有：12×|－c |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±43.所以l 1的方程是：x －3y ±43＝0.【例3】 (一题多解)已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行而且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程.解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4，b ＝－3.故l 的方程为：x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.法二根据平行直线系方程可设直线l 为：3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为：3x －4y －12＝0.类型3 垂直直线系方程【例4】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.类型4直线系方程的应用【例5】求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.解设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2＝|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|（2＋7λ）2＋（7－21λ）2，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝2935或λ＝13，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.A级基础巩固一、选择题1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1.答案 C2.(2020·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C.2D.22解析圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝2.答案 C3.(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A4.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当a ＝1时，两直线分别为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，满足两直线平行.当直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行时，若a ＝0，两直线分别为－y ＋1＝0和x －1＝0，不满足两直线平行，所以a ≠0.故a 1＝－1－a ≠1－1，解得a 2＝1，且a ≠－1，所以a ＝1.即“a ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －ay －1＝0平行”的充要条件.故选C. 答案 C5.点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( ) A.(1，2)B.(2，1)C.(1，2)或(2，－1)D.(2，1)或(－2，1)解析设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x0＋y0－5＝0，|x0－y0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2，y0＝－1，所以点P 的坐标为(1，2)或(2，－1).故选C. 答案 C6.(2020·河北五校联盟质检)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2B.823C.3D.833解析因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行，所以a ≠0且a ≠2.因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）＝3，2a2≠18，a≠2，a≠0，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.故选B.答案 B7.(2020·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( ) A.2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C.2x －3y ＋12＝0D.2x －3y －12＝0解析由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3，1).设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6). 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去).∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B. 答案 B8.已知直线l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，则实数m ＝( ) A.－12B.12C.－2D.2解析由于l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，故l 2的斜率是2.设l 2：2x －y ＋n ＝0，因为l 1：mx －y ＋3＝0过定点(0，3)，l 2和x 轴的交点为⎝⎛⎭⎪⎫－n 2，0，l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，所以3n 2＝－1，则n ＝－6.易知l 2：2x －y －6＝0和直线y ＝x 的交点为(6，6)，该点也在l 1：mx －y ＋3＝0上，所以6m －6＋3＝0，解得m ＝12. 答案 B 二、填空题9.点(－1，－2)关于直线x ＋y ＝1对称的点的坐标是______.解析设点(－1，－2)关于直线x ＋y ＝1对称的点的坐标是(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －12＋n －22＝1，n ＋2＝m ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2，故所求坐标为(3，2). 答案 (3，2)10.(2020·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.解析设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案 6x －y －6＝011.如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________________. 解析因为直线AB 的斜率为a ＋1－a a －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1.设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝012.在平面直角坐标系中，已知点P (－2，2)，对于任意不全为零的实数a ，b ，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0，若点P 到直线l 的距离为d ，则实数d 的取值范围是________. 解析易知直线l 经过定点(1，－2)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（－2－1）2＋（2＋2）2＝5，最小值为0，所以d 的取值范围是[0，5]. 答案 [0，5]B 级能力提升13.设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( ) A.y ＝3x ＋5 B.y ＝2x ＋3 C.y ＝2x ＋5D.y ＝－x 2＋52解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.答案 C14.(2019·洛阳期末)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By ＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A.过点P且与l垂直的直线B.过点P且与l平行的直线C.不过点P且与l垂直的直线D.不过点P且与l平行的直线解析因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A，B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.故选D.答案 D15.(2020·济南质检)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________.解析当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1)，所以k AB＝－1－10－1＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－12，此时，直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案x＋2y－3＝016.(一题多解)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.解析法一两直线交点为(2，1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由点线距离公式得d ＝|5k ＋1－2k|k2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0.综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝2或λ＝12.所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. 答案 x ＝2或4x －3y －5＝0C 级创新猜想17.(多选题)已知直线l 1：x －y －1＝0，动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，则下列结论正确的是( )A.存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B.对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C.对任意的k ，l 1与l 2都不重合D.对任意的k ，l 1与l 2都不垂直解析对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，（k ＋1）x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k－1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k ≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确.答案 ABD18.(多填题)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x－y ＝0.① 又因为k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4).答案 25 (2，4)。

8.4.2两条直线平行垂直的条件

例1 已知两条直线： l1:2x-4y+7=0,l2:2x+y-5=0, 求证:l1⊥l2.
• 变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y10=0垂直的直线方程. • 变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
判定定理：当直线Ｌ１和Ｌ２有斜截式方程 L1：y=k1x+b1 L2: y=k2x+b2 时，
结论：
l1 l2 a·b 0 1 k1k 2 0 即k1k 2 1

l1 l2 A1 A2 B1B2 0
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行平行
经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1
经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2 2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( A ) A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
那么L1∥L2 k1=k2且b1≠b2
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合

• 练习：判断下列直线组的位置关系： • (1)l1：2x-4y+7=0，l2：x=2y-5；
•
(2)l1：x-2y+1=0， l2：3x=6y-3．
练习：求过点A(1,-4)，且与直线 2x+3y+5=0平行的直线方程。
例1 ：两条直线L1:2x-4y+7=0，L2:x-2y+5=0求证:L1∥L2
例 2：求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程。

高中数学知识点总结(第九章平面解析几何第二节两直线的位置关系)

第二节两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m ＋n＝()A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋－22＝2 5.答案：25考点三对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．22C ．3 3D ．42解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( )A ．(3.4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等，所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ，因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)，所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.。

直线平行和直线方程知识点

直线平行和直线方程知识点一、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是：1、当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在。

2、每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定。

二、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式、特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是。

若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线。

三、两条直线平行：两条直线平行的条件是：1、和是两条不重合的直线。

2、在和的斜率都存在的前提下得到的、因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误。

两条直线垂直：两条直线垂直的条件：1、设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在。

2、且的斜率不存在或，且的斜率不存在、(即是垂直的充要条件)四、直线的交角：1、直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时、2、两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有。

五、过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内。

六、点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有。

七、关于点对称和关于某直线对称：1、关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等。

2、关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等。

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线。

3、点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直可解得所求对称点。

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当a，b异号时，一定有|a－b|＝|a|＋|b|，但a，b中至少有一个为0时，也有|a－b|＝|a|＋|b|，故选B【考点】绝对值的性质，充要条件2.[2014·徐州检测]用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= ．3.（5分）（2011•陕西）设n∈N+【答案】3或4，则分别讨论n为1，2，3，4时的【解析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+情况即可．解：一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根⇔（﹣4）2﹣4n≥0⇔n≤4；又n∈N，则n=4时，方程x2﹣4x+4=0，有整数根2；+n=3时，方程x2﹣4x+3=0，有整数根1，3；n=2时，方程x2﹣4x+2=0，无整数根；n=1时，方程x2﹣4x+1=0，无整数根．所以n=3或n=4．故答案为：3或4．点评：本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略．4.对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件故选B5.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】钱大姐常说“便宜没好货”, “便宜没好货”是一个真命题，则它的逆否命题也是真命题,即“好货则不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】命题及其充要条件.6.“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得等价于，当或时，不成立；而等价于,能推出；所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.【考点】逻辑关系指对数7.“函数g(x)=(2-a)在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是a∈ .【答案】(-∞,t)(t<2)【解析】由于在(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可.8.已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】a＜5【解析】命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，∴a＜5.9.若且命题，命题，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为且命题，所以可得，所以充分性成立.又因为由可得或.所以必要性不成立，故选A.本小题关键是要熟练掌握二次不等式的解法.【考点】1.二次不等式的解法.2.对参数的正确理解.10.“M>N”是“log2M>log2N”成立的______条件(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)．【答案】必要不充分【解析】“M>N”⇒/ log2M>log2N，”因为M，N小于零不成立；“log2M>log2N”⇒M>N.故“M>N”是“log2M>log2N”的必要不充分条件．11.“m=1”是“直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m=1时，直线x-my=1和直线x+my=0即可化为x-y=1和x+y=0.即y=x-1和y=-x所以斜率积为-1，所以这两条直线垂直.所以充分性成立.若直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直，因为m=0显然不成立.所以两条直线分别为和.所以由斜率乘积为-1可得.所以即.所以必要条件不存在.故选A.【考点】1.充分必要条件.2.直线的位置关系.3.含参数的讨论.12.已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的范围是 .【答案】【解析】命题首先化简为，命题是二次不等式，是的充分不必要条件说明当时不等式恒成立，故又，故可解得.【考点】充分必要条件与不等式恒成立问题.13.“”是“直线与直线垂直”的（）条件A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】当时，两直线方程分别为，满足两直线的斜率乘积为，直线互相垂直；反之，直线与直线垂直，则有，解得，故“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选A.【考点】充要条件，直线垂直的条件.14.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】是椭圆，则即，∴不能推出曲线是椭圆，而曲线是椭圆可以推出，∴“”是“方程的曲线是椭圆”的必要而不充分条件.【考点】1.二次方程表示椭圆的充要条件；2.充要条件.15.设，则是的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为当时，；当时，.所以是的充分不必要条件.【考点】必要条件、充分条件和充要条件的判断16.在中，是的 ( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，则；当时，，则，故，或，选C.【考点】1、正弦定理；2、正弦的二倍角公式；3、充分条件和必要条件.17.或是的条件.【答案】必要不充分【解析】若，，则，故或是的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.18.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，选A【考点】两直线平行的充要条件19.已知命题p：是命题q：向量与共线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，则，共线；当与共线，则，解得或.即命题p是命题q的充分不必要条件.【考点】1.充要条件；2.向量共线的充要条件.20.在中，“”是“是直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，又因为，所以，因为，所以，故为直角三角形；若为直角三角形，则不一定为直角，也可能为锐角，则不一定取到最大值，即不一定有，故“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，故选A.【考点】1.两角和的正弦公式；2.充分必要条件21.已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．［2，＋）B．［1，＋）C．（2，＋）D．（一，－1]【答案】A【解析】由，得，所以或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以.【考点】1.充分必要条件；2.分式不等式的解法.22.已知条件，条件，则成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C．【解析】由条件，知，由条件，则或，所以是的成立的必要不充分条件．【考点】充要条件．23.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足且的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】．【解析】先把命题、中实数满足的不等式分别表示为集合、，再由的必要不充分条件，得必要不充分条件，即可得两个集合、的关系，从而解得的取值范围. 试题解析：设，. 5分是的必要不充分条件，必要不充分条件，， 8分所以，又，所以实数的取值范围是． 12分【考点】1、一元二次不等式的解法；2、充要条件．24.已知复数，则“”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为纯虚数，为纯虚数，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.【考点】复数的概念、充要条件.25.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由或，，但，所以“”是“”的必要不充分条件.【考点】1.简单的绝对值不等式；2.充要条件.26.给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的( )A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件。

【原创】2.2直线的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义

2.2 直线的方程1、直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率 y ＝kx ＋b与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线2、直线与x 轴的交点),(0a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，与y 轴的交点),(b 0的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。

截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0).4、两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.知识梳理题型一直线方程例 1 求适合下列条件的直线方程：()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍； ()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）3330x y -+-=（2）10x y -+=或70.x y +-= 【分析】（1）根据倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1. 【详解】（1）已知3tan =α，22tan tan 231tan k ααα===- 直线方程为33(1)y x +=+化简得3330x y -+-= （2）由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-，所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=求下列直线方程：(1)求过点()1,3A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程. (2)求经过点()5,2A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. (3)求过()2,1A ，(),3B m 两点的直线l 的方程.知识典例巩固练习【答案】（1）43130x y +-=；（2）250x y +=或210x y ++=；（3）2(2)60x m y m --+-=. 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解；（3）按照2m =、2m ≠分类，结合两点式方程即可得解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为k ，依题意14433k =-⨯=-，又直线经过点(1,3)A ，∴所求直线方程为43(1)3y x -=--，即43130x y +-=；（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为12x ya a+=，将(5,2)-代入可得5212a a -+=，解得12a =-， ∴直线方程为210x y ++=；当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则52k -=，解得25k =-， ∴直线方程为25y x =-，即250x y +=；故所求直线方程为250x y +=或210x y ++=；（3）①当2m =时，直线l 的方程为2x =； ②当2m ≠时，直线l 的方程为12312y x m --=--，即2(2)60x m y m --+-=， ∵2m =时，代入方程2(2)60x m y m --+-=，即为2x =， ∴直线l 的方程为2(2)60x m y m --+-=.题型二截距例 2 已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选D ．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为【答案】21 【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积. 【详解】令0x =可得1y =-；令0y =可得1x =，故所求三角形的面积为111122⨯⨯=题型三两直线位置关系例 3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求下列直线l ′的方程，l ′满足：（1）过点(－1,3)，且与l 平行；（2）过点(－1,3)，且与l 垂直；【答案】(1)3x ＋4y －9＝0; （2）4x -3y +13＝0.巩固练习（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解. 【详解】(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （2）l ′的斜率为43， ∴直线l′的方程为：y －3＝43(x ＋1)，即4x-3y+13＝0.已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=；（2）320x y +-=. 【分析】(1) 由所求直线与直线l 平行，先设所求直线的方程是30x y m -+=，再将点P 坐标代入即可求出结果； (2)由所求直线与直线l 垂直，先设出所求直线方程为30x y n ++=，再将点P 坐标代入即可求出结果. 【详解】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-，点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=，点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，巩固练习n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．题型四中线所在的直线例 4 已知ABC 的三个顶点分别为()2,8A ，()4,0B -，()6,0C ，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线方程为（）． A ．240x y -+= B ．240x y ++= C ．240x y +-= D ．240x y -+=【答案】D 【分析】由中点坐标公式先求,A C 的中点坐标为()44D ,，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由()2,8A ，()6,0C，则,A C 的中点坐标为()44D ,，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线过点()44D ,，则所求直线方程为40(4)4(4)y x -=+--，即 240x y -+=，故选D.已知ABC 的三个顶点(1,1)A ，(2,0)B ，(4,4)C .（1）求AB 边所在直线的方程；巩固练习（2）求BC 边上中线所在直线的方程. 【答案】（1）20x y +-= （2）210x y -+= 【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可. 【详解】（1）因为(1,1)A ，(2,0)B ，由直线的两点式方程可得：AB 边所在直线的方程021012y x --=--，化简可得20x y +-=；（2）由(2,0)B ，(4,4)C ，则BC 中点2404(,)22D ++，即(3,2)D ，则BC 边上中线AD 所在直线的方程为231213y x --=--，化简可得210x y -+=.题型五定点问题例 5 直线方程kx －y +2－3k =0恒过定点（） A ．（3，2） B ．（2，3）C ．（－3，2）D ．（－2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kx －y +2－3 k =0，转化为()320k x y --+= 求解. 【详解】因为直线方程kx －y +2－3 k =0，即为()320k x y --+=所以3020x y -=⎧⎨-+=⎩ ，解得32 xy=⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点（3，2）.故选：A直线kx－y＋1－3k＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点【答案】),(13【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组3010xy-=⎧⎨-=⎩即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以3010xy-=⎧⎨-=⎩，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.题型六对称问题例6已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋3)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】x＋3y－(1＋3)＝0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线l的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线l垂直的直线）的对称点P′(3＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．【详解】如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，巩固练习由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－3 ，又入射光线过点P(0,1＋3)，∴入射光线所在的直线方程为()133y x -+=－，即3x ＋y －(1＋3)＝0．解方程组()313020x y x y ⎧+-+=⎪⎨+-=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩,所以点Q 的坐标为(1,1)．过点Q 作垂直于l 的直线l′，显然l′的方程为y ＝x ．由反射原理知，点P(0,1＋3)关于l′的对称点P′(3＋1,0)必在反射光线所在的直线上．所以反射光线所在直线P Q '的方程为0(31)101(31)y x --+=--+，即x ＋3y －(1＋3)＝0．一束光线从0(1)A ，点处射到y 轴上一点(0)B ，2后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是（） A ．220x y +-= B ．220x y -+= C ．220x yD ．220x y +-=【答案】B 【分析】由反射定律得点A 关于y 轴的对称点，又因为B 点也在直线上，根据截距式可得直线方程．【详解】由题得点(1,0)A 关于y 轴的对称点(1,0)A '-在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B 也在反射光线所巩固练习在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为112x y+=-，即220x y -+=，故选B.1、若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B 【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =. 故答案为B.2、经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（） A ．23)y x +=-B ．2(3)3y x -=+ C ．23)y x -=+ D ．23)3y x +=- 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点()32-，，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可【详解】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan60k =︒=又直线过点()32-，则直线的方程为)23y x -=+ 故选C3、设直线53150x y +-=在x 轴上截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（）巩固提升A ．5,3a b ==B ．3,5a b ==C ．3,5a b =-=D ．3,5a b =-=-【答案】B【分析】由截距的定义，分别求出直线在x 轴和y 轴的截距即可.【详解】由直线53150x y +-=令0,3y x ==令0,5x y ==即3,5a b ==故选B4、下面说法正确的是（）.A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x y a b+=表示，所以B 错；经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，当12x x =时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对；故选：D5、若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =( )A ．3-或1-B ．3或1C ．3-或1D ．1-或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，所以(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，解方程可得1k =或3k =-，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A ；令0x =，得出在y 轴上的截距，进而判断B ；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C ；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D .【详解】 32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确； 310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选：ABD7、若直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m 的取值范围为________．【答案】2m ≥，或2m ≤-【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令0x =,得2y m =，令0y =,得2x m =-，由直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则2216m m ⨯-≥，解得2m ≥或2m ≤-，故实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.8、倾斜角为直线31y x =-+的倾斜角的一半且经过点(4,1)-的直线方程为_____．【答案】13(4)y x -=+【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．【详解】直线y ＝－x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为)134y x -=+9、已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点__________【答案】21(,)77.【分析】利用（ax+by+c ）+λ（mx+ny+p ）=0 过定点即ax+by+c =0和mx+ny+p =0的交点，解方程组求得定点的坐标．【详解】直线（3k ﹣1）x +（k+2）y ﹣k=0即﹣x +2y+k （3x+y ﹣1）=0，由20310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得 x=27，y=17，故定点的坐标为（27，17），故答案为：（27，17）．10、直线320x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k =______.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于k 的方程，解方程后可得实数k 的值.【详解】令0x =，则2k y =；令0y =，则3k x =-，故223k k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12k =. 故答案为：12.11、设光线l 从点(A -出发，经过x 轴反射后经过点0,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则光线l 与x 轴交点的横坐标为______，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．【答案】()1,0-【分析】首先，根据光线从点(A -射向x 轴，得到其关于x 轴的对称点(4,A '-，然后根据反射光线的反向延长线经过(4,A '-和B ⎛⎝⎭，得到直线A B '，即得光线与x 轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过()1,0-，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点(A -关于x轴的对称点为(4,A '-，则直线A B ':33y x =+ 与x 轴交于点(1,0)- ，所以光线与x 轴的交点为()1,0-;由入射角是60,得折射角是30，且光线经过(1,0)-,得出折射光线所在直线方程为y =12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点()2,1且与直线230x y +=平行；（2）与直线y x =垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4-.【答案】（1）2370x y +-=（2）20x y ++=【分析】（1）根据平行关系可设直线为：230x y c ++=，代入点()2,1可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：230x y c ++=则430c ++= 7c ∴=-∴所求直线方程为：2370x y +-=（2）设直线方程为：1x y a b+= 由题意可得：41a b b a+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：22a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求直线方程为：122x y +=--，即：20x y ++=。

同位角相等,两直线平行是公理

同位角相等,两直线平行是公理1.引言1.1 概述同位角相等和两直线平行是几何学中的基本概念和公理，它们在我们研究平行直线和角度关系时起到了重要的作用。

同位角相等指的是具有相同顶点和公共边的两个角度，而两直线平行则表示两条直线在平面上永远不会相交。

在几何学中，我们经常需要研究线段、角度和直线的关系。

同位角相等和两直线平行的概念为我们提供了描述和解释这些关系的基础工具。

通过这些概念，我们可以更好地理解和推导几何学中的定理和推论。

同位角相等的概念告诉我们，如果两个角度具有相同的顶点和公共边，那么它们的度数也是相等的。

这个概念对于证明几何定理和推断几何关系非常重要。

例如，在证明两条直线平行时，我们经常需要利用同位角相等的性质。

而两直线平行的概念是几何学中最基础的公理之一。

它表明，如果两条直线在平面上永远不相交，那么它们是平行的。

这个概念对于研究角度和线段之间的关系至关重要。

在实际生活中，我们经常会用到平行直线的概念，比如在道路交通标志中，两条平行的线表示车道的分隔。

通过对同位角相等和两直线平行这两个基本概念的研究，我们可以推导出许多重要的几何定理和推论。

这些定理和推论在实际应用中具有广泛的意义，例如在建筑设计、地图制作和机械制造等领域中都有重要的应用价值。

总之，同位角相等和两直线平行的概念是几何学中的基本工具，它们对于研究和理解几何关系起到了重要的作用。

通过深入理解和应用这些概念，我们可以更好地掌握几何学知识，发展出更多的几何定理和推论，为实际生活和科学研究提供有力的支持。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍同位角相等的概念，包括定义和性质。

接着，我们将引入两直线平行的概念，并探讨其定义和相应的性质。

在正文部分，我们将详细讨论同位角相等与两直线平行的关系，尤其是它们之间的等价性。

最后，我们将强调公理在几何学中的重要性，并展示同位角相等和两直线平行作为公理的应用场景。

通过这样的结构，我们将全面而系统地阐述同位角相等和两直线平行的相关性，并加深对它们的理解。

两直线的位置关系

例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3，将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程．故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】由题意，得 2 4＝，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.

两条直线平行的条件平行线的特征

两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2．答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。

直线平行公式和垂直公式

直线平行公式和垂直公式直线平行公式和垂直公式是初中数学中非常重要的概念，也是初中数学中不可缺少的内容之一。

本文将从定义、性质、应用等多个方面详细介绍直线平行公式和垂直公式。

一、直线平行公式1.定义在平面直角坐标系中，若两条直线没有交点，且它们的方向相同，则这两条直线是平行的。

2.性质两条平行直线的斜率相等，即k1=k2。

其中，k1为第一条直线的斜率，k2为第二条直线的斜率。

3.推导设第一条直线的解析式为y=k1x+b1，第二条直线的解析式为y=k2x+b2。

由于两条直线平行，所以它们的斜率相等，即k1=k2。

将k1=k2代入两条直线的解析式中，得到：y=k1x+b1y=k1x+b2将两个方程联立，得到：b1=b2因此，两条平行直线的解析式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，且截距相等。

二、垂直公式1.定义在平面直角坐标系中，若两条直线相交，且它们的交点的角度为90度，则这两条直线是垂直的。

2.性质两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为相反数，即k1=-1/k2。

其中，k1为第一条直线的斜率，k2为第二条直线的斜率。

3.推导设第一条直线的解析式为y=k1x+b1，第二条直线的解析式为y=k2x+b2。

两条直线垂直，所以它们的斜率乘积为-1，即k1k2=-1。

将k2=-1/k1代入第二条直线的解析式中，得到：y=-x/k1+b2将两个方程联立，得到：y=k1x+b1y=-x/k1+b2将两个方程联立，解得：k1=-1/k2因此，两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为相反数。

三、应用直线平行公式和垂直公式在初中数学中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.求解直线的解析式通过直线平行公式和垂直公式，可以快速求解直线的解析式。

只需要确定直线的斜率和截距，即可得到直线的解析式。

2.求解直线的交点通过直线平行公式和垂直公式，可以求解两条直线的交点。

只需要将两条直线的解析式联立，即可求解它们的交点坐标。

3[1].1.2nbsp两条直线平行与垂直的判定1

tan 0 0
tan tan(180 )
tan120 tan 60 3 tan135 tan 45 1
3 tan 30 3 tan 45 1
tan 60 3
3 tan150 tan 30 3
tan 90不存在
当0< 90时， tan 0 当90< 180时， tan 0
思考：l1// l2时，k1与k2满足什么关系？
y
解：若l1 // l2 , 则1 2 tan 1 tan 2 k1 k2
l1 l2
反之，若k1 k2 , 则l1 // l2
y
解：
D C
1 AB边所在直线的斜率k AB , 2 1 CD边所在直线的斜率kCD , 2 3 BC边所在直线的斜率k BC , 2 3 DA边所在直线的斜率k DA , 2
x
A
O
B
k AB kCD , kBC kDA ,
AB // CD, BC // DA
四边形ABCD是平行四边形.
直线AB PQ.
例4 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试判断三角形ABC的形状.
y
C
1 解： AB边所在直线的斜率k AB 2 , BC边所在直线的斜率kBC 2,
k AB kBC 1
B
O
0 AB BC , 即 ABC 90 x
A
ABC是直角三角形.
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率为0
作业设计：
P 3.1 A组6, 7,8 89 习题 B组1,2,3,4,5,6

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案平行考向一线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明法一连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解法一连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可．证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾．检查答题规范．【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明法一如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。

两直线平行的充要条件

两直线夹角和到角

平行的条件(1)

两直线夹角和到角

两直线夹角和到角

两条直线平行的充要条件

两条直线平行与垂直的判定 课件

2020届高三理数一轮讲义：9.2-两直线的位置关系(含答案)

高考数学一轮复习第2节 两直线的位置关系

8.4.2两条直线平行垂直的条件

高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系)

直线平行和直线方程知识点

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析

【原创】2.2直线的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义

同位角相等,两直线平行是公理

两直线的位置关系

两条直线平行的条件平行线的特征

直线平行公式和垂直公式

3[1].1.2nbsp两条直线平行与垂直的判定1

直线、平面平行的判定及其性质

两条直线平行与垂直的判定课件

高考数学一轮复习第2节两直线的位置关系

高中数学知识点总结(第九章平面解析几何第二节两直线的位置关系)