桥梁结构地震反应分析

所以，
m C
EI
mg
速 度 (g)
0.1 0.0 -0.1
-0.2
-0.3
0
5
10
15
20
25
时间（秒）
4.1.2 结构动力特性
齐次方程的通解代表结构的固有振动或自由振动
m C EI 0
通解为， (z,t) (z) f (t)
自振挠曲线的形状，即振型
其中， f (t) ewt C1 cosdt C2 sin dt 振幅的衰减函数
齐次方程：x 2x 2 x 0
方程的解：
特征方程 r 2 2r 2 0
特征根
r2 2 1 r1 2 1
（1）若
体系自由振动 ——无阻尼状态
（2）若
0
10，r1x、(tr)
2
为c1 共co轭s复t数
cx2(sti)net t
(c1
cos
Dt
c2
sin
Dt)
其中 D 1 2
x(t)
A(
g
)2 1
(
g
)
2
sin
g
t
2
g
cos
g
t
1
(
g
)
2
2
2
(
g
2 )
化简为 x(t) B sin( g t )
振幅放大系数
B
A
( g / )2
1
(
g
)
2
2
2
(
g
2 )
A —地面运动振幅 B —体系质点的振幅
1
2
0.2 0.5 1
2
5
g /
图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数
面结构的集中质量法
m1
M1
集中化描述举例
a、水塔建筑
h
h
h
b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
主要(a质) 水量塔：水箱部分
水塔次要质量：塔柱部分
水箱全部质量 部分塔柱质量
集中到水箱质心
(b) 厂房
主要质量：屋面部分
厂房各跨质(b量) 厂集房中到各跨屋盖标高处
(c) 多单、质高层点建体筑 系
(d) 烟囱
图 地面冲击运动
地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动
自由振动初速度为 V xg dt
根据自由振动位移方程，可
得
x(t)
xg dtet
D
s in D t
图 体系自由振动
4.方程的特解III —— 一般强迫振动
地震地面运动一般为不规则往复运动
求解方法：
地面运动加速度时程曲线
将地面运动分解为很多个脉冲运动
fI fD fs p(t)
4.1.1 直接平衡法
结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：
M uCuKu p(t)
[M]—质量矩阵； [C]—阻尼矩阵； [K]—刚度矩阵； {p(t)}—外荷载向量。
4.1.2 水平地震作用下MDOF体系运动
方程
u3
m3
m3
fDi
k3
m2
u2 m2
fIi
mi
反应谱曲线，是在1,050多条国内外地震加
速度记录反应谱统计分析的基础上，针对
1
II类场地 III类场地 IV类场地
四类不同场地条件给出的。 阻尼比为5% 。
0.3
0
0
1
2
3
4
5
(3) 单质点体系的最大地震力计算
P
M
M g g g
max
max
g
g g
max max
kH W
z
其中[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵，{u}和{ü}是 N阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N阶零
向量。
T
反应谱
max
max
g (t)
T1
max
T2
T3
max max
T4
T5
图 4.5 反应谱概念
反应谱还具有以下两条基本特性：
a. 绝对刚性结构（ ）：SD 0 , SV 0 , SA g,max
b. 无限柔性结构（ 0 ）：SD g,max , SV g,max , SA 0
反应谱的概念：
在动力问题中由于要考虑惯性力，因此还要研究质量 在运动过程中的自由度问题。在动力问题中，体系的 自由度指确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所 需的独立几何参数的数目。
集中质量法把连续分布的质量集中在若干质点上，把
无限自由度问题简化为有限自由度问题，从而简化了
动力问题的分析。
m3
M3
m2
M2
不考虑竖向振动时，平
(a) 水塔
T 2 m 2 10000 1.99s
k
1103 /10 2
2.方程的特解I——简谐强迫振动
地面简谐运动 使体系产生简谐强迫振动
设 xg (t) Asin g t ，代入运动方程 x 2 x 2x Ag2 singt
wk.baidu.com
方程的特解（零初始条件 x(0) 0 x(0) 0 ）：
集中化描述举例 (a) 水(a塔) 水塔
c、多、高层建筑
((bb)) 厂 厂房房 d、烟囱
c) 多主(c、 要) 质高多量层、：建 高楼层筑盖建筑部分 多质点体系
结构(无(dd)主) 要烟烟质囱囱量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
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4.1 结构抗震动力学初步概念
4.1.1 结构地震振动方程
k2
u1
m1
m1
k1
fSi
fIi mi (ui ug )
ug
M uCuKu M Iug
4.2 多自由度体系的自振振型和自振频率
振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的 位移形态;
N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的
常量。因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自
t 时刻的地面运动脉冲 xg ( )d
引起的体系反应为：
dx(t)
e (t )
0 xg ( )d
D
sin D (t
)
t t
叠加：体系在t时刻的地震反应为：
地面运动脉冲引起的单自由度体系反应
x(t)
t
dx(t)
1
0
D
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin
D
(t
)d
杜哈密积分
方程通解（单自由度体系）：
4.1.1 直接平衡法
应用d’Alember原理
fI i fDi fsi pi (t), i 1, 2,N
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。
fI1
fI
f
I
2
fIN
p1(t)
p(t
)
p2
(t
)
pN (t)
共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。
C C
Ccr 2m
d
1 2
2fd
2
Td
A C12 C22
4.2桥梁结构地震反应分析方法
结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段—— 静力法、动力反应谱法和动态时程分析法
4.2.1.静力理论阶段---静力法
1920年，日本大森房吉提出。 假设建筑物为绝对刚体。
地震作用：
m
mxg (t)
xg (t)
运动方程 自振特性（自振周期、自振振型） 振型正交性 振型分解（叠加）法 振型分解反应谱法
4.1 MDOF体系的运动方程
牛顿第二定律； 直接平衡法(d’ Alember)； 虚位移原理； Hamilton方程； 运动的Lagrange方程
4.1.1 直接平衡法
N个自由度体系离散成N个质点—弹簧模型。
具有不同周期（Ti，频率为ωi）、阻尼比为ζ 的一组SDOF体系,在给定的地震动过程x’’g(t)的 作用下,各质点体系的最大绝对加速度反应记为 Sa,以周期T为横坐标、Sa为纵坐标，画出的曲 线就是阻尼比ζ的SDOF体系在为x’’g(t)作用下 的加速度反应谱。
xg t x t max
Sa (T , )
z
g (z,t)
根据达朗贝（D’Alembert）原理
EI
FI FD FS 0
h m
dz
Fs dz
FI dz
FD dz
其中，
FI dz m(g )dz
FDdz Cdz
(c)
g (t) (a)
g (t)
u
(b)
图3.2 桥墩地震水平挠曲振动示意图
Fsdz EI dz
0.4
0.3
加 0.2
M
g (t) (t)
kH
g max
g
定义为水平地震系数， 根据抗震设防烈度选用
g (t)
图 4.11
单质点体系示意图
g
max
g max
为动力放大系数，根据选定的反应谱曲线 及体系的自振周期确定
规范中，还引入综合影响系数 Cz ，以考虑结构的延性耗能作用，则
P Cz kH . W
4 多自由度体系（MDOF）的地 震反应
比为参数，绘出最大相对位移、最大相对速度和最大绝对 加速度的谱曲线，分别称为相对位移反应谱、拟相对速度 反应谱和拟加速度反应谱 （分别简称为位移反应谱、速度 反应谱和加速度反应谱），并用符号记为SD、PSV和PSA
PSA 2 SD
忽略小阻尼比的影响光，滑平有均 ：
地震 1
地震 2
T1 T2 T3 T4 T5
动力自由度——动力分析时，具有一定质量的质点的振动方 向，与静力自由度有差异。
地基一般假定为不发生转动，地基运动仅考虑一个竖向 分量和两个水平分量。 上部结构的地震响应分析也仅考虑这 三个方向。
一个自由质点,若不考 虑其转动,则相对于空 间坐标系有3个独立的 分量,因而有三个自由 度；在平面内，如果忽 略直杆的轴向变形,则 在平面内与直杆相连的 质点只有一个位移分量, 即只有一个自由度。
---地震系数：反映震级、震中距、地基 等的影响
将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
4.2.2动力反映谱法
作用在质点上的三种力：
惯性力 、阻尼力 、弹性恢复力
fI
fr
fc
＊惯性力
f I m(xg x)
＊阻尼力
f c cx
——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气
水等）对结构运动的阻碍造成
x0
sin t
无阻尼单自由度体系 自由振动为简谐振动
k
——固有频率
m
T 2 2 m ——固有周期
k
有阻尼体系
自振的振幅将不断衰减，直至消失
例题3-1
已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。
m 10000kg， k 1kN/cm
求该结构的自振周期。
h
h
解：直接由式 T 2 2 m
k
并采用国际单位可得:
体系产生振动 ——欠阻尼状态
（3）若 1 ， r1 r2 x(t) (c1 c2t)e t
体系不振动 ——临界阻尼状态
（4）若
x(t)
1 ，r1
=0 0 1
、r 2 为负实数
x(t ) c1e r1t c2 e r2t
体系不振动 ——过阻尼状态
11
当 1
图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动
C —— 阻尼系数
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
f r kx k —— 体系刚度
力的平衡条件：
fI fc fr 0
mx cx kx mxg
令 k c
m
2m
x 2x 2 x xg
二、运动方程的解
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
1.方程的齐次解——自由振动
体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）
初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑
地面运动 引起
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对上式求导可得振子相对速度与绝对加速度反应积分公式：
(t)
t
0
e
(t
)
g
( ) cos[d
(t
)]d
基曲于线上。面以公不(t)式同，单g用自(t数由) 值度积体0t分系e的的方周(t法期)，为g (可横 )得坐sin出标[各，d反以(t 应不的同)]时阻d程尼
振频率。
结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由 度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在讲到结 构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频 率。
4.2 多自由度体系的自振振型和自振频率
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由 振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u Ku 0
t 临界阻尼系数： cr 2m
临界阻尼比（简称阻尼比） c
cr
初始条件: 初始位移 x0 x(0) , 初始速度 x0 x(0)
则 c1 x0
c2
x0
x0 D
体系自由振动位移时程
x(t)
et [x0
cos Dt
x0
x0 D
sin Dt]
当
0 （无阻尼）
x(t)
x0
cos t
g / 1 达到最大值 共振
2.方程的特解II——冲击强迫振动
地面冲击运动：
xg
(
)
x0g
0 dt dt
对质点冲击力：
P
mxg 0
0 dt dt
质点加速度（0～dt）：
a
P m
xg
dt时刻的速度：
V
P m
dt
xg dt
dt时刻的位移： d 1 P (dt)2 0 2m
4.1 概述
1.基本概念：
地震作用——地震引的结构振动，在结构中产生动力荷载效 应（内力、变形等），属于间接作用。地震作用是建筑抗震 设计的基本依据，取决于地震强弱、场地、结构动力特性等。
地震作用效应——地震作用在结构中产生的内力和变形。
结构动力特性——结构固有的动力性能，如自振周期、阻尼、 振型等。
T1 T2
Ti
周期T
(2) 规范反应谱
对大量的反应谱曲线进行平均与光滑化，就可以得到供设计使用的
规范反应谱曲线。
桥梁工程抗震设计中使用的反应谱常表示为动力放大系数的形式，或
称标准化反应谱。动力放大系数（常用 表示 ）的定义为：
,
PSA,
g ,max
g,mgaxmax
I类场地
2
现行《公路工程抗震设计规范》所采用的