高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题7.4
习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明：
（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则
A 不可对角化。
证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有
n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无
关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。
（2）假设A 可对角化，即存在对角阵????
?
?
?
??=n B λλλ
21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而
E a a a a B nn 112211=????
?
?
?
??=
，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与
假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值
s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：
（1）s V V V +++ 21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有
021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。
现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得
??????
?=+++=+++=+++---0
00
1212111221121s s s s s s
s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为
)0,,0,0(111),,,(11221
1121 =?
?
??
??? ?
?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵?
???
??? ?
?=---11221
11111s s s s s B λλλλλλ
的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有
)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。
这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得
s V V V +++ 21是直和。
（2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。
又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得
s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有
s V V V V ⊕⊕⊕= 21。
)(?因s V V V V ⊕⊕⊕= 21，所以分别取i V ),,2,1(s i =的基：
i
id i i ααα,,,21 ，s i ,,2,1 =，其中n d d d s =+++ 21，进而得V 的基：
1
11211,,,d ααα ,,,,,,2
22221 d αααs
sd s s ααα,,,21 。又知基向量中的每一个向
量都是σ的特征向量，故得σ有n 个线性无关的特征向量，所以σ可对角化。
习题7.4.3设D 是n 阶对角阵，它的特征多项式为
s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=? ，
其中s λλλ,,,21 两两不同。设
}|)({DB BD F M B V n =∈=，
证明：V 是)(F M n 的子空间，且
22
221dim s c c c V +++= 。
证明：对V B A ∈?,，即DA AD =，DB BD =，F l k ∈?,，有
)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+，
所以V lB kA ∈+，即V 是)(F M n 的子空间。
设????
??
?
?
?=s c s c
c E E E D λλλ
2
1
21，则由习题3.2.2知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵，即????
??
?
?
?=s B B B B
2
1
，其中i B 为i c 阶方阵，
s i ,,2,1 =。进而对V B B B B s ∈????
??
?
?
?=?
2
1，都可由i 行，j 列元素为1，其余元素全为零的n 阶方阵
ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211 c c j i c +≤≤+),1)(11
1∑∑=-=≤≤+s
k k s k k c j i c 线性表示。显然
ij E 1,1(c j i ≤≤,,,1,211 c c j i c +≤≤+),1)(1
1
1
∑∑=-=≤≤+s
k k s k k c j i c 线性无关，构成V
的一组基，所以22
2
21dim s c c c V +++= 。 习题7.4.4设A 为准对角阵，
??????
?
?
?=s A A A A
2
1
， 其中i A 是i n 阶矩阵，它的最小多项式是)(λi m 。证明：
)](,),(),([)(21λλλλs A m m m m =。
（即A 的最小多项式是s A A A ,,,21 的最小多项式的最低公倍式。） 证明：令)(,),(),(21λλλs m m m 为对角线上诸块s A A A ,,,21 的最小多项式，且)](,),(),([)(21λλλλs m m m h =。因)(λA m 为A 的最小多项式，则由
0)(=A m A 可得0)(=i A A m ，s i ,,2,1 =。又因i A 的最小多项式整除任何以i A 为根的多项式，所以)(|)(λλA i m m ，s i ,,2,1 =。从而)(|)(λλA m h 。
又由于)(|)(λλh m i ，s i ,,2,1 =。而0)(=i i A m ，故0)(=i A h 。从而
0)()()(1=????
?
??=s A h A h A h 。
于是又有)(|)(λλh m A 。又因它们的首项系数都是1，故
)](,),(),([)()(21λλλλλs A m m m h m ==。
习题7.4.5求下列矩阵的最小多项式，并判断它是否可对角化：
（1）n n A ????
???? ?
?=111111
111
； （2）??
??
?
?
?
?
?=010*********
1010
A 。 解：（1）矩阵A 的特征多项式为
)(1
1
1
1
11111
||1n A E n -=---------=
--λλλλλλ
。
由命题7.4.17知，矩阵A 的最小多项式为)(n e -λλ，其中11-≤≤n e 。
经计算得=-)(nE A A ???????
?
?111111
111 ??????? ??---n n n 111111111
??
?
??
?
?
??=000000000 。
故矩阵A 的最小多项式为)(n -λλ，且无重根，所以A 可对角化。
（2）矩阵A 的特征多项式为
)2)(2(1
1
1100
111
1
||2+-=--------=
-λλλλ
λλλ
λA E 。
由命题7.4.17知，矩阵A 的最小多项式为)2)(2(+-λλλe ，其中21≤≤e 。 经计算得