复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解

1． 利用导数定义推出： 1)

()1

-=n n nz

z '

（n 为正整数）

解： ()

()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n

n n n n z n n z n

∆∆∆∆∆∆∆∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=-+=--→→ 2210

0121lim

lim '

()()1

1210121----→=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡++-+=

n n n n z nz z z z n n nz ∆∆∆ lim 2) 211z z -=⎪⎭

⎫

⎝⎛'

解： ()()2

0001111

11z z

z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆lim lim lim '

2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1)

()iy x z f -=2

解：设()iv u z f +=，则2

x u =，y v -=

x x u 2=∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂x

v

，1-=∂∂y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2

1

-=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线2

1

-=x 上可导，在复平面内处处不解析。

2)

()3332y i x z f +=

解：设()iv u z f +=，则3

2x u =，3

3y v =

26x x u =∂∂，0=∂∂y u ，0=∂∂x

v ，29y y v =∂∂都是连续函数。 只有2

296y x =，即032=±

y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。

3)

()y ix xy z f 22+=

解：设()iv u z f +=，则2

xy u =，y x v 2

=

2y x u =∂∂，xy y u 2=∂∂，xy x

v 2=∂∂，2x y v =∂∂都是连续函数。 只有2

2

x y =且xy xy 22-=，即0==y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在点()00,处可导，在复平面内处处不解析。

4)

()xshy i xchy z f cos sin +=

解：设()iv u z f +=，则xchy u sin =，xshy v cos =

xchy x u cos =∂∂，xshy y u sin =∂∂，xshy x

v

sin -=∂∂，xchy y v cos =∂∂都是连续函数。 完全满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。

3． 指出下列函数()z f 的解析性区域，并求出其导数。 1)

()51-z

解：()()415-=z z f

'

，()z f 在复平面内处处解析。

2) z i z 23

+ 解：()i z z f

232+='

，()z f 在复平面内处处解析。

3)

1

1

2-z 解：()()

2

2

12--

=z

z

z f

'

，1±≠z ，()z f 在复平面内除点1±≠z 外处处解析。

4)

d

cz b

az ++（c ，d 中至少有一个不为0）

解：()()()

2

2d cz bc

ad d cz b az c d cz a z f

+-=++-+=

'

当0≠c ，则当c d z -

≠时，()()

2

d cz bc ad z f +-='

，()z f 在复平面内除点c d z -≠外处处解析。 当0=c 时，则0≠d ，()d

a

z f =

'

，()z f 在复平面内处处解析。 4． 求下列函数的奇点：

1)

()

11

2

++z z z 解：令()

012

=+z z ，解得0=z ，i z ±=。故()()1

1

2

++=

z z z z f 有0、i 、i -三个奇点。 2)

()()

112

2

2++-z z z 解：令()()

0112

2

=++z z ，解得1-=z ，i z ±=。故()()()

112

2

2++-=

z z z z f 有1-、i 、i -三个奇点。 5． 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？

解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数

()()()y x iv y x u z f ,,+=在其定义域D 内解析⇔()y x u ,和()y x v ,在D 内点iy x z +=可微，并且满

足柯西—黎曼方程。

6． 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。

1) 如果()z f 在0z 连续，那末()0z f '

存在；

解：假命题。例如，()yi x z f 2+=在复平面内任意一点0z 都连续，但不满足柯西—黎曼方程，故()

z f '

不存在。 2) 如果()z f

'

存在，那末()z f 在0z 解析；

解：假命题。例如，()y ix xy z f 2

2+=，()z f 在点00=z 可导，但()yi x z f 2+=在0z 点不解析。

3) 如果0z 是()z f 的奇点，那末()z f 在0z 不可导；

解：假命题。例如，()i y x z f 3

3

+=在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但()z f 在0=±y x 上

的点均可导。

4) 如果0z 是()z f 和()z g 的一个奇点，那末0z 也是()()z g z f +和

()

()

z g z f 的奇点；

解：假命题。例如，()z z f =与()z z g -=在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点0z 都是()z f 与

()z g 的奇点。但()()()

0=-+=+z z z g z f 在复平面内处处解析，即()()z g z f +在复平面内没有奇点。

5) 如果()y x u ,和()y x v ,可导（指偏导数存在），那末()iv u z f +=亦可导；

解：假命题。例如，设()yi x z f 2+=，则()x y x u =,，()y z v 2=均可导，但不满足柯西—黎曼方程，因此()z f 不可导。

6) 设()iv u z f +=在区域D 内是解析的。如果u 是实常数，那末()z f 在整个D 内是常数；如果v 是实