曲线插值和曲线拟合
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
2-1一二次曲线插值及曲线拟合2
大家知道，船体型线图是通过船体三组不同的剖面 投影得来的，是一组三向光顺的曲线。 这些曲线是船舶建造的基础，在数学放样大量应用以 前，主要是采用手工放样，这样的劳动强度大，误差大， 大大阻碍了造船工业的发展。从本世纪60年代初成功研究 出了应用计算机进行数学放样，大大推动了造船向数字化、 自动化发展。 本课题要讨论的主要内容是：如何根据给定的型值 生成需要的型线。
2 y x 如对于函数 ，其曲线经过点 (1,1), (0,0), (1,1) ，但是反过
来我们不能说通过上述3点的曲线就是 y x 2 ，我们知道， 也过上面的 个点。 ( y 1) 2 1 y x x 23
所谓曲线插值就是选择的函数（曲线）表达式点点通 过已知型值点 。
也显然有： N0 ( x0 ) 1, N0 ( x1 ) 0, N0 ( x2 ) 0
N1 ( x1 ) 1, N1 ( xபைடு நூலகம் ) 0, N1 ( x2 ) 0 N 2 ( x2 ) 1, N 2 ( x0 ) 0, N 2 ( x1 ) 0
满足通过三点 的条件。
由
p( x) N0 ( x) y0 N1 ( x) y1 N2 ( x) y2
p(2.3) 0.368 10.6 1.077 15.2 0.291 20.3
得
18.377
p ( x ) f ( x)
因
故
N0 ( x) ( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) N1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) N 2 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
曲线拟合与插值方法的数学原理
曲线拟合与插值方法的数学原理现代科学技术的发展离不开数学的支持，而在数学领域中，曲线拟合与插值方法是一种常用的数学原理。
本文将从数学角度探讨曲线拟合与插值方法的原理及其应用。
曲线拟合是指利用已知的数据点，通过一定的数学方法找到与这些数据点最为契合的曲线。
在实际应用中，往往通过曲线拟合方法来预测未知数值，从而达到分析数据、优化设计等目的。
而曲线插值则是指通过已知数据点之间的光滑曲线来逼近实际函数的方法。
曲线插值要求插值函数通过所有给定的数据点，从而保证精确度要求。
曲线拟合与插值方法的数学原理主要涉及到数值分析、逼近论、微积分等数学知识。
在曲线拟合中，常用的方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、最小二乘非线性拟合等。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定未知参数的优化方法，能够有效降低数据测量误差对拟合结果的影响。
在曲线插值方法中，常用的技术包括拉格朗日插值、线性插值、样条插值等。
这些方法通过不同的插值基函数来逼近实际函数，其中拉格朗日插值是一种广泛应用的方法，它通过已知数据点构造一个插值多项式，从而达到对函数的逼近效果。
曲线拟合与插值方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，曲线拟合与插值方法能够对大量的实验数据进行处理，从而找到数据背后的规律，为工程设计提供支持。
在金融领域中，曲线插值方法被广泛用于股票市场走势的分析与预测，通过对历史数据的插值拟合，为投资决策提供参考。
此外，在地理信息系统、生物医学和社会科学等领域，曲线拟合与插值方法也有着重要的应用价值。
总之，曲线拟合与插值方法作为一种重要的数学原理，在现代科学技术领域中有着广泛的应用。
通过对曲线拟合与插值方法的深入研究和探讨，我们能够更好地理解数据背后的规律，为科学研究和工程实践提供强大的支持。
希望本文能够对读者对曲线拟合与插值方法有所启发和帮助。
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
MATLAB中的曲线拟合与插值
MATLAB 中的曲线拟合和插值在大量的使用领域中，人们经常面临用一个分析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这种方法在下一节讨论。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图11.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小00.20.40.60.81-2024681012xy =f (x )Second O rder C urv e Fitting图11.1 2阶曲线拟合在MATLAB 中，函数polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; » y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit ，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
曲线拟合和插值运算原理和方法
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
Matlab中的曲线拟合与插值技巧
Matlab中的曲线拟合与插值技巧在数据科学和工程领域中，曲线拟合和插值技术是常用的数学方法。
在Matlab 中，有许多工具和函数可用于处理这些技术。
本文将讨论Matlab中的曲线拟合和插值技巧，并介绍一些实际应用案例。
一、曲线拟合技术曲线拟合是根据已知数据点来构造一个与这些点最匹配的曲线模型。
在Matlab 中，常用的曲线拟合函数包括polyfit和lsqcurvefit。
1. polyfit函数polyfit函数是Matlab中一个功能强大的多项式拟合函数。
它可以拟合多项式曲线模型，并通过最小二乘法找到最佳拟合系数。
例如，我们有一组数据点(x,y)，我们想要拟合一个二次多项式曲线来描述这些数据。
可以使用polyfit函数：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];degree = 2;coefficients = polyfit(x, y, degree);```在上述例子中，degree参数设置为2，表示拟合一个二次多项式曲线。
polyfit 函数将返回一个包含拟合系数的向量，可以用来构造拟合曲线。
2. lsqcurvefit函数lsqcurvefit函数是Matlab中一个用于非线性最小二乘拟合的函数。
与polyfit函数不同，lsqcurvefit函数可以用于拟合任意曲线模型，不局限于多项式。
例如，我们想要拟合一个指数函数曲线来拟合数据：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5];y = [1.1, 2.2, 3.7, 6.5, 12.3];model = @(params, x) params(1)*exp(params(2)*x);params0 = [1, 0];estimated_params = lsqcurvefit(model, params0, x, y);```在上述例子中，model是一个函数句柄，表示要拟合的曲线模型。
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异引言在数学和统计学中，插值法和曲线拟合是两种常用的数据处理方法。
它们在数据分析、模型构建和预测等领域发挥着重要作用。
本文将详细介绍插值法和曲线拟合的定义、原理、应用以及它们之间的主要差异。
插值法定义插值法是一种通过已知数据点之间的函数关系来推断未知数据点的方法。
它基于一个假设，即已知数据点之间存在一个连续且光滑的函数，并且通过这个函数可以准确地估计其他位置上的数值。
原理插值法通过对已知数据点进行插值操作，得到一个近似函数，然后使用这个函数来估计未知数据点的数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
应用插值法在各个领域都有广泛应用，如地图制作中根据少量已知地理坐标点推算其他位置上的坐标；传感器测量中根据离散采样点推断连续时间序列上未采样到的数据；图像处理中通过已知像素点推测其他位置上的像素值等。
主要特点•插值法可以精确地通过已知数据点估计未知数据点的数值，适用于需要高精度估计的场景。
•插值法对输入数据的要求较高，需要保证已知数据点之间存在连续且光滑的函数关系。
•插值法只能在已知数据点之间进行插值，无法对整个数据集进行全局拟合。
曲线拟合定义曲线拟合是一种通过选择合适的函数形式，并调整函数参数来使得函数与给定数据集最为接近的方法。
它不仅可以对已知数据进行拟合，还可以根据拟合结果进行预测和模型构建。
原理曲线拟合首先选择一个适当的函数形式，如多项式、指数函数、对数函数等。
然后使用最小二乘法或最大似然估计等方法来确定函数参数，使得函数与给定数据集之间的误差最小化。
应用曲线拟合广泛应用于各个领域，如经济学中根据历史数据构建经济模型进行预测；物理学中通过实验数据来验证理论模型；生物学中根据实验测量数据拟合生长曲线等。
主要特点•曲线拟合可以对整个数据集进行全局拟合，能够更好地描述数据的整体趋势。
•曲线拟合可以选择不同的函数形式和参数，灵活性较高。
•曲线拟合可能存在过拟合或欠拟合的问题，需要通过模型评估和调整来提高拟合效果。
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
曲线插值、拟合
根据被插值函数自变量个数，插值问题 分为一维插值、二维和多维插值；根据是 用分段直线、多项式或样条函数来作为插 值函数，插值问题又可分为线性插值、多 项式插值和样条插值。 MATLAB提供了一维、二维、三维、N 维数据插值函数interp1、interp2、interp3 、interpn,以及三次样条插值函数spline. 1.一位数据插值 调用格式： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 注：根据X,Y的值,计算函数在X1处的值。
例2 某实验对一根长10米的钢轨进行热源温 度传播测试。用x表示测量点距离(m)，用h 表示测量时间(s)，用T表示测量所得各点温 度(c)，测量结果如下。试用3次多项式插值 求一分钟内每隔10s,钢轨每隔0.5m处的温度
0 0 30 60 95 88 67
2.5 14 48 64
5 0 32 54
2.曲线拟合的实现 采用最小二乘法进行曲线拟合时，实际 上就是求一个系数向量，即为多项式的系数 。在MATLAB中，用polyfit函数来求的最小 二乘拟合多项式的系数，用polyval函数按所 得的多项式计算所给点上函数近似值。 polyfit函数的调用格式： [P,S]=polyfit(X,Y,m) 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产 生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量 S。
曲线拟合
1.曲线拟合 曲线拟合：用一个简单的函数去逼近 一个复杂的或者未知的函数。 依据的条件：在一个区间或一个区域 上的有限个采样点的函数值。 为此构造函数y=g(x)去逼近f(x)，这里 不要求曲线个g(x)严格通过采样点，但希 望能尽量靠近这些点，就是是误差在某种 意义上达到最小。
MATLAB曲线拟合的最优标准是采用 最小二乘原理，所构造的g(x)是一个次数小 于离散点的多项式。设测得n个离散数据点 （xi,yi)(i=1,…n), 欲构造一个m(m<n)次多项式p(x): m m1 a x a x am x am1 2 p(x)= 1 在这里就是使上述拟合多项式在各个 节点处的偏差p(xi)-yi的平方和达到最小。
曲线插值和曲线拟合
y
(x , y )
0 0
y L2 x
(x , y )
1 1
(x , y )
2 2
y f x
0
Байду номын сангаас
x
0
14 图2-3
x
1
x
例：(1,2), (0,0), (2,1), (3,3)
( x 0)(x 2)(x 3) l0 ( x ) (1 0)(1 2)(1 3) ( x 1)(x 0)(x 3) l2 ( x) (2 1)(2 0)(2 3) ( x 1)(x 2)(x 3) l1 ( x) (0 1)(0 2)(0 3) ( x 1)(x 0)(x 2) l3 ( x) (3 1)(3 0)(3 2)
设
g ( x) a00 ( x) ann ( x)
则
g ( xi ) f ( xi ) a00 ( xi ) ann ( xi ) a00 ( x0 ) a11 ( x0 ) an n ( x0 ) f ( x0 ) a (x ) a (x ) a (x ) f (x ) 0 0 1 1 1 1 n n 1 1 a00 ( xn ) a11 ( xn ) an n ( xn ) f ( xn ) 所以 a }n 有解，当且仅当系数行列式不为0 { i i 0
1 ai ( xi x0 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi xn ) ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi 1 ) ( x xn ) li ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi 1 ) ( xi xn )
3插值曲线拟合
例4 对 y
性插值和三次样条插值, 用m=21 x=-5:10/(m-1):5 y=1./(1+x.^2) z=0*x x0=-5:10/(n-1):5 y0=1./(1+x0.^2) y1=interp1(x0,y0,x) y2=interp1(x0,y0,x,'spline') [x' y' y1' y2'] plot(x,z,'r',x,y,'k:',x,y1,'b',x,y2,'g') gtext('Piece.linear.'),gtext('Spline'),gtext('y=1/(1+x^2)')
例 6 在飞机的机翼加工时, 由于机翼尺寸很大, 通常在图 纸上只能标出部分关键点的数据. 某型号飞机的机翼上缘 轮廓线的部分数据如下:
x=[0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190] y=[0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0] xi=[0:0.001:190] yi=interp1(x,y,xi,'spline') plot(xi,yi)
MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN， 但可通过为interp1函数添加‘extrap’参数指明也用于外插。 MATLAB的外插结果偏差较大。
arcgis 曲线插值拟合算法
arcgis 曲线插值拟合算法ArcGIS 提供了多种曲线插值和拟合算法，可以根据数据的特点和分析需求选择合适的方法。
以下是一些ArcGIS 中常用的曲线插值和拟合算法：
1. Kriging 插值：Kriging 是一种基于地统计学原理的插值方法，适用于空间上分布不均匀的数据。
ArcGIS 提供了Ordinary Kriging 和Universal Kriging 等不同类型的Kriging 插值工具。
2. 样条插值：样条插值使用平滑的曲线通过数据点，ArcGIS 中包括了许多样条插值的方法，如逆距离加权样条插值（IDW）、径向基函数样条插值（Radial Basis Functions，RBF）等。
3. 多项式插值：多项式插值通过多项式方程拟合数据点，ArcGIS 提供了越来越高阶多项式的插值方法，如二次多项式、三次多项式等。
4. 局部多项式插值（LOESS）：LOESS 插值是一种局部加权回归方法，适用于数据分布不规则的情况。
在ArcGIS 中，LOESS 插值可以通过Spatial Analyst 扩展中的Kernel Interpolation with Barriers 工具实现。
5. TIN 插值：TIN（三角不规则网格）插值方法通过创建三角形来近似表面，并在三角形内插值。
ArcGIS 中的TIN 插值方法可以通过使用Terrain 数据集或创建TIN 插值工具。
在使用这些插值和拟合算法时，你需要根据你的数据特点和分析目的选择最合适的方法。
不同的插值方法可能会产生不同的结果，因
此在使用之前最好先了解你的数据，并进行一些实验来确定最合适的方法。
插值法与曲线拟合
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y ) 00
y L2x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图2-3
11515 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值
求 115 的值。
14
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有
y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
为插值多项式Pn (x) 的余项。
17
关于误差有如下定理2中的估计式。
定理2 设 f (x) 在区间 a,b
上有直到n+1阶导数，x0, x1,, xn
为区间 a,b 上n+1个互异的节点， Pn (x) 为满足条件:
Pn (xi ) f (xi )(i 0,1,, n)
（2.9）
的n次插值多项式，则对于任何 x a,b ，有
的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插 插多项式 l0 (x), l1(x),,ln (x) 。容易看出，这组多项式仅与节点的取
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值
python曲线拟合与插值
python曲线拟合与插值在Python中，曲线拟合和插值可以通过多种方法实现，包括但不限于SciPy、NumPy、Pandas等库。
以下是一个使用SciPy库进行曲线拟合和插值的简单示例：```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import make_interp_spline, BSplineimport matplotlib.pyplot as plt#创建一些示例数据x=np.linspace(0,10,100)y=np.sin(x)+np.random.normal(0,0.1,100)#添加一些噪声#使用插值创建新的x值new_x=np.linspace(0,10,1000)#使用SciPy的make_interp_spline函数创建插值函数spl=make_interp_spline(x,y)#使用插值函数计算新的y值new_y=spl(new_x)#绘制原始数据和拟合曲线plt.figure(figsize=(8,6))plt.scatter(x,y,label='原始数据',color='blue',s=50)plt.plot(new_x,new_y,label='拟合曲线',color='red') plt.legend()plt.show()```在上述代码中，我们首先创建了一些示例数据，包括一组x值和对应的y值（这里我们使用了sin函数和一些随机噪声）。
然后，我们使用`make_interp_spline`函数创建了一个插值函数，该函数可以根据给定的x和y值生成新的y值。
最后，我们绘制了原始数据点和拟合曲线。
请注意，这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要更复杂的模型和算法。
例如，如果你需要拟合的曲线是二次方或其他非线性函数，那么可能需要使用其他方法，如SciPy的curve_fit函数。
曲线的插值与拟合matlab
在数学和统计学领域中，曲线的插值与拟合是一项重要的技术，它在数据分析、图像处理、工程计算等领域都有着广泛的应用。
曲线的插值与拟合可以帮助我们从有限的数据点中还原出连续的曲线，以便更好地理解数据的规律和特性。
1. 插值与拟合的概念在开始深入探讨曲线的插值与拟合之前，让我们先来了解一下这两个概念的含义。
插值是指通过已知数据点之间的连续函数，以得到介于已知数据点之间的数据点的值。
而拟合则是指通过已知数据点，找到拟合曲线以最好地逼近这些数据点。
2. 曲线插值的方法在实际操作中，我们可以使用不同的方法进行曲线的插值。
常见的方法包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线插值，例如interp1, interp2, interpn等，这些函数可以很方便地实现曲线的插值操作。
（1）线性插值线性插值是一种简单直接的插值方法，它通过已知的两个数据点之间的直线来逼近新的数据点。
虽然线性插值操作简单，但在一些情况下并不能很好地逼近数据的真实规律。
（2）多项式插值多项式插值是一种常用的插值方法，它通过已知数据点构造一个多项式函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用polyfit和polyval函数来实现多项式插值操作，通过调整多项式的阶数可以得到不同精度的逼近结果。
（3）样条插值样条插值是一种更加复杂但精确度更高的插值方法，它通过已知的数据点构造出一系列的局部插值函数来逼近数据。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行样条插值操作，通过调整插值节点的数量和类型可以得到不同精度的逼近结果。
3. 曲线拟合的方法除了插值方法之外，曲线的拟合也是一种常用的数据处理方法。
在实际操作中，我们可以使用不同的方法来进行曲线的拟合。
常见的方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
在Matlab中，有丰富的函数库可以用来进行不同类型的曲线拟合，例如polyfit, lsqcurvefit, nlinfit等，这些函数可以很方便地实现曲线拟合操作。
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2)( x 2)(0
3) 3)
l2
(x)
(x (2
1)( x 1)( 2
0)( x 0)(2
3) 3)
(x 1)( x 0)( x 2) l3(x) (3 1)(3 0)(3 2)
g(x) 2l0 (x) 0l1(x) 1l2 (x) 3l3(x)
例 已知 100 10, 121 11, 144 12 分别用线性插值和 抛物插值求 115 的值。
L2 (x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x) f (x2 )l2 (x)
这是一个二次函数，用二次函数 L2 (x)近似代替函数 f (x) ，在几何 上就是通过曲线y f (x)上的三点 (x0 , y0 ), (x1, y1), (x2, y2 ) ，作一抛物 线 y L2 (x) 近似地代替曲线y f (x（) 图2-3），故三点插值(二次插 值)。
将所得结果与 115 的精确值10.7328…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。
为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式改写成对 称形式
Ln (x)
n
y
k
k 0
n
j0 jk
x x j xk x j
Ln (x)
17
算法： li
( x x0 )L ( x xi1)( x xi1)L ( x xn ) ( xi x0 )L ( xi xi1 )( xi xi1 )L ( xi xn )
fx=0.0
for(i=0;i<=n;i++)
{
tmp=1.0;
for(j=0;j<i;j++)
tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]);
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11
L1
(
x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
故用线性插值求得的近似值为
115
L1 (115)
10
*
Байду номын сангаас
115 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
对应于 n (x) span{1, x, x2 , xn}
则
1
1
x0n
xi x j 0
xnn
0 jin
Vandermonde行列式
多项式插值的Lagrange型
• 如何找？
在基函数上下功夫，取基函数为
{li ( x)}in0 n
要求
li (x j ) ij
0, i 1, i
y
(x , y )
0
0
y f x y L1 x
(x , y )
1
1
0 x0
图2-2
x1
x
12
• 二次插值
l0
(x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y
(x , y ) 00
y L2 x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图21-43
例：(1,2),(0,0),(2,1),(3,3)
l0 (x)
(x 0)( x 2)( x 3) (1 0)(1 2)(1 3)
l1 ( x)
(x (0
1)( x 1)( 0
第一章 曲线插值与曲线拟合
刘云华
1
§1 引言 §2 拉格朗日插值多项式 §3 分段低次拉格朗日插值 §4 Neville逐步插值方法 §5 Newton插值 §6 Hermite插值和分段三次Hermite插值 §7 曲线拟合
2
• 概念
实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼 近f(x)。
xi1 )( x xi1 )L xi1 )( xi xi1 )L
(x xn ) ( xi xn )
n
记 n ( x) ( x xi ) i0
li
(x)
'n
n (x)
( xi )( x
xi
)
线性插值
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 ( x)
x x0 x1 x0
L1(x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x)
设 g(x) a00 (x) L ann (x) 则
g(xi ) f (xi ) a00 (xi ) L ann (xi )
a00 (x0 ) a11(x0 ) L ann (x0 ) f (x0 )
a00 (x1) a11(x1) L ann (x1)
M
f
( x1 )
a00 (xn ) a11(xn ) L ann (xn ) f (xn )
16
仿上，用抛物插值公式所求得的近似值为
115
L2
(115)
10
*
(115 (100
121)(115 121)(100
144) 144)
11*
(115 100)(115 144) (121 100)(121 144)
12 * (115 100)(115 121) 10.723 (144 100)(144 121)
所以{ai }in0有解，当且仅当系数行列式不为0
存在唯一定理
定理1.1 ：xi
n i0
为n＋1个节点，
span{0 ,1,
n}
n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当
0 (x0 )
0 (xn )
n (x0 )
0
n (xn )
特点：
1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同
自然地，希望g(x)通过所有的离散点
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定义：f (x) 为定义在区间
a,b 上的函数，xi
n
i0为区间上n+1个互不
相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 g(x) 满足
g(xi ) f (xi ) , i 0, , n
问题
是否存在唯一 如何构造 误差估计
j j
n
则 g (x) li (x) f (xi )
i0
求 {li ( x)}in0 ，易知：
li ( x) ai ( x x0 ) ( x xi1)( x xi1) ( x xn )
ai
( xi
x0 )
( xi
1 xi1 )( xi
xi1 )
( xi
xn )
li
( x x0 )L (x ( xi x0 )L ( xi