数列递推公式的九种方法
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求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
一、作差求和法 例1 在数列{}中，31
=a
,
)
1(11++
=+n n a a n n ，求通项公式.
解：原递推式可化为：1
111
+-
+
=+n n a a
n n 则,
2
11112
-+=a a
3
12123-+
=a a
4
13134-+
=a a ，……，n
n a a
n n
1111--+
=-逐项相加得：n
a a
n
111-
+=.
故n
a
n
14-
=.
二、作商求和法
例 2 设数列{}是首项为1的正项数列，且
0)1(12
2
1
=+-+++n
n n
n a a na a n （n=1,2,3…）
，则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为：
)
]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n
n a a ++1＞0，
1
1+=+n n
a a n n
则
,4
3,32,21342312===a a a a a a ……，n
n a a
n n
11
-=
- 逐项相乘得：
n
a a n 1
1=，即=n 1. 三、换元法
例3 已知数列{}，其中9
13,3421
==
a a
，且当n ≥3时，
)
(3
1
211----=-n n n n a a a a ，求通项公式（1986年高考文科第八
题改编）.
解：设1
1
---=n n
n a a b ，原递推式可化为：
}
{,3
1
21n n n b b b --=是一个等比数列，9
1
3491312
1
=-=
-=a a
b ，公比为3
1.故n
n n n b b
)3
1
()31(91)31(2211
==⋅=---.故n
n n
a a
)3
1
(1=--.由逐差法可得：
n n a )3
1(2123-=
.
例4已知数列{}，其中2,12
1
==a a ，且当n ≥3时，122
1
=+---n n n
a a a ，求通项公式。解 由122
1
=+---n n n
a a a 得：1)()(2
1
1
=------n n n n
a a a a ，令1
1
---=n n
n a a b ，则上式为12
1
=---n n b b ，因此是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n
=.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n
n n n a a a a a a a b b b ΛΛ
又2
)1(12
1
-=
+++-n n b b
b n Λ 所以)1(2
1
1-=
-n n a
n
，即)2(2
12
+-=
n n a
n
四、积差相消法 例5设正数列，，…，，…满足2
-n n
a a 2
1---n n a a = )
2(≥n 且11
==a a ，求的通项公式.
解 将递推式两边同除以2
1--n n a a 整理得：122
1
1=----n n n n a
a
a
a 设=
1
-n n a a ，则0
11
a a
b =
=1，1
21=--n n
b b
，故有
1
212=-b b ⑴122
3
=-b b ⑵ … … … …
1
21=--n n b b ()
由⑴2
2-⨯n + ⑵3
2-⨯n +…+()得1
22221-++++=n n
b Λ=1
2
-n
，即
1
-n n a a =12-n
.
逐项相乘得：=2
)12(-2
22)12()12(-⋅⋅-⋅n Λ，考虑到1
=a
，
故
⎩⎨⎧
-⋅⋅--=2
222)
12()12()12(1n n a Λ
)
1()0(≥=n n .
五、取倒数法
例6 已知数列{}中，其中,
11
=a
，且当n ≥2时，
1
211+=
--n n n a a a ，求通项公式。
解 将1
211
+=
--n n n
a a a
两边取倒数得：2
111
=--n n
a
a ，这说明}1{n
a 是
一个等差数列，首项是111
=a ，公差为2，所以
122)1(11
-=⨯-+=n n a n
，即1
21-=
n a
n
.
六、取对数法
例7 若数列{}中，=3且2
1
n
n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）. 解 由题意知＞0，将2
1
n
n a a =+两边取对数得n
n a a lg 2lg 1
=+，
即2
lg lg
1=+n
n a
a
，所以数列}{lg n
a 是以=为首项，公比为2的
等比数列，1
2
113lg 2lg lg -=⋅=-n n n
a a ，即1
2
3-=n n
a
.