§1.2 中值定理 洛必达法则

f ( x) x ln( x 2) x2
但却不易找到使 f ( x) 0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
例1 验证函数 f (x) 3 8x x2 在区间[0,8]上满足罗尔 定理的条件，并求出罗尔定理结论中的 x0值.
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
例6 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
1. 设 f (x) xn (n为自然数),则 f (n1) (x) ?.
2.求下列函数的导数
(1) y
2
;
(2) y arcsin 1 ;
1
(3) y x x ;
(4) y
x2 1
x
3.Baidu Nhomakorabea设
1 e2x
f
(
x)


x2
x0 x0
求 fx.
x 1 . x(x 3)
1 x2
1
1

1
x
2
x
2
1 x2 x2 1 x2
1 x2

1
1 x2
.
故
arctan
x


arcsin
x
0,

1 x2
x (, ).
所以由拉氏定理的推论 2 知，应当有：
arctan
x



arcsin

x 1
x2

1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
(二) 、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) （1）闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b)内可导, 那末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 一切条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0. 又例如, f ( x) 1 x, x (0,1], f (0) 0;
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的
一切条件 但在内找不到一点能使f ( x) 0. 再例如 f ( x) x, x [0,1].
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)

f (b) F (b)

f F
' () 成立. ' ()
第三章 中值定理和导数的应用
§1 中值定理 §2 洛必达法则 §3 函数的单调性与极值
导；区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2 在 [-1,2] 上满足(1),(2)，不满足 (3) 却在 (-1,2)内有一点 x=0 使
y x0 2x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可.
例如, y x , x [2,2];
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意: 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( ).
ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
推论2 如果 在区间 I 上 f ( x) g( x), 那末 在区间 I 上 f (x) g(x) C
例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0
证：设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
y f ( x0 x)x
——导数应用的理论基础
(一)、 罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数 f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a, b]上连续 （2）在开区间(a, b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等 f (a)= f (b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
dy f ( x0 )x 来近似计算 其误差是比 x
高阶的无穷小
即
y x

f ( x0 )
是近似关系
(| x | 充分小)
而 lim y x0 x
f ( x0 )
是极限关系,都不便应用
我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既 不是极限关系，也不是近似关系.对此，拉格朗日 （Lagrange）中值定理给出了圆满的解答：
解：由于 f (x) x3 6x2 11x 6 是一初等函数，
所以区间 [ 0, 3 ] 包含在它的定义域内，
f (x)在区间 [0,3]上连续， 在(0，3) 内可导.
因此 f (x) 在 [0, 3] 上 满足拉氏定理的条件.由于
f (3) f (0) 30

f (x0 ),
4.求下列方程所确定的隐函数的导数.
(1) (x 2)2 ( y 3)2 25; (2) xy yx.
5. 若 x 2y cos y 0. 求 d 2 y . dx2
6.求下列各函数的微分
(1)
y

1 2x2
;
(2) y xex;
(3) y x5x.
7. 近似计算 cos1510
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
推论1 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第三章 中值定理和导数的应用 §1 中值定理 §2 洛必达法则 §3 函数的单调性与极值
§1 中值定理
(一) 、罗尔定理 (二) 、拉格朗日中值定理
第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、 法线及有关变化率问题.这一章我们来讨论导数的应 用问题.
我们知道，函数 y f ( x) 在区间 x0, x0 x 上的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 可用它的微分
即
0
(6) 3

3x02
12x0
11,
亦即 x02 4x0 3 0.
解之得到x0 1(舍去x0 3)即在区间(0,3)内存在一点x0 1,
使得
f (3) f (0) 30

f (x0 )成立.
设 f (x)在 (a,b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
§2 洛必达法则
我们已经，当分子分母都是无穷小或都是无穷 大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在， 即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这 一运算法则.如何解决？ 0 ,

C0 ,
x (, ).
其中 C0 为一固定常数，为求出 C0 ，可将 x=0 代 入上式得：
C0= 0.
x
arctan x arcsin
.
1 x2
例8 证明：a b ln a a b , 其中a,b为常数. 且0 b a.
a
bb
证： 先对上式变形，可得：
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
例7 证明： arctan x arcsin x ,
1 x2
证：
x (, ).
由于
arctan
x


1 1 x2
,
arcsin
x

令
f (x0 ) 0,
即 8 2x0 33 (8x0 x02 )2
0,
得到x0 4,
即在 (0,8) 内存在一点 x0 4, 使得 f (x0 ) 0.
例2 不求导数，判断f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个 根，以及所在的区间.
例3 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
物理解释:
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.
作用： 常用来讨论f (x) 0根的存在性.
注意：
① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可
解：由于 f (x) 3 8x x2 是一初等函数，
所以区间 [ 0, 8 ] 包含在它的定义域内，
f (x)在区间 [0,8]上连续， (0，8) 内可导.
且 f (0) = f (8) = 0, 因此 f (x) 在 [0,8] 上 满足罗 尔定理的条件.由于
f (x) 8 2x , 33 (8x x2 )2
1 ln a ln b 1 a ab b
为此我们引入函数 y ln x.
在区间 [ b, a ] 内应用拉氏定理，有：
ln a ln b ab

f
(x0 )

1 x0
,
其中
x0 (b, a)
对 x0 (b, a) ，有：
111 .
a x0 b
1 ln a ln b 1 a ab b
a b ln a a b .
a
bb
注意： 一般来说，用中值定理证明一些不等式 时，可以考虑由以下三步来完成：
（1） 由题设确定一个函数 f (x) ; （2）选择与之对应的区间；
（2） 将 f ’(x0) 适当进行放大或缩小.
(三) 、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使f ( x) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点.有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，
如 f ( x) x ln( x 2) 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
y
A
oa
C
y f (x)
M
B
N
D
b-a
f(b)-f(a)
1 x
2 b
x
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
例4 验证函数 f (x) x3 6x2 11x 6 在区间[0,3]上 满足拉格朗日定理的条件，并求出拉氏定理结论 中的 x0值.