第三讲—中值定理与导数的应用

注意 当 F (x) = x 时, 就是拉格朗日定理.
注：证明有两个函数的等式
评述 在用拉格朗日中值定理或科西中值定理时, 确定辅助函数是比较容易的: 首先将ξ
与 a,b 分开; 然后再将 a 与 b 分开, 一般就可以发现 f (x) 或 g(x) 了.
【例 8】设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 其中 0 < a < b , 则存在
第三讲 中值定理与导数的应用 Ⅰ．考试要求
1．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor） 定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理.
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其应用.
【例 4】设函数 f (x) 在区间[0,b]上连续, 在 (0,b) 内二次可导, 且 f (0) = 0 . 又设存 在 0 < a < b , 使得 af (b) = bf (a) , 则存在ξ ∈ (0,b) , 使得 f ′′(ξ ) = 0 .
2. 拉格朗日定理：设函数 y = f (x) 在区间[a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 则存在
(2) 如果函数的导数仅在若干孤立点等于 0, 其它点保持同号, 则仍具有单调性. 单
调判定定理不是必要条件. 反例 y = x3
(3) 单调区间： 有的函数在几个区间上单调增加, 在另外几个区间上单调减少. 这样 的区间成为这个函数的单调区间.
如果函数在定义域内除个别点之外可导, 则单调区间的分界点是导数等于零的点或者
4
导数不存在的点.导数等于零的点称为驻点．
【例 11】（11203）函数 f (x) = ln | (x − 1)(x − 2)(x − 3) | 的驻点个数为( )
( A) 0 . (B) 1. (C) 2 .
(D) 3 .
(4) 单调性可用于证明不等式，方程根的惟一性． 证明方程的根唯一的两种方法. 单调函数至多有一个零点. 如果导函数没有零点, 用 罗尔定理(反证法)证明函数至多有一个零点.
ln f (b) = (b − a) f ′(ξ ) .
f (a)
f (ξ )
【例 7】 设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f (0) = 0, f (1) = 1 ,
2
则存在 0 < ξ1
< ξ2
< 1,
使得
1+ f ′(ξ1 )
1 f ′(ξ2 )
Ⅱ．考试内容
一． 中值定理
1. 罗尔定理： 设函数 y = f (x) 在区间[a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) = f (b) ,
则存在ξ ∈ (a,b) , 使得 f ′(ξ ) = 0 .
证 分情况讨论. 用费马引理.
几何意义 水平切线.
注： 证明方程有根的两种方法: 用闭区间连续函数的零点定理证明函数有根; 用罗尔
常用展开式
注: 证明含有高阶导数的等式及不等式，解决极限问题
x2
−
cos x − e 2
【例
9】计算极限
lim
x→0
x
2
[2x
+
ln(1
−
2
x)]
.
【例
10】
lim
x→∞
⎡ x⎢⎣sin
ln⎜⎛1 + ⎝
3 x
⎟⎞ ⎠
−
sin
ln⎜⎛1 + ⎝
1 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
.
二. 函数性质的讨论 1. 单调性
(3) 如果在点 c 的两侧 f ′(x) 恒正或恒负, 则点 c 不是极值点.
注：定理的条件可以减弱为: 函数 y = f (x) 在点 c 连续, 在点 c 的一个去心邻域内可
导. 这样就可以判定 y =| x | 了.
定理 2 设函数 y = f (x) 在点 c 二次可导, 且 f ′(c) = 0 , f ′′(c) ≠ 0 .
注： 考虑微分方程 f ′′(x) = [ f ′(x)]2 , 解之得 f (x) = − ln(C1 + x) − ln C2 . 将其改写, 使得右端是至多一次的多项式 e− f (x) = C2 (C1 + x) . 令 F(x) = e− f (x) , 则由 F ′′( x) = 0 可 以得到 f ′′(x) = [ f ′(x)]2 .
4．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 (a, b) 内，设函数 f (x) 具有二阶导数。
当 f ′′(x) > 0 时， f (x) 的图形是凹的； f ′′(x) < 0 时， f (x) 的图形是凸的），会求函数图
形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 5．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.
f (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′( x0 2!
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)
(
x
−
x0
)
2
+L
+
f
(n) (x0 ) n!
(x
−
x0 )n
+ Rn (x)
其中 Rn (x) =
f (n+1) (ξ ) (n + 1)!
(x
−
x0
) n+1
，称为函数
y
=
f (x) 在点 x = x0 处的带拉格朗日型余项
ξ ∈ (a,b) , 使得 bf (a) − af (b) = [ f (ξ ) − ξf ′(ξ )](b − a) .
4. 泰勒公式 4.1 泰勒定理：如果函数 y = f (x) 在包含点 x = x0 的一个开区间 (a,b) 内具有直到 n + 1 阶的导数, 则当 x ∈ (a, b) 时, 有
3. 函数的最值
3.1 闭区间上连续函数的最值 函数在闭区间上连续, 则取到其最大值和最小值. 最值点或者是区间端点, 或者是内
点. 如果是内点, 则或者是驻点, 或者是导数不存在的点.
3.2 无穷区间上函数的最值
【例 13】求函数 y = xex 的最小值.
注：可用于证明不等式 4. 曲线的凹凸 4.1 定义 设函数 y = f (x) 在区间 I 上连续, 如果对于 I 上的任意两点 x1, x2 , 恒有
常数.
【例 5】设函数 f (x) 在区间 (0,+∞) 内可导, 且满足微分方程 xf ′(x) = αf (x) , 其中
α ≠ 0 常数, 则 f (x) = f (1)xα . （２） 证明含有中值的等式，不等式 【 例 6 】 设 函 数 f (x) > 0 在 区 间 [a,b] 上 可 导 , 则 存 在 ξ ∈ (a,b) , 使 得
1
得 f (x) = Cex . 将 其 改 写 成 右 端 只 有 常 数 f (x)e−x = C . 令 F(x) = f (x)e−x , 由 F ′(x) = 0 得到微分方程 f ′(x) = f (x) .
【 例 3 】 设 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 二 次 可 导 , 且 存 在 c ∈(a,b) , 使 得 f (a) = f (b) = f (c) , 则存在ξ ∈ (a,b) , 使得 f ′′(ξ ) = [ f ′(ξ )]2 .
极大值 极小值统称为极值. 注： 函数的极值是局部性质, 而最值是整体性质. 极大值未必是最大值, 最大值也未 必是极大值. 2.2 必要条件
设函数 y = f (x) 在点 c 可导, 且在点 c 取得极值, 则 f ′(c) = 0 .
注：这只是可导函数的极值的必要条件. 反例 y =| x | 在点 x = 0 取得极小值.
f ⎜⎛ x1 + x2 ⎟⎞ < f (x1 ) + f (x2 ) (或 f ⎜⎛ x1 + x2 ⎟⎞ > f (x1 ) + f (x2 ) ), 则称函数 f (x) 在区
⎝2⎠
2
⎝2⎠
2
间 I 上是凹(或凸)的.
4.2 判定定理
定理 设函数 y = f (x) 在区间[a,b] 上连续, 在 (a,b) 内二次可导.
(1) 如果 f ′′(c) < 0 , 则点 c 是极大值点;
(2) 如果 f ′′(c) > 0 , 则点 c 是极小值点.
5
注 如果 f ′(c) = 0 , f ′′(c) = 0 , 则可能是极值点, 也可能不是极值点.
反例 y = x3 , y = x4
【例 12】设函数 y = y(x) 由方程 x2 + xy + y2 = 3确定, 求 y(x) 的极值.
=2
3. 柯西定理：设函数 f (x) 与 F (x) 在区间[a, b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 F ′(x) 在
(a,b) 内每一点处都不等于零, 则存在ξ ∈ (a,b) , 使得 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) . F (b) − F (a) F ′(ξ )
证 辅助函数（参数方程）.
余项可以写作 Rn (x) =
f (n+1) (θx) x n+1 , (n + 1)!
其中 0 < θ
< 1.
麦克劳林公式还可以写作
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′(0) x 2 2!
+L +
f (n) (0) x n n!
+ o(xn ) ,
余项是一个比 xn 高阶
的无穷小.
2．函数的极值： 2.1 定义 设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内连续, 点 c ∈ (a, b) . 如果存在 δ > 0 , 使得当
0 <| x − c |< δ 时, 有 f (x) < f (c) (或 f (x) > f (c) ), 则称点 c 是函数的极大(小)值点,
而 f (c) 是函数的极大(小)值.
的 n 阶泰勒公式.
如果函数 y = f (x) 在包含点 x = x0 的一个开区间 (a,b) 内具有直到 n 阶的导数, 则当
x ∈ (a,b) 时, 有
f (x) =
f (x0 ) +
f ′(x0 )(x − x0 ) +
f
′( x0 2!
)
(x
−
x0
)
2
+L
3
+
f
(n) (x0 n!
)
(x
−
x0
)n
+ o(x − x0 )n
称为函数 y = f (x) 在点 x = x0 处的带佩阿诺型余项的 n 阶泰勒公式.
4.2 麦克劳林公式
取 x0
=0,
得
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′(0) x 2 2!
+L +
f (n) (0) x n n!
+ Rn (x)
称为麦克劳林公式.
定理证明导函数有根.
【例
1】设 a1 , a2 ,Lan 满足 a1
−
a2 3
+L+( −1) n−1
an 2n − 1
=
0 ，则函数
f
(x)
=
a1
cos
x
+
a2
cos 3x +L+ a n
cos(2n
−
1) x
在区间
(0,
π 2
)
内至少有一个零点.
注： 证明的关键是选择辅助函数 F(x) . 为了满足 F ′(x) = f (x) , 用 f (x) 的一个满
判定定理
设函数 y = f (x) 在区间[a,b] 上连续, 在区间 (a,b) 内可导,
(1) 如果在 (a,b) 内 f ′(x) > 0 , 则 f (x) 在[a, b] 上单调增加;
(2) 如果在 (a,b) 内 f ′(x) < 0 , 则 f (x) 在[a, b] 上单调减少.
注：(1) 设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 内单调增加且可导, 则 f ′(x) ≥ 0 .
2.3 判定定理
定理 1 设函数 y = f (x) 在点 c 的一个邻域内可导, 且 f ′(c) = 0 .
(1) 如果在点 c 的左侧 f ′(x) > 0 , 在点 c 的右侧 f ′(x) < 0 , 则点 c 是极大值点;
(2) 如果在点 c 的左侧 f ′(x) < 0 , 在点 c 的右侧 f ′(x) > 0 , 则点 c 是极小值点;
ξ ∈ (a,b) , 使得 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) .
证 辅助函数. 罗尔定理
注意 当 f (a) = f (b) 时, 就是罗尔定理.
几何意义 切线与割线平行.
注： （1）如果函数 y = f (x) 在区间 I 上的导数恒等于零, 则 f (x) 在区间 I 上是一个
足罗尔定理条件的原函数.
【例 2】设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) = f (b) = 0 , 则
存在ξ ∈ (a,b) , 使得 f ′(ξ ) = f (ξ ) .
注： 又是辅助函数 F(x) 问题. 从所求结果出发, 考虑微分方程 f ′( x) = f (x) , 解之