2019高考数学专题九数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题配套作业文

第1讲 数学文化及核心素养类试题
配套作业
一、选择题
1．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( )
A.13
B.14
C.15
D.16 答案 A
解析 记田忌的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c .比赛的所有可能分别为Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共九种情形，其中田忌获胜是Ab ，Ac ，Bc ，故田忌获胜的概率P ＝39＝1
3
，应选A.
2．(2018·山西模拟)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )
A ．0
B ．25
C ．50
D ．75 答案 B
解析 输入a ＝675，b ＝125，得c ＝50，a ＝125，b ＝50，不满足c ＝0；执行循环，得
c ＝25，a ＝50，b ＝25，不满足c ＝0；执行循环，得c ＝0，a ＝25，b ＝0，满足c ＝0，循环
结束．故输出的a ＝25，故选B.
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )
A ．48里
B ．24里
C ．12里
D ．6里
答案 C
解析 设第一天的路程为a 1里，则
a 1⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12
61－12
＝378，a 1＝192，所以a 5＝192×1
2
4＝12.
4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 设命题a ：若p ，则q ，其逆否命题为若綈q ，则綈p ，为祖暅原理，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件．
设命题b ：若q ，则p ，对此举出反例，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积多一些，且多的总量与少的总量相抵，则它们的体积还是一样的，∴qD ⇒\p ，∴p 是q 的充分不必要条件．故选A.
5．(2018·长春模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋
1
1＋
11＋…
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，
它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋1
2
.类比上述过程，则
3＋23＋2…＝( )
A ．3 B.
13＋1
2
C ．6
D ．2 2
答案 A
解析 令 3＋23＋2…＝x (x >0)，两边平方，得3＋2 3＋2…＝x 2
，即3＋2x ＝x 2
，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 3＋23＋2…＝3，选A.
6．(2018·大连模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为( )
(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B
解析 执行程序框图，可得n ＝6，S ＝3×sin60°＝33
2
；不满足条件S ≥3.10，n ＝12，
S ＝6×sin30°＝3；不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056；
满足条件S ≥3.10，退出循环．故输出n 的值为24.故选B.
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.54钱
B.43钱
C.32钱
D.53钱 答案 B
解析 依题意，设甲所得为a 1，公差为d ，则a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝5
2，即2a 1＋d ＝3a 1＋
9d ＝52，解得a 1＝43.∴甲得4
3
钱．故选B.
8．(2018·安徽淮北模拟)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2
)，弧田(如上图)
由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的
距离之差．现有圆心角为2π
3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积
约是( )
A ．6米2
B ．9米2
C ．12米2
D ．15米2
答案 B
解析 解法一：如右图，由题意可得∠AOB ＝2π
3
，OA ＝4，
在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝1
2
×4＝2， 于是矢＝4－2＝2.
由AD ＝AO ·sin π3＝4×3
2
＝23，可得弦＝2AD ＝2×23＝4 3.
所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(米2
)．故选B.
解法二：由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝
1
2×OA ×OB ×sin∠AOB ＝12×4×4×sin 2π
3
＝4 3.
故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π
3
－4 3.
由π≈3，3≈1.7，可得S ≈9.2(米2
)，应选B.
9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的1
2
，第2关收税金为
剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的1
5，第5关收税金为剩余
金的1
6，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收
税金( )
A.
120斤 B.125斤 C.130斤 D.136
斤 答案 B
解析 假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3
关收税金14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；第4关收税金15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112x ＝14×5x ；第5关收税金
1
6
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112－120x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－16x
＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125
.故选B.
10．(2018·湖北模拟)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.53
6 B.73
6 C.36
D.33
6
答案 A
解析 几何体左侧为“堑堵”，底面两直角边长分别为3，1的直角三角形，高为1；右侧为“阳马”，垂直底面的侧棱长为3，底面是边长为1的正方形；因此体积为1×1
2×3
×1＋13×3×1×1＝536
，故选A.
11．(2018·苏州模拟)“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年
首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )
2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1
4033 4031 4029……………119 7 5 3
8064 8060……………………2016 12 8
16124…………………………3628 20
…………………………
A．2017×22016B．2018×22015
C．2017×22015D．2018×22016
答案 B
解析从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20 ＝5×22,48＝6×23，…，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，其值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015，故选B.
二、填空题
12．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是________．
答案 34
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“
”表示的二进制数为
100010，转化为十进制数为0×20
＋1×21
＋0×22
＋0×23
＋0×24
＋1×25
＝34.
13．(2018·四川模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．
答案 6
解析 设等差数列{a n }，首项为a 1，公差为3，则S 5＝5a 1＋5×4
2×3＝60，解得a 1＝6，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.
14．(2018·长沙模拟)我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)
若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为________尺． 答案 21.2
解析 因为250斛＝250×1.62立方尺，设圆锥形的高为h 尺，底面半径为r 尺，则2πr ＝54，解得r ＝9，因此250×1.62＝13
×3×92×h ⇒h ＝5，设球的半径为R ，则R 2＝92
＋(5－
R )2，可得R ＝10.6(尺)，
∴2R ＝21.2(尺)．。