贝叶斯公式的应用教学教材

贝叶斯公式的应用

贝叶斯公式的应用

1综述

在日常生活中，我们会遇到许多由因求果的问题，也会遇到许多由果溯因的问题。比如某种传染疾病已经出现．寻找传染源；机械发生了故障，寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。在一定条件下，这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解。以下的例子来说明贝叶斯公式的应用。

贝叶斯公式的定义

给出了事件B 随着两两互斥的事件12,,...,n A A A 中某一个出现而出现的概率。如果

反过来知道事件B 已出现，但不知道它由于12,,...,n A A A 中那一个事件出现而与之同时出现，这样，便产生了在事件B 已经出现出现的条件下，求事件(1,2,...)i A i n =出现的条件概率的问题，解决这类问题有如下公式：

2定义 设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割，即12,...,n B B B 互不相容，且1n

i i B ==ΩU ，如果

P( A ) > 0 ，()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/)

(/),1,2,...,()(/)i i i n j j

j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。

贝叶斯公式在市场预测中的应用

我们知道，国外的旧车市场很多。出国留学或访问的人有时花很少的钱就可以买一辆相当不错的车，开上几年也没问题。但运气不好时，开不了几天就这儿坏那儿坏的，修车的钱是买车钱的好几倍，经常出毛病带来的烦恼就更别提了。

为了帮助买旧车的人了解各种旧车的质量和性能，国外出版一种专门介绍各品牌旧车以及各年代不同车型各主要部件质量数据的旧车杂志。比如有个买主想买某种型号的旧车，他从旧车杂志上可发现这种旧车平均有30%的传动装置有质量问题。除了从旧车杂志上寻找有关旧车质量的信息外，在旧车市场上买旧车时还需要有懂车的内行来帮忙。比如可以找会修车的朋友帮助开一开，检查各主要部件的质量。因为旧车杂志上给出的是某种车辆质量的平均信息，就要买的某一辆来讲可能是好的传动装置，也可能会有问题。比较常见的方法是花一点钱请个汽车修理工帮助开几圈，请他帮助判断一下传动装置和其他部件的质量。当然，尽管汽车修理工很有经验，也难免有判断不准的时

候。假定从过去的记录知道某个修理工对于传动装置有间题的车，其中90%他可以判断出有问题，另有10%他发现不了其中的问题。对于传动装置没问题的车，他的判断也差不多同样出色，其中80%的车他会判断没问题，另外的20%他会认为有问题，即发生判断的错误。根据这些已知信息请你帮助买主计算如下的问题：

1、若买主不雇用修理工，他买到一辆传动装置有问题的车的概率是多少?

2、若买主花钱雇修理工帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装置有问题”时该车传动装置真有问题的概率是多少?

3、当修理工说该车“传动装置没问题”时而该车传动装置真有问题的概率是多少?

解 1、问题是简单的，即有30%的可能性买到一辆有传动装置间题的旧车，我们在这里只利用旧车杂志的信息。

第2问和第3问是贝叶斯估计或者利用贝叶斯公式进行决策的问题。

2、我们知道，贝叶斯公式是个条件概率的公式，即

1

()(/)

(/)()(/)i i i k j

j j P A P B A P A B P A P B A ==∑

其中(/)i P A B 称为事件i A 的后验概率，即在已知事件B 发生条件下事件i A 发生的概率；()i P A 是事件i A 的先验概率；(/)i P B A 称为样本信息，即在i A 发生条件下事件B 的概率。对于第2问，我们不妨令：

1A =实际有问题，2A =实际没问题

1B =修理工判断“有问题”， 2B =修理工判断“没问题”

则可将贝叶斯公式改写成：

(/P 实际有问题修理工判断“有问题”）

((/=((/+((/P P P P P P 实际有问题）修理工判断“有问题”实际有问题）

实际有问题）修理工判断“有问题”实际有问题）实际没问题）修理工判断“有问题”实际没问题）

111111212()(/)=()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 根据已知条件，计算式中各项的概率分别为：

1()(=0.3P A P =实际有问题）

2()(=0.7P A P =实际没问题）

11(/)(=0.9P B A P =修理工判断“有问题”/实际有问题）

12(/)(=0.2P B A P =修理工判断“有问题”/实际没问题）

21(/)(=0.1P B A P =修理工判断“没问题”/实际没问题）

22(/)(=0.8P B A P =修理工判断“没问题”/实际没问题）

代入上式

(/P 实际有问题修理工判断“有问题”）

111111212()(/)=()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 0.30.9=0.30.9+0.70.2

⨯⨯⨯ =0.66

这个结果表明，当修理工判断某辆车的传动装置“有问题”时，实际有问题的概率为0.66，即修理工的判断有问题使得真有问题的概率由0.30增长到0. 66。

3、(/P 实际有问题修理工判断“没问题”）

((/=((/+((/P P P P P P 实际有问题）修理工判断“没问题”实际有问题）

实际有问题）修理工判断“没问题”实际有问题）实际没问题）修理工判断“没问题”实际没问题）

111121222()(/)=()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 由问题2知道

(/P 实际有问题修理工判断“没问题”）

121121222()(/) =()(/)()(/)

P A P B A P A P B A P A P B A + 0.10.3=0.30.1+0.70.8

⨯⨯⨯ =0.05

这个结果表明，当修理工判断某辆车的传动装置“没问题”时，实际有问题的概率为0.05，即修理工的判断没问题而实际上有问题的概率由0.3下降到0.05。

评注 这是一个生活中很常见的问题。利用贝叶斯公式计算出买主花钱雇修理工

帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装置有问题”时该车传动装置真有问题的概率，当修理工说该车“传动装置没问题”时而该车传动装置真有问题的概率。如果买主