等腰直角三角形中

A C'
B'
如右图，△ABC和△AB’C’都 B
C
是等边三角形（AB绕A逆时针旋转旋
转60°至AC位置、AB’绕A逆时针旋
转旋转60°至AC’位置），易知 △ABB’≌△ACC’(SAS)。
A
C'
B'
B
C
A C'
B'
B
C
A
C'
B'
B
C
这个模型可以形象地称为“共顶点的双等边三角形模型”。
四、“旋转一拖二”的特例（2）
上述规律可简记为“等线段、共顶点；造旋转、一拖二”。
六、变式训练
A
D
A
D
O Q
B
C
P
逆时针
O
B
C
QP
顺时针
简析：由BA=BC，可绕B转90度，可证得
六、变式训练
逆时针
顺时针
简析：由BA=BC，可绕B转120度，可证得
七、常见模型
（一）正方形中“半角（45度）模型”
已知正方形ABCD中，∠EBF＝45°，则EF=AE+CF
EF=AE+CF
七、常见模型
（二）四边形中更一般的“半角模型”
EF=AE+CF
七、常见模型
（三）等腰直角三角形中“半角（45度）模型”
已知等腰直角△ABC中，∠DAE＝45°，则DE2=BD2+CE2.
DE2=BD2+CE2
七、常见模型
（四）对角互补模型（1）
简称“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）.
七、常见模型
（四）对角互补模型（2）
简称“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）.
七、常见模型
（四）对角互补模型（3）
已知等边△ABC，且∠BPC＝120°，则PA=PB+PC.
PA=PB+PC
简称“等边三角形对120°模型”.
七、常见模型
（四）对角互补模型（4）
简称“120°等腰三角形对60°模型”.
《“旋转”那ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ事》
高邮市赞化学校 段广猛
一、旋转的定义
在平面内，将一个图形绕 一个定点 按 某个方向 转 动 一定的角度 ，这样的图形运动称为旋转．
B
C 1.绕哪个点旋转？
2.向哪个方向旋转？
A
3.转动了多少度？
三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
二、小试牛刀
如图∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，E为AB上的一点,且 AD=CD，DE=5.请求出四边形ABCD的面积.
五、实战分析
传统意义上，此类问题可以用“截长补短法”解决。如图，在PA上 截取PQ=PB，易证明∠BPA=∠CPA=60°,这样△PBQ为等边三角形， 由“共顶点双等边三角形模型”易证明△ABQ≌△CBP(SAS)，故 PC=QA，所以PA=PQ+QA=PB+PC，得证。这是传统的“截长法”。
五、实战分析
B 解决问题。
解题后反思：过点D作DF⊥BC于点F，可由条件推出△ADE≌△CDF ，这样也达到了与上述旋转同样的目的，这也是学生容易想到的辅助线 。前面的“旋转法”，必须证明B、C、F三点共线；而后者必须证明 △ADE≌△CDF，两者各有裨益。
三、“旋转一拖二”（全等）
A C'
B'
B
C
如左图，等腰△ABC绕着点A按 逆时针方向旋转α度至△AB’C’位 置，易知△ABC≌△AB’C’（即旋 转后的图形与旋转前的图形全等）。
B
如右图，△ABC和△AB’C’都 是等腰直角三角形（AB绕A逆时针旋 转旋转90°至AC位置、AB’绕A逆时 针旋转旋转60°至AC’位置），易知 △ABB’≌△ACC’(SAS)。
A C B'
A
C' B
C'
A C B'
A
C' C'
B
B' B
B'
C
C
这个模型可以形象地称为“共顶点的双等腰直角三角形模型”。
BP绕B旋转：
逆时针
顺时针
所有转法
由AB=AC，绕A转： 逆时针
由BA=BC，绕B转： 逆时针
由CA=CB，绕C转：
逆时针
顺时针 顺时针 顺时针
规律总结： 当某个顶点处有两条相等的线段时，这就为旋转提供了先天
条件，只需将此顶点处出发的第三条线段绕着这个顶点作相应的 旋转即可，可顺时针转，也可逆时针转，构造出“共顶点的双等 腰三角形模型”，借助“旋转一拖二”，得到全等，解决问题。
传统意义上，此类问题还可以用“补短法”解决。如图，延长CP 至点Q，使PQ=PB，易证明∠BPQ=60°,这样△PBQ为等边三角形， 由“共顶点双等边三角形模型”易证明△ABP≌△CBQ(SAS)，故 PA=QC，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得证。
纵观上述两种传统解法，若是用旋转的眼光来看，就更有趣了。 观察到原题中点B出发有三条线段BA、BC、BP，其中BA=BC，这就为 旋转作了很好地铺垫。 第一种“截长法”可以看成BP、BC同时绕点B按逆时针方向旋转60° 所得，即将△PBC绕着点B逆时针旋转60°至△QBA。若是这样作辅助线， 难在证明P、Q、A三点共线（提示：∠AQB=∠CPB＝120°,∠BQP＝60° 可证）。 第二种“补短法”可以看成BP、BA同时绕点B按顺时针方向旋转60° 所得，即将△PBA绕着点B顺时针旋转60°至△QBC。若是这样作辅助线， 难在证明Q、P、C三点共线（提示：∠BPQ＝60°,∠BPC＝120°可证）。 总而言之，上述两种解法若用旋转的眼光来看，就是绕着旋转中心B按 顺时针或逆时针方向旋转60度，这样BA与BC必然重合（这是由BA=BC产生 的结果）。BP则旋转60至BQ位置，构造出“共顶点双等边三角形模型”， 得出全等，解决问题。 但旋转的缺点是麻烦在证明“三点共线”上，这也是对学生而言易忽略 的地方。建议，在解题中，用“旋转”的眼光立即想到解题方案，但书写过 程可以借用“截长补短”的方法进行，两种想法相得益彰。但后者必须证明 全等。
如左图，若连接BB’、CC’， 易证明△ABB’≌△ACC’（SAS）。
这就是传说中的“旋转一拖二”，即等腰三角形旋转之后 会有两个全等三角形，尤其是第二个全等往往是解题的关键。 另外，结合“8字形”，易证∠BDC=∠BAC。
上述模型有个形象的名字，可以称为“手拉手模型”。
四、“旋转一拖二”的特例（1）
D AE
F
反思：解本题的关键是图中已有的
两条相等的线段DA=DC，这就为“旋转”奠
C 定了基础。将AD绕着点D按逆时针方向旋转
90°至DC位置，则由点D出发的第三条线段
DE也作相同的旋转至DF位置，得到如图所
示辅助线。可以证出B、C、F三点共线（即
∠DAF+∠DCB＝∠A+∠DCB=180°），进而