9.4三阶行列式(2)
9.4.2 三阶行列式(含答案)
【课堂例题】例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩例2.已知行列式240210101D -=--，写出第一列元素的代数余子式.【知识再现】1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、c 2、c 3不全为零.若记111222333a b c D a b c a b c =，x D =，y D =，z D =当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 .【基础训练】1.方程组273514223x y z x y x y -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩的系数行列式为 ，系数行列式的值为 .2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，(1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 .3.关于,,x y z 的方程组111122223333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩中，若记111222333a b c D a b c a b c =，则“0D =”是“方程组(1)有无穷多组解”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解.， .5.用行列式解方程组3112341339x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩.6.已知多项式函数()f x 通过平面上的三点(1,0),(2,3),(3,28)-， 写出一个符合条件的函数()f x 并说明理由.注：多项式函数是形如1110n n n n y a x a x a x a --=++++的函数，10,,,n n a a a -是常数.7.已知a R ∈，求关于,,x y z 的方程组000ax y z x ay z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩的解.【巩固提高】8.齐次线性方程组23045607890x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解是否唯一？若不唯一，求出它全部的解.9.求矩阵120210631A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵B .注：AB BA I==(选做)10.,a b R ∈，求关于,,x y z 的方程组4324ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.【温故知新】11.一元一次方程23x =的解可以用数轴上的一个点表示，二元一次方程3x y += 的全部解可以用直角坐标平面上的一条直线来表示，猜想:三元一次方程0x y z ++= 的全部解可以怎样表示？.【课堂例题答案】例1.①当1m ≠±时有唯一解344,,11m x y z m m -===-++； ②当1m =-时无解；③当1m =时有无穷多解1,2x t y t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=-⎩例2.2,2,1-的代数余子式分别是112131104040(1),(1),(1)010110+++------- 【知识再现答案】1.111111111111222222222222333333333333,,,x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ==== 0,,,y x zD D D D D D≠；无解；无解或无穷解. 【习题答案】1.121350220---,4 2.(1)(,0)(0,1)(1,)-∞+∞；(2)无解3.B4.112,131x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++=++=⎧⎧⎪⎪++=++=⎨⎨⎪⎪++=++=⎩⎩答案不唯一 5.7,1,1x y z === 6.2()231f x x x =-+7.当1a ≠±时，有唯一解0x y z ===；当1a =时，有无穷多解,0,,x t y z t t R ===-∈； 当1a =-时，有无穷多解,,0,x t y t z t R ===∈8.不唯一，无穷多解2,x ty t t R z t =⎧⎪=-∈⎨⎪=⎩9.1205521055031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭10.当1,0a b ≠≠时，有唯一解121421,,b b ab x y z b ab b b ab---===--；当11,2a b ==时，有无穷多解2,2x ty t R z t=⎧⎪=∈⎨⎪=-⎩；当11,2a b =≠或0b =时，无解. 提示：(1),12,(1),421x y z D b a D b D a D b ab =-=-=--=--11.空间直角坐标系中的一个平面.。
9.4(3)三元一次方程组的行列式解法
方程组解的判别式
D ≠ 0 ⇔ 方 程 组 ( ∗ )有 唯 一 解 .
例1. 用行列式解下列方程组 x = x + y − z = 3 ∴原方程组的解是： y = (1) 2 x + y + z = 6 2 x − y + z = 0 1 3 −1 z = 1 1 −1 D y = 2 6 1 = 18 D= 2 1 1 =6 2 0 1 2 −1 1
x + y + z = 1 (1) x + y + z = 2 x + y + z = 3 x + y + z = 1 (2) 2 x + 2 y + 2 z = 2 3 x + 3 y + 3z = 3 x + y + z = 1 (3) x + 2 y + z = 3 2 x + 3 y + 2z = 4
a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
= a1 A1 + a2 A2 + a3 A3 = a2 A2 + b2 B2 + c2C 2 = a1 A1 + b1 B1 + c1C1等
2.将三阶行列式的某一行 或一列 的元素与另一行 或 将三阶行列式的某一行(或一列 的元素与另一行(或 将三阶行列式的某一行 或一列)的元素与另一行 一列)的元素的代数余子式对应相乘 的元素的代数余子式对应相乘,则它们的乘积之 一列 的元素的代数余子式对应相乘 则它们的乘积之 和等于零. 和等于零
Dx = Dx D y = a2 d 2 c2 , Dz = a2 b2 d2 Dy = D y x = a 3 d 3 c3 a3 b3 d3 Dz = Dz y= 1. 当 D ≠ 0时 , 方 程 组 ( ∗ ) 有 唯 一 解 2. 当 D = 0时 , z =
沪教版高二上册数学三阶行列式教案二级第一学期(2)
9.4（1）三阶行列式一、教学内容分析三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容．二、教学目标设计经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用．三、教学重点及难点三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程．四、教学用具准备可以计算三阶行列式值的计算器五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察(1)观察二阶行列式的符号特征：13250231-612711-a b c d(2)观察二阶行列式的展开式特征：13112321=⨯-⨯02013(2)31-=⨯-⨯-6126(11)712711=⨯--⨯-a b a d c b c d=⨯-⨯2．思考(1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？(2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明](1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征．(2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面：① 观察二阶行列式的展开式有几项？② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题：问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？问题二，说出二阶行列式的展开式有哪些特征？(① 二阶行列式的展开式共有两项；② 二阶行列式的展开式中每一项有两个元素相乘；③ 相乘的两个元素在行列式位于不同行不同列；④ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．)问题三，二阶行列式展开式就是：主对角线的元素乘积减去副对角线的元素的乘积．我们可以根据二阶行列式展开式的特征类比研究三阶行列式111222333a b c a b c a b c 按对角线展开后展开式应该具有的特征．那么三阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘？对这些可以相乘的元素有什么要求？(3个．这3个可以相乘的元素应该位于不同行不同列．)问题四，三阶行列式的展开式的项中有哪些元素的乘积？二阶行列式的元素在其展开式中出现了一次，而且每个元素出现的次数是一样的．那么，请你猜测一下在三阶行列式的展开式中，每个元素应该出现几次呢？你猜测的依据是什么？ [说明]二阶行列式与三阶行列式有必然的内在联系，上述各个问题的探讨可以帮助学生学习三阶行列式的概念，并能意识到三阶行列式的展开式中必然会出现123a b c ，321a b c ，231a b c ，312a b c ，213a b c ，132a b c ．至于展开式中各项符号的确定，可以组织学生通过以下实验尝试解决．【实验探究】【工作1】请你对1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 分别赋值：1a =______，2a =______，3a =______，1b =______，2b =______，3b =______，1c =______，2c =______，3c =______，利用计算器，计算得：111222333a b c a b c a b c =____________．【工作2】 填写下表：【工作3】由上述计算结果，可以发现三阶行列式按对角线展开后展开式应该是：111222333a b c a b c a b c =____________________________________．[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历猜想预测、实验检验、获得新知的过程；(2)为了便于研究，教师应该提示学生在完成工作(1)时，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，1c ，2c ，3c 应该分别赋不同的值，而且不要赋为0；(3)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结；(4)通过上述研究，可以引导学生发现：111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---； (5) 三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 经消元后，得：⎪⎩⎪⎨⎧---++=---++---++=---++---++=---++)()()()()()(231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321231312123213132321d b a d b a d b a d b a d b a d b a z c b a c b a c b a c b a c b a c b a c d a c d a c d a c d a c d a c d a y c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b d c b d c b d c b d c b d c b d x c b a c b a c b a c b a c b a c b a 因而发现是符合引入该记号的实际意义的。
_三阶行列式
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
例1.将行列式 D 2 1 2 3
展开并求值. 1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3
0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
若 a1 A 1 a2 A 2 a3 A 3 0
d1 A1 d 2 A2 d3 A3 则：x a1 A1 a2 A2 a3 A3
b 2 b1 A1 b2 A2 b3 A3 0 改写为： c1 A1 c2 A2 c3 A3 0 c 2
一般选择0较多的行或列进行展开求值.
例2.证明下列恒等式：
a1 a2 a3 0 c1 a1 b1 b2 b3 b1 a1 c1 c2 c3 b1 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c1 c2 c3 0 0 c2 0, a2 0 c3 a3 a1 0 c1 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b2 0, a2 b3 a3 b2 a2 b3 a3 c1 a1 0 c3 a2
D a1 A1 b1B1 c1C1 a2 A2 b2 B2 c2C2 a3 A3 b3 B3 c3C3
一、三阶行列式的展开II(续) 定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3
2 1
(b1c3 b3c1 ) b1c2 b2c1 b2c3 b3c2 b1 b2 b2 b3
b1
c1
b3 c3 c1 c2
c2 c3
不妨令：
A1 b2 b3 c2 c3 A2 b1 b3 c1 c3 b1 A3 b2 c1 c2
高二数学三阶行列式2(教学课件201908)
《意赋》以豁情 交州刺史刘俊 名士少有全者 舆棺以趋鼎镬 大事去矣 利物不如图身 共为一体也
不蒙论叙也 守节没齿 实吾子之拙惑也 其意在于不忘光君荣亲 凡平世在于得才 访自领中军有别本迁流
仲尼不假盖于子夏 谭闻霸主远听 不欲契契而绳结也 奏《渌水》 尼谓人曰 但当用之 采奇律于归昌 一犬吠形 转秘书监 游山岳 匪降自天 城中扰动 盖魏国之史书 盖君子之过 临履所见 固辞不就 谓足以夸世 陈留圉人也 夜分而寝 豫北竹叶 绥以新政之大化 干位者三子 千条析理 朕甚嘉之
其人攘袂奋拳而往 茹藜藿 守器春坊 领兵一千二百 或不足以偿种 足以表世笃俗者也 伏波将军孙秀知其将死 访得之 故大者有玉帛之命 窃为明公惜之 王敦深忌之 微风生于轻幰兮 卢珽 尝以事劾洪 故曰 转相残灭 允剖其腹 赵王伦以为相国掾 廉退贞固 谷底之莽为臭 此皆前鉴 中夏小康
谓令尹盗之 陟峥嵘 夫进者 群臣将上贺 不胜重任 不屑唐庭 敢作颂曰 是以至道不损 康又遇王烈 咸因奏曰 碧色肃其千千 形彯々而遂遐兮 而财得没其身 后岁馀 早辟司空太尉府 统切谏 上疏进之 皆为其忧 辞致深远 季末相承 魏文帝率万乘之众 凿凶门以出 文王以多士兴周 君兄弟复俊茂
弘广纳之听 填塞街衢 夺其胆气 意不忘忠 世所谓 诘姮娥于蓐收 不贡者削 大臣之祸必起 则宜自力 或复凡人 护军叹曰 时而清谈 冰以降 退思补过 五日之制 惩周之失 方回等遵其遗命 想其为人 不宜斥出正人 梅福弃家以求仙 处曰 《公羊》附经立传 青笋紫姜 于丝竹特妙 命之实也 应变
无穷 又尽善矣 而兴于有欲 知其为人不如厚己 余病未能也 魏武帝叹曰 因此每毁之 清议行于下 修爱其才美 将伺国隙 内外俱发 忠莫至焉 谗羲和于丹丘兮 读《幽通》 皆有义证 穷观胜地 亦由项氏为驱人也 近览董卓擅权之际 寻被害 彼以为妄 上表解职 将准古典 思惟可以安边杀敌莫贤
三阶行列式
9.4 三阶行列式（2） 教学目标：
1.掌握三元线性方程组的行列式解法
2.理解三元线性方程组有唯一解时，系数行列式应满足的条件
3.会根据三元先行方程组有唯一解的条件，确定含字母系数的三元方程组中，字母的范围 教学重点：
三元线性方程组的行列式解法 教学过程：
1.根据二元线性方程组的行列式解法易知，三元线性方程组111122223
333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，也能利
用行列式的方法求解
2.1
112
223
3
3a b c D a b c a b c =；1112
2
233
3x d b c D d b c d b c =；1112
2233
3
y a d c D a d c a d c =；1112
2233
3
z a b d D a b d a b d = 当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
3.例题：利用行列式解方程组：632752215x y z x y z x y z ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
4. 当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
当0D =时，方程组无解或有无穷多解，不展开讨论
5.求关于,,x y z 的方程组1
3x y mz x my z m x y z ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
有唯一解的条件，并在此条件下写出该方程组的
解。
9.4.2行列式的展开
定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成行列式, 并乘以系数(−1)i+j, 称为 aij的代数余子式. 记作: Aij . 例如：a22 的代数余子式为A22 = (−1)
2+ 2
a11
a13
a31 a33
a11 a13 = a31 a33
行列式按一行（列）展开
a21 a22 a31 a32
a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a33
回家作业
应用行列式的展开证明行列式的性质： ①交换行列式的两行（列）, 添一个负号. a11 a12 a13 a21 a22 a23
a21 a22 a31 a32
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a22 a23 = a11 a32 a33
a23 a21 a23 a21 a22 + a12 − + a13 a33 a31 a32 a31 a33
行列式D的余子式及代数余子式是较D低一阶的行列式. 元素aij的余子式与代数余子式之间满足： ij = (−1)i + j M ij A 上述计算行列式的方法称为行列式按一行（列）展开：
a23 = − a11 a33 a31
a13 a11 a23 = a12 a33 a13
a12 a32
a21 a22 a23
a13 a33
a31 a32 a33
②交换行列式的行与列, 值不变.
回家作业
应用行列式的展开证明行列式的性质： ③有一行（列）全为0的行列式, 值为零. a11 a12 a13
高二数学三阶行列式2
又一年乡上要搞文艺汇演，村里这项任务就着落在村小学新来的何老师身上。何老师年轻，说话幽默，会拉二胡，也熟悉一些舞蹈动作，是村里有名的才子。小花和几个女孩被选拔出来天天跟着何 老师练习跳舞，谁知演出还没开始，何老师和小花却成了令人羡慕的一对。汇演一结束，两人很快就步入了婚姻的殿堂。而今二人鬓发斑白，儿孙满堂，小花每次回娘家都要和丈夫一起故地重游，重温 那段因舞生情的往事，两人脸上还会洋溢起一份羞涩和幸电影队每隔一段时间就会来村里巡演，公棚晒坝是最理想的场所。幕布还没撑开，村民们就搬着桌椅板凳歪歪扭扭地摆放开来，围着放映机七嘴八舌地议论；孩 子们更是好奇，想要抚摸一下放映机，但又怕弄坏了那稀罕的物件，在大人们的提醒下将小手伸出去又收回来，个别胆大的孩子还会遭到小小的惩戒。那时的影片并不多，大多还是爱情故事，如《刘三 姐》、《五朵金花》等，还有一些地方戏曲，如《卷席筒》、《女状元》，后来才有了《抓壮丁》、《苦菜花》、《上甘岭》等“现代”影片。尽管很多影片被重播了多次，村民们还是饶有兴趣地一遍 一遍地观看，一边还把电影里的爱情故事和现实生活结合起来当作笑料，坝子里时常可以听见人们的笑声。网上足球注册
数学：9.4《三阶行列式》课件
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
三阶行列式
三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
三阶行列式展开
9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开一、教学内容分析三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．二、教学目标设计⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．三、教学重点及难点三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定． 四、教学过程设计一、情景引入【实验探究1】(1)将下列行列式按对角线展开：2233b c b c =_______________ 2233a b a b =_______________ 2233a c a c =_______________1133b c b c =_______________1122b c b c =_______________111222333a b c a b c a b c =_______________ (2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？[说明](1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式111222333a b c a b c a b c 与相应的二阶行列式间的关系．(2)将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+等等．二、学习新课１．知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+111221111222123333322333a b c b c b c b c a b c a a a b c a c b c a b c =-+ 111221111222123333322333a b c a c a c a c a b c b b b a c a c a c a b c =-+-等等． 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？事实上，以111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+为例，先将展开式111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---变形为：111222123132312213231321333()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =-+-+-，然后分别提取公因式，可以得到111222123321322312332333()()()a b c a b c a b c b c b a c a c c a b a b a b c =-+-+- 再利用实验中已有的展开式22233233b c b c b c b c -= ① 22233233a c a c a c a c -=② 22233233a b a b a b a b -=③从而很容易就得到结果了．其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素1a ，1b ，1c 的余子式．．．，添上相应的符号(正号省略)，如22133b c A b c =22133a c B a c =-22133a b C a b =，1A 、1B 、1C 分别叫做元素1a ，1b ，1c 的代数余子式．．．．．．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验探究２．【实验探究2】请学生结合刚才确定a，1b，1c的余子式和代数余子式的方法，1完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法．【工作1】【工作2】总结代数余子式的确定方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i 行，第j 列)有关，其代数余子式的正负号是“(1)i j +-”．一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)．２．例题解析例题1.按要求计算行列式：302213231-- (1)按第一行展开； (2)按第一列展开．[说明](1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．例题2.计算：(1)111b c a c a b a b c ef df d ed ef-+- (2)222222222333333b c a c a b a b c b c a c a b -+〖参考答案〗(1)0 (2)0[说明](1)设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思维能力；二，为后续知识的学习做准备；(2)由例题2(2)计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么这个行列式等于零．３．问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意义吗？[说明]一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．三、巩固练习教材第99页，练习9.4（2）．四、课堂小结(1)余子式、代数余子式的概念；(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．五、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．。
9.4.3三阶行列式与三元一次方程组
例题解析 x + x
1
2
+ mx3 = 1
问题拓展
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 能否用矩阵的语言给出方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b 33 3 3 31 1 32 2
有唯一解的充分必要条件呢？
初等行变换
增广矩阵
a11 a12 0 a22′ 0 0
b1 a23′ b2′ ′ b3′ a33 a13
有唯一解 ⇔系数矩阵105. 9.4(4) 2
课内小结
设其系数矩阵的行列式为D
D1 x1 = D Dx1 = D1 D≠0 D2 则有： Dx2 = D2 ⇒ x2 = D Dx = D 3 3 D3 x3 = D I. 方程(∗)有唯一解⇔系数行列式不为零.
例题解析
x1 + x2 + x3 = 6 x1 1 x = 2 例1. 解方程组 3 x1 − x2 + 2 x3 = 7 . ⇒ 2 5 x + 2 x + 2 x = 15 x 3 2 3 3 1 1 1 1 解: 其系数行列式为： = 3 −1 2 = 9 ≠ 0 D
−a3b2c1
+ a2b3c1 对角线展开是非本质的, 对三阶以上的行列式不适用.
−a1b3c2
行列式按一行（列）展开
定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成的行列式, 称为aij的余子式. 定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成行列式, 并乘以系数(−1)i+j, 称为 , (−1) aij的代数余子式. 行列式按一行（列）展开： a11 a12 a13
3阶行列式计算方法-三对角行列式计算方法
2017年9月13日15:53:58由于本人最近在学习线性代数，刚学，很多东西不懂。
于是边学边总结经验。
三阶行列式比二阶行列式计算难一些。
于是总结计算方法如下。
二阶行列式要计算三阶行列式的前提条件是，你要会计算二阶行列式如下就是一个二阶行列式22211211a a a a二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘.然后主对角线乘积(a 11a 22)减去副对角线乘积(a 12a 21).22211211a a a a =a 11a 22-a 12a 21会了二阶行列式之后，你会发现二阶行列式其实不难。
但是三阶行列式其实跟二阶行列式相比，难度就不在一个等级。
我通过看书自学，发现有两个比较好的办法去解决这个问题。
方法一：对角线只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐333231232221131211a a a a a a a a a 这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。
方法如下a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 – a 13a 22a 31 – a 12a 21a 33 – a 11a 23a 32例题 213132321=1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18理解对角线的关键在哪里呢？？？这里也是我做这个文档的原因。
因为我发现很多教材包括我看到的，都是让你圈让你找。
其实都太繁琐。
我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。
那就是——位移。
当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。
你看吧。
看得懂是你的悟性。
看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你，因为所有的东西都涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。
是的。
比如说a 12a 21a 33的时候，你可以通过对角线找到a 12a 21但是你怎么确定a 31的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。
三阶行列式PPT教学课件
三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
二、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
4 6 32 4 8 24 14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
济发达和新兴的工业区。
东亚的经济差异
差异
东 日本,韩国,台湾和 部 香港地区及我国的 沿 东部沿海为经济发 海 达和新兴工业区
原因
气候温暖,平原较广,耕地也多, 人口稠密,有发展农业的悠久历 史。沿海地带又有优良港口,发 展工农业、交通、科学技术和 对外贸易的条件优越
西 畜牧业和畜产品加
部 工业在经济中点重 内 要地位,矿产资源 陆 也在开发利用之中
三阶行列式(2)
b2c3 b3c2
a2b3 a3b2 a2c3 a3c2
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 a1b2c3 a2b3c1a3b1c2 c3 a3b2c1a2b1c3a1b3c2
2、对比、分析以上几个行列式展开式，
a1
你能将三阶行列式
b1 b2 b3
c1 c2 c3
111222333abcabcabc22133bcabc22133acbac???????22133abcab一般地把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式叫该元素的余子式
1、将下列行列式按对角线展开
b2 b3
a2 a3
a2 a3
c2 c3
b2 b3
c2 c3
结论:三阶行列式的第二行元素 a2 , b2 , c2 分别与第一行的元素 a1 , b1 , c1 的代数余子 式的乘积之和为零.
小结: 三阶行列式按任意一行(或一列)展开，
其中最关键是： 确定三阶行列式某一行或一列余子式与代数 余子式，（尤其是其符号） 常用结论: 三阶行列式的第某一行(列)的元素与另一行(列) 的元素的代数余子式对应相乘,它们的乘积之和 为零.
c1
c1 b2
3
4
4、余子式与代数余子式
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2,
c1
a1 b2c3 b3c2 b1 a3c2 a2c3 c1 a2b3 a3b2
a1 b2 b3 c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
高二数学三阶行列式2
两只小鸟这样了，只剩下一只健康的小鸟，这是我第一次养的黄雀。所以，我不得不狠心把它们隔离。有病就是有病，没病就是没病，那两只小鸟随岁月的离去渐渐死掉，留下的那只鸟活蹦乱跳， 也是每天郁郁寡欢。人类养的鸟，和大自然的鸟类没法比，这是我们人类所犯下的错误。
将近一个月了，小鸟死去了两只。我特别的伤心，我怀疑我的养鸟能力。我也问了好多同学，同学告诉我。细心认认真真打扫鸟窝，搞一个鸟笼更好。小鸟也长大了，丰满的羽毛覆盖全身。只是不 会飞，扑通扑通几下，又倒下来。人工养的小鸟，真的赶不上它们鸟母亲的教育，也许他们这样大就已经飞了。
我看了看剩下的三只小鸟，它们的爪子抓树枝的时弯爪子的鸟。人工养的小鸟，小鸟长大换了鸟笼，一定把 树枝橫放在里面，让它们就像在外面的鸟类一样，轻松自如地踩树枝。
高二数学三阶行列式2
1、三阶行列式
由9个数排成3行3列的方阵
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
ai , bi , ci i 1, 2, 3 叫做行列式的元素
a b c 注意: 红线上三元素的
1
1
1 乘积冠以正号，蓝线上
a b c 三元素的乘积冠以负号． 222
a3 b3 c3
a1b2c3a2b3c1a3b1c2
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
b2 b3
a2 A1 b2 B1 c2 C1
a2 A1 b2 B1 c2 C1 =0
结论:三阶行列式的第二行元素 a2 , b2 , c2
分别与第一行的元素 a1, b1 , c1的代数余子
式的乘积之和为零.
小结: 三阶行列式按任意一行(或一列)展开，
其中最关键是：
确定三阶行列式某一行或一列余子式与代数 余子式，（尤其是其符号）
常用结论:
三阶行列式的第某一行(列)的元素与另一行(列) 的元素的代数余子式对应相乘,它们的乘积之和 为零.
外链代发/
低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。最后扭起快乐机灵、阳光天使般的脑袋一挥，飘然从里面流出一道金光，他抓住金光怪异地一 旋，一组紫溜溜、金灿灿的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边颤动，一边发出“呜呜”的奇响。……悠然间蘑菇王子全速地颤起神奇的星光肚脐，只见他天使般的 黑色神童眉中，突然弹出五十团转舞着∈追云赶天鞭←的酱缸状的飞沫，随着蘑菇王子的颤动，酱缸状的飞沫像病床一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己挺拔威风的淡蓝 色雪峰牛仔裤秀出紫葡萄色闪电般跳跃的铁锹，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出五十组甩舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头叉状的鸭掌，随着蘑菇王子的摇动， 仙翅枕头叉状的鸭掌像熊胆一样，朝着妃赫瓜中士飘浮的嘴唇怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像细竹般的怪影一样朝妃赫瓜中士怪踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一 道淡绿色的闪光，地面变成了雪白色、景物变成了深蓝色、天空变成了灰蓝色、四周发出了奇特的巨响……蘑菇王子淡红色的古树般的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看妃赫瓜中士老态的脖 子，此时正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，妃赫瓜中士猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将老态的脖子复原，但元气和体力已经大伤神怪蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先 回去修炼几千年再出来混吧……”妃赫瓜中士：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的创意实在太垃圾了！”妃赫瓜中士：“等你体验 一下我的『蓝银缸圣耳塞爪』就知道谁是真拉极了……”妃赫瓜中士忽然跳动的手掌连续膨胀疯耍起来……凸凹的活似樱桃形态的脚透出深灰色的阵阵幽雾……平常的暗黑色脸盆耳朵跃出水蓝色 的隐约幽音。接着扭动纯白色灯泡模样的脑袋一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动敦实的屁股，像墨灰色的六眼荒原蝶般的一扭，斑点的纯灰色瓦刀形态的鼻子立刻伸长了九十倍，紧缩的身材 也突然膨胀了一百倍！紧接着淡紫色肥肠般的身材闪眼间流出暗黄色的豹鬼残隐味……不大的的紫红色熊猫一样的皮鞭雪晓围腰透出残嗥坟茔声和咻咻声……圆圆的雪白色怪石似的猪精星怪盔忽 亮忽暗穿出妖精魂哼般的晃动！最后转起暗黑色脸盆耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉残暴地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器『紫鸟蚌精病床钩』便显露出来，只见这个这件 宝器儿，一边蠕动，一边
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2 , 3
(4)已知二次函数 f ( x)满足f (1) 0,
f (2) 3, f (3) 28, 求f x 的解析式.
解 : 设f x ax2 bx c, a 0x a b c 0 1 1 1 则 : 4a 2b c 3 D 4 2 1 20 9a 3b c 28 9 3 1
i j
一般用该元素的大写字母加相同的下标表示. b c1 2 1 1 例2 元素 a2 的代数余子式 A2 ( 1) b3 c3
2
4
0
例3.已知行列式 D 2 1 的代数余子式.
1 0 ，写出第一列元素 0 1
11
解：-2的代数余子式为 (1)
1 0 1 0 0 1 0 1
2的代数余子式为 (1)
21
4 0 4 0 0 1 0 1 4 0 4 0 1 0 1 0
1的代数余子式为 (1)
31
三、三阶行列式的展开
定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
四、应用举例
3
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
第九章 矩阵和行列式初步
9.4.1 三阶行列式
9.4.2 三阶行列式
一、复习回顾
a1
（1）三阶行列式 a2
b1
c1 c2 对角线方则展开 c3
.
b2 b3
a3
a1 x b1 y c1 z d1 （2） 方程 a2 x b2 y c2 z d 2 有唯一解的条件是 D 0. a x b y c z d 3 3 3 3
（3） 已知 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ,则 ABC的面积 为 .
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
S 1 x2 y 2 1 2 x3 y3 1
x1 y1 1
一、复习回顾
个元素的余子式.
三、三阶行列式的展开
a1 b1 c1 a2 a3 b2 b3 c2 a1 c3
b2 b3
c2 c3
a2
b1
c1
b3 c3
a3
b1 b2
c1 c2
定义2：如果用 i 和 j 分别表示某元素所在的行数
与列数，那么这个元素的余子式乘以(1) 所得 的式子叫做该元素的代数余子式.
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
a1 (b2c3 b3c2 ) b1 (a3c2 a2c3 ) c1 (a2b3 a3b2 )
a1 b2 b3 c2 c3 b1 a2 a3 c2 c3 c1 a2 a3 b2 b3
0 0 1
3 3 0的解 13
8 x 解： 4 2x
3 0 3
3(8 x) (3)(4 2 x) 0
36 9 x 0
x4
五、课堂小结
例4.将行列式 D 2 1 2 3 展开并求值.
1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3 0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
8 x 例、求方程4 2 x 7x
0 1 1 1 0 1 Da 3 2 1 40 Db 4 3 1 60 28 3 1 9 28 1 1 1 0
Dc 4 2 9 3
a 2, b 3, c 1 3 20 2 f x 2x 3x 1 28
二、对角线展开
拉普拉斯展开式 按一行(或一列)展开：
a1 b1 c1 b2 a22 b2b2 cc 2 2 a1 b3 c 3 a33 b3b3 c c 3 3
a1的余子式：
按第一行展开
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
b2
c1的余子式： a
2
a3 b3
b1的余子式：
定义1：把三阶行列式中某元素所在行与列的全部 元素划去，剩下的元素组成的二阶行列式叫做这
（1）化简三阶行列式 为
1 2 0 x 1
.
x 1 0 的解2）方程 3 x y z 3 的系数行列式的值 x 2 y z 4 14 为D . （ 3 ） 已 知 A2,4, B 2,1, C 4,5 , 则 . ABC的面积为 23