高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末检测

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09-章末培优专练高中数学必修一人教A版

card ∪ = card + card − card ∩ .某校举办田径运动会,
= {|是高三（2）班参加田赛的学生},card = 11, = {|是高三
（2）班参加径赛的学生}，card = 10, = {|是高三（2）班既参加
田赛也参加径赛的学生}，card = 4,那么高三（2）班参加田径运动会
的学生人数为( D )
A.25
B.14
C.15
D.17
【解析】由题意得 = ∩ ，且 ∪ = {|是高三（2）班参加田径
运动会的学生},所以
card ∪ = card + card − card ∩ = 11 + 10 − 4 = 17.
2.（多选）[2024黑龙江龙东五地市联考]中国古代重要的数学著作《孙子
+2 = 5 × 46 + 3 = 7 × 33 + 2,故233 ∈ ∩ ∩ ,故D正确.
3.已知是非空数集，若非空集合1，2满足以下三个条件，则称 1, 2
为集合的一种真分拆，并规定 1, 2 与 2, 1 为集合的同一种真分拆.
①1 ∩ 2 = ⌀ ；②1 ∪ 2 = ；③ = 1,2 的元素个数不是中的元素.
C.∁ ∩
D. ∪ ∁
【解析】 ∪ = {| < 2},所以∁ ( ∪ ) = {| ≥ 2},故选A.
8.[2023新课标Ⅱ卷·2,5分]设集合 = {0,−}, = {1, − 2,2 − 2}，若
⊆ ，则 =( B
A.2
)
B.1
2
C.
> 0且 ≠ 1，为使最小，则 = {0，± ，±+1 ，±+2 } ∈ ,此

人教A版(2019)高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试题

人教A版（2019）高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试题一、单选题(共8题；共40分)1．（5分）下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0∈N B．0∈Z C．32∈Q D．π∈Q2．（5分）设集合A={x|5<x<16}，B={3,4,6,7,9,12,13,16}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知集合A={0,2},B={a,0,3}，且A∪B有16个子集，则实数a可以是（）A．-1B．0C．2D．34．（5分）已知全集U=R，集合A={y|y=x2+2}，集合B={x|9−x2>0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[−3， 2]B．(−3， 2)C．(−3， 2]D．[−3， 2)5．（5分）已知集合A，B满足A∪B={x|1<x≤3}，A∩B={x|a≤x≤a+1}，则实数a的取值范围为（）A．[1,2]B．(1,2)C．(1,2]D．∅6．（5分）已知集合M={0，1，2}，N={x∈Z|0<x<4}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{0，2}C．{1，2}D．{1}7．（5分）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}8．（5分）记不等式x2+x−2>0､x2−ax+1≤0(a>0)解集分别为A、B，A∩B中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（）A．(103，174)B．[103，174)C．(52，174)D．[52，174)二、多选题(共4题；共20分)9．（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩(B∪C)B．A∪(B∩C)C．A∩∁U(B∩C)D．(A∩B)∪(A∩C)10．（5分）已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥611．（5分）已知非空集合A、B满足：全集U=A∪B=(−1,5]，A∩(∁U B)=[4,5]，下列说法不一定正确的有（）A．A∩B=∅B．A∩B≠∅C．B=(−1,4)D．B∩(∁U A)=(−1,4)12．（5分）设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2三、填空题(共4题；共20分)13．（5分）已知集合A={x∈Z∣32−x∈Z}，用列举法表示集合A，则A=.14．（5分）已知集合A={−1,2m−1}，B={m2}，若B⊆A，则实数m=．15．（5分）已知1∈{−x,x2}，则实数x的值是.16．（5分）已知集合A={4,2a+1,a}，B={a−3,4−a,3}且A∩B={3}，则a的取值为.四、解答题(共6题；共70分)17．（10分）已知集合A={x|a−3≤x≤2a+1},B={x|−5≤x≤3}，全集U=R.（1）（4分）当a=1时，求(∁U A)∩B；（2）（6分）若A⊆B，求实数a的取值范围.18．（12分）已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|m<x<1−m}．（1）（6分）当m=−1时，求A∪B；（2）（6分）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19．（12分）A={x|−3≤x<6},B={x|a−7<x≤2a}（1）（6分）A∪B=B，求a的取值范围；（2）（6分）(∁U A)∩B=∅，求a的取值范围．20．（12分）已知集合A={x||x+2|≥5},B={x|x2−6x+5<0}，求：（1）（6分）集合A,B；（2）（6分）A∪B.21．（12分）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x∈A．（1）（4分）若2∈A，则A中至少还有几个元素？（2）（4分）集合A是否为双元素集合？请说明理由．（3）（4分）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．22．（12分）设全集U=R,集合A={x|(x+1)(x−3)≥0},B={x|2x−4≥x−2}（1）（4分）求A∩B,A∪B；（2）（4分）若集合C={x|2x+a≥0}，且B⊆C，求实数a的取值范围；（3）（4分）若集合D={x|a<x<a+5}，且A∪D=R，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【知识点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】根据元素与集合的关系可得0∈N，0∈Z，32∈Q，π∉Q，D不正确，符合题意.故答案为：D.【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可。

第一章集合与常用逻辑用语(章末测试)(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选择为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·浙江高一单元测试）2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是（）A．−12<x<3B．−1<x<6C．−12<x<0D．−3<x<12【答案】B【解析】求解不等式2x2−5x−3<0可得−12<x<3，结合所给的选项可知2x2−5x−3<0的一个必要不充分条件是−1<x<6.本题选择B选项.2．（2020·浙江高一单元测试）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：C U（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．3．（2020·天津南开中学高三月考）设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A CB =（）A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】D 【解析】因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D 。

4．（2020·全国高一）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C5．（2020·全国高一课时练习）设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（） A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【答案】A【解析】甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙⇒甲；丙是乙的充分但不必要条件，则丙⇒乙，乙⇒丙，显然丙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A 6．（2020·四川阆中中学高一月考）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则（）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 7．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<，选A ． 8．（2020·湖南天心。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(33)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1. 若命题 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p 为 ( ) A ． ∀x ∈Z ，e x <1 B ． ∀x ∈Z ，e x ≥1 C ． ∀x ∉Z ，e x <1D ． ∀x ∉Z ，e x ≥12. 已知 a,b ∈R ，则“1∣b −1∣”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题是 ( ) A ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 B ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 C ．若 a ，b 不全是偶数，则 a +b 不是偶数 D ．若 a +b 不是偶数，则 a ，b 不全是偶数4. 已知 x ∈R ，则“x 2>x ”是“x >1”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5. 下列表示正确的个数是 ( )（1）0∉∅；（2）∅⊆{1,2}；（3）{(x,y )∣∣∣{2x +y =10,3x −y =5}={3,4}；（4）若 A ⊆B 则 A ∩B =A A ． 3 B ． 4 C ． 2 D ． 16. 命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是 ( ) A ． ∃x 0∈R ，(13)x 0<0B ． ∀x ∈R ，(13)x≤0 C ． ∀x ∈R ，(13)x<0D ． ∃x 0∈R ，(13)x 0≤07. 已知集合 A ={x∣x ≤1}，B ={x∣−1<x <2}，则 (∁RA )∩B 等于 ( ) A ． {x∣1<x <2}B ． {x∣x >1}C ． {x∣1≤x <2}D ． {x∣x ≥1}8. 已知集合 M 中的元素 x 满足 x =a +√2b ，其中 a,b ∈Z ，则下列实数中不属于集合 M 中元素的个数是 ( )① 0；② −1；③ 3√2−1；④ 3−2√2；⑤ √8；⑥ 1−√2A ． 0B ． 1C ． 2D ． 39. 设 x ，y 均为实数，则“x =0”是“xy =0”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 已知集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ． {2}B ． {1,2}C ． {0,2}D ． {0,1,2}11. 已知集合 A ={x∣ x =3n +2,n ∈N }，B ={6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为 ( ) A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 212. 命题“∀x ∈R ，2x 2−1≤0”的否定是 ( ) A ． ∀x ∈R ，2x 2−1≥0 B ． ∃x ∈R ，2x 2−1≤0 C ． ∃x ∈R ，2x 2−1>0D ． ∀x ∈R ，2x 2−1>0二、填空题（共4题）13. 若对于两个由实数构成的集合 X ，Y ，集合的运算 X ⊕Y 定义为：X ⊕Y ={x +y∣ x ∈X,y ∈Y }；集合的运算 X ⊗Y 定义为：X ⊗Y ={x ⋅y∣ x ∈X,y ∈Y }，已知实数集合 X ={a +b √2∣ a,b ∈Q}，X ={a +b √3∣ a,b ∈Q}．试写出一个实数 m ，使得 m ∈X ⊗Y 但 m ∉X ⊕Y ，则 m = ．14. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y =2a 与函数 y =∣x −a ∣−1 的图象只有一个交点，则 a的值为．15. 若 f (x ) 是偶函数，其定义域为 (−∞,+∞)，且在[0,+∞) 上单调递减，设 f (−32)=m ，f (a 2+2a +52)=n ，则 m ，n 的大小关系是．16. 已知集合 M ={x∣ x >2}，集合 N ={x∣ x ≤1}，则 M ∪N = ．三、解答题（共6题）17.判断下列命题中p是q的什么条件．(1) p:x>1，q:x2>1；(2) p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；(3) 若a,b∈R，p:a2+b2=0，q:a=b=0．18.设集合A={x∈N∣ x<4}，B={3,4,5,6}．(1) 用列举法写出集合A．(2) 求A∩B和A∪B．19.已知集合A={x∣ x2−ax+a2−19=0}，B={x∣ x2−5x+6=0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：（1）A≠B；（2）A∪B=B；（3）∅⫋(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．21.真子集对于两个集合A，B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B 的真子集，记为或，读作“ ”或“ ”．问题：真子集与子集有什么区别？22.已知集合A={x∣ −4<x<6}，B={x∣ x2−4ax+3a2=0}．(1) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围；(2) 若A∪B=A，求实数a的取值范围．答案一、选择题（共12题） 1. 【答案】B【解析】若命题为 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p:∀x 0∈Z ，e x ≥1．故选：B ．【知识点】全（特）称命题的否定2. 【答案】B【解析】因为 a −1>∣b −1∣⇔1−a ∣b −1∣ 成立；当 a −1>∣b −1∣ 成立时，如取 b =12，a =2，此时 1∣b −1∣ 的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】C【解析】否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题为：若 a ，b 不都是偶数，则 a +b 不是偶数．【知识点】全（特）称命题的否定4. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】D【解析】全称命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，把“>”改为“≤”，即“∃x 0∈R ，(13)x 0≤0”.【知识点】全（特）称命题的否定7. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】当 a =b =0 时，x =0；当 a =−1，b =0 时，x =−1；当 a =−1，b =3 时，x =−1+3√2；3−2√2=√2)(3−2√2)(3+2√2)=6+4√2，即 a =6，b =4；当 a =0，b =2 时，x =2√2=√8；1−√2=√2(1−√2)(1+√2)=−1−√2，即 a =−1，b =−1．综上所述：0，−1，3√2−1，3−2√2，√8，1−√2 都是集合 M 中的元素．【知识点】元素和集合的关系9. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】C【解析】因为集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }={−2,−1,0,1,2}，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，∁U B ={x ∣∣x ≥2且x =0}，所以图中阴影部分表示的集合为 A ∩(∁U B )={0,2}．【知识点】集合基本运算的Venn 图示11. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】C【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共4题）13. 【答案】可填“(1+√2)(1+√3)”等【知识点】交、并、补集运算14. 【答案】 −12【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 m ≥n【知识点】抽象函数、函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为“x>1”能推出“x2>1”，即p⇒q，但“x2>1”推不出“x>1”，如x=−2，即q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．(2) 因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，即p⇏q，但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．(3) 若a2+b2=0，则a=b=0，即p⇒q；若a=b=0，则a2+b2=0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】(1) 因为集合A={x∈N∣ x<4}，所以A={0,1,2,3}．(2) 因为B={3,4,5,6}，所以A∩B={3}，A∪B={0,1,2,3,4,5,6}．【知识点】交、并、补集运算、集合的表示方法19. 【答案】假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B={2,3}．因为A∪B=B，所以A⊆B，即A=B或A⫋B．由条件（1）A≠B，可知A⫋B．又因为∅⫋(A∩B)，所以A≠∅，即A={2}或{3}．当A={2}时，代入得a2−2a−15=0，即a=−3或a=5．经检验a=−3时，A={2,−5}，与A={2}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={2}矛盾，舍去．当A={3}时，代入得a2−3a−10=0，即a=5或a=−2．经检验a=−2时，A={3,−5}，与A={3}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算20. 【答案】(1) A={2,3,4,5}．(2) B={−3,3}．(3) C={2,3,5,7}．(4) D={(1,4)}．【知识点】集合的概念21. 【答案】A⊆B；A⫋B；B⫌A；A真包含于B；B真包含A在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A，也就是说集合B至少要比集合A多一个元素．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】(1) a≤−4或a≥6．<a<2．(2) −43【知识点】交、并、补集运算。

【高中数学】2020-2021学年人教A版必修一二次函数、方程和不等式(能力测评卷)

章末检测（一) 集合与常用逻辑用语 ◎◎◎◎◎◎滚动测评卷◎◎◎◎◎◎(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝() A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |x <0} D ．{x |x >1}【答案】B【解析】∵全集U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}，故选B.2．四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定是菱形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件． 3．下列四个命题中的真命题为() A ．∃x ∈Z ，1<4x <3 B ．∃x ∈Z ，5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 【答案】D【解析】选项A 中，14<x <34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ＝±1，与∀x ∈R 矛盾；选项D 中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D 正确． 4．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是() A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n } 【答案】B【解析】方程(m －x )(n ＋x )＝0的两个根为m ，－n .因为m ＋n >0，所以m >－n ，结合二次函数y ＝(m －x )·(n ＋x )的图象，得原不等式的解集是{x |－n <x <m }．故选B. 5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是() A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a } D ．{x |5a <x <－a } 【答案】A【解析】方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a .因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.6．若－4<x <1，则22222-+-x x x ()A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1【答案】D【解析】]11)1[(2122222-+-=-+-x x x x x 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴1])1(1)1([21-≤--+---x x ≤－1.当且仅当x －1＝11-x ，即x ＝0时等号成立． 7．关于x 的方程11-=-x xx x 的解集为() A ．{0} B ．{x |x ≤0或x >1} C ．{x |0≤x <1} D ．{x |x ≠1}【答案】B【解析】由题意知，1-x x≥0，所以x ≤0或x >1，所以方程11-=-x x x x 的解集为{x |x ≤0或x >1}． 8．设p ：0＜x ＜1，q ：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣1，0]B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，）【答案】A【解析】命题q ：：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，即a ≤x ≤2+a ．由题意得，命题p 成立时，命题q 一定成立，但当命题q 成立时，命题p 不一定成立． ∴a ≤0，且2+a ≥1，解得﹣1≤a ≤0，故选：A ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．（2019·江苏姑苏�高二期中）已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( )A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a m b b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的；对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的；对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的.故选：AC2．（2020·山东新泰�泰安一中高二期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（） A ．11a b>【答案】CD 【解析】0,0,0,0a b b a a b ab <<∴->-<>A.110b aa b ab--=>，故错误； B. ()222ac bc c a b -=-，当0c时，220ac bc -=，故错误；C. ()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； D. 2()0a ab a a b -=->，2()0=->-b a b ab b ，故正确. 故选CD.11．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，则下列结论正确的是() A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0 D ．a ＋b ＋c >0【答案】BCD【解析】因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故B 、C 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选B 、C 、D. 12．已知关于x 的不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是() A ．当a ＜b ＜1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅ B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4} C ．当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式 D ．不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b ＝34 【答案】AB 【解析】由43x 2－3x ＋4≤b 得3x 2－12x ＋16－4b ≤0，又b ＜1，所以Δ＝48(b －1)＜0.从而不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅，故A 正确；当a ＝1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4就是x 2－4x ＋4≥0，解集为R ，当b ＝4时，不等式43x 2－3x ＋4≤b 就是x 2－4x ≤0，解集为{x |0≤x ≤4}，故B 正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝43x 2－3x ＋4＝43(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示．由图知，当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |x A ≤x ≤x C }∪{x |x D ≤x ≤x B }的形式，故C 错误；由a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }，知a ≤y min ，即a ≤1，因此当x ＝a ，x ＝b 时函数值都是b .由当x ＝b 时函数值是b ，得43b 2－3b ＋4＝b ，解得b ＝34或b ＝4.当b ＝34时，由43a 2－3a ＋4＝b ＝34，解得a ＝34或a ＝38，不满足a ≤1，不符合题意，故D 错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．【答案】∅【解析】原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.14．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________．【答案】{x |3<x <m }【解析】由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0，所以3<x <m . 15．若∃x >0，使得x1＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥2 【解析】∃x >0，使得x 1＋x －a ≤0，等价于a 大于等于x1＋x 的最小值， ∵x ＋x1≥2 xx 1⋅＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)，故a ≥2.16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：万元．【答案】20330【解析】设总产值为y 万元，应开发A 类电子器件x 件，则应开发B 类电子器件(50－x )件．根据题意，得2x ＋350x -≤20，解得x ≤20. 由题意，得y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以欲使总产值最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R . (1)当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-43221321a a a a ，解得－1≤a ≤21综上，a 的取值范围是}2114{≤≤--<a a a 或.18．(本小题满分12分)）若正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，求：（1）3x +4y 的最小值；（2）求xy 的最小值．【解析】（1）正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴1y+3x=5．∴3x +4y =15(3x +1y )（3x +4y ）=15（13+12yx +3x y ≥15(13+3×2√4y x ⋅xy )=5，当且仅当x ＝1，y =12时取等号．∴3x +4y 的最小值为5．（2）∵正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴5xy ≥2√3xy ，解得：xy ≥1225，当且仅当x ＝3y =65时取等号． ∴xy 的最小值为1225．19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2�ax �a 2<0. 【解析】原不等式可化为()()780x a x a +-<，即078a a x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①当78a a -<即0a >时，78a a x -<<； ②当78a a-=时，即0a =时，原不等式的解集为∅；③当78a a ->即0a <时，87a a x <<-，综上知：当0a >时，原不等式的解集为78a a x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为87a a xx ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.20．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .21．(本小题满分12分)已知命题：“∃x ∈{x |﹣1＜x ＜1}，使等式x 2﹣x ﹣m ＝0成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．【解析】（1）由x 2﹣x ﹣m ＝0可得m ＝x 2﹣x =(x −12)2−14 ∵﹣1＜x ＜1 ∴−14≤m ＜2 M ＝{m |−14≤m ＜2}（2）若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N①当a ＞2﹣a 即a ＞1时，N ＝{x |2﹣a ＜x ＜a }，则{2−a ＜−14a ≥2a ＞1即a ＞94②当a ＜2﹣a 即a ＜1时，N ＝{x |a ＜x ＜2﹣a }，则{a ＜1a ＜−142−a ≥2即a ＜−14③当a ＝2﹣a 即a ＝1时，N ＝φ，此时不满足条件综上可得a ＞94或a ＜−1422．(本小题满分12分)某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x +1；g （x ）={10x+1x+1(0≤x ≤3)−x 2+9x −12(3＜x ≤5)．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．【解析】设投入B 商品的资金为x 万元（0≤x ≤5），则投入A 商品的资金为5﹣x 万元，设收入为S （x ）万元，①当0≤x ≤3时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）=10x+1x+1，则S （x ）＝6﹣x +10x+1x+1=17﹣[（x +1）+9x+1]≤17﹣2√(x +1)⋅9x+1=17﹣6＝11，当且仅当x +1=9x+1，解得x ＝2时，取等号．②当3＜x ≤5时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝﹣x 2+9x ﹣12，则S （x ）＝6﹣x ﹣x 2+9x ﹣12＝﹣（x ﹣4）2+10≤10，此时x ＝4． ∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A 商品的资金为3万元，投入B 商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．。

2023版新教材高中数学滚动练习一第一章集合与常用逻辑用语新人教B版必修第一册

滚动练习一　第一章　章末质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各组集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C.M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}2．[2020·新高考Ⅰ卷]设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝( )A.{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}3.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4}，集合B＝{2，4，5}，则图中的阴影部分表示( )A.{2，4} B．{1，3}C.{5} D．{2，3，4，5}4．设集合M＝{x|x>2}，N＝{x|x<3}，那么“x∈M且x∈N”是“x∈M∩N”的( )A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁R A)∩B＝( )A.{2} B．{4，5}C.{3，4} D．{2，3}6．已知∀x∈[0，2]，p>x；∃x∈[0，2]，q>x.那么p，q的取值范围分别为( )A.p∈(0，＋∞)，q∈(0，＋∞) B．p∈(0，＋∞)，q∈(2，＋∞)C.p∈(2，＋∞)，q∈(0，＋∞) D．p∈(2，＋∞)，q∈(2，＋∞)7．如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A.(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩CC.(A∩B)∩∁I C D．(A∩∁I B)∩C8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a 的取值为( )A.a>－ B．a≥－C.a＝－ D．a＝－或1二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知A、B为实数集R的非空集合，则A B的必要不充分条件可以是( )A.A∩B＝A B．A∩(∁R B)＝∅R A D．B∪(∁R A)＝RC.∁R B∁10．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )A.∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝011．已知p：x<－1，则下列选项中是p的充分不必要条件的是( )A.x<－1 B．x<－2C.－8<x<2 D．－10<x<－312．对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，则称A⊕B为集合A，B 的对称差．例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是( )A.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅ B．若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝BC.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D．存在A，B⊆R，使得A⊕B＝(∁R A)⊕(∁R B)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．用列举法表示集合M＝＝________．14．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，则由实数a的取值构成的集合C＝________．15．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)16．设p：－m≤x≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)设m为实数，集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m＋2}．(1)若m＝3，求A∪B，∁R(A∩B)；(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．18．(12分)已知p：实数x满足a<x<4a(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.(1)若a＝1，且p与q都为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀m∈R，<0；(2)q：圆上任意一点到圆心的距离是r；(3)r：∃x，y∈Z，2x＋4y＝；(4)s：存在一个无理数，它的立方是有理数．20．(12分)在①∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，②存在集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}，使得A∩B＝∅，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求问题中实数a的取值范围．问题：求实数a，使得命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q：__________，都是真命题．(若选择两个条件都解答，只按第一个解答计分．)21.(12分)已知p：∀x∈R，m＜x2－1，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q 都是真命题，求实数m的取值范围．22．(12分)已知命题“关于x的方程x2＋mx＋2m＋5＝0有两个不相等的实数根”是假命题．(1)求实数m的取值集合A；(2)设集合B＝{x|1－2a≤x≤a－1}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．滚动练习一　第一章　章末质量检测1．解析：对于A，集合M＝{(3，2)}表示含有点(3，2)的集合，N＝{(2，3)}表示含有点(2，3)的集合，显然不是同一集合，故A错误；对于B，集合M表示的是直线x＋y＝1上的点组成的集合，集合N＝R为数集，故B错误；对于C，集合M、N均表示含有4，5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；对于D，集合M表示的是数集，集合N为点集，故D错误．答案：C2．解析：因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}．答案：C3．解析：根据题意可得阴影部分表示B∩(∁U A)，而∁U A＝{1，5，6}，所以B∩(∁U A)＝{5}．答案：C4．解析：当x∈M且x∈N成立时，根据集合的交集定义可知：x∈M∩N，当x∈M∩N成立时，根据集合的交集定义可知：x∈M且x∈N，故“x∈M且x∈N”是“x∈M∩N”的充分必要条件．答案：C5．解析：因为A＝{x|－2<x<4}，所以∁R A＝{x|x≤－2或x≥4}．所以(∁R A)∩B ＝{4，5}．答案：B6．解析：由∀x∈[0，2]，p>x，得p>2.由∃x∈[0，2]，q>x，得q>0.所以p，q 的取值范围分别为(2，＋∞)和(0，＋∞).答案：C7．解析：补集∁I B画成Venn图如图(1)，交集A∩∁I B画成Venn图如图(2)，而(A∩∁I B)∩C画成Venn图就是题目的Venn图．答案：D8．解析：若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当a＝1时，x＝，满足题意，②当a≠1时，Δ＝8a＋1＝0，所以a＝－，综上所述，a＝－或1.答案：DR A是A B的充分必要条件，9．解析：因为A B⇔∁R B∁R A，所以∁R B∁因为A B⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩(∁R B)＝∅⇔B∪(∁R A)＝R.答案：ABD10．解析：由条件可知：原命题为存在量词命题且为假命题，所以排除B，D；又因为x2－x＋＝(x－)2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以A，C均为假命题，否定为真命题．答案：AC11．解析：设选项的不等式对应的集合为M，N＝{x|x<－1}，如果集合M是N的真子集，则该选项是p的充分不必要条件．选项A对应的集合M＝N，所以该选项是p的充要条件；选项C是p的非充分非必要条件．只有选项B，D的不等式对应的集合M是N的真子集．答案：BD12．解析：对于A选项，因为A⊕B＝B，所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝∅，即选项A正确；对于B选项，因为A⊕B＝∅，所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，即选项B正确；对于C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即选项C 错误；对于D选项，A＝B时，A⊕B＝∅，(∁R A)⊕(∁R B)＝∅＝A⊕B，D正确．答案：ABD13．答案：{0，1，2，3，5，11}14．解析：由A∪B＝A，即B⊆A，故B＝∅，{－1}，{3}．若B＝∅时，方程ax－2＝0无解，a＝0 ；若B＝{－1}，则－a－2＝0，所以a＝－2 ；若B＝{3}，则3a－2＝0，所以a＝.综上：a＝0，或a＝－2，或a＝.答案：15．解析：由“A＝{0}”可推出“A∩{0，1}＝{0}”，由“A∩{0，1}＝{0}”推不出“A＝{0}”，例如：A＝{0，2}时也有A∩{0，1}＝{0}，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案：必要不充分16．解析：设A＝[－m，m]，B＝[－1，4]，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以所以0＜m≤1，所以m的最大值为1，若p是q的必要条件，则B⊆A，所以所以m≥4，则m的最小值为4.答案：1　417．解析：(1)若m＝3，则B＝{x|3≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤5}，又因为A∩B＝{x|3≤x≤4}，所以∁R(A∩B)＝{x|x<3或x>4}．(2)因为A∩B＝∅，所以m＋2<－1或m>4，所以m<－3或m>4.18．解析：(1)若a＝1，p为真，p：1<x<4，q为真：2<x≤5，因为p，q都为真，所以x的取值范围为2<x<4.(2)设A＝{x|a<x<4a}，B＝{x|2<x≤5}因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以解得<a≤2.综上所述，a的范围为.19．解析：(1)¬p：∃m∈R，≥0.－m2－1＜0，所以<0，p是真命题，所以¬p是假命题．(2)¬q：圆上存在一点到圆心的距离不是r；因为q是真命题，所以¬q是假命题．(3)¬r：∀x，y∈Z，2x＋4y≠；若x，y∈Z，则2x＋4y也是整数，不可能等于，所以r是假命题，所以¬r是真命题．(4)¬s：任意一个无理数，它的立方都不是有理数．是无理数，()3＝2是有理数，所以s是真命题，¬s是假命题．20．解析：选条件①由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立．因为x∈{x|1≤x≤2}，则1≤x2≤4，所以a≤1.若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.又因为p，q都为真命题，所以所以a≤－2或a＝1.所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}．选条件②由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立．因为x∈{x|1≤x≤2}，则1≤x2≤4.所以a≤1.因为集合B＝{x|a<x<3a}，又A∩B＝∅，则当B≠∅时，a<3a，且a≥4或3a≤2，解得0<a≤或a≥4.当B＝∅时，a≥3a，解得a≤0.又因为p，q都为真命题，所以解得a≤.所以实数a的取值范围是(－∞，].21．解析：由x∈R得x2－1≥－1，若p：∀x∈R，m＜x2－1为真命题，则m＜－1.若q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.因为p，q都是真命题，所以所以－2≤m＜－1.所以实数m的取值范围为[－2，－1).22．解析：(1)若命题“关于x的方程x2＋mx＋2m＋5＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则Δ＝m2－4(2m＋5)>0，解得m>10或m<－2.则当该命题是假命题时，可得A ＝{m|－2≤m≤10}．(2)因为A＝{m|－2≤m≤10}，x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A B，所以B≠∅，即解得a≥11，所以实数a的取值范围为[11，＋∞).。

第一章集合与常用逻辑用语综合测试(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语综合测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2022·新疆昌吉·高一期末）“0a b >>”是“1a b >”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由0a b >>，得1a b >，反之不成立，如2a =-，1b =-，满足1a b >，但是不满足0a b >>，故“0a b >>”是“1a b>”的充分不必要条件．故选：B2．（2022·全国·高一期末）已知{}13U x R x =∈-≤≤，{}13A x U x =∈-<<，{}2230B x R x x =∈--=，{}13C x x =-≤<，则有（）A ．U AB = B ．U BC = C ．U A C ⊇D ．A C ⊇【答案】A【解析】【分析】化简集合B ，再由集合的运算即可得解.【详解】因为{}13U x R x =∈-≤≤，{}13A x U x =∈-<<，{}13C x x =-≤<，所以{}1,3U A =-，又{}{}22301,3B x R x x =∈--==-，所以U A B =，故A 正确，所以U B A C =≠，故B 错误；所以集合C 与集合U A ，集合A 均没有互相包含关系，故CD 错误.故选：A.3．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（） A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4 【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5U M N =. 故选：A.4．（2022·江苏·高一）已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（） A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤23,x ∴≤ x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.5．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知全集U =R ，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()U C A B =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以(){|01}U C A B x x ⋃=<<，故选D.考点：集合的运算.6．（2022·江苏·高一期末）已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是A ．13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C【解析】【分析】求得命题p 为真命题时a 的取值范围，由此求得命题p 为假命题时a 的取值范围.【详解】先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围（1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立，（2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >， ∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.7．（2022·广东广雅中学高一期末）设集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3，5}，B ={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（）个A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU （A∩B ）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：C U （A∩B ）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C ．【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（2022·江苏·高一单元测试）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”其中正确的结论有（）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④ 【答案】D【解析】【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误；而242-=+，故[]22-∈，故②正确；由“类”的定义可得[][][][]012Z 3⊆，任意Z c ∈，设c 除以4的余数为}{()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆，故[][][][]0123Z =，故③正确若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]}{()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故a ，b 除以4 的余数相同，故a ，b 属于同一“类”，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确；故选:二、多选题9．（2022·江苏·高一单元测试）已知p ：1x >或3x <-，q ：x a >，则a 取下面那些范围，可以使q 是p 的充分不必要条件（）A ．3a ≥B ．5a ≥C ．3a ≤-D ．1a <【答案】AB【解析】【详解】p ：1x >或3x <-，q ：x a >，q 是p 的充分不必要条件，故1a ≥，范围对应集合是集合{}1a a ≥的子集即可，对比选项知AB 满足条件.故选：AB.10．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设r 是p 的必要条件，r 是q 的充分条件，s 是r 的充分必要条件，s 是p 的充分条件，则下列说法正确的有（） A ．r 是q 的必要条件B ．s 是q 的充分条件C ．s 是p 的充分必要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】BC【解析】【分析】根据条件得到p r s q ⇔⇔⇒可判断每一个选项.【详解】由题意，,,,p r r q r s s p ⇒⇒⇔⇒，则p r s q ⇔⇔⇒.故选：BC.11．（2022·广东汕尾·高一期末）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】【分析】先求出集合A ，再由A B B =可知B A ⊆，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案.【详解】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD 12．（2022·重庆·高一期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈ 【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ⊆，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ∃∈，x A ∉且x B ∈，A 正确；因A B =∅，必有x A ∀∈，x B ∉，B 正确；若A U B ，则()()U U A B ⋂≠∅，此时x U ∃∈，[()()]U U x A B ∈⋂，即x A ∉且x B ∉，C 不正确；因A B =∅，则不存在x U ∈满足x A ∈且x B ∈，D 不正确.故选：AB三、填空题13．（2022·安徽·高一期中）设集合12|3A x N y N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 的子集个数为________ 【答案】16【解析】【分析】先化简集合A ，再利用子集的定义求解.【详解】解：{}0,1,3,9=A ，故A 的子集个数为4216=，故答案为：1614．（2022·浙江浙江·高一期中）0x ∃>，12x x +>的否定是___________．【答案】0x ∀>，12x x+≤ 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为0x ∃>，12x x +>是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即0x ∀>，12x x+≤，故答案为：0x ∀>，12x x +≤. 15．（2022·江苏·高一）某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.【答案】5【解析】【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，根据容斥原理可求出结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.16．（2022·江苏·高一）已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】4a或13a【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a 或13a ，综上可得，实数a 的取值范围为4a或13a ．四、解答题 17．（2022·江苏·高一）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R .(1)求A ∪B ，()U A B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围.【答案】(1)A ∪B ＝{x |1<x ≤8}，()U A B ={x |1<x <2} (2){a |a <8}【解析】【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}.∵U A ＝{x |x <2或x >8}，∴()U A ∩B ＝{x |1<x <2}.(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可，∴a <8.∴a 的取值范围为{a |a <8}.18．（2022·江苏·高一）设全集为Z ，2{|2150}A x x x =+-=，{|10}B x ax =-=.(1)若15a =，求()Z A B ⋂； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .【答案】(1){}5,3- (2)11,,053⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）若15a =，求出集合A ，B ，即可求()Z A B ⋂；（2）若B A ⊆，讨论集合B ，即可得到结论.(1)解： {}2{|2150}5,3A x x x =+-==-，当15a =，则{}{|10}5B x ax =-==，则{}()5,3Z A B ⋂=-；(2)解：当B =∅时，0a =，此时满足B A ⊆，当B ≠∅时，1{}B a=，此时若满足B A ⊆，则15a =-或13a=，解得15a =-或13，综上11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. 19．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合{}213A x t x t =-≤≤-，{}215B x x =-<+<.(1)若A B =∅，求实数t 的取值范围；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．【解析】(1)解：由215x -<+<得解34x -<<，所以{}{}21534B x x x x =-<+<=-<<，又{}213A x t x t =-≤≤- 若A B =∅，分类讨论：当A =∅，即213t t ->-解得43t >，满足题意；当A ≠∅，即213t t -≤-，解得43t ≤时，若满足A B =∅，则必有21443t t -≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或3343t t -≤-⎧⎪⎨≤⎪⎩；解得t ∈∅.综上，若A B =∅，则实数t 的取值范围为43t >. (2)解：由“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，则集合A B ，若A =∅，即213t t ->-，解得43t >，若A ≠∅，即213t t -≤-，即43t ≤，则必有4321334t t t ⎧≤⎪⎪->-⎨⎪-<⎪⎩，解得413t -<≤，综上可得,1t >-，综上所述，当“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件时，1t >-即为所求． 20．（2022·江苏·高一）已知命题:R P x ∃∈，使240x x m -+=为假命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设{}34A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值围．【解析】(1)解：由题意，得关于x 的方程240x x m -+=无实数根，所以1640∆=-<m ，解得4m >，即}|{4m m B =>；(2)解：因为{}34A x a x a =<<+为非空集合，所以34a a <+，即2a <，因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则34a ≥，即43a ≥，所以423a ≤<， 21．（2022·江苏·高一）已知集合{}|14A x x =-≤≤，{2B x x =<-或}5x >.(1)求B R ，()A ⋂R B ；(2)若集合{}21|C x m x m =<<+，且∃x C x A ∈∈，为假命题.求m 的取值范围.【答案】(1){}25B x x =-≤≤R ，()()(),25,R A B ⋂=-∞-⋃+∞(2)2m ≤-或1m ≥【解析】(1){}25B x x =-≤≤R ，{R 1A x x =<-或}4x >，(){R 2A B x x ⋂=<-或}5x >；(2)∵∃x C x A ∈∈，为假命题，∴x C x A ∀∈∉，为真命题，即A C ⋂=∅，又{}21|C x m x m =<<+，{}|14A x x =-≤≤，当C =∅时，21m m ≥+，即1m ≥，A C ⋂=∅；当C ≠∅时，由A C ⋂=∅可得，2111m m m <+⎧⎨+≤-⎩，或2124m m m <+⎧⎨≥⎩，解得2m ≤-，综上，m 的取值范围为2m ≤-或1m ≥.22．（2022·北京西城·高一期末）设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明. (1){}2,3,5A =，{}6,10,15B ∴=(2)设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数大于等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.(3)不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语综合检测基础卷(含解析)

人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语综合检测基础卷(原卷版)本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各组集合表示同一集合的是A ．{4,5}M =，{5,4}N =B ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=C ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =2．已知集合51,M x x N x *⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，则M 的非空子集的个数是A ．7B ．8C ．15D ．163．“(2,3)a ∈”是“(2,4)a ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合{1,2,4,6}A =，集合{1,5}B =，则A B 等于A ．{1,3,5}B ．{5}C ．{1,2,4,5,6}D ．{1}5．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是A ．r 是q 的必要不充分条件B ．r 是s 的充要条件C ．r 是q 的充分不必要条件D ．p 是q 的充要条件6．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是A ．三角形的内角和均为180°B ．至少有一个实数x ，使20x ≤C ．两个无理数的和一定是无理数D ．存在一个负数x ，使12x>7．已知命题p ：0x ∃>，使2210x x ++=成立，则p 的否定是A ．0x ∃≤，使2210x x ++=不成立B ．0x ∀≤，使2210x x ++=不成立C ．0x ∀>，使2210x x ++=不成立D ．0x ∃>，使2210x x ++=不成立8．已知{}12A x x =-<<，命题“x A ∀∈，20x a -<”是真命题的一个必要不充分条件是A ．4a ≥B ．1a ≥C ．5a ≥D ．4a >二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知,,a b c ∈R ，则下面命题不正确的是A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件10．下列表述中正确的是A ．若AB ⊆，则AB A =B ．若A B B ⋃=，则A B ⊆C ．()()A B A A B ⋂苘D ．()()()⋂=⋃U U U A B A B 痧11．下列各组中的两个集合相等的是A ．**{|21,},{|21,}P x x n n N Q x x n n N ==-∈==+∈B ．{|41,},{|43,}P x x n n Z Q x x n n Z ==+∈==-∈C ．12{|,},{|,}3663k k P x x k Z Q x x k Z ==+∈==+∈D ．()211{|0},{|,}2n P x x x Q x x n Z +-=-===∈12．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论正确的是A ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m mm ∈<∣或}9m >B ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m mm ∈<≤∣C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m mm ∈>∣D ．当3m =时，方程的两实数根之和为0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．下列对象能组成集合的是___________．①桃浦中学一部分学生②倒数等于自身的实数③超过100页的书④世界知名艺术家⑤方程210x +=的全体解14．已知集合(),A m =-∞，[]1,3B =-，若A B B =，则实数m 的取值范围为___________．15．若“()3,x ∀∈+∞，x a >”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是___________．16．集合{}{}1,||2A x x B x x =>=<，则“x A ∈或x B ∈”是“()x A B ∈⋂”的___________条件．（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）集合(){}2,1A x y y ax==+，(){},23B x y y x ==+，若A B 中仅有一个元素，求实数a 的值．18．（12分）已知集合{}22,3,42=++A m m ，{}20,7,42,2=+--B m m m ，证明：{}3,7A B ⋂=的充要条件为1m =．19．（12分）已知集合{}|13P x x =-<，{}3252,Q x m x m m =-≤≤+∈R ．若P 的充分非必要条件为Q ，求实数m 的取值范围．20．（12分）已知集合{}2340A x ax x =∈--=R （1）若集合A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若集合A 最多有两个子集，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知集合{}223,{12}A x a a x b B x x =-<≤-+=-<≤．（1）若2a =，1b =-，求()RA B ð；（2）若A B =，求出a ，b 的值．22．（12分）已知命题22:,20p x R x x a ∃∈-+=，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A ．（1）求集合A ；（2）设集合{231}B a m a m =-<<+，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语综合检测基础卷(解析版)本卷满分150分，考试时间120分钟。

高中数学章末过关检测一集合与常用逻辑用语新人教A版必修第一册

章末过关检测(一) 集合与常用逻辑用语一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2022·福建福州高一期中]下列关系中，正确的有( )A．∅{0} B．{0，1}＝{(0，1)} C．Q∈Z D．{0}∈{0，1，2}2．已知集合M＝{1，2}，则集合M的子集个数为( )A．1 B．2 C．3 D．43．命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是( )A．∃x∈R，x2＋1>0 B．∃x∈R，x2＋1≤0C．∀x∈R，x2＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤04．已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝( )A．{x|1<x≤3} B．{x|0≤x<4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0<x<4}5．“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{－2，－1，0，2，4}，则(∁R A)∩B＝( )A．∅ B．{－1，2} C．{－2，4} D．{－2，－1，4}7．设U为全集，则“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( ) 8．已知命题：A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知集合A，B是非空集合且A⊆B，则下列说法正确的是( )A．∃x∈A，x∈B B．∀x∈A，x∈BC．A∩B＝A D．A∩(∁U B)≠∅10．下列命题中是假命题的有( )A．∀x∈R，x3≥0 B．∃x∈R，x3＝3C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈Z，1<4x<311．下列说法中正确的有( )A．“x>3”是“x>2”的必要条件B．“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件C．“x＝2或x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充要条件D．“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件12．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件( )A．a≥3 B．a≥5 C．a≤－3 D．a<1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．命题“∀x>0，2x＋1≥0”的否定是________．14．已知集合A＝{1，a2}，B＝{a，－1}，若A∪B＝{－1，a，1}，则a＝________．15．方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件为________．16．已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)命题p：有一对实数(x，y)，使x－3y＋1<0.(2)命题q：∀x∈R，x2－4x＋3>0.18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0}，(1)若1∈A，求实数a的值．(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0}，且A∩B＝{3}，求A∪B.19.(本小题满分12分)已知全集为R，集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<m或x>2m＋1，m>0}．(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)已知命题p：∃x∈R，使x2－4x＋m＝0为假命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设A＝{x|3a<x<a＋4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|m－1<x<m2}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．22．(本小题满分12分)证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．章末过关检测(一) 集合与常用逻辑用语1．解析：空集是任何非空集合的真子集，故A正确；{0，1}的元素为0，1，{(0，1)}的元素为(0，1)，故B错误；因为Z⊆Q，故C错误；因为{0}{0，1，2}，故D错误．答案：A2．解析：集合M＝{1，2}，子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}，共4个．答案：D3．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，并将结论加以否定，所以命题“∀x ∈R，x2＋1>0”的否定是：∃x∈R，x2＋1≤0.答案：B4．解析：由A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝{x|0≤x<4}．答案：B5．解析：由a＝1可推出|a|＝1，由|a|＝1，即a＝1或a＝－1，推不出a＝1，故“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件．答案：B6．解析：因为A＝{x|－1<x≤2}，B＝{－2，－1，0，2，4}，所以∁R A＝{x|x≤－1或x>2}，所以B∩(∁R A)＝{－2，－1，4}．答案：D7．解析：因为U为全集，若A∩B＝∅，则A⊆∁U B；若A⊆∁U B，则A∩B＝∅；所以“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的充要条件．答案：C8．解析：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得：a ≤4.答案：B9．解析：因为集合A，B是非空集合且A⊆B，所以∀x∈A，x∈B，即选项B正确，因此∃x∈A，x∈B，所以选项A正确；因为A⊆B，所以有A∩B＝A，因此选项C正确；当A＝B时，显然A⊆B成立，而A∩(∁U B)＝A∩(∁U A)＝∅，所以选项D不正确．答案：ABC10．解析：对选项A，当x＝－1时，x3＝－1<0，所以∀x∈R，x3≥0为假命题．对选项B，若x3＝3，则x＝33，所以∃x∈R，x3＝3为真命题．对选项C ，若x 2－1＝0，则x ＝±1，不满足∀x ∈R ，x 2－1＝0，所以∀x ∈R ，x 2－1＝0为假命题．对选项D ，1<4x <3，则14<x <34，所以不存在x ∈Z ，满足14<x <34，即∃x ∈Z ，1<4x <3为假命题．答案：ACD11．解析：对于A ，“x >2”成立，“x >3”不一定成立，A 错误；对于B ，“x >1”可以推出“x 2>1”，取x ＝－2，得x 2>1，但－2<1，所以“x 2>1”不能推出“x >1”，B 正确；对于C ，x 2＋x －6＝0的两个根为x ＝2或x ＝－3，C 正确；对于D ，“a >b ”不能推出“a 2>b 2”，同时“a 2>b 2”也不能推出“a >b ”，D 错误．答案：BC12．解析：p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1，范围对应集合是集合{a |a ≥1}的子集即可，对比选项知AB 满足条件．答案：AB13．解析：因为命题“∀x >0，2x ＋1≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即为∃x >0，2x ＋1<0.答案：∃x >0，2x ＋1<014．解析：因为A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，A ∪B ＝{－1，a ，1}，所以a ＝a 2，解得a ＝0或a ＝1(舍去，不满足集合元素的互异性).答案：015．解析：由题意可得Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1.答案：a ≤116．解析：因为集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个．其中一个可以是{0，1，2，3}．答案：6 {0，1，2，3}17．解析：(1)命题p 是存在量词命题．当x ＝0，y ＝1时，x －3y ＋1＝－2<0成立，故命题p 是真命题．(2)命题q 是全称量词命题由x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)>0，得x <1或x >3.只有当x <1或x >3时，x 2－4x ＋3>0成立，故命题q 是假命题．18．解析：(1)因为1∈A ，故可得1－a ＋3＝0，解得a ＝4.故实数a 的值为4.(2)因为A ∩B ＝{3}，故3是方程x 2－ax ＋3＝0的根，则9－3a ＋3＝0，解得a ＝4，此时x 2－4x ＋3＝0，即(x －1)(x －3)＝0，解得x ＝1或x ＝3，故A ＝{1，3}；又3是方程2x 2－bx ＋b ＝0的根，则18－3b ＋b ＝0，解得b ＝9，此时2x 2－9x ＋9＝0，即(2x －3)(x －3)＝0，解得x ＝3或x ＝32，故B ＝{3，32}；故A ∪B ＝{1，3，32}． 19．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |x <2或x >5}，又A ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}；(2)因为B ＝{x |x <m 或x >2m ＋1，m >0}，所以∁R B ＝{x |m ≤x ≤2m ＋1}，又A ⊆∁R B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12≤2m ＋1，解得12≤m ≤1，即m ∈[12，1]. 所以实数m 的取值范围为[12，1]. 20．解析：(1)由题意，得关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0无实数根，所以Δ＝16－4m <0，解得m >4，即B ＝{m |m >4}；(2)因为A ＝{x |3a <x <a ＋4}为非空集合，所以3a <a ＋4，即a <2，因为x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则3a ≥4，即a ≥43，所以43≤a <2. 21．解析：(1)因为A ＝{x |－2≤x ≤4}，x ∈Z ，所以A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，A 中共有7个元素，则A 的非空真子集的个数为27－2＝126；(2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，因为m 2－m ＋1＝(m －12)2＋34>0，故B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤4m －1≥－2，解得：－1≤m ≤2，从而实数m 的取值范围为[－1，2]. 22．证明：充分性：若m <0，则关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根，证明如下：当m <0时，Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m >0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实根，设两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝m <0，所以方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”，则m <0，证明如下：设方程x 2－2x ＋m ＝0一正一负根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－2）2－4m ＝4－4m >0x 1x 2＝m <0，所以m <0，所以若“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”，则m <0，故必要性成立，所以“m <0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有一正一负根”的充要条件．。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(37)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1. 若集合 M ={x∣ x <2}，N ={x∣ 0≤x ≤1}，则 M ∩N = ( ) A ． [0,1] B ． [0,2] C ． [1,2) D ． (−∞,2]2. 已知集合 A ={−1,0,1}，B ={x∣ −1≤x <1}，则 A ∩B = ( ) A ． {−1,0,1} B ． {0} C ． {0,1} D ． {−1,0}3. 已知 A ={x∣ x <1}，B ={x∣ 2x +1<2}，则 A ∩B = ( ) A ． {x ∣∣x <12}B ． {x ∣∣12<x <1}C ． {x∣ x <1}D ． R4. 命题“∃x ∈R ，使得 x 2+2x +3=0”的否定是 ( ) A ． ∃x ∈R ，使得 x 2+2x +3≠0 B ． ∀x ∈R ，都有 x 2+2x +3=0 C ． ∀x ∈R ，都有 x 2+2x +3≠0D ． ∀x ∉R ，都有 x 2+2x +3≠05. 命题 p:∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，则命题 p 的否定是 ( )A ． ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1>0B ． ∀x ∈R ，x 2+x +1≥0C ． ∀x ∈R ，x 2+x +1>0D ． ∀x ∈R ，x 2+x +1≤06. 已知集合 A ={x∣ lgx >0}，B ={x∣ x 2≤4}，则 A ∩B = ( ) A ． (1,2) B ． (1,2] C ． (0,2] D ． (1,+∞)7. 已知 U ={1,2,3,4}，A ={1,3,4}，B ={2,3,4}，那么 ∁U (A ∩B )= ( ) A ． {1,2} B ． {3,4} C ． ∅ D ． {1,2,3,4}8. 已知集合 M ={x∣ x 2−2<0}，N ={−2,−1,0,1,2}，则 M ∩N = ( ) A ． ∅ B ． {1} C ． {0,1} D ． {−1,0,1}9. 命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( ) A ．所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B ．所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D ．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数10. 命题“∃x ∈(1,+∞)，x 2+1≤3x ”的否定是 ( ) A ． ∀x ∈(−∞,1]，x 2+1>3x B ． ∀x ∈(1,+∞)，x 2+1≤3xC ． ∃x ∈(−∞,1]，x 2+1≤3xD ． ∀x ∈(1,+∞)，x 2+1>3x11.由大于−3且小于11的偶数组成的集合是( )A．{x∣ −3<x<11,x∈Q}B．{x∣ −3<x<11}C．{x∣ −3<x<11,x=2k,x∈Q}D．{x∣ −3<x<11,x=2k,k∈Z}12.已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题（共4题）13.π是（选填“有理数”“无理数”）．14.设M={x∣1<x<3}，N={x∣2≤x<4}，定义M与N的差集M−N={x∣∣x∈M且x∉N}，则M−N=．15.已知集合A={−1,1,2}，B={0,1}，则A∪B=．16.设集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 0≤x≤4}，则A∩B=．三、解答题（共6题）17.下列命题中，α是β的充分条件吗？(1) α:a>b，β:ac>bc；(2) α：同位角相等，β：两直线平行．18.如何理解并集的含义？19.已知集合A={x∣ a−1<x<2a+1}，B={x∣ 0<x<1}．，求A∩B；(1) 若a=12(2) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围．20.如何理解交集的含义？21.集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．22.若集合A={x∣ −5≤x<1}，B={x∣ x≤2}，求A∪B．答案一、选择题（共12题）1. 【答案】A【解析】因为M={x∣ x<2}，N={x∣ 0≤x≤1}，所以M∩N={x∣ 0≤x≤1}．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】D【解析】由题意可得A∩B={−1,0}、【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】A}，【解析】因为A={x∣ x<1}，B={x∣∣x<12}．所以A∩B={x∣∣x<12【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】C【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，命题“∃x∈R，使得x2+2x+3=0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3≠0”．故选C．【知识点】全（特）称命题的否定5. 【答案】C【解析】否定要把∃改为∀，≤改为>，故选C．【知识点】全（特）称命题的否定6. 【答案】B【解析】A=(1,+∞)，B=[−2,2]，故A∩B=(1,2]，故选B．【知识点】交、并、补集运算7. 【答案】A【解析】易知A∩B={3,4}，故∁U(A∩B)={1,2}，故选A．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】由x2−2x<0，得x∈(0,2)，所以M∩N={1}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】D【知识点】全（特）称命题的否定10. 【答案】D【知识点】全（特）称命题的否定11. 【答案】D【知识点】集合的表示方法12. 【答案】D【解析】因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D．【知识点】集合中元素的三个特性二、填空题（共4题）13. 【答案】无理数【知识点】集合的概念14. 【答案】{x∣1<x<2}【解析】将集合M，N在数轴上标出，如图所示．因为M−N={x∣∣x∈M且x∉N}，所以M−N={x∣1<x<2}．【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】{−1,1,0,2}【解析】结合题中所给的集合和并集的定义可得：A∪B={−1,1,0,2}．【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】{x∣ 0≤x≤2}【解析】A在数轴上表示出集合A与B，如图．则由交集的定义，A∩B={x∣ 0≤x≤2}．【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) α不是β的充分条件．(2) α是β的充分条件．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】① A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．②“或”的数字内涵的形象图示如下：③若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次．【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】(1) 当a=12时，A={x∣ −12<x<2}，B={x∣ 0<x<1}，所以A∩B={x∣ 0<x<1}．(2) 若A∩B=∅，则当A=∅时，有a−1≥2a+1，解得a≤−2，符合题意；当A≠∅时，有{a−1<2a+1,2a+1≤0或a−1≥1,解得−2<a≤−12或a≥2．综上，实数a的取值范围为a≤−12或a≥2．【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】①概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B；②当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B=∅．【知识点】交、并、补集运算21. 【答案】略【知识点】集合的概念22. 【答案】借助于数轴分别画出集合A，B，如图，故A∪B={x∣ x≤2}．【知识点】交、并、补集运算。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(49)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1.已知集合A={x∣ x2−2x−3≥0}，B={x∣ −2≤x<2}，则A∩B等于( )A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−1,2)D．[1,2)2.设集合U={x∈N∣ 0<x≤8}，S={1,2,4,5}，T={3,5,7}，则S∩(∁U T)=( )A．{1,2,4}B．{1,2,3,4,5,7}C．{1,2}D．{1,2,4,5,6,8}3.“x=3”是“x2=9”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.设p:a>0，q:a2+a>0，那么p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件5.已知a=log134，b=log23，c=2−0.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a6.已知集合A={x∣ x2−3x+2=0,x∈R}，B={x∣ 0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1B．2C．3D．47.坐标轴上的点的集合可表示为( )A．{(x,y)∣ x=0,y≠0或x≠0,y=0}B．{(x,y)∣ x2+y2=0}C．{(x,y)∣ xy=0}D．{(x,y)∣ x2+y2≠0}8.设集合M={x∣ x∈Z}，N={x∣ x=n2,n∈Z}，P={x∣ x=n+12,n∈Z}，则下列关系正确的是( )A．N⊆M B．N=M∪P C．N⊆P D．N=M∩P9.已知条件p:∣x+1∣>2，条件q:∣x∣>a，且¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥310.若“b=c=0”是“抛物线y=ax2+bx+c经过原点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.设集合M={1,2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件>0成立的充分不必要条件是( )12.不等式1−1xA．x>1B．x>−1C．x<−1或0<x<1D．x<0或x>1二、填空题（共4题）13.集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，对任意a∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合和运算：① G={非负整数}，⊕为整数的加法；② G={偶数}，⊕为整数的乘法；③ G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的有．（写出所有“融洽集”的序号）14.设集合S n={1,2,3,⋯,n}，n∈N∗，X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集．若n=4，则S n的所有奇子集的容量之和为．15.设全集U={2,3,a2+2a−3}，A={∣ 2a−1∣ ,2}，∁U A={5}，则实数a=．16.“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．三、解答题（共6题）17.设全集U={x∣ x≤4}，A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ 1≤x≤3}．求：(1) (∁U A)∪B；(2) (∁U A)∩(∁U B)．x2+1（如图所示）．18.已知抛物线y=14(1) 填空：抛物线的顶点坐标是，对称轴是．(2) 已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为点B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标．(3) 在（2）的条件下，点M在直线AP上，在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．19.已知集合A={a1,a2,a3,⋯,a n}，其中a i∈R(1≤i≤n,n>2)，l(A)表示a i+a j(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数．(1) 已知集合P={2,4,6,8}，Q={2,4,8,16}，分别求l(P)，l(Q)；．(2) 若集合A={2,4,8,⋯,2n}，求证：l(A)=n(n−1)220.已知集合M={x∣ x<−3或x>5}，P={x∣ a≤x≤8}．(1) 求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x∣ 5<x≤8}的充要条件；(2) 求实数a的一个值，使它成为M∩P={x∣ 5<x≤8}的一个充分不必要条件；(3) 求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x∣ 5<x≤8}的一个必要不充分条件．21.已知命题p：方程x2−2x−a=0没有实数根；命题q：不等式x2−ax+4>0对一切实数x恒成立．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．22.已知集合A={a∣ a=x2−y2,x,y∈Z}．(1) 证明：2k+1∈A，其中k∈Z；(2) 请你指出集合A中元素所具有的至少三个性质，并加以证明；(3) 根据你的研究，若将A中的正整数由小到大排列，则第2008个数是多少？答案一、选择题（共12题）1. 【答案】A【解析】因为A={x∣ x≤−1或x≥3}，故A∩B=[−2,−1]．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【解析】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U T={1,2,4,6,8}，所以S∩(∁U T)={1,2,4}．【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】A【解析】当x=3时，有x2=9，但当x2=9时，x=3或x=−3，故“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】充分性：当a>0时，a+1>0，则a(a+1)=a2+a>0，故充分性成立；必要性：解不等式a2+a>0得a(a+1)>0，即a<−1或a>0，故必要性不成立．所以p是q的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】D【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质6. 【答案】D【解析】因为集合A={1,2}，B={1,2,3,4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故满足条件的集合C的个数为4．【知识点】n元集合的子集个数7. 【答案】C【解析】坐标轴上的点的横、纵坐标至少有一个为0．故选C．【知识点】集合的表示方法8. 【答案】B,n∈Z}，【解析】N={x∣ x=n2当n=2k，k∈Z时，N={x∣ x=k,k∈Z}；当n=2k+1，k∈Z时，N={x∣ x=k+12,k∈Z}．故P⊆N，M⊆N，N=M∪P．故选B．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【解析】p:∣x+1∣>2⇒x>1或x<−3，当a≥0时，q:∣x∣>a⇒x>a或x<−a，当a<0时，q:∣x∣>a⇒x∈R，因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，因此p⫋q．从而a<0或{a≥0,a≤1,−a≥−3⇒0≤a≤1，即a≤1．【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件11. 【答案】A【解析】若a=1，则N={1}，故N⊆M．若N⊆M，则a2=1或2，故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A．【知识点】充分条件与必要条件、包含关系、子集与真子集12. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件二、填空题（共4题）13. 【答案】①【解析】根据题意，判断给出的集合对运算⊕是否满足条件（1）（2）即可．其中，条件（1）的含义是：集合G中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G的元素；条件（2）的含义是：集合G中存在一个特殊元素e，它与G中任何一个元素a关于运算⊕满足交换律，且运算结果等于a．① G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意a,b∈G，都有a⊕b∈G，且存在e=0，使得a⊕0=0⊕a=a，所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”；② G= {偶数}，⊕为整数的乘法，若存在e∈G，使a⊕e=e⊕a=a，则e=1，与e∈G矛盾，所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”；③ G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”．综上所述，G关于运算⊕为“融洽集”的只有①．【知识点】元素和集合的关系14. 【答案】7【解析】根据题意，S4的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，分析可得{1}的容量为1，{3}的容量为3，{1,3}的容量为3，则其容量之和为1+3+3=7．【知识点】包含关系、子集与真子集15. 【答案】2【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】必要非充分．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为U={x∣ x≤4}，A={x∣ −1≤x≤2}，所以∁U A={x∣ x<−1或2<x≤4}．因为B={x∣ 1≤x≤3}，所以(∁U A)∪B={x∣ x<−1或1≤x≤4}．(2) 因为U={x∣ x≤4}，B={x∣ 1≤x≤3}，所以∁U B={x∣ x<1或3<x≤4}，所以(∁U A)∩(∁U B)={x∣ x<−1或3<x≤4}．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】(1) (0,1)；y轴（或直线x=0）(2) 如图所示，因为△PAB是等边三角形，所以∠ABO=90∘−60∘=30∘．所以AB=2OA=4，所以PB=4．x2+1，得x=±2√3．方法一；把y=4代入y=14所以P1(2√3,4)，P2(−2√3,4)．方法二：因为OB=√AB2−OA2=2√3，所以P1(2√3,4)．根据抛物线的对称性，得P2(−2√3,4)．(3) 存在．因为四边形OAMN为菱形，所以AP∥ON．设直线AP1:y=kx+b，将点A(0,2)，P1(2√3,4)的坐标分别代入，，b=2，得k=√33所以y=√33x+2．故点N在直线y=√33x上，设N(x0,√33x0)，则x02+(√33x0)2=4，解得x0=±√3，所以N1(√3,1)，N2(−√3,−1)．同理得点M在直线AP2上时，N3(−√3,1)，N4(√3,−1)．综上所述，所有满足条件的点N的坐标分别为(√3,1)，(−√3,−1)，(−√3,1)，(√3,−1)．【知识点】二次函数的性质与图像19. 【答案】(1) 由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l(P)=5，由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l(Q)=6．(2) 因为a i+a j(1≤i<j≤n)共有(n−1)+(n−2)+(n−3)+⋯+4+3+2+1=n(n−1)2个值，所以l(A)≤n(n−1)2．又集合A={2,4,8,⋯,2n}，不妨设a m=2m，m=1,2,⋯,n．a i+a j，a k+a l（1≤i<j≤n，1≤k<l≤n），当j≠l时，不妨设j<l，则a i+a j<2a j=2j+1≤a l<a k+a l，即a i+a j≠a k+a l，当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l，因此当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j(1≤i<j≤n)的值两两不同，因此l(A)=n(n−1)2．【知识点】交、并、补集运算20. 【答案】(1) M∩P={x∣ 5<x≤8}的充要条件是−3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a∣ −3≤a≤5}．(2) 显然，满足−3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩P={x∣ 5<x≤8}的充分不必要条件．比如a=0．(3) 若a=−5，显然M∩P={x∣ −5≤x<−3或5<x≤8}，则a=−5是M∩P={x∣ 5<x≤8}的一个必要不充分条件．结合数轴可知a<−3时符合题意，则实数a的取值范围是{a∣ a<−3}．【知识点】充分条件与必要条件21. 【答案】当命题 p 是真命题时，应用 4+4a <0，解得 a <−1；当命题 q 是填命题时，应有 a 2−16<0，解得 −4<a <4．所以当命题 p 与 q 都是真命题时，a 应满足 {a <−1,−4<a <4,即 −4<a <−1，因此，实数 a 的取值范围是 (−4,−1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断22. 【答案】(1) 2k +1=(k +1)2−k 2，则 2k +1∈A ．(2) 1=12−02，3=22−12，4=22−02，5=32−22，7=42−32，8=32−12，⋯⋯ ① 4k ∈A ，其中 k ∈Z ；证明：4k =(k +1)2−(k −1)2，则 4k ∈A ． ② 4k +2∉A ，其中 k ∈Z ；证明：假设 4k +2∈A ，即 4k +2=x 2−y 2，也即 2(2k +1)=(x +y )(x −y )．因为 x +y 与 x −y 的奇偶性相同，所以 x +y 与 x −y 都为偶数．则 x 2−y 2=(x +y )(x −y ) 是 4 的倍数，与 2(2k +1) 不是 4 的倍数矛盾．故 4k +2∉A ． ③ A ⫋Z ；证明：a =x 2−y 2=(x +y )(x −y )∈Z ，但 2∉A ，则 A ⫋Z ． ④ A 为无穷集；证明：2k +1∈A ，奇数有无穷多个，则 A 为无穷集． ⑤集合 A 中的元素在数轴上关于原点对称；证明：若 a =x 2−y 2∈A ，则 −a =y 2−x 2∈A ，所以集合 A 中的元素关于原点对称． ⑥所有的完全平方数属于 A ；证明：a =x 2=x 2−02．⑦集合 A 中的两个元素的积仍属于集合 A ；证明：设 a,b ∈A ，则 ab =(x 12−y 12)(x 22−y 22)=x 12x 22−x 12y 22−x 22y 12+y 12y 22=(x 1x 2+y 1y 2)2−(x 1y 2+x 2y 1)2，所以 ab ∈A ． ⋯⋯⋯⋯(3) 2008÷3=669⋯1，669×4+1=2677，则第 2008 个数是 2677．【知识点】包含关系、子集与真子集、元素和集合的关系。

2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末综合检测一新人教A版必修第一册

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是( )A．∃x∈R，x2＋3x－1＜0 B．∃x∈R，x2＋3x－1≥0C．∃x∈R，x2＋3x－1≤0 D．∀x∈R，x2＋3x－1＜0解析：选 A.由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＋3x－1＜0.故选A.2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )A．0 B．1C．2 D．－1解析：选C.由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}解析：选A.借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A．命题﹁p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题解析：选C.命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)等于( ) A．{2，3} B．{1，4，5}C．{4，5} D．{1，5}解析：选B.由题知A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．7．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.因为B ＝{x |x ＜1}，所以∁R B ＝{x |x ≥1}．所以A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．8．已知集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}解析：选A.注意到集合A 中的元素为自然数．因此A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B ＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A ∩B ＝{2}，故选A.9．已知条件甲：(x －m )(y －n )＜0，条件乙：x ＞m 且y ＜n ，则甲是乙的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.因为甲：(x －m )(y －n )＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＜0，y －n ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＞0，y －n ＜0.所以甲是乙的必要不充分条件．10．若集合A ，B 满足A ＝{x ∈Z |x ＜3}，B ⊆N ，则A ∩B 不可能是( ) A ．{0，1，2} B ．{1，2} C ．{－1}D ．∅解析：选C.由B ⊆N ，－1∉N ，故A ∩B 不可能是{－1}．故选C.11．已知集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是( )A ．0≤a ≤2B ．－2＜a ＜2C ．0＜a ≤2D ．0＜a ＜2解析：选A.A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2a ＋2≤4⇔0≤a ≤2.12．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0，1D ．－1，0，1解析：选D.因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．①当a ＝0时，方程化为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． ②当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，所以a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意．综上，a ＝0或a ＝±1.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：由于A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，又因为B ≠∅，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.答案：2<m ≤414．已知p ：“x 2－3x －4＝0”，q ：“x ＝4”，则p 是q 的________条件．解析：根据题意，p ：“x 2－3x －4＝0”，即x ＝4或－1，则有若q ：x ＝4成立，则有p ：“x 2－3x －4＝0”成立，反之若p ：“x 2－3x －4＝0”成立，则q ：x ＝4不一定成立，则p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分15．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1，其中，可以是x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x 2＜1即－1＜x ＜1，①显然不能使－1＜x ＜1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④16．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为B ＝{x |1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}．又因为A ∪(∁R B )＝R ，A ＝{x |x ＜a }，将∁R B 与A 表示在数轴上，如图所示：可得当a ≥2时，A ∪(∁R B )＝R . 答案：{a |a ≥2}三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定．(1)所有的正方形都是矩形；(2)每一个奇数都是正数；(3)∀x∈R，x2－x＋1≥0；(4)有些实数有平方根；(5)∃x∈R，x2＋1＝0.解：前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”；命题(2)的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”；命题(3)的否定是“并非∀x∈R，x2－x＋1≥0”，也就是说“∃x∈R，x2－x＋1＜0”；后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p(x)”．其中命题(4)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”；命题(5)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＝0”，也就是说“∀x∈R，x2＋1≠0”．18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．(1)若a＝1时，求A∩B，A∪B；(2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}，所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}．(2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}．19．(本小题满分12分)下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件；并说明理由．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)因为|x|＝|y|⇒/x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为△ABC是直角三角形⇒/△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形⇒/△ABC是直角三角形，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)因为四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p 是q 的必要不充分条件．20．(本小题满分12分)选择合适的量词(∀、∃)，加在p (x )的前面，使其成为一个真命题：(1)x ＞2； (2)x 2≥0； (3)x 是偶数；(4)若x 是无理数，则x 2是无理数；(5)a 2＋b 2＝c 2.(这是含有三个变量的语句，用p (a ，b ，c )表示) 解：(1)∃x ∈R ，x ＞2.(2)∀x ∈R ，x 2≥0；∃x ∈R ，x 2≥0都是真命题． (3)∃x ∈Z ，x 是偶数；(4)∃x ∈R ，若x 是无理数，则x 2是无理数；⎝⎛⎭⎫如42(5)∃a ，b ，c ∈R ，有a 2＋b 2＝c 2.21．(本小题满分12分)已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．解：(1)由题意得M ＝{2}，当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1，2}．(2)因为M ∩N ＝M ，所以M ⊆N ，因为M ＝{2}，所以2∈N . 所以2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2.22．(本小题满分12分)已知非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}． (1)求a ＝10时，求A ∩B ，A ∪B;(2)求能使A ⊆(A ∩B )成立的a 的取值范围．解：(1)当a ＝10时，A ＝{x |21≤x ≤25}．又B ＝{x |3≤x ≤22}．所以A ∩B ＝{x |21≤x ≤22}，A ∪B ＝{x |3≤x ≤25}． (2)由A ⊆(A ∩B )，可知A ⊆B . 又因为A 为非空集合，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥3，3a －5≤22，2a ＋1≤3a －5，解得6≤a ≤9.。

新人教版高中数学必修第一册第一章章末检测试卷

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14.设集合S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是_{_a_|_－__3_<_a_<_－__1_}_.
借助数轴可知aa<＋－8>15，， ∴－3<a<－1.
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2
分，有选错的得0分)
9.设集合S＝{x|－2≤x≤8}，T＝{x|0<x<4}，若集合P⊆(∁RT)∩S，则P可以是
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四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10 分 ) 已知全集 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ， A ＝ {x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0} ， B ＝ {x∈Z|1≤x≤5}，C＝{x∈Z|2<x<9}.求 (1)A∪(B∩C)；
20.(12分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B)；
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∵9∈(A∩B)， ∴2a－1＝9或a2＝9， ∴a＝5或a＝3或a＝－3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}；当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，所以a＝5或a＝－3.

高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末综合测评(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册

章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语(满分：150分时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．0∈B．5∈QC．⊆D．A∪＝C[空集中不含任何元素，A错误．5是无理数，B错误．A∪＝A，D错误，应选C.]2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}B[由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁R B＝{x|x≥1}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≥－1}．故选B.]3．满足{1}⊆X{1，2，3，4}的集合X有()A．4个B．5个C．6个D．7个D[集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个．故选D.]4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是()A．对任意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x∈R，使得x2≥1D.存在x∈R，使得x2＜1D[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.]5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．∃x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0C．∀x∈R，x3－x2＋1>0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0C[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.]6. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．] 7．下列命题中，真命题是()A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1B．∀x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．∃x∈R，x2＋2≤0A[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但ab＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.] 8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为()A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．C[当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝⊆B；当3a －5≥2a ＋1，即a ≥6时，A ≠，要使A ⊆B ，需有⎩⎨⎧3a －5≤16，2a ＋1≥5，解得2≤a ≤7. 综上可知，a ≤7.故选C.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．a 2＞b 2的一个充分条件是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＞|b |D ．a ＝2，b ＝1CD [A 中，当a ＝0，b ＝－2时，a 2＝0，b 2＝4，不能推出a 2＞b 2；B 中，当a ＝－1，b ＝1时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；C 中，a ＞|b |两边平方得a 2＞b 2，能推出a 2＞b 2；D 中，a 2＝4，b 2＝1，能推出a 2＞b 2，故选C 、D.]10．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a ＜－2C ．a <－1D ．a ＜1BC [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知3a ＜0，即a ＜0，故a ＜0是一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，其充分不必要条件应为(－∞，0)的真子集，故选B 、C.]11．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB [根据补集的概念，∁R B ＝{x |x ≥2m }．又∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2.解得m ≤1，故m 的值可以是0，1.故选A 、B.]12．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a＋b ，a －b ，ab ，a b ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是( )A ．数域必含有0，1两个数；B ．整数集是数域；C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；D ．数域必为无限集．AD [数集P 有两个元素m ，n ，则一定有m －m ＝0，m m ＝1(设m ≠0)，A 正确；因为1∈Z ，2∈Z ，12Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，则1∈M ，2∈M ，但1＋2M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪(∁U B )＝________． {x |x ≤1}[∵B ＝{x |x ＞1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∪(∁U B )＝{x |x ≤1}．]14．命题“∀x ∈[1，2]，使x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值X 围是________． {a |a ≤1}[命题p ：a ≤x 2在[1，2]上恒成立，y ＝x 2在[1，2]上的最小值为1，∴a ≤1.]15．已知集合P ＝{x |－2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当k ＝4时，P ∩Q ＝________；当P ∩Q ＝时，k 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分){5}k ＜2或k ＞4[当k ＝4时，Q ＝{x |5≤x ≤7}，∴P ∩Q ＝{5}；当P ∩Q ＝时，若Q ＝时，k ＋1>2k －1，∴k <2，P ∩Q ＝成立；若Q ≠，∴k ＋1≤2k －1，即k ≥2.由题意知⎩⎨⎧k ≥2，2k －1<－2或⎩⎨⎧k ≥2，k ＋1>5.∴k >4. 综上所述，k 的取值X 围是{k |k <2或k >4}．]16．已知集合M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．16[因为M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A共有15个，分别是{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，其中数字1，2，3，4都出现了8次. 依题意得：8×[1×(－1)1＋2×(－1)2＋3×(－1)3＋4×(－1)4]＝16.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.[解](1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁R A，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B.[解]结合数轴，由图可知∁R A＝{x|x≤－2或x≥3}，又∵A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∴∁R (A ∩B )＝∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，∴(∁R A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2或x ＝3}．19．(本小题满分12分)已知p ：x －2＞0，q ：ax －4＞0，其中a ∈R 且a ≠0.(1)若p 是q 的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围．[解](1)设p ：A ＝{x |x －2＞0}，即p ：A ＝{x |x ＞2}，q ：B ＝{x |ax －4＞0}，因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a＜2，解得a ＞2. 所以实数a 的取值X 围为a ＞2.(2)由(1)及题意得B A ，①当a ＞0时，由B A 得4a ＞2，即0＜a ＜2；②当a ＜0时，显然不满足题意．综上可得，实数a 的X 围为0＜a ＜2.20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B ，知⎩⎨⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值X 围为{m |m ≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠.(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝，求a 的取值X 围．[解](1)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤2，3a ≥4，解得a 的取值X 围为43≤a ≤2.(2)∵B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠，∴a ＞0.若A ∩B ＝，∴a ≥4或3a ≤2，∴a 的取值X 围为0＜a ≤23或a ≥4.22．(本小题满分12分)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[证明] 法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy ，即1x ＜1y . 必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy ＜0.因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0.所以1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy ＜0.由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －x xy <0⇔xy ＞0.所以1x ＜1y ⇔xy ＞0，即1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.。

【高中数学】章末综合检测(一) 集合与常用逻辑用语

章末综合检测（一）集合与常用逻辑用语A卷——学业水平考试达标练(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,5}，则A∪B＝()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{1,3,5} D．{1,2,3,5}解析：选D由题意得，A∪B＝{1,2,3}∪{1,3,5}＝{1,2，3,5}，故选D.2．已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{－1,0,1,3,6}，则A∩B中的元素个数为() A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由题意，因为集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}＝{奇数}，B＝{－1,0,1,3,6}，所以A∩B＝{－1,1,3}，所以A∩B中的元素个数为3.3．设x∈R，则“x>2”是“|x|>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由|x|>2得x>2或x<－2，即“x>2”是“|x|>2”的充分不必要条件．故选A.4．已知集合A＝{0,1,2,4}，集合B＝{x∈R|0<x≤4}，集合C＝A∩B，则集合C可表示为()A．{0,1,2,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2,4} D．{x∈R|0<x≤4}解析：选C因为集合A中的元素为0,1,2,4，而集合B中的整数元素为1,2,3,4，所以C＝A∩B＝{1,2,4}，所以C正确．5．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M ＝{a1，a2，a4}．6．命题“对任意x∈R，都有x3≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x3<0B．不存在x∈R，使得x3<0C．存在x∈R，使得x3≥0D ．存在x ∈R ，使得x 3＜0解析：选D “对任意x ∈R ”的否定为“存在x ∈R ”，对“x 3≥0”的否定为“x 3<0”．故选D.7．已知三个集合U ，A ，B 之间的关系如图所示，则(∁U B )∩A ＝( )A ．{3}B ．{0,1,2,4,7,8}C ．{1,2}D ．{1,2,3}解析：选C 由Venn 图可知U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,5,6}，所以(∁U B )∩A ＝{1,2}．8．已知非空集合M ，P ，则M P 的充要条件是( )A ．∀x ∈M ，x ∉PB ．∀x ∈P ，x ∈MC ．∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2∉PD ．∃x ∈M ，x ∉P 解析：选D 由M P ，可得集合M 中存在元素不在集合P 中，结合各选项可得，MP 的充要条件是∃x ∈M ，x ∉P .故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)9．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z＝________________. 解析：由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}10．已知A ＝{x |x ≤1或x >3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R A )∪B ＝________. 解析：∵∁R A ＝{x |1<x ≤3}，∴(∁R A )∪B ＝{x |x >1}．答案：{x |x >1}11．下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以是x 2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④12．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.答案：3三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(8分)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5,6,7,8}，C ＝{3,5,7,9}．求：(1)A ∩B ，A ∪B ； (2)A ∩(∁U B )，A ∪(B ∩C )解：(1)A ∩B ＝{4,5}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}． (2)∵B ＝{4,5,6,7,8}，∴∁U B ＝{1,2,3,9,10}． ∴A ∩(∁U B )＝{1,2,3}，A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5,7}． 14．(10分)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x －m >0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)∵A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >m }，又A ∩B ＝∅，∴m ≥3.故实数m 的取值范围为[3，＋∞)． (2)∵A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >m }，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m ≤－1. 故实数m 的取值范围为(－∞，－1]．15．(10分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)正方形都是菱形； (2)∃x ∈R ，使4x －3>x ； (3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题．16．(12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．解：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12.综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1.B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合X ＝{x |x >－1}，下列关系式中成立的为( ) A ．0⊆X B ．{0}∈X C ．∅∈XD ．{0}⊆X解析：选D 选项A ，元素0与集合之间为∈或∉的关系，错误；选项B ，集合{0}与集合X 之间为⊆或⊇的关系，错误；选项C ，∅与集合X 之间为⊆或⊇的关系，错误；选项D ，集合{0}是集合X 的子集，故{0}⊆X 正确．故选D.2．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：选C ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．3．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A |x －2|<1⇔1<x <3.于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件．4．已知集合A ，B 是非空集合且A ⊆B ，则下列说法错误的是( ) A ．∃x ∈A ，x ∈B B ．∀x 0∈A ，x 0∈B C ．A ∩B ＝AD ．A ∩(∁U B )≠∅解析：选D ∵集合A ，B 是非空集合且A ⊆B ， ∴∃x ∈A ，x ∈B ；∀x ∈A ，x ∈B ；A ∩B ＝A ； A ∩(∁U B )＝∅.因此A 、B 、C 正确，D 错误．故选D.5．已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4D ．2或4解析：选A 若a ＝2，则|a |＝2，不符合集合元素的互异性，则a ≠2；若|a |＝2，则a ＝2或－2，可知a ＝2舍去，而当a ＝－2时，a －2＝－4，符合题意；若a －2＝2，则a ＝4，|a |＝4，不符合集合元素的互异性，则a －2≠2.综上，可知a ＝－2.故选A.6．集合A ＝{x ∈N |0<x <4}的真子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：选C ∵集合A ＝{x ∈N|0<x <4}＝{1,2,3}，∴真子集的个数是23－1＝7，故选C.7．“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”是“1xy >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”⇒“1xy >0”，“1xy >0”⇒“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y <0，”∴“⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0”是“1xy >0”的充分不必要条件．故选A.8．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 解x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2.所以A ＝{1,2}．又B ＝{1,2,3,4}，所以满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．故D 正确．9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ,3x －1>0B．若2x为偶数，则∀x∈NC．所有正方形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.10．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－2≤n≤3}，则M∩N＝________.解析：因为M＝{m∈Z|－3<m<2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{n∈Z|－2≤n≤3}＝{－2，－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{－2，－1,0,1}．答案：{－2，－1,0,1}12．某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有________人．解析：设两门都得优的人数是x，则依题意得(23－x)＋(20－x)＋x＋6＝40，整理，得－x＋49＝40，解得x＝9，即两门都得优的人数是9人．答案：913．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若P⊆U，(∁U P)⊆S，则这样的集合P共有________个．解析：U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∵∁U(∁U P)＝P，∴存在一个∁U P，即有一个相应的P(如当∁U P＝{－2,1,3}时，P＝{－3，－1,0,2}；当∁U P＝{－2,1}时，P＝{－3，－1,0,2,3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个．答案：814．若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab >0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“使a ，b 都为0”的必要条件是________． (2)“使a ，b 都不为0”的充分条件是________． (3)“使a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．解析：①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负； ③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0.答案：(1)①②③ (2)④ (3)①三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x ∈N ,2x ＋1是奇数； (2)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (3)存在一组m ，n 的值，使m －n ＝1； (4)至少有一个集合A ，满足A {1,2,3}．解：(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是存在量词命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题． (4)是存在量词命题．存在A ＝{3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题． 16．(10分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求满足下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3. 检验知a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}，满足题意．综上可知a＝－3.17．(10分)已知A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－1>0}．(1)求A∩B；(2)若记符号A－B＝{x|x∈A且x∉B}，在图中把表示“集合A－B”的部分用阴影涂黑，并求出A－B.解：(1)由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}．所以A∩B＝{x|1<x<2}．(2)集合A－B如图中的阴影部分所示．由于A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，又A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，所以A－B＝{x|－1<x≤1}．18．(10分)已知集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，因为B⊆A，所以B＝A或B A.当B＝A时，B＝{－4,0}，即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，此时满足条件，即a＝1符合题意．当B A时，分两种情况：若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}，符合题意．综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．19．(12分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．解：(1)当a＝0时显然符合题意．(2)当a≠0时显然方程没有零根．若方程有两异号的实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0解得0<a ≤1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

《集合与常用逻辑用语》章末复习

《集合与常用逻辑用语》知识系统整合规律方法收藏1．由集合的混合运算结果求变量在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性．2．集合与方程的综合集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．3．与集合有关的新定义问题(1)定义新集合要与集合定义类比解决．(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．4．充分条件与必要条件的理解及判定(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：①确定条件是什么，结论是什么； ②把复杂的条件(结论)化简；③尝试从条件推结论，从结论推条件； ④确定是什么条件．(2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条件的必要性．5．全称量词命题与存在量词命题(1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个x 验证p (x )成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可．(4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题．学科思想培优一、分类讨论思想解分类讨论问题的实质是将“整体”化为“部分”来解决，化为“部分”后，增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．本章的分类讨论思想主要体现在空集的特殊性上．[典例1] 若集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3，n ∈R }，且B ⊆A ，求n 的取值范围．解当B ＝∅时，n ＋1＞2n －3，解得n ＜4.此时B ⊆A . 当B ≠∅时，要使B ⊆A ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1≥－1，2n －3≤7，n ＋1≤2n －3，解得4≤n ≤5.综上所述，n 的取值范围为{n |n ≤5}．二、数形结合思想在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有限数集，一般采用Venn 图来求解．1．运用数轴[典例2] 已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |2a ＜x ≤a ＋1，a ∈R ，a ＜1}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵a ＜1，∴2a ＜a ＋1，∴B ≠∅. 在数轴上表示集合A ，B ，如图：由B ⊆A 知，a ＋1＜－1或2a ≥1，即a ＜－2或a ≥12. 又a ＜1， ∴实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－2或12≤a ＜1. 2．运用Venn 图[典例3] 已知全集I ＝{x |0＜x ＜10，x ∈N ＋}，A ∩B ＝{3}，A ∩(∁I B )＝{1,5,7}，(∁I A )∩(∁I B )＝{9}，求集合A 和B .解由全集I ＝{x |0＜x ＜10，x ∈N ＋}，得I ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．用Venn 图表示A ∩B ＝{3}，A ∩(∁I B )＝{1,5,7}，(∁I A )∩(∁I B )＝{9}，如图，得集合A ＝{1,3,5,7}，集合B ＝{2,3,4,6,8}．三、定义法[典例4] 已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p 是q 的什么条件．解若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ＝m 2－4n >0，即m 2>4n .设方程的两根为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1，且x 1≠x 2，有0<x 1＋x 2<2，且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1.所以－2<m <0,0<n <1，且m 2>4n ，即有q ⇒p . 反之，取m ＝－13，n ＝12，那么方程变为x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0. 此时方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p ⇒/q . 综上所述，p 是q 的必要不充分条件．四、反证法利用量词命题与量词命题的否定的真假性相反的性质，达到证明的目的． [典例5] 设三个正实数a ，b ，c 满足条件1a ＋1b ＋1c ＝2，求证：a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.证明假设a ，b ，c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况： ①a ，b ，c 三数均小于1，即0<a <1,01，1b >1，1c >1.所以1a ＋1b ＋1c >3，与已知条件矛盾；②a ，b ，c 中有两个数小于1，不妨设0<a <1,01，1b >1.所以1a ＋1b ＋1c >2＋1c >2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．所以a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.。

第一章-培优帮-章末总结高中数学必修第一册人教B版

因为所有的整数被5除所得余数只能为0,1,2,3,4，所以 = [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4]，
故C选项正确；
设 = 51 + 1 ， = 52 + 2 1 , 2 ∈ ，若 − ∈ [0]，则
− = 5 1 − 2 + 1 − 2 ∈ [0],所以1 = 2 ，则整数，属于同一“类”，故D
2
1
4
−+ ≥
0”,由 2
命题为假命题.
−
1
+
4
= −
1 2
2
≥ 0知，原命题的否定为真命题，则可知原
例5 设，为两个非空集合，则下列四个命题中为真命题的是( D
)
A. ⊈ ⇔ 对任意 ∈ ,都有 ∉
B. 2 4 + 1是偶数”，因为 ∈ ∗ 时，2 4 是偶数，所以2 4 + 1是奇数，原命题
的否定是假命题，由“¬与不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假”知，
原命题为真命题.
（2）∃ ∈
, 2
−
1
+
4
< 0.
1
4
【解析】存在量词命题“∃ ∈ , 2 − + < 0”的否定是全称量词命题“∀ ∈ ,
B.−3 ∈ [3]
C. = [0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] ∪ [4]
D.“整数，属于同一‘类’”的充分条件是“ − ∈ [0]”
【解析】因为2 024 = 5 × 404 + 4，所以2 024 ∈ [4]，故A选项不正确；
因为−3 = 5 × −1 + 2，所以−3 ∈ [2]，故B选项不正确；

高一数学第1章集合与常用逻辑用语章末测试(提升)(解析版)

第1章集合与常用逻辑用语章末测试（提升）第I 卷（选择题）一、单选题(每题5分，8题共40分)1．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＞m }，若()RA B 有三个元素，则实数m 的取值范围是（） A ．[3，4） B ．[1，2）C ．[2，3）D ．（2，3]【答案】C【解析】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＞m }，{}R B x x m =≤，若()RAB 有三个元素，则有23m ≤<，即实数m 的取值范围是[2，3）；故选：C2．（2022·广东茂名）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为A B B =，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D.3．（2022·浙江宁波）已知a ，b 为实数，则“2a b >”是a b ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为2a b >，则20a b >≥a b b >≥，即由2a b >a b >，取4,3a b ==-a b >，而2a b <a b >不可推出2a b >，所以“2a b >”是a b >”的充分不必要条件，故A 对，B,C,D 错,故选：A.4．（2022·陕西汉中）设集合M={x |x ＜4}，集合2{|20}N x x x =-<，则下列关系中正确的是（） A ．M ∪N=M B ．M ∪∁RN=M C ．N ∪∁RM=R D ．M ∩N=M【答案】A【解析】集合{|4}M x x =<，集合2{|20}{|02}N x x x x x =-<=<<，则M N M ⋃=，A 正确；{|0R N x x =≤或2}x ≥，∪R M N R M ⋃=≠，B 错误；{|4}R M x x =≥，∪{|02R N M x x ⋃=<<或4}x R ≥≠，C 错误；{|02}M N x x M ⋂=<<≠，D 错误，故选A.5．（2022·江苏）已知集合{}22(,)4A x y x y =+=，(){},34B x y y x ==+，则A B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】集合{}22(,)4A x y x y =+=，{}(,)34B x y y x ==+，把34y x =+代入224x y +=，得22330x x ++=，即3x =-有唯一解，故集合A B 中元素的个数为1．故选：B6．（2022·全国·模拟预测）已知集合()()2,R P Q ⋃=-+∞，()2,1P Q ⋂=-，则Q =（） A ．()2,-+∞ B ．(),1-∞C ．(],2-∞-D ．[)1,+∞【答案】B【解析】根据下面的Venn 图：I 区表示()PQ R；∪区表示P Q ； ∪区表示()R Q P ⋂； ∪区表示()RP Q ⋃．由题，集合()R P Q ⋃对应于I 区，∪区，∪区的并集，所以∪区对应(],2-∞-，从而Q 对应∪区，∪区的并集，故(),1Q =-∞．故选：B7．（2022·全国·模拟预测）如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（）A ．ABC ⋂⋂ B ．()I A C B ⋂⋂ C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B【解析】如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4. 故选：B8．（2021·全国·高一专题练习）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，则记()X M m ∆=-．下列命题中正确的是（）A ．已知{1,1}X =-，{0,}Y b =，且()()X Y ∆=∆，则2b =B ．已知[,2]X a a =+，{}2|,Y y y x x X ==∈，则存在实数a ，使得()1Y ∆<C ．已知{|()(),[1,1]}X x f x g x x =>∈-，若()2X ∆=，则对任意[1,1]x ∈-，都有()()f x g x ≥D ．已知[,2]X a a =+，[,3]Y b b =+，则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得()3X Y ∆⋃≤ 【答案】D【解析】对于A ：由{1,1}X =-，则()()11=2X ∆=--；{0,}Y b =，则()0=2Y b ∆=-，解得：2b =±，故A 错误；对于B ：由[,2]X a a =+，则()2=2X a a ∆=+-；{}2|,Y y y x x X ==∈，则max min ()Y y y ∆=-，∪当2a ≤-时，2yx 在[],2a a +上单减，所以()22max min ()=2441Y y y a a a ∆=--+=--<，解得：54a >-，又2a ≤-，所以a 不存在； ∪当21a -<≤-时，2yx 在[,0]a 上单减，在[0,2]a +上单增，且()222a a >+所以22max min ()=01Y y y a a ∆=--=<，解得：11a -<<，又21a -<≤-，所以a 不存在；∪当10a -<≤时，2yx 在[,0]a 上单减，在[0,2]a +上单增，且()222a a <+所以()()22max min ()=2021Y y y a a ∆=-+-=+<，解得：31a -<<-，又10a -<≤，所以a 不存在；∪当0a >时，2yx 在[],2a a +上单增，所以()22max min ()=2441Y y y a a a ∆=-+-=+<，解得：34a <-，又0a >，所以a 不存在；综上所述：不存在实数a ，使得()1Y ∆<. 故B 错误；对于C ：∪{|()(),[1,1]}X x f x g x x =>∈-，而()2X ∆=，则M =1,N =-1,但对任意[1,1]x ∈-，都有()()f x g x ≥，不一定成立；对于D ：∪[,2]X a a =+，∪()2X ∆=，由[,3]Y b b =+得()=3Y ∆，所以则对任意的实数a ，总存在实数b ，使得()3X Y ∆⋃≤，故D 成立. 故选：D二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。