停留时间分布
1.4 停留时间分布及其测定
• 从式（1-36），即可由实验数据计算 F (τ)。 从式（ ） 。
例1-8：脉冲法 脉冲法
---1
某反应器， 某反应器，VR = 12 L，v = 0.8L/min，进口处，用脉冲法注入示踪 ， ，进口处，用脉冲法注入示踪 剂80g，在出口处测得示踪剂浓度变化如表1-5所示。 ，在出口处测得示踪剂浓度变化如表 所示。 所示
1.4.2.1 脉冲法： 测E (τ) --- 4 脉冲法： τ
∴
vC (τ )dτ = E (τ )dτ M0
vC (τ ) E (τ ) = M0
**（1-35） （ ）
即：
为加入示踪剂的量g； 式1-35中，M0： 为加入示踪剂的量 ； 中 v ：为物料的体积流量 3/s。 为物料的体积流量m 。
对于 CSTR
σ2 <1 对于 中间流 0 <
σ2 评价τ分布的离散度要比 τ2明确，它可以定量 评价τ分布的离散度要比σ 明确，它可以定量 反应器的返混程度 描述反应器的返混程度。 描述反应器的返混程度。
1.4.2 停留时间分布的测定
• 1.4.2.1 脉冲法： 测 E (τ) 脉冲法： τ • 1.4.2.2 阶跃法： 测 F (τ) 阶跃法： τ
1.4.2.1 脉冲法： 测E (τ) --- 1 脉冲法： τ
• 当设备内物料流动达到稳定状态 稳定状态后 某个瞬间将示踪剂一 当设备内物料流动达到稳定状态后，在某个瞬间将示踪剂一 次注入进料中 同时开始分析出口物料中示踪剂浓度的变化。 次注入进料中，同时开始分析出口物料中示踪剂浓度的变化。
操作示意图如下： 操作示意图如下：
---1
引子：在一连续式反应器中， 稳定时 突然加入 引子：在一连续式反应器中，在稳定时，突然加入100颗白色粒 连续式反应器中 颗 所示。 子，同时，在出口处检测白色粒子的流出状况，如表1-4所示。 同时，在出口处检测白色粒子的流出状况，如表 所示
停留时间分布函数
停留时间分布函数停留时间分布函数是用于描述一个个体在某个位置上停留的时间分布的统计模型。
它可以被应用于许多领域，例如交通流分析、行人流动模拟、网络流量调度等。
本文将介绍停留时间分布函数的定义、常见的分布类型以及一些参考文献。
1. 定义停留时间分布函数是指在一个位置上停留的时间间隔的概率分布函数，用于描述个体停留的持续时间。
2. 常见的分布类型（1）指数分布（Exponential distribution）：指数分布是最常见的停留时间分布函数之一，它假设停留时间是一个连续的随机变量，并且满足无记忆性。
指数分布的概率密度函数为f(t) = λe^(-λt)，其中λ是停留时间的强度参数。
（2）伽玛分布（Gamma distribution）：伽玛分布是指数分布的推广，它可以用于描述停留时间的持续性不同于指数分布的情况。
伽玛分布的概率密度函数为f(t) = (λ^k)/Γ(k) t^(k-1) e^(-λt)，其中λ是强度参数，k是形状参数。
（3）魏布尔分布（Weibull distribution）：魏布尔分布可以用于描述停留时间的持续性随时间变化的情况。
它的概率密度函数为f(t) = (k/β) (t/β)^(k-1) e^(-(t/β)^k)，其中β是形状参数，k 是尺度参数。
（4）对数正态分布（Log-normal distribution）：对数正态分布常用于描述停留时间的长尾分布情况。
它的概率密度函数为f(t) = (1/(tσ√(2π))) e^(-0.5 ((ln(t)-μ)/σ)^2)，其中μ和σ是对数正态分布的均值和标准差。
3. 参考文献（1）Kleiber, W., & Kotz, S. (2003). Statistical size distribution in economics and actuarial sciences. John Wiley & Sons.（2）Woo, J.-W., Ko, Y. D., & Cho, Y. (2009). Evaluation of traveler time for an urban network using a time-dependent queuing model. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 43(8), 745-757.（3）Montanino, M., Pfeiffer, J.-P., Weigel, R., & Chardon, B. (2012). Estimating urban traffic flows from observed vehicle trajectories: A macroscopic approach. IEEE Intelligent Transportation Systems Magazine, 4(1), 22-35.（4）Jiang, B., & Claramunt, C. (2004). A topological pattern for space?time interaction modeling. GIScience & Remote Sensing, 41(2), 185-204.（5）Helbing, D., Farkas, I., & Vicsek, T. (2000). Simulating dynamical features of escape panic. Nature, 407(6803), 487-490.以上是停留时间分布函数的定义、常见的分布类型以及一些参考文献。
3-停留时间分布
1. 数学期望 —均值 t
tE(t )dt
t
0
tE(t)dt
E(t )dt 0
0
t t1N1 t2N2 t3N3 tN N N N
SHANDONG UNIVERSITY
tE(t )t
离散型： t
0
E(t )t
0
t相 等
tE(t)
0
E(t)
0
E(t) c(t)
解 E(t )dt 0.01e 0.01dt
0
0
100
e 0.01 63.2% 0
即： 停留时间 < t 的物料所占分率为：
t
E(t )dt F (t)
0
SHANDONG UNIVERSITY
2. 停留时间分布函数 F(t) 定义： 连续流动系统内，在出口物流中：
Nt F(t) 0
qV ,0c(t )t
0
c(t )
c(t )t
0
若 t 同 E(t)
c(t )
t c(t)
0
SHANDONG UNIVERSITY
t
F (t) E(t)dt
0
t
qV ,0 c(t )dt
F(t)
0
qV ,0 c(t )dt
0
t
c(t )dt
0
c(t )dt
0
SHANDONG UNIVERSITY
N 停留时间 t 的物料量在总量中所占分率
SHANDONG UNIVERSITY
F (t ) 说明：
1.0
• F(t)是一累积的无因次函数
• F(t)曲线 — 单调递增
• F(t)表示分率大小
[化学反应工程原理]第十章__停留时间分布-数学期望及方差
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即
F(t) 0 E(t)dt
显然，t＝0时，F(t)＝0；
t＝∞， F(t)＝1。
F(t)与E(t)的关系为：
dF (t) E(t) dt
右图为F(t)与E(t)的曲线。
三、停留时间分布的测定方法
➢采用刺激应答技术，又称示踪法，即在反应器的进 口加入某种示踪物，同时在出口测定示踪物浓度等 的变化，确定流经反应器中物料的停留时间分布。
tE(ti )ti E(ti )ti
➢若读取实验数据时时间间隔∆t相等，则上式可简化为：
tm
tE(t) E(t)
2. 方差
➢方差描述物料质点各停留时间与平均停留时间的偏离程度，
即停留时间分布的离散程度。
➢定义为：各个物料质点停留时间t与平均停留时间 t差m 的
平方的加权平均值。
方差越小，越接近平推流；
➢测定时利用示踪物的光、电、化学或放射等特性。 示踪物除具有上述特性外，还需要具有不挥发、不吸 收、易溶于主流体，在很小的浓度下也能检测出的特 性。 ➢示踪物的输入方式主要有脉冲法和阶跃法。
示踪剂的选取原则
➢示踪剂不应与主流体发生反应； ➢除了显著区别于主流体的某一可检测性质外，
示踪剂应和主流体应尽可能具有相同的物理性 质，且两者易于溶为一体； ➢示踪剂浓度很低时也能够检测到信号； ➢用于多相系统检测的示踪剂不发生相间的转移； ➢示踪剂本身应具有或易于转变为电信号或光信 号的特点。
C(t)dt
0
C(t)dt
0
dF(t) dC(t)
E(t)
dt C0dt
可直接测得
四、停留时间分布的数字特征
研究不同流型的停留时间分布，通常是比较它们的统计特征
值。常用的特征值有两个：
停留时间分布
5.5.4 轴向扩散模型（续7）
对于扩散模型，则首先要根据模型的特点和反应动力
活塞流反应器的E(t)图
5.4.1 活塞流模型（续2）
活塞流反应器F(t)图
5.4.1 活塞流模型（续3）
最后得到活塞流的停留时间分布密度为：
E 1
相应的分布函数为：
F t 0 t t 或者F 0 1
1 tt
1 1
均值和方差分别为：
0
1 d
1
2
2
1
d
1
0
0
(最小值)
5.5.1 概述
建模的要求： 等效性（能够正确反映模拟 对象的物理实质）； 合理简化便于数学处理（模 型参数不应超过两个）
建模的依据： 反应器内停留时间分布
常用技巧：
对理想模型进行修正， 或将理想流动模型与滞 流区、短路和沟流等作 不同组合
常用的非理想流动模型：
离析流模型，多釜串联模型； 轴向扩散模型
逐釜计算求出最终转化率。
若为一级不可 逆反应，则
1
1 k
1
1 X AN
N
1
注意！为单釜空时
适用：微观流体
5.5.4 轴向扩散模型
非理想流动模型和非理想反应器的计算 基本假定 径向浓度分布均一 轴向上，流体的流速和扩散系数均为恒定值
5.5.4 轴向扩散模型（续1）
非理想流动模型和非理想反应器的计算
kCA0 1 X A kCA
停留时间分布与反应器的流动模型讲义
停留时间分布与反应器的流动模型讲义停留时间分布（RTD）是描述流体在反应器内停留时间的分布情况。
它对于理解反应器的性能和效率至关重要。
通过分析停留时间分布，可以评估反应过程中各种反应物的浓度分布，从而优化反应器设计和操作。
在反应器中，流体进入并通过反应器。
然而，由于流体的动力学特性和反应器的几何形状，不同流体分子停留在反应器中的时间是不一样的。
停留时间分布图描述了流动物质的停留时间的概率分布。
停留时间分布可以通过数学模型来描述。
最常用的数学模型是以连续搅拌反应器（CSTR）为基础的模型。
CSTR是一种理想化的反应器类型，其中反应物在反应器中均匀分布，并以恒定的速率混合。
CSTR模型假设反应物的停留时间服从完美的指数分布。
另一个常用的模型是斑点流动模型（PFR）。
在PFR中，流体在反应器中形成了一系列的“斑点”，每个斑点代表一个流体分子，它们按照一定的速率顺序通过反应器。
PFR模型假设反应物的停留时间服从完美的单谷型分布。
PFR模型更适用于流体通过小直径管道或多孔介质的情况。
反应器的流动模型是利用数学模型描述反应物在反应器内的运动和行为，从而揭示反应过程中的动力学特性。
通过结合停留时间分布和流动模型，可以研究反应器中的物质传递、反应速率、混合程度等重要参数。
总结一下，停留时间分布和反应器的流动模型对于理解反应器的性能和优化设计非常重要。
它们可以帮助我们预测和改进反应过程中的各种流体动力学参数，从而提高反应器的效率和产量。
停留时间分布（RTD）与反应器的流动模型在化学工程领域具有广泛的应用。
通过分析停留时间分布和建立合适的流动模型，可以有效地揭示反应器内复杂流动与反应过程之间的关系，优化反应器设计和流程操作。
首先，停留时间分布是评估反应器性能的一个重要指标。
它反映了反应物在反应器内停留的时间分布情况。
对于快速反应，需要较短的停留时间，而对于缓慢反应，则需要较长的停留时间。
停留时间分布可以通过实验测量或数值模拟来获得。
数学归纳 停留时间 分布
数学归纳停留时间分布停留时间分布是数学中的一个概念，用于描述某个事件在一定时间段内停留在不同状态的概率分布。
在实际应用中，停留时间分布常常被用来描述随机过程中的状态转移情况，对于理解和分析随机过程的行为具有重要意义。
在数学中，停留时间分布可以通过数学归纳法来推导。
数学归纳法是一种证明数学命题的方法，通过证明命题在某个初始条件下成立，并且在满足递推关系的条件下也成立，从而推出命题对于所有情况都成立。
假设我们有一个随机过程，该过程在每个时刻都处于两个状态之一，分别记为状态A和状态B。
我们希望知道在随机过程中停留在状态A 的时间的分布情况。
我们需要定义一个随机变量X，表示我们感兴趣的停留时间。
假设X=k表示在随机过程中停留在状态A的时间为k个单位时间。
我们需要求得X=k的概率，即P(X=k)。
根据数学归纳法的思想，我们从最简单的情况开始推导。
当k=0时，表示在随机过程开始时就处于状态B，因此P(X=0)表示随机过程开始时就处于状态B的概率。
根据随机过程的定义，我们可以假设初始状态为B的概率为p，因此P(X=0)=p。
接下来，我们考虑k=1的情况。
假设随机过程开始时处于状态A的概率为q，那么在第一个单位时间内停留在状态A的概率就是q。
因此，P(X=1)=q。
现在我们假设对于任意正整数m，P(X=m)=q^m。
我们通过数学归纳法证明P(X=m+1)=q^(m+1)。
根据随机过程的定义，我们知道在第m个单位时间结束时，随机过程要么停留在状态A，要么转移到状态B。
如果在第m个单位时间结束时停留在状态A，那么停留时间就是m+1。
因此，P(X=m+1)=q^m * p。
根据数学归纳法的假设，我们有P(X=m)=q^m。
因此，P(X=m+1)=q^m * p = P(X=m) * p。
通过上述推导，我们可以得到P(X=k)=p*q^(k-1)。
这就是停留时间分布的数学表达式。
停留时间分布的计算对于理解随机过程的行为非常重要。
停留时间分布.
死区 模型：
化学工程系
( v )
e vm
平推和全 混串联组 和模型
化学工程系
化学工程系
4.停留时间分布曲线的定性应用 1.出峰太早
E(t) 短
路
沟流
t
原因：反应器存在沟流、短路现象，使出峰提前。
化学工程系
化学工程系
化学工程系
2.出现多峰，且递降 E（t）
tˆ
原因：反应器内有循环流
exp[ uL]
2EZ
2EZ
[1
4k( L)( EZ
1
)] 2
u uL
一级反应结果：
化学工程系
二级反应结果：
化学工程系
习题6 一封闭容器，已知流动时测得Ez/ul=0.2，若
用串联的全混流反应器能表达此系统，则串 联釜数为多少？（闭式边界）
3.组和模型:
化学工程系
化学工程系
采用阶跃示踪
2 Pe2
(1 ePe )
ˆ 1
对于开闭（闭开）边界：
2
2
1 Pe
3
1 Pe
2
ˆ=1+ 1
Pe
化学工程系
Pe准数表征了流体的轴向分散程度；
Pe准数越大，轴向返混越小，流体流动 越接近平推流；
Pe准数越小，轴向返混越大，流体流动 越接近全混流；
化学工程系
系数Ez表征该一维返混， Ez恒定；
④管内不存在死区或短路流。
化学工程系
2）轴向扩散模型建立
JA
EZ
dCA dz
设管横截面积为A，在管内轴向位置l 处截取微元长度dl，作
第四章 停留时间分布
第一节 连续流动反应器中物料混合分析 一、混合现象分类
物料在反应器中进行反应必须相互接触混合，反应器中的 物料混合可分为空间概念上的混合和时间概念上的混合。 1. 空间概念混合 空间混合是指各组分之间在分子水平上均匀分布。 2. 时间概念混合 ①同龄混合——物料在反应器中有相同的停留时间。
V0 C (t )dt , 与归一化式 M
0
E (t )dt 1 比较，得
V0 E (t ) C (t ) ( 停留时间分布密度函数公式） M
在实际实验中，脉冲注入示踪剂的量可从实验数据中求得：
M V0 C (t )dt ,
0
停留时间分布密度可写成： E (t ) 因停留时间分布函数为
i
C (t )dt C (t )dt V C (t )dt C (t )dt
t 0 0 0 0 0 0
V0 C (t )dt
t
t
停留时间分布密度：
停留时间分布函数：
F (ti )
C (t )t C (t )t
i 1 i i 1 i
t
i
i
三、停留时间分布的数字特征
V0C (t ) V0C (t ) M V0 C (t )dt
0
C (t )
0
C (t )dt
V0C (t ) F (t ) E (t )dt; 另外， E (t ) 0 M
t
V0 F (t ) M
实验离散型数据表示
停留时间分布的实验报告
一、实验目的1. 理解停留时间分布的概念和意义；2. 掌握脉冲示踪法测定停留时间分布的方法；3. 分析不同反应器类型下的停留时间分布特点；4. 学会运用停留时间分布数据对反应器进行设计和优化。
二、实验原理停留时间分布（Residence Time Distribution，RTD）是指在一定时间内，反应器内物料停留时间与物料量的关系。
它反映了反应器内物料流动的均匀性和返混程度。
停留时间分布可以通过脉冲示踪法进行测定，即向反应器入口加入一定量的示踪剂，测量示踪剂在出口处的浓度随时间的变化，从而得到停留时间分布。
三、实验材料与设备1. 实验材料：示踪剂、反应器（管式、釜式、活塞管式、全混流反应器）、反应物；2. 实验设备：脉冲示踪仪、色谱仪、数据采集系统、流量计、计时器等。
四、实验步骤1. 实验前准备：将反应器清洗干净，并检查其密封性；准备好示踪剂、反应物等实验材料。
2. 反应器预热：开启反应器，通入反应物，预热至实验所需温度。
3. 脉冲示踪：使用脉冲示踪仪向反应器入口加入一定量的示踪剂，记录示踪剂加入时间。
4. 示踪剂浓度测量：使用色谱仪检测反应器出口处的示踪剂浓度，记录数据。
5. 数据处理：利用数据采集系统对示踪剂浓度随时间的变化数据进行处理，得到停留时间分布曲线。
6. 分析比较：分析不同反应器类型下的停留时间分布特点，如均相反应器、非均相反应器等。
五、实验结果与分析1. 停留时间分布曲线：实验得到了不同反应器类型下的停留时间分布曲线，如图1所示。
图1 不同反应器类型下的停留时间分布曲线2. 停留时间分布特点分析：（1）管式反应器：停留时间分布曲线呈现单峰分布，表明物料在反应器内流动较为均匀。
（2）釜式反应器：停留时间分布曲线呈现双峰分布，表明物料在反应器内存在返混现象。
（3）活塞管式反应器：停留时间分布曲线呈现多峰分布，表明物料在反应器内流动复杂，存在多个停留时间区间。
（4）全混流反应器：停留时间分布曲线呈现平坦分布，表明物料在反应器内流动均匀，无返混现象。
停留时间分布的测定方法
停留时间分布的测定方法
停留时间分布的测定方法指的是通过实验或模拟等手段，获取某一系统中粒子(分子、离子等)停留时间的概率分布。
常用的测定方法包括：单粒子追踪技术、分子束法、瞬态反应技术等。
其中，单粒子追踪技术主要通过显微镜观察单个粒子在系统中的运动轨迹，然后对其停留时间进行统计和分析；分子束法则是利用高速分子束与靶物质碰撞时的反应特性，推导出停留时间分布；瞬态反应技术则是通过对系统进行脉冲或阶跃性质的扰动，观察其瞬态反应过程来测定停留时间分布。
这些方法在化学、物理、生物等领域中得到广泛应用，对于研究物质在不同条件下的运动规律和反应机制具有重要意义。
- 1 -。
停留时间分布函数
停留时间分布函数停留时间分布函数，也称为停留时间分布，是指统计单位时间内一个个体（或一个事件）在某一地点停留的时长的概率分布。
在城市交通、通信网络、社交网络等领域中，停留时间分布函数扮演着重要角色，能够帮助我们了解停留行为和移动模式的规律，对于城市规划、网络优化、广告投放等具有重要指导意义。
停留时间分布函数可以通过以下两种方法进行建模：基于统计分析的方法和基于机理模型的方法。
Ⅰ. 基于统计分析的方法1. 数据预处理：首先，需要获取停留时间的原始数据，并进行预处理，包括数据清洗、去噪和异常值处理等。
常用的方法有均值滤波、中值滤波和高斯滤波等。
2. 统计描述分析方法：可以使用统计分析的方法，例如直方图和箱线图等，对数据进行统计描述，从而获得一些直观的信息，如均值、方差、分位数等。
3. 分布函数拟合方法：在确定好数据的概率分布类型后，可以采用参数估计的方法，对停留时间数据进行分布函数拟合。
常见的概率分布类型包括指数分布、正态分布、对数正态分布、伽马分布等。
4. 模型评估方法：对于拟合得到的分布函数模型，需要进行模型评估，确定其是否能够准确描述停留时间的分布规律。
常用的评估指标有K-S检验、AIC准则和BIC准则等。
Ⅱ. 基于机理模型的方法1. 根据停留原因进行建模：根据停留的原因和背后的机理，设计停留时间分布函数模型。
例如，在城市交通领域中，可以根据不同交通方式和交通条件，建立具有机理解释的停留时间模型。
2. 行为建模方法：以个体行为为基础，考虑个体在不同空间和时间下的出行决策、交通模式选择等因素，建立停留时间分布函数模型。
常见的行为建模方法包括行为链模型、行为序贯模型、博弈论模型等。
3. 仿真模拟方法：基于仿真模拟的方法，建立停留时间分布函数模型。
通过模拟个体的行为，对停留时间进行模拟和分析。
常用的仿真方法有基于代理人的模拟、基于细胞自动机的模拟等。
总结起来，停留时间分布函数的建模可以采用基于统计分析的方法和基于机理模型的方法。
停留时间分布实验报告
一、实验目的1. 理解停留时间分布的概念及其在反应器设计、操作和优化中的重要性。
2. 掌握脉冲示踪法测定停留时间分布的方法。
3. 学会分析停留时间分布函数和分布密度函数，并计算其数学特征。
二、实验原理停留时间分布是指物料在反应器内停留时间的概率分布，可用分布函数F(t)和分布密度函数E(t)来描述。
F(t)表示从反应器入口到出口所需时间小于或等于t的物料占总物料的比例，而E(t)表示在时间t内流出的物料占全部流物的比例。
实验中，我们采用脉冲示踪法测定停留时间分布。
该方法通过向反应器内注入一定量的示踪剂，记录示踪剂浓度随时间的变化，从而获得物料在反应器内的停留时间分布。
三、实验设备与材料1. 反应器：管式反应器、釜式反应器2. 示踪剂：荧光素钠3. 测量仪器：紫外-可见分光光度计、蠕动泵、计时器4. 试剂：NaOH溶液、蒸馏水四、实验步骤1. 将荧光素钠溶解于蒸馏水中，配制成一定浓度的示踪剂溶液。
2. 将示踪剂溶液注入反应器入口，开启反应器，记录示踪剂浓度随时间的变化。
3. 利用紫外-可见分光光度计测定示踪剂浓度，计算不同时间点的浓度值。
4. 绘制示踪剂浓度随时间变化的曲线，分析停留时间分布。
五、实验结果与分析1. 分布函数F(t)：根据实验数据，绘制F(t)曲线。
从曲线可以看出，管式反应器的F(t)曲线呈单峰分布，釜式反应器的F(t)曲线呈双峰分布。
这表明管式反应器内物料停留时间分布较为均匀，而釜式反应器内物料停留时间分布存在较大的差异。
2. 分布密度函数E(t)：根据实验数据，绘制E(t)曲线。
从曲线可以看出，管式反应器的E(t)曲线呈单峰分布，釜式反应器的E(t)曲线呈双峰分布。
这进一步证实了管式反应器内物料停留时间分布较为均匀，而釜式反应器内物料停留时间分布存在较大的差异。
3. 数学特征：计算平均停留时间、方差等数学特征。
管式反应器的平均停留时间较短，方差较小；釜式反应器的平均停留时间较长，方差较大。
停留时间分布与流动模型分析
停留时间分布与流动模型分析摘要：停留时间分布和流动模型是交通流理论中的重要研究课题。
本文主要从停留时间分布和流动模型的概念、影响因素、应用以及未来研究方向等方面进行分析和探讨。
一、停留时间分布概述停留时间是指车辆在某一地点停留的时间长度，停留时间分布则是对车辆停留时间进行统计和描述的分布函数。
停留时间分布的研究对于交通规划和交通管理具有重要意义。
停留时间分布通常呈现出长尾分布的特点，即大多数车辆停留时间较短，而少数车辆具有较长的停留时间。
二、停留时间分布的影响因素1. 地点：不同地点的停留时间分布存在差异，主要因素包括地点的类型、功能、繁忙程度等。
2. 车辆特征：不同类型的车辆、不同的司机行为以及不同的出行目的都会对停留时间分布产生影响。
3. 外界因素：如交通状态、停车设施的供需关系、交通流量等都会对停留时间分布产生影响。
三、停留时间分布的应用1. 交通规划：通过对停留时间分布的研究可以了解不同地点的出行需求和停留行为，从而指导交通规划和交通设施的布局。
2. 交通管理：通过对停留时间分布的研究可以优化交通信号配时、调整道路限制措施等，从而提高道路通行能力和交通效率。
四、流动模型概述流动模型是对交通流动过程进行描述和分析的数学模型。
通过对流动模型的研究可以预测交通流量、交通拥堵现象以及交通干扰等情况。
五、流动模型的分类1. 宏观流动模型：主要通过对流量密度、平均速度等宏观指标进行建模和分析，常用的宏观流动模型包括Greenshields模型、Underwood模型等。
2. 微观流动模型：主要通过对车辆的运行过程进行建模和分析，在微观层面上研究车辆之间的相互作用，常用的微观流动模型包括Cellular Automaton模型、Car-Following模型等。
六、流动模型的应用1. 网络模拟：通过对流动模型进行网络模拟可以分析交通网络的拥堵情况、瓶颈位置以及交通干扰对整个网络的影响。
2. 交通控制：通过对流动模型的研究可以优化交通信号配时，提高交通网络的通行能力和交通效率。
停留时间分布与反应器的流动模型
停留时间分布与反应器的流动模型停留时间（residence time）是指流体在反应器中停留的平均时间，通常用时间单位表示。
它在反应器设计和操作中起着重要的作用，对反应器性能和产品质量有着直接影响。
此外，停留时间分布（residence time distribution）还可以用来描述流体在反应器中停留时间的分布情况。
停留时间分布与反应器的流动模型密切相关。
在反应器中，流体的流动通常遵循不同的模型，如完全混合模型、分层模型、或完全不混合模型等。
不同的流动模型会导致不同的停留时间分布。
完全混合模型是指在整个反应器内部，流体以均匀的速度混合和流动。
这意味着反应器内的任何一点，流体的特性都是相同的。
在完全混合模型中，停留时间分布是均匀的，即流体停留的时间是相等的，没有明显的梯度。
这种模型通常适用于小规模反应器或具有高速搅拌的大规模反应器。
分层模型是指在反应器中，流体分为不同的层次流动，形成不同的流速和混合程度。
在这种模型中，停留时间分布是不均匀的，不同位置的流体停留的时间不同。
通常，在底部和顶部的流体停留时间较长，而在中间位置的流体停留时间较短。
这种模型适用于某些特定的反应器类型，如换热塔或蓄能反应器。
完全不混合模型是指反应器中流体不进行混合，而是呈现分层的状态。
在这种模型中，停留时间分布是非常不均匀的，不同位置的流体停留时间差异非常大。
这种模型通常适用于某些特殊的反应器，如上升气流床反应器或固定床反应器。
为了更好地理解停留时间分布和反应器的流动模型，研究者通常使用流体动力学实验和数值模拟方法。
通过实验，可以测量反应器中不同位置的流体停留时间，进而推导出停留时间分布。
而数值模拟可以通过求解反应器内的流体运动方程，得到停留时间分布和流速分布等参数。
停留时间分布与反应器的流动模型对反应器的设计和运行具有重要意义。
在反应器设计中，需要选择合适的流动模型和控制参数，以满足反应物转化率和产品选择性的要求。
在反应器操作中，需要实时监测和控制停留时间分布，以确保反应器的稳定性和效率。
停留时间分布的测定方法
停留时间分布的测定方法
停留时间分布是指在一个系统中，粒子或物质停留在该系统中的时间分布情况。
该分布的测定方法可以通过不同的技术手段来实现。
一种常用的方法是通过测量粒子通过系统的速度和系统尺寸来
计算停留时间。
这种方法需要准确测量粒子的速度和系统尺寸，因此需要使用精密的仪器和技术。
另一种方法是通过追踪单个粒子在系统中的运动轨迹来测量停
留时间。
该方法需要使用高分辨率的成像技术和跟踪算法来实现。
还有一种方法是通过系统的响应函数来计算停留时间分布。
响应函数是指系统对于输入信号的响应，可以通过系统的动态响应进行测量。
这种方法需要对系统的动态性能有深入的理解和分析。
以上三种方法可以单独使用或者结合使用来实现停留时间分布
的测量。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的方法，并进行系统优化和校准，以提高测量精度和可靠性。
- 1 -。
停留时间分布.
E(θ) 1.0
化学工程系
N=5 N=1
N=2
N=10
1.0
1.0
θ
F(θ)
N=1 N=2
N=5
N=∞
1.0
θ
化学工程系
多釜串联模型特征值及模型参数
① 无因次平均停留时间：
ˆ
E( )d
(N )N
eN d (N )
0
0 N 1!N
(N 1) N ! 1 N! N!
F (t) CA CA0
F (t ) 1 et /tˆ
E (t ) 1 et /tˆ t
化学工程系
若用无因次量表示：
F F t
1 et/tˆ
1 e
E tˆE t
e
2 t
tˆ2
2
tˆ2
/
tˆ2
1
停留时间小于 平均停留时间 的粒子所占分 率为63.2%
实际流动的反应器(V )，V=NVi； 根据停留时间分布确定釜数（参数）N； 利用理想反应器设计方程计算转化率。 采用脉冲示踪：
假设：
①每一釜为全混釜，且 tˆi tˆ / N
②釜间无任何返混，且忽略流体流过连接管 线所需的时间。
化学工程系
流入量 -流出量＝ 累积量
0 v0C1
物料衡算。
uAC
C Ez A l
C uA(C dl)
l
C
Ez A l (C + l dl)
dl
化学工程系
C
2C C
t = Ez l2 - u l
将方程无因次化：
数学归纳 停留时间 分布
数学归纳停留时间分布停留时间是指一个系统或者一个过程中，某个状态或者事件持续存在的时间。
在数学中，我们经常使用归纳法来研究停留时间的分布。
停留时间分布描述了一个系统中不同状态或事件持续存在的概率分布情况。
在数学归纳法中，我们首先需要定义一个基础情况。
这个基础情况就是停留时间为0的情况。
在很多实际问题中，停留时间为0的情况可能并不常见，但是为了方便分析，我们可以假设基础情况的概率为非零值。
接下来，我们需要假设一个归纳假设，即假设对于某个正整数n，停留时间小于等于n的情况的概率已知。
然后我们需要证明，对于n+1的情况，停留时间小于等于n+1的概率也是已知的。
为了证明这个归纳假设，我们可以使用概率论中的条件概率来进行推导。
假设停留时间小于等于n的事件为An，停留时间小于等于n+1的事件为Bn+1。
我们可以根据条件概率的定义得到：P(Bn+1) = P(Bn+1 | An)P(An) + P(Bn+1 | An')P(An')其中，An'表示停留时间大于n的情况。
根据归纳假设，我们已知P(An)，并且我们可以通过实验或者统计数据来估计P(Bn+1 | An)和P(Bn+1 | An')。
通过计算，我们可以得到停留时间小于等于n+1的概率P(Bn+1)。
通过不断迭代这个过程，我们可以得到停留时间的完整分布情况。
在实际问题中，我们可能需要进行更多的假设和推导，但是这个基本思路是通用的。
停留时间分布在很多领域中都有应用。
例如，在通信网络中，我们可以使用停留时间分布来描述数据包在网络节点中的停留时间。
在金融领域，停留时间分布可以用来描述股票价格在某个水平上停留的时间长度。
在生物学中，停留时间分布可以用来描述分子在细胞中的停留时间。
停留时间分布的研究可以帮助我们更好地理解系统的行为和特性。
通过对停留时间分布的分析，我们可以预测和优化系统的性能，提高系统的效率和可靠性。
停留时间分布是数学归纳法中一个重要的概念。
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t t
全混流模型
使用阶跃法建立全混流的流动模型，如果所示，将全釜作为 控制体，对示踪剂作物料衡算，有：
流入的摩尔流率=流出的摩尔流率+积累的摩尔流率
q v c0dt q v ct dt VR dc(t)
积分上式，得：
两边同除VRc0dt
qv q v c(t ) dc(t ) vR V R c0 c0 dt C t 由F(t)定义知： F t 所以 C0
t
tm
d. 晚出峰
t
tm
e. 出双峰
t
（有死区）
（示踪剂被吸附） （平行流股）
停留时间分布函数的数字特征
⑴ 数学期望 (平均停留时间)
定义：
0
tE(t)dt tE(t)dt 0 E(t)dt 0 因次：[时间]
E (t )
面积重心
t
其物理意义： 为E(t)曲线的分布中心，即E ~ t曲线所围面积的重 心在t坐标轴上的投影；数学上称： E(t)曲线对于坐标原点的一
示踪剂脉冲注入
示踪剂检测 系统
主流体 V0 c0(t)
δ(t)
c(t)
激励曲线
O
响应曲线
0
t =0
输入
t
输出
t
3. 由响应曲线计算停留时间分布曲线
出口处，停留时间在t ～ t+dt间的量： qvc(t)dt 入口处，t=0时刻 注入的量：m
由E(t)的定义：
q v c(t)dt E t dt m
则：
c(t) F(t) c0
——由阶跃法直接求得的是停留时间分布函数 F(t)
理想连续流动反应器的停留时间分布 活塞流模型
E(t) 面积＝1 宽度＝0 F(t) 1
t
停留时间分布密度函数E(t)
t
t
停留时间分布函数F(t)
t
0 E(t)
t t
0 F(t) 1
返混会造成：浓度分布和停留时间分布
停留时间分布密度函数
E(t)dt 定义为在t=0时刻进入反应器的流体微元， 在t至(t+dt)时间段内离开反应器的物料占总物料 的分率
E(t)由阴影面积表示
Βιβλιοθήκη 0E ( t )dt 1
停留时间分布
F(t) 函数定义为停留时间0-t 范围内的物料 （停留时间小于t的质点）占进料的分率。
对比时间（无因次时间）：
用θ 表示的方差为:
/
2 2 t
t
2
活塞流 严格划一的停留时间 全混流
2 t
0
2 2
2
0
t E(t)dt- 0 t
2
2
非理想流动
0 1
2
2 2 2 2 2 1
根据停留时间分布曲线的形状可以判断反应器中的流动状况 是接近于全混流反应器，还是接近于活塞流反应器。
此外，停留时间分布曲线还可用于诊断反应器中是否存在不 良流动。下图为接近活塞流反应器的几种停留时间分布曲线。
E(θ) E(θ) E(θ) E(θ) E(θ)
tm
a. 正常出峰
t
tm
b. 早出峰
t
tm
c. 出多峰 （内循环）
即：
q v c(t) E(t) m
4、 示踪剂加入量m的计算
m q vc(t)dt
0
qv为常数
所以
m q v c(t)dt
0
整理得：
E(t)
c(t)
0
c(t)dt
—由脉冲法直接测得的是停留时间分布密度函数E(t)
停留时间分布的实验测定
—— 阶跃示踪法
1. 操作：输入采用切换的方法
1
F ( ) 1
0, F (t ) 0
, F (t ) 1
F (t )
dF (t ) t E (t ) dt
t1
t
t
F(t)由纵坐标表示
dF ( t ) E (t) dt
F ( t ) E ( t )dt
0
4.2停留时间分布的实验测定
停留时间分布的测定一般采用示踪技术，示踪剂选用易检测其 浓度的物质，根据其光学、电学、化学及放射等特性，采用比 色、电导、放射检测等测定浓度。 选择示踪剂要求：
2 t
(t ) E(t)dt
2
0
E(t)dt
0
2 2 t E(t)dt ( ) (t ) E(t)dt 0
2
因次：[时间]2
2 t t2
E ( t )t t E (t )t -
2 2 t
2
2 方差 物理意义： t 反映停留时间分布的离散程度:
兰州理工大学 报告人：朱孔磊
停留时间分布的描述
活塞流和全混流是返混为零和返混为无穷 大的两种理想极端情况。
短路
u
沟 流 回 流
速度分布
死 角
偏离理想流动模式，反应结果与理想 反应器的计算值具有较大的差异。
返混：反应器中具有不同停留时间
的物料之间的混合。 停留时间：反应物料从反应器入口 到出口所经历的时间
次矩(t-0)
t E ( t ) t E ( t ) t
⑵ 方差
2 各个物料质点停留时间与平均停时间 差
的平方的加权平均值。 方差用来表示随机变量的分散程度，是描述停留时间分布的重 要参量。在数学上它表示E(t)曲线对于平均停留时间的二次 2 矩 ：
(t )
0
含示踪剂流体V ↓ 主流体V c0(t) c0 升阶法 t =0 (a) t 系统 V 检测示踪剂
c(t) c0
0 (b)
t
2. 阶跃输入的数学描述以及F(t)的计算
•输入函数：c0 (t) = 0
c0 = 常数 t＜ 0 t≥0
•t时刻，出料的示踪剂的量： qvc(t), 其停留时间小于t
0时刻，加入的的示踪剂的量：qvc0
2
1
2 dt e
-t
1) 与主流体物性相近，互溶，且与主流体不发生化学反应；
2) 高低浓度均易检测，以减少示踪剂的用量； 3) 示踪剂的加入不影响主流体的流动形态； 4)示踪剂应选择无毒、不燃、无腐蚀且价格较低的物质。
停留时间分布的实验测定
—— 脉冲示踪法
1、操作：定常态下，在t=0, 加入示踪剂，同时在出口 处检测示踪剂的浓度。 2、进、出口示踪物浓度随时间的变化
VR (τ ) qv
qv dF (t ) 1 [1 F (t )] [1 F (t )] dt vR t t dF(t) 1 τ E t e F(t ) 1 e dt τ
全混流的E(t)和F(t)图示
全混反应器的 E(t)、F(t)图
停留时间分布曲线的应用
，停留时间分布就越宽；
，停留时间分布越集中
小
2
2 0
C
E (t)
2大
A
B
0
A
B
C
不同方差的E(t)曲线
• 若采用无因次时间 ，则
E d
0
t
0
E t d
t
1
0
tE t dt
t
无因次方差
2
为：
E( ) 2 2 2 2 0 (t ) E(t)dt 0 1 d t 2 2 0 ( 1) E( )dt 2 2