矩阵的秩及其求法求秩的技巧

第五节：矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念
1. ｋ 阶子式
定义1 设 在A 中任取k 行ｋ 列交叉处元素按原相对位置组成的 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。

例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而 为 A 的一个三阶子式。

显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

２. 矩阵的秩
定义2 设 有r 阶子式不为0，任何ｒ+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称ｒ为矩阵Ａ的秩,记作R (Ａ）或秩(A )。

规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0,且更高阶子式均为 0,r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .
（2) 有行列式的性质, （3) R(Ａ) ≤m , R (A ) ≤n ， ０ ≤R (A ） ≤min { m , n } ．
(4) 如果 An ×ｎ , 且 则 R
( A ） = n .反之，如 R ( Ａ ) = n ,则
因此,方阵 Ａ 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n ．
二、矩阵秩的求法
1、子式判别法（定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵,求Ｒ（B ）。

解 由于 存在一个二阶子式不为0,而任何三阶子式全为0,则 Ｒ(B ) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如
()
n m ij a A ⨯={}),m in 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643
213-=D n m ⨯k n k m c c ()
n m ij a A ⨯=0,
r D ≠()().
T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2
R D =()3R E =
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。

例2 设 如果 求 a ． 解
或 例3 则
２、用初等变换法求矩阵的秩
定理２ 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即 则 注: 只改变子行列式的符号。

是 A 中对应子式的 k 倍。

是行列式运算的性质。

求矩阵A 的秩方法:
1)利用初等行变换化矩阵Ａ为阶梯形矩阵B
2)数阶梯形矩阵Ｂ非零行的行数即为矩阵A 的秩。

例4
求
解 R(A ) = 2
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a a A 111111(),3<A R ()3<A R a
a a A 11111
1=0
)1)(2(2=-+=a a 1=∴a 2
-=a ⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛
=K K K K A 111111111111()3=A R =K 3-()31111
1113(
1)(3)
111111K A K K K K K
=+=-+B A →)
()(B R A R =j i r r ↔.1i r k .2j i kr r +.3⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----=211163124201A ().
A R −−→−-1
22r r A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----211021104201⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--→000
0211
04201
例５
三、满秩矩阵
定义3 A 为 n 阶方阵时,
称 Ａ 是满秩阵，(非奇异矩阵） 称 A 是降秩阵,（奇异矩阵） 可见: 对于满秩方阵Ａ施行初等行变换可以化为单位阵E , 又根据初等阵的作用：每对Ａ施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A,
由此得到下面的定理． 定理３ 设A 是满秩方阵,则存在初等方阵 使得
对于满秩矩阵A,它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
例如
A 为满秩方阵。

关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5 R (AB ） R (A )， Ｒ（ＡＢ) R （B ）, 即Ｒ(AB ） ｍi ｎ｛Ｒ(Ａ),R (B ）}
设A 是 矩阵，B 是
矩阵, 性质1 性质2 如果 A B = 0 则 性质3 如果 R (A ）= n, 如果 A Ｂ = 0 则 Ｂ = 0。

性质4 设A ，B 均为 矩阵，则 例8 设A 为n 阶矩阵,证明Ｒ（Ａ＋E)+R(A-E ）≥ｎ
证： ∵ (A ＋E ）+(E-A)=2E μλμλ,2,6352132111，求）（且设=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A R A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6352132111μλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→458044302111μλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-→015044302111μλλ,2)(=A R 1,5==∴μλ01,05=-=-∴μλ(),
n A R =(),
n A R <()0
≠⇔=A n A R .,,,21s P P P E A P P P P s s =-121, ()E A n A R ~= ()n E A n A R ~⇔=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→320430321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→320110001E
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→100010001()3=∴A R ≤≤≤
n m ⨯t n ⨯).
()()(AB R n B R A R ≤-+.
)()(n B R A R ≤+n m ⨯).
()()(B R A R B A R +≤±
∴ R(A＋E）+ R( E－A ）≥R（2E）=n 而R（ E－A ）=R（Ａ-E )
∴ R（A+E）+R（A-Ｅ)≥ｎ。