专题(四) 一元二次方程的实际应用——平均变化率与利润问题
13.解一元二次方程的实际应用——利润问题
采青 春 风
高考总分： 692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分 毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院
北京市文科状元
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。‚何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。‛ 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 ‚她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。‛吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。‚她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
设降价x元 单利润 原来
现在 40
日利润＝单件利润×销售数量
件数
20
总利润
800
40－x
20＋2x
1200
则(40－x)(20＋2x)＝1200
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销 售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，衬衫 的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要 盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？ 解：设降价x元， 则(40－x)(20＋2x)＝1200
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
人教版初中数学九上第二十一章 一元二次方程 实际问题与一元二次方程 第2课时 平均变化率与利润问题
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先 锋 图 书 基础题组 中档题组 综合运用
9．某市蔬菜批发市场2月大蒜价格猛涨，原价为4元/kg的大蒜，经过2月和3月连 续两个月增长后，价格较高．物价部门紧急协调以控制价格，4月大蒜价格下降 了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月、3月的平均增长率为 25% ．
解得x1＝5，x2＝10． ∵要尽快减少库存，∴x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6 000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5
元．
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先 锋 图 书 基础题组 中档题组 综合运用
12．某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽 调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生 产．第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）对比第一年的利润率增 长了8%．若第二年的利润为112万元，则第一年的利润率为 12% ． 解析：设第一年的利润率为x，则第一年的利润为500x万元，第二年的投入资金 为（500＋500x）万元，第二年的利润率为x＋8%．根据题意，得（500＋500x） （x＋8%）＝112，解得x1＝－1．2（不合题意，舍去），x2＝0．12＝12%，∴第 一年的利润率为万元，6月份盈利达到24．2万元，且从4月份到6
月份，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计7月份这家商场盈利多少元．
解：（1）设每月盈利的平均增长率为x．
根据题意，得20（1＋x）2＝24．2，
2.5一元二次方程的应用 第1课时平均变化率问题与利润问题
课程讲授
1 平均变化率问题
解 设甲种药品成本的年平均下降率为x.则一年后甲种药品
成本为5000（1-x），两年后甲种药品成本为5000（1-x）2， 根据题意，列方程，得
5000（1-x）2=3000 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 答 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率 约为22.5％.
第2章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用
第1课时 平均变化率问题与利润问题
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.平均变化率问题 2.利润问题
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律。
每次变化都是由一个箭 头变化出3个箭头
课程讲授
1 平均变化率问题
问题1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产 1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步， 现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药 品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
课程讲授
1 平均变化率问题
平均变化率（或降低率）问题： 平均变化率的问题在实际生活中普遍存在,有一定
的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低) 前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关 系可表示为_____a_(1_±__x_)_n_=_b___(其中增长取“+”,降低 取“－”).
3.政府近几年下大力气降低药品价格，希望使广大人民群 众看得起病吃得起药.某种针剂的单价由100元经过两次降
价，降至64元，则平均每次降低的百分率是( C )
A.36% B.64%报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分 有限，2017年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了. 假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的
2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用第1课时平均变化率与利润问题教案
17.5一元二次方程的应用第1课时平均变化率与利润问题【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解决有关面积问题和增长率问题.【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识.【情感态度】进一步使学生深刻体会转化及设未知数列方程的思想方法.【教学重点】学会用列方程的方法解决有关增长率问题.【教学难点】有关增长率之间的数量关系．下列词语的异同：增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了.一、创设情境，导入新课1.如图，长方形的长为20m，宽为15m，面积为多少？如果在其中修一条宽2m的小路，剩下的面积是多少？如果小路的宽是xm，那么剩下的面积是多少？2.某工厂一月份的产值是100万元，二月份比一月份增长10％，那么二月份的产值是多少？如果三月份保持这个增长率，那么三月份的产值是多少？如果增长率为x，那么，二月份的产值和三月份的产值分别是多少？【教学说明】通过两个问题，使学生对面积问题和增长率问题有一个初步的认识，为后面的探究做好准备.二、示例讲解，合作探究1.前面我们研究了17.1节的问题2，请同学们思考，若果设小路的宽为xm，还可以怎样列方程？【分析】通过平移，剩下的图形是一个长方形，长是（32-2x）m，宽是（20-x）m，则可列方程：（32-2x）（20-x）=5702.小结：修筑小路的图形问题，可以通过平移构建新的长方形来列方程.【教学说明】学生可能会用总面积去减小路的面积，这样重叠部分的面积就容易忽略，教师引导学生进行平移，构成新的长方形，重点观察怎样平移，平移后的长方形的长和宽分别是多少，然后列出方程.最后教师进行总结，形成方法.3.请同学们思考下列问题，发现规律.例1 原来每盒27元的一种药品，经过两次降价后每盒售价为9元，求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1％）【分析】如果设两次降价的平均降价率是x，那么第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，由“两次降价后每盒售价为9元”可列方程为 .请同学们列出方程，求解.4.小结：（1）方程求得的解有两个，要根据实际情况舍去不符合实际情况的解；（2）若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“－”【教学说明】这是一个增长率的问题，关键是让学生明白谁是单位“1”，两次的单位“1”是不同的，可以引导学生逐步列出相应的式子，最后再列出方程.教师在学生解答后及时进行总结，让学生掌握解决此类问题的一般方法.5.请同学们思考下列问题，思考列一元二次方程解应用题的一般步骤.例2 一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000kg，出油率为50％（即每100kg生可加工出花生油50kg).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的50%.求新品种花生产量的增长率.【分析】如果设新品花生产量增长率为x，那么花生出油率的增长率是，花生原来每公顷产量为3000kg，那么新品种花生每公顷的产量为，原来的出油率为50％，则现在的出油率为，那么现在每公顷可产花生油用含有x的式子表示为，根据“现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油1980kg”可以列方程 .请同学们列出方程求解.6.小结：（1）求得的两个解要根据实际情况舍去不符合实际的解（2）花生油产量=花生产量×出油率7.列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）根据题意，设出适当的未知数（2）根据数量关系，用含未知数的式子表示相关的数量（3）根据相等关系列出方程（4）解出方程，根据实际情况舍去不符合实际的解（5）作答【教学说明】例2的讲解设计到两个“率”的理解，一个是增长率，一个是出油率，学生理解起来有一定的困难，教师要将问题进行分解，让学生明确计算的方法.最后教师引导学生总结列一元二次方程解应用题的一般步骤，给学生提供解题的思路和方法三、练习反馈，巩固提高1.某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为 kg，第三年的产量为 kg，三年总产量为 kg.2.某糖厂2012年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2014年的产量将是 .3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后， 2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是 .4.某电脑公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.【答案】二、1.6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）22.a（1+x）2t100a3.394. 解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950,整理，得：x2+3x-1.75=0,解得：x=50%,答：所求的增长率为50%.【教学说明】第1、2题是对增长率公式的直接应用，第3、4题是需要列方程求解，让学生在练习中得到巩固和提高.四、师生互动，课堂小结1.修筑小路的图形问题，可以通过平移构建新的长方形来列方程.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=A，其中增长取“+”,降低取“－”2.在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题.3.我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率.3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程.【教学说明】通过总结，让学生进一步掌握两类问题的特征和一般解题思路，形成一定的方法，教师在对教学中容易出现的问题进行强调和总结.完成同步练习册中本课时的练习.利用一元二次方程解应用题是数学教学中的一个重点，而对于学生来说却是学习的一个难点.学生分析问题、寻找数量关系的能力较差，在学习一元二次方程的应用的这节课中，应该始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中，却不能很好地掌握这一要领，会经常出现一些意想不到的错误.如数量之间的相等关系找得不清；列方程忽视了解设的步骤等.对于增长率问题中的单位“1”的理解不够透彻.需要通过进一步的训练，以加深学生的理解.。
4.27 8.6一元二次方程的应用利润问题
一元二次方程的应用——(利润问题)
公式: 利润=销售价-进价 利润=利润率x进价 利润率=销售价-进价 ×100% 进价
1件利润=1件售价-1件进价
总利润=1件利润×件数
某商人将进价为每件8元的某种商品按每 件10元出售，则1件利润是 ;若每天可 销出100件,则一天的总利润是 ．
某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每 件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计 划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
解: 设每件商品的售价应为 x元,根据题意,得
(x 21)(35010x) 400.
整理得 : x2 56 x 775 0. 解这个方程 ,得
x1 25, x2 31.
x 31 21 1 20% 25.2, x 31不合题意,舍去.
答: 每件商品的售价应为25元，要卖出100件。
(2900 x 2500)(8 4 x ) 5000.
整理得
:
x2
300x
50 22500
0.
解这个方程, 得 x1 x2 150.
2900 x 2900 150 2750.
答 : 每台冰箱的定价应为2750元.
练习1、 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈 利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如 果每天盈利1600元,应降价多少元?
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600 分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4___x_) 元,每天 能售出(_2_0__5_x_)件.
解: 设每件服装应降价 x元,根据题意,得 (44 x)(20 5x) 1600.
整理得 : x2 40 x 144 0.
解这个方程 ,得 x1 36, x2 4.
一元二次方程实际应用之利润问题PPT讲稿
x1 25, x2 31.
x 31 21 1 20% 25.2, x 31不合题意,舍去.
答 : 每件商品的售价应为25元，要卖出100件。
• 例3某商店经销一种销售成本为每千克40元的
水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售， 一个月能售出500千克；销售单价每涨1元， 月销售量就减少10千克。针对这种水产品的 销售情况，要使月销售利润达到8000元，销 售单价应定为多少？（月销售利润＝月销售量 ×销售单价－月销售成本．）
∴当 x=15时， y有最大值是1250
答：每件降价15元时， 平均每天盈利最多1250元
3.某个体经营户以2元/kg的价格购进一批西瓜，以3元 /kg的价格出售，每天可卖出200kg，为了促销，该经 营户决定降价销售。经调查发现这种西瓜每降价0.1元 /kg ,每天可多售出40kg（每天房租等费用共计24元）， 该经营户要想赢利200元，应将每千克的西瓜的售价降 低多少元？
例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40
元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价
措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多
售出2件。（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200
元，每件衬衫应降价多少元？（2）每天衬衫降价多少元时，商
场平均每天盈利最多？
分析：这类销售问题，涉及的数量关系比 较多，我们可以通过列表的方式来分析其 中的数量关系．
每天的销 售量（件）
每件衬衫 的盈利 （元）
降价前 降价后
20 20＋2x
40 40－x
总利润 （元）
800 1200
解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题 意，得
2第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题PPT课件(华师大版)
当堂练习
1.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150 元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场 决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每 降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降 价x元(x为整数)．据此规律，请回答： 商场日销售量增加____件，2每x 件商品盈利________元50－x (用含x的代数式表示)； 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多 少元时，商场日盈利可到达2 100元？
解：类似于甲种药品成本年平均降落率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均降落率为 0.225.
两种药品成本的年平均降落率相等，成本降落额较大的产 品，其成本降落率不一定较大．成本降落额表示绝对变化量， 成本降落率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
22.3 实践与探索
第2课时 利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题
学习目标
1.能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；（重点） 2.体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意 识．
导入新课
回顾与思考 问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意 哪些？
每千克核桃应降价多少元？ 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾 客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【解析】 设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件 利润＝2240元列出方程求解即可；
为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单 价即可确定按原售价的几折出售．
解：（1）设每千克核桃应降价x元，根据题意，得
西峰区二中九年级数学上册 第21章《一元二次方程》微专题 一元二次方程的实际应用一—平均变化率，利润
A．3 B．32
C．6 D．不能确定
5．(4 分)(娄底中考)如图，M 为反比例函数 y＝kx 的图象上的一点， MA 垂直 y 轴，垂足为 A，△MAO 的面积为 2，则 k 的值为_4___．
6．(4 分)如图，点 A 是反比例函数 y＝kx 图象上的一点，过点 A 作 AB
⊥x 轴，垂足为 B.点 C 为 y 轴上的一点，连接 AC，BC.若△ABC 的面积为 4，
坐标为(1，6)，把 B(1，6)代入 y＝kx 中，得 k＝1×6＝6，∴反比例函数的表
达式为 y＝6x .
10．已知反比例函数 y＝k－x 3 的图象在第二、四象限内，且反比例函数
y＝2k＋x 4 在当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是( D )
A．k＞－2 C．k＞－2 或 k＜3
A．1
B．－1
C．4
D．－4
3．(4 分)(娄底模拟)若 a－1 ＋|b＋2|＝0，点 M(a，b)是反比例函数图象
上一点，则反比例函数的表达式为( A )
A．y＝－2x
B．y＝－1x
C．y＝1x
D．y＝2x
4．(4 分)如图所示，点 A 在反比例函数 y＝－3x 的图象上，且 AB，AC
分别与 x 轴、y 轴垂直，则矩形 OBAC 的面积为( A )
解：(2)S△OCD＝S△OBE.理由如下：∵点 D，E 在函数的图象上，∴S△OCD ＝S△OAE＝92 .又∵D 为 BC 的中点，∴S△OCD＝S△OBD＝92 ，即 S△OBE＝S 矩形 OABC －S△OCB－S△OAE＝3×6－9－92 ＝92 .∴S△OCD＝S△OBE.
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
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(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至
多少元？
解：设这种水果每斤的售价降价 x 元，则(2－x)(100＋200x) 1 ＝300，即 2x2－3x＋1＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当 x＝1 时，每天的 2 1 销量为 300 斤；当 x＝ 时，每天的销量为 200 斤．为保证每天至 2 1 少售出 260 斤，∴x2＝ 不合题意，舍去．此时每斤的售价为 4－1 2 ＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每 斤的售价降至 3 元
4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每
斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤
的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260 斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 ___________________ 斤(用含x的代数式表示)； (100＋200x)
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予
以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物
业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优
惠？
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，依题意得 5000(1－x)2 19 ＝4050，解得 x1＝10%，x2＝ (不合题意，舍去)，则平均每次下 10 调 的 百 分 率 为 10% (2) 方 案 ① 的 房 款 是 4050×100×0.98 ＝ 396900( 元 ) ， 另外需在两年内付物业管理费 1.5 × 100 × 12 × 2 ＝ 3600(元)；方案②的房款是 4050×100＝405000(元)，故在同等条 件 下 方 案 ① 需 付 款 396900 ＋ 3600 ＝ 400500( 元 ) ． ∵400500 ＜ 405000，∴选方案①更优惠
销商1月至3月共盈利多少元？
解：(1)设月平均增长率为x，由题意得150(1＋x)2＝216，解得x1＝
0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，∴x＝0.2＝20%，即月平均增长率
为20% (2)由(1)得2月份的销售量为150×(1＋20%)＝180，则1月至3
月的销售总量为150＋180＋216＝546(辆)，∴1月至3月共盈利(2800－
2300)×546＝273000(元)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(二)下降率问题 a是基数，b是两次降低后的数量，x为平均下降率，则有a(1－x)2＝
b
2．某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有
关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房
地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开 盘销售．
九年级上册人教版数学
专题(四) 一元二次方程的实际应用——平均变化率与利润问 题
一、平均变化率问题 (一)增长率问题
a是基数，b是两次增长后的数量，x为平均增长率，则有a(1＋x)2＝
b
1．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电
动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3 月销售216辆． (1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经
售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部
售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第
二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
解：由题意得200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－ 200－(200＋50x)]＝1250，整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1， ∴10－x＝9，则第二周的销售价格为9元
二、利润问题
总利润＝单个利润×销售总量
3．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个 10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价 每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销