轨道力学(3)
轨道作业题答案(本科)
第一章 轨道结构1.轨道结构主要包括哪几部分，各有什么作用？答：铁路轨道是由钢轨、轨枕、道床、道岔、联结零件及防爬设备组成。
钢轨用于引导机车车辆行驶，并将所承受的荷载传布于轨枕、道床及路基。
同时，为车轮的滚动提供阻力最小的接触面。
轨枕承受来自钢轨的压力，使之传布于道床。
同时利用扣件有效地保持两股钢轨的相对位置。
道床是轨枕的基础，在其上以规定的间隔布置一定数量的轨枕，用以增加轨道的弹性和纵、横向移动的阻力，并便于排水和校正轨道的平面和纵断面。
道岔是机车车辆从一股轨道转入或越过另一股轨道时必不可少的线路设备。
联结零件是联结钢轨或联结钢轨和轨枕的部件。
前者称接头联结零件，其作用是有效地保证钢轨与钢轨或钢轨与轨枕间的可靠联结，尽可能地保持钢轨的连续性与整体性，后者称中间联结零件(或扣件)，其作用是阻止钢轨相对于轨枕的纵横向移动，确保轨距正常，并在机车车辆的动力作用下，充分发挥缓冲减振性能，延缓线路残余变形的积累。
2.钢轨类型怎样表示，目前我国铁路标准钢轨类型有哪几种?标准长度有几种?各是多少？标准缩短轨有几种、缩短量各是多少?钢轨的类型，以每米长的重量(kg ／m)表示。
目前，我国铁路钢轨类型有75、60、50、43及38kg ／m 等五种。
我国标准钢轨长度为12.5及25m 两种。
以及新近生产的50m 和100m 的标准轨，对于75kg/m 的钢轨只有25m 的一种。
另外，还有用于曲线轨道上比12.5m 标准轨缩短40、80、120㎜和比25m 标准轨缩短40、80、160㎜的六种标准缩短轨。
3. 轨缝预留应满足的条件是什么为适应钢轨热胀冷缩的需要，在钢轨接头处要预留轨缝。
预留轨缝应满足如下的条件：1．当轨温达到当地最高轨温时，轨缝应大于或等于零，使轨端不受挤压力，以防温度压力太大而胀轨跑道；2．当轨温达到当地最低轨温时，轨缝应小于或等于构造轨缝，使接头螺栓不受剪力，以防止接头螺栓拉弯或拉断。
4.乌鲁木齐地区最高气温为39.3℃，最低气温为-30.6℃，若铺设25m 长的60kg/m 钢轨，采用10.9级螺栓，试计算在20℃铺设时的预留轨缝。
轨道结构理论与轨道力学(钢轨))
(2)非金属夹杂物
非金属夹杂物的危害： 夹杂物的硬度不可能与钢材一样，非软即硬。 硬的夹杂物如流水中的石头，在金属发生塑性变 形时会在其周边形成微裂纹。 软的夹杂物如空洞，其周边产生应力集中，也会 出现微裂纹。 夹杂物较多时严重影响钢材的疲劳寿命。
钢中夹杂物分为四类： 氧化物（铁、锰、铝、铬、硅）：氧化亚铁软脆，三 氧化二铝质硬 硫化物：热脆，液态铁中溶解性大，冷却会析于金属 晶粒周边 硅酸盐：质软
合金轨的可焊性问题
钢轨强度等级
80kg / mm2强度等级： U71 、U74普通碳素轨
90kg / mm2强度等级： U71Mn 、U71Cu、 U71MnSi、U71MnSiCu 低合金轨
100kg / m m2强度等级： PD2全长淬火轨、 PD3高碳微钒轨
130kg / mm2强度等级： PD3全长淬火轨
对于锥形踏面，忽略钢轨弯曲，忽略轮轨间的 冲角，简化成为两个垂直圆柱的接触。
1 1 1 B A ( ) 2 Rw Rr
1 1 1 B A ( ) 2 Rr Rw
轮轨接触椭园的长短半轴计算公式为：
3kP a m3 2( B A)
1 2 E
k
3kP bn3 2( B A)
轨高(mm)
比例 底宽(mm) 比例
192
1.26 150 1.14
176
1.16 150 1.14
152
1 132 1
140
0.92 114 0.86
(2)垂向及横向抗弯刚度均有增加， 但垂向抗弯增加更大
型号 垂向
75 4490
60 3217
50 2037
43 1489
铁道工程电子教材-3轨道结构力学分析资料
第一节概述轨道结构力学分析，就是应用力学的基本理论，结合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力和变形分布；对主要部件进行强度检算，以便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态、提高轨道承载能力，最大眼度地发挥既有轨道的潜能，以尽可能少的投入取得尽可能高的效益。
此项工作还可以对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类型及材料提供理论依据。
因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改进轨道结构的理论基础。
随着铁路运输向高速、重载方向的发展，运量大、密度高的状况都将对轮轨运输系统提出更多、更新的要求。
行车速度愈高，安全问题愈突出，要保证高速列车运行平稳、舒适、不颠覆、不说轨。
运载重量愈大，轮轨之间的动力作用越强，对轨道结构的破坏作用也越严重。
因此，进一步深入研究轮轨相互动力作用规律，寻求降低轮轨相互作用的途径，对于保证轨道的强度和稳定，减少维修工作量，延长设备使用寿命都具有十分重要的现实意义。
分析轮轨相互作用的动力响应，首先应建立一个能较真实地反映轨道结构和机车车辆相互作用基本力学特征的模型，模型的选用取决于研究问题的侧重点及分析的目的，抓住主要环节，略去次要因素，既要求计算简单又要求有必要的精度，历来是简化分析模型的一条根本原则。
在研究轨道结构的动力响应时，人们往往以轨道部分为主体，在模型中反映得要详细些，而对机车车辆部分则简化作为一个激扰源向主系统输入，按照激扰输入--传递函数(系统特性)--响应输出的模式来分析轨道系统的振动。
结构物的动力行为根本不同于其静力行为，前考比后者要复杂的多。
由于机车车辆簧上及簧下部分质量的振动而产生的，作用于轨道上的动荷载，其频率较整个轨道，尤其是较钢轨的自振频率低很多，且碎石道床具有很高的阻尼消振作用，故而不能充分激发起轨道的振动，这种动荷载对轨道所产生的作用基本上相当于静荷载，基于这种认识，发展起来的传统的轨道强度计算理论与方法已形成比较成热的体系。
轨道结构理论与轨道力学(传力特性)
(1)因钢轨垂向抗弯梁的分压作用，正常 枕上压力0.4-0.6P，邻枕0.1-0.2P (2)轨下胶垫压应力2-3MPa， 木枕铁垫板压应力1-1.5MPa
4.枕上压力及垫板应力 枕上压力及垫板应力
(3)石碴名义应力计算图示
(4)5-25mm,40度 25-40mm,42度 25-50mm,45度 25-60mm,47度 25-70mm,50度
轨道结构理论与轨道力学
第二章 轨道承力与传力特性
第一节 轨道垂向承力与传力特性
作用在轨道上的垂向力： 作用在轨道上的垂向力： 轮载、 轮载、 轮轨垂向动附加力
(1)静轮载（机车、货车、客车、动车） (3)最大轮载限值40kN, 60kN
(2)动轮载P = (1.5 − 2.0) P0 , (2.5 − 4.0) P0
3.轮轨横向力在轨枕上的分配与传递
H 1设计取值
P
螺栓抗拨力 80 − 100 kN (1.5−2.0)H1
一般为50kN 扣件横向刚度 10 5 − 10 6 kN / mm (0.8−0.9)H1 (0.1−0.2)H1
胶垫剪切刚度 10 3 kN / mm
轨枕挡肩横向力 承载能力25-30kN
H1
l1、µ、W
轮轨横向力的量值： 曲线地段一般30-40kN， 小半径曲线70-80kN。 直线地段一般10-20kN， 特殊情况70-80kN
0.1 − 0.2 H1 0.8 − 0.9 H1 ≤ γ s
EJ H (EJ / 6)
H1
k pH (10 − 100k p )
k sH (k s / 10)
肩部阻力
肩宽cm
46cm
6.道床横向有荷阻力及横向力安全限值
【2019年整理】第3章轨道力学分析
k的引进既是为了方程的解表达式简便，又 有明显的物理意义。它叫作钢轨基础与钢轨的 刚比系数。轨道的所有力学参数及相互间的关 系均反映在k中。任何轨道参数的改变都会影响 k，而k的改变又将影响整个轨道的内力分布和 部件的受力分配，因此k又可称为轨道系统特性 参数。 则方程的通解为： y＝C1ekxcoskx＋C2ekxsinkx ＋C3e-kxcoskx＋C4e-kxsinkx 式中C1～C4为积分常数，由边界条件确定。
计算假设： (1)标准结构
(2)对称结构
假设结构和受力均对称，即假设轨道 刚度均匀且对称于轨道中心，机车车辆不 偏载，从而两股钢轨上的静轮载相等，因 此模型都只取轨道的一半 (3)不考虑轨道结构本身的自重
二、计算参数 1.道床系数C
道床系数是表征道床及路基的弹性特 征，定义为使道床顶面产生单位下沉时所 需施加于道床顶面的单位面积上的压力， 量纲为力/长度3。 2.钢轨支座刚度D 钢轨支座刚度表示钢轨支座下扣件和 枕下基础的等效支承刚度，定义为使钢轨 支座顶面产生单位下沉时，所需施加于支 座顶面的力，其量纲为力/长度。
整理得：
； ；
uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr EI
4
由复变函数理论，此代数方程有四个根，
分别为：
r1
24 u (1 i) 2 EI
r2
24 u (1 i) 2 EI
r3
24 u (1 i) 2 EI
r4
24 u (1 i) 2 EI
令
24 u u 4 k 2 EI 4EI
u D/a
C 、 D 两个参数随轨道类型，路基、道床状 况及环境因素而变化，离散性很大，在进行设计 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。
轨道力学分析
EIy(x)(4) uy(x)
即
y (4)＋ u y＝0
Байду номын сангаас
EI
这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。
➢ 2．边界条件
•
在单个荷载作用下，由于假定钢轨无
限长，总可把荷载作用点看作是对称点，
边界条件为
• ① 在钢轨两端无穷远处位移有界
• ② 在荷载作用点钢轨无转角：dy/dx=0
• ③ 轨下基础反力的总和与钢轨荷载相等
• 枕上压力变化曲线与钢轨位移一样。
• 在荷载作用点，各函数取最大值，分别为：
ymax
P0 k 2u
M max
P0 4k
Rm ax
aP0 k 2
➢ 4．轨道刚度Kt
•
轨道刚度Kt定义为使钢轨产生单位下
沉所需的竖直荷载。在荷载作用点，令钢
轨的位移y＝1cm，则所需荷载即为Kt， 由式（3-19）可得：
轨道力学分析
本章要求： ������ 了解轨道结构力学分析的目的、意义和轨 道结构的受力特点； 掌握轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论及准静态计算方法）以及轨道部件的强度计 算原理。 了解列车脱轨条件； 了解轨道动力学的发展动态。 重点：轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论）
• ������ 难点：轨道强度理论。
上，增加了120km/h<V≤160km/h和
160km/h<V≤200km/h两种情况速度修正系
数。
速度系数
1
2
速度系数
速度范围
牵引种类
电力
内燃
v 120
0.6V/100 0.4V/100
120 v 160
轨道结构理论与轨道力学(扣件)课件
扣件的疲劳性能分析
扣件的疲劳极限
研究扣件在循环载荷作用下的疲 劳极限，以及达到疲劳极限时扣 件的表现。
扣件的疲劳损伤
探讨扣件在疲劳过程中产生的各 种损伤，如裂纹、断裂等现象， 以及这些损伤对扣件性能的影响 。
扣件的寿命预测
根据疲劳试验的结果，预测扣件 在不同工作条件下的寿命，为轨 道结构的维护和更换提供依据。
扣件的创新研究与展望
新型扣件系统的研发
针对不同轨道结构和运营条件，研发新型扣件系统，以满足不断发展的轨道交通需求。
绿色环保设计
加强扣件系统的环保设计，如采用可回收材料和节能技术，降低对环境的影响，同时推 动轨道交通行业的可持续发展。
THANKS
感谢观看
扣件的发展趋势与前沿技术
高性能材料的应用
随着新材料技术的发展，如超高强度钢 材和合成橡胶等，扣件系统的性能得到 了显著提升，能够提供更高的预紧力和 扣压力，同时降低维护成本。
VS
智能化监测技术
通过引入传感器和智能化监测技术，实现 对扣件系统工作状态的实时监测和预警， 及时发现潜在问题，提高轨道工程的安全 性和可靠性。
轨道结构的发展历程与趋势
发展历程
轨道结构的发展经历了木枕、混凝土枕和钢枕等阶段，材料 和技术的不断进步提高了轨道结构的性能和使用寿命。
趋势
未来轨道结构的发展趋势是向着更高效、更安全、更环保的 方向发展，如采用新材料、新工艺，提高线路维护和管理水 平等。
CHAPTER
02
轨道力学基础
轨道力学的基本概念
轨道力学的研究需要综合考虑多种因素，如车辆、路基、桥梁
03
和气候等。
轨道力学的应用领域
01
轨道力学的应用领域包 括铁路、城市轨道交通 、高速公路和桥梁等。
人造卫星的轨道力学计算
人造卫星的轨道力学计算人造卫星是指人类通过科技手段制造并发射到空间中，以执行特定任务的人造物体。
由于人造卫星在空间中的运动非常复杂，因此需要经过精密的轨道力学计算，以确保它们能够按照预期的轨道运动。
本文将介绍人造卫星的轨道力学计算的基本原理和方法。
1. 轨道力学基础知识轨道力学是描述天体运动的力学学科。
根据牛顿运动定律，天体的运动状态受到力的作用，而这里的力包括万有引力和其他力。
在轨道力学中，通常采用开普勒问题(Keppler Problem)来研究天体运动。
开普勒问题是指求解行星绕太阳椭圆轨道的运动方程。
开普勒问题的解决需要使用牛顿万有引力定律和牛顿第二定律。
在开普勒问题中，太阳被认为是静止不动的，而行星则绕太阳做椭圆运动。
2. 人造卫星的轨道类型人造卫星的轨道分为三种：地心轨道、地球同步轨道和近地点轨道。
地心轨道是指卫星绕地球做圆形轨道或椭圆轨道运行。
地心轨道又分为近地轨道、中地轨道和高地轨道三种。
近地轨道高度在1000公里以下，主要用于科学研究、卫星通信、导航、气象预报等方面；中地轨道高度在1000公里到36000公里之间，主要用于地球观测和通信；高地轨道高度在36000公里以上，主要用于通信和广播卫星。
地球同步轨道是指卫星的轨道面与地球的赤道面重合，且卫星的周期和地球自转周期相等。
这种轨道的高度约为36000公里，适用于通信卫星、气象卫星等。
近地点轨道是指卫星的轨道高度低于1000公里，但又高于地球表面。
这种轨道的周期比较短，适用于地球观测、卫星导航等。
3. 人造卫星的轨道运动状态可以由轨道力学计算得出。
在进行轨道力学计算之前，需要确定卫星的运行轨道、初速度和初始位置等参数。
在轨道力学计算中，需要考虑地球引力对于卫星的作用以及可能受到的其他力的影响。
首先需要计算地球对于卫星的引力，然后计算受到的其他力对其运动的影响，如大气阻力等。
然后可以得出卫星的加速度和速度随时间的变化，以及卫星的位置变化。
第3章 轨道力学分析
u = D/a
• C、 D两个参数随轨道类型 ， 路基 、 道床状 、 两个参数随轨道类型 路基、 两个参数随轨道类型， 况及环境因素而变化，离散性很大， 况及环境因素而变化 ， 离散性很大 ， 在进行设计 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。
木枕轨道C、D值
2.连续支承梁模型 连续支承梁模型 若近似地把轨枕的支承看作均匀分布 在轨枕间距内连续支承的钢轨梁， 在轨枕间距内连续支承的钢轨梁，则为连 续支承梁模型， 续支承梁模型，其支承刚度为钢轨基础弹 性模量。 性模量。 模型中钢轨视为支承在弹性基础上的 等载面无限长欧拉梁 。
P
• 两种理论变形等计算结果相差不大，但二 两种理论变形等计算结果相差不大， 者的弯矩相差9～ 者的弯矩相差 ～10%，均可满足工程需要。 ，均可满足工程需要。 者计算方法简单， 使用较多， 但后者计算方法简单，故使用较多，第一 种方法较繁，使用较少。 种方法较繁，使用较少。 对于第一种方法要有以下基础： 对于第一种方法要有以下基础： • (1)连续梁的三弯矩方程 连续梁的三弯矩方程 • (2)差分方程（现解方程组方法很多） 差分方程（ 差分方程 现解方程组方法很多） • (3)有限元方法 有限元方法
aP0 k − kx R = aq = auy = e (cos kx + sin kx) 2
•
由以上各式可知， 、 、 各函数 由以上各式可知，y、M、R各函数 都是由衰减函数exp(-kx)与周期函数 都是由衰减函数 与周期函数 sin(kx)、cos(kx)的乘积组合而成，是变 的乘积组合而成， 、 的乘积组合而成 幅周期函数，随着kx的增大 的增大， 幅周期函数，随着 的增大，即离开轮载 作用点愈远的钢轨截面上， 、 、 的值 作用点愈远的钢轨截面上，y、M、R的值 均有不同程度的减小。 均有不同程度的减小。
轨道结构理论与轨道力学(无缝线路)
一、跨区间无缝线路的结构与优点
１.取消了缓冲区，固定区可无限延长 轨条穿越桥隧，跨过车站，完全消除了钢轨接头和由 短轨组成的缓冲区，固定区可无限延长。
2.采用重型轨道结构 为保证快速重载线路的正常运营，跨区间无缝线
路须采用重型轨道结构，以提高无缝线路的强度和稳 定性。
1900 100 定点弯曲疲劳试验 50-
2×106
330
75 980
10
2200 100 定点弯曲疲劳试验 50-
2×106
430
潮湿 1000
无螺栓 检验
2×106
（2）与其他国家的比较
国 钢轨 绝 别 类型 缘
电 阻 (M Ω)
中 60kg 10 /m
美 132R 10 E
日 50N ， 10 60K
100g 20g 9g 1g 2g
缩醛胶。聚乙烯缩醛的简称。 配方：E-44环氧树脂 聚乙烯醇缩甲醛 聚乙烯醇缩丁醛 双氰双胺
聚砜胶。 配方：E-51环氧树脂
聚砜 二甲基甲酰胺 双氰双胺
100g 35g 35g 10g
100g 20g 25g 11g
3.增强玻璃纤维布与绝缘层厚度 环氧胶粘剂中采用玻璃纤维布增强，可使树脂体 的弹性模量提高到20~30Gpa，与金属弹性模量相近。 在通常情况下，胶接强度随着胶层厚度的减少而 提高。但是胶层愈薄，钢轨同夹板绝缘可靠性愈差。 钢轨侧面胶层厚度宜为1.5~2mm。 钢轨端部胶层厚度宜采用4~6mm。
在轨腹两侧粘贴夹板，接头仍有螺栓联结，是胶接夹 板、胶接绝缘层和螺栓的复合连接。
2.胶接剂
环氧树脂＋室温或加热固化剂
橡胶类。含有羧基的丁腈橡胶与环氧胶反应后，橡胶 分子链嵌入胶的结构中，得到较高的胶接强度、抗冲 击、抗开裂性能。
轨道力学公式
轨道力学公式轨道力学可是个相当有趣又复杂的领域呢！咱们先来聊聊啥是轨道力学。
简单说，轨道力学就是研究天体在引力作用下如何运动的学问。
就像地球绕着太阳转，月亮绕着地球转，这里面都有轨道力学的规律在起作用。
那轨道力学公式是啥呢？比如说开普勒定律，这可是轨道力学中的重要公式。
开普勒第一定律说，行星绕太阳运动的轨道是椭圆的，太阳就在椭圆的一个焦点上。
想象一下，一个椭圆形的轨道，太阳就在其中一个焦点那儿稳稳地坐着，而行星就沿着这个椭圆轨道不停地转呀转。
开普勒第二定律呢，说的是行星在绕太阳运动时，连接行星和太阳的线段在相等的时间内扫过相等的面积。
这就好比一个人在操场上跑步，有时候跑得快，离圆心远；有时候跑得慢，离圆心近，但总的来说，在相同时间里，他跑过的区域面积是一样的。
还有开普勒第三定律，行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。
这就像是不同的行星，离太阳有远有近，它们绕太阳转一圈的时间也各不相同，而且这时间和距离之间有着很奇妙的数学关系。
我记得有一次给学生们讲轨道力学公式，有个小家伙特别调皮，一直嚷嚷着：“这有啥用啊，我又不去太空！”我笑着跟他说：“孩子啊，虽然你现在可能觉得用不上，但这就像你学骑自行车，学会了平衡的技巧，以后不管骑什么样的车，都能心里有底。
轨道力学公式也是这样，它能让我们明白宇宙的运行规律，说不定哪天你就能用上呢！”这小家伙眨巴着眼睛，好像似懂非懂。
再来说说万有引力定律，这也是轨道力学中非常关键的公式。
它告诉我们，任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。
咱们的人造卫星能够在太空中稳定地运行，靠的就是对这些公式的精确计算和运用。
科学家们通过这些公式，计算出卫星应该在什么样的轨道上，以什么样的速度运行，才能完成各种任务。
轨道力学公式可不只是在太空中有用哦！在我们日常生活中，也能找到它的影子。
比如说，我们用手机导航的时候，卫星定位系统就是依靠这些公式来确定我们的位置的。
轨道交通车辆动力学基础(三)
三、客车在曲线上舒适性及其指标
（一）未平衡的离心加速度及其标准：
v 2 gh 未平衡加速度 = R S
SV 2 欠超高hd h gR
h—外轨超高，mm； S—两钢轨顶面中心距，1500mm； V—车辆运行速度，m/s； g—重力加速度，9.81m/s-2; R—曲线半径，m hd—欠超高，mm 注意单位
振动加速度 3 垂向振 10 动 2 4 横向振 6 动 3 振动频率 4 8 22 3 6 30
F f
5.20 6.25 1.00 7.20 18.06 1.00
Wi
1.28 1.74 0.81 1.48 1.71 0.89
W=1.88，车辆平稳性较优。
二、 最大平均加速度
当车辆进行动力学试验时，每次记录的分 析段时间为6s，在每个分析段中选取一个最大 加速度 ai max，平均最大加速度为 ：
2
2
横 向 振 动
5.4-26
>26
一、 Sperling （斯佩林）平稳性指数：
Wtot (W W W )
10 1 10 2
10 0.1 n
一、 Sperling （斯佩林）平稳性指数：
我国主要采用Sperling的平稳性指数来评价车辆的平 稳性等级。 GB5599-85规定，客车用距离1、2位心盘一侧横向偏 离1m处地板面上横向及垂向加速度，来统计计算客车垂 直、横向平稳性指标，最大加速度和平均加速度。
amax
a
i 1
m
i max
m
当用平均最大加速度评定速度 V ≤140km/h的客车平稳 性等级时，采用下列公式：
amax ≤ 0.00027 V Cp
轨道结构理论与轨道力学(传力特性)
0.1 0.2H1 0.8 0.9H1 s
EJ H ( EJ / 6)
H1
k pH (10 100k p )
ksH (ks / 10)
3.轮轨横向力在轨枕上的分配与传递
H1设计取值
螺栓抗拨力 80 100kN (1.5 2.0)H1
P
一般为50kN
扣件横向刚度 105 106 kN / mm (0.8 0.9)H1 (0.1 0.2)H1 胶垫剪切刚度 103 kN / mm
(2)路基压实密度与容许应力 我国 90-95%,98% 0.13MPa 前苏联 98% 0.0785MPa 德国 103% 0.06-0.08MPa
(3)路基施工标准偏低及容许 应力过高是既有线路基产生 大量病害的根本原因。
(1)路基面名义压应力0.1-0.2MPa，路基 面道碴颗粒平均接触应力590-800MPa。
k sx
8.8 9.8) [ f1 (0.25) f 2 (0.65)] 9kN
扣件纵向有荷阻力
枕上压力 钢轨与胶垫的摩擦系数３倍无荷阻力， 但计算中通常取２倍无 荷阻力
3.道床纵向阻力
道床纵向无荷阻力
枕底纵向摩擦力 (50%) 道碴盒石碴反力 (50%) 10 15kN / 枕
1.轮载及动轮载
(2)轮轨非正常接触
接触应力 2500,70007500MPa
(3)弹性极限 3.1 s , 安定极限4.0 s
(1)轮轨踏面正常椭圆接触斑
2.轮轨接触应力
2a=14mm
2b=10mm
正常接触应力110-1500MPa
P
0 .2 0 .3 P
EJ 0 .4 0 .6 P
轨道力学试题及答案详解
轨道力学试题及答案详解一、选择题1. 轨道力学中，描述物体在引力场中运动的定律是：A. 牛顿第一定律B. 牛顿第二定律C. 牛顿第三定律D. 牛顿万有引力定律答案：D2. 以下哪个参数是描述轨道形状的？A. 轨道倾角B. 轨道周期C. 轨道半长轴D. 所有选项答案：D3. 轨道力学中，开普勒第一定律指出：A. 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆B. 行星绕太阳运动的周期与轨道半长轴的立方成正比C. 行星绕太阳运动的速度是恒定的D. 行星绕太阳运动的角动量是守恒的答案：A二、填空题1. 轨道力学中，描述物体在引力场中运动的定律是______。
答案：牛顿万有引力定律2. 轨道力学中，轨道的偏心率用来描述轨道的______。
答案：扁平度3. 轨道力学中，轨道的半长轴是______。
答案：椭圆轨道的一个参数，表示椭圆的中心到其一个焦点的距离三、简答题1. 简述开普勒第二定律的内容。
答案：开普勒第二定律，也称为等面积定律，指出一个行星在椭圆轨道上绕太阳运动时，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
2. 描述轨道力学中轨道的半长轴和半短轴的关系。
答案：在椭圆轨道中，半长轴（a）是椭圆的中心到其一个焦点的距离，半短轴（b）是半长轴与轨道偏心率的乘积，即 b = a * sqrt(1 -e^2)，其中e是轨道的偏心率。
四、计算题1. 已知一个卫星的轨道半长轴为7000 km，轨道偏心率为0.01，求该卫星的轨道半短轴。
答案：半短轴 b = 7000 km * sqrt(1 - 0.01^2) ≈ 6999.5 km2. 如果一个卫星的轨道周期为90分钟，地球的质量为5.97 x 10^24 kg，地球半径为6371 km，求该卫星的轨道半长轴。
答案：使用开普勒第三定律，周期 T = 90分钟 = 5400秒，半长轴 a = (GMT^2 / 4π^2)^(1/3)，其中GMT = (G * M)^(1/3)，G为万有引力常数，M为地球质量。
轨道力学分析(高铁轨道构造与施工课件)
解：
道床刚度：
Db
Clb
2
1.0120 2.6 0.3 2
46.8 MN
m
钢轨支座刚度： 1 1 1 1 1
D D扣 Db 75 46.8
D 28.8 MN m
基础弹性模量： u D 28.8 48.0 MN m2
a 0.6
刚比系数：k 4
u 4EI
4
48.0 106 4 210109 3217108
2
4
6
0.25π，0
η(kx)
8
① 为kx的无量纲函数 ②随kx的增大， y、M、R的值
μ(kx) 均有不同程度减小
弯矩
③当kx≥5时，轮载的影响已非
位移，反力
常小，通常可忽略不计
y、M、R 随k 的变化
7
y(mm) 6
M(×104N.m) 5
R(×104N) 4
3
ymax
P0k 2u
P0 8EIk 3
钢轨 a
P 钢轨支点 弹性系数 a
点支承梁模型
P
连续支承梁模型
模型比较
点支承梁模型更接近 于实际结构物，但求 解相对繁琐，目前在 动力学分析及特殊问 题求解中应用较多
连续支承梁模型有 应用简单方便、直 观等特点，对工程 应用有较高的应用 价值
在实用的基础刚度范围内，点支承法计算钢轨 弯矩比连续支承法约大5~10%，而钢轨下沉约 小1~2%。两者计算结果均满足工程精度要求
（1）钢轨抗弯刚度EI
使钢轨产生单位曲率所需的力矩，量纲：力·长度2
M EIy ''
钢轨竖向受力及变形 EI 钢轨竖向抗弯刚度； E 钢轨钢弹性模量，E 2. 058×105 MPa； I 钢轨截面对水平轴惯性矩。
空间力学中的轨道力学方程
空间力学中的轨道力学方程空间力学是天体物理学的一个关键分支，它对研究天体运动、轨道力学以及星际天体之间的相互作用至关重要。
轨道力学方程是空间力学一项重要的计算方法，它可以用来描述一个天体运行在其周围天体引力场中的行为。
本文将简要介绍轨道力学方程的基础知识，以及它们的一些应用。
轨道力学方程的基础轨道力学方程的基础实际上是牛顿第二定律，它表达了一个物体在受到力作用时的运动方式。
这一定律是空间力学中的基础理论之一，因为天体运动的规律与此同样适用。
牛顿第二定律的基本方程可以写成：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
对于一个运动在引力场中的天体，其所受的力可以表示为:F =G Mm / r^2其中，G是万有引力常数，M和m则是引力场中两个天体的质量，r是它们之间的距离。
将这些式子代入牛顿第二定律，我们可以得出描述天体运动轨迹的基本方程：m(d^2r/dt^2) = G Mm / r^2其中，r是太空中天体间的距离，t是时间。
轨道力学方程的应用轨道力学方程可以用来解决一些有趣的问题，其中包括以下几个例子：1. 天体运动轨迹问题轨道力学方程可以用来描述天体在引力场中的运动轨迹。
这对于研究地球和其他行星、卫星等天体的轨道非常重要，可以帮助我们预测碎片和天体之间的碰撞，以及运载火箭的路径和速度。
2. 宇宙飞船控制问题在宇宙中移动的飞船需要考虑引力和惯性之间的平衡，以保持稳定。
轨道力学方程可以帮助我们计算这些因素，并指导宇宙飞行器进行导航和修正航向。
3. 卫星和导航系统问题卫星和导航系统需要考虑引力、空气摩擦和卫星本身的质量等因素，以确定其轨迹和位置。
轨道力学方程可以用来计算这些因素，帮助我们设计更有效的卫星和导航系统。
结论轨道力学方程是空间力学中的重要工具，能够帮助我们研究天体的运动、控制宇宙飞船、设计卫星和导航系统等等。
对于人类探索宇宙和地球空间的未来，轨道力学方程发挥着至关重要的作用。
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圆，且纯滚线总是在曲线中心线外侧，相距为 y0 。
J
可以证明
y0
r0b0
R
对于一定的轮对
踏面斜率和一定的曲
线半径，纯滚线位置
确定。
轮对中心线与纯滚线间的相对位移 y* 蠕滑力的大小及方向由相对位移 y* y y0 决定。
y是轮对中心线相对线路中心线向外移动的距离。
由于本方法应用于所有曲线，故必须考虑蠕滑力的 非线性特性，具体计算可参考相关资料。
车辆稳态通过曲线的计算理论
将机车车辆简化为平面内的刚体和弹簧模型，求 解列车稳态通过曲线时，作用在轨道上的横向力和 轮对位置等。
假定列车速度恒定不变，曲线半径、超高值、轨 距等轨道几何参数不变，则机车车辆作稳态运动。
将动力学问题简化为静力学问题来分析研究。 （1）大半径蠕滑导向 （2）轮缘力导向
2、动位移、动弯矩和枕上动压力——准静态法
二、轨道力学参数 钢轨支座刚度 D 钢轨基础弹性模量 u 道床系数 C 刚比系数 k
三、钢轨荷载影响系数 速度系数 α 偏载系数 β
第三节 轨道强度检算
一、钢轨强度检算 钢轨应力：动弯应力、温度应力、局部应力、
残余应力、制动应力和附加应力等。 二、轨枕强度检算
二、蠕滑中心法
在摩擦中心法基础上，作了重要改进： （1）采用了锥形踏面 （2）计入轮对的偏载效应 （3）引入蠕滑理论，并考虑了蠕滑系数的非线性
（一）蠕滑率和蠕滑力分析
在20世纪20年代由Carter首先认识并应用于轮轨 动力学中。
蠕滑：转向架通过曲线时，其轮对不可能总是实 现纯滚动，亦即车轮的前进速度不等于其滚动形成的 前进速度，车轮相对于钢轨会产生很微小的滑动。
复习
一、轮群作用下的y、M、R的计算
1、静位移、静弯矩和枕上静压力 线性微分方程解的叠加原理。
计算公式如下：
y0
k 2u
P0iekxcoskx sin kx
M 0
1 4k
P0iekxcoskx sin kx
最不利轮位
R0
ka 2
P0iekxcoskx sin kx
蠕滑力：在轮轨之间接触面上存在的与轮轨弹性 变形相关的切向力。其方向总是与滑动的方向相反， 大小由蠕滑率确定。
蠕滑率：表示车轮实际滚动状态相对纯滚动状态 的偏离程度，实则为相对滑动率。
蠕滑：介于纯滚动与滑动之间的一种轮轨相互作用。 蠕滑率 纵向蠕滑率
成的γ1=前(进实速际度前进速度-纯滚动的前进速度)/由滚动形 = 前进速度差/由滚动形成的前进速度横向蠕滑率 γ2= (实际横向速度-纯滚动的横向速度)/由滚动形
摩擦中心法计算模型图
Fn
算例：
双轴转向架，l 1.72m ，P 83.3kN ，R 600m， 0.25 ， h 0 ~140mm，v 20 ~ 180 km h ，计算结果如下图示
x1随超高、车速变化曲线 图
摩擦中心法的评价： 优点：模型简单，计算方便，便于推广应用。 缺点：（1）车轮踏面为圆柱面的假定；（2）轮 踏面与钢轨接触面的切向作用力均为滑动摩擦力； （3）未考虑轮对的偏载效应。
三、扣件弹程
扣件弹程：列车通过时，在钢轨动作用下，扣件 （轨下胶垫和扣压件）允许产生的最大变形量。
条件： y yc
即 k p Rd Pc
kc
Pc
四、扣压力损失
设计条件：在列车荷载作用下扣压力损失后仍能 保持必需的扣压力。
损失后的扣压力
Pd
Pc
Rd
kc kp kc
第六节 轮轨接触问题
P
允许限度
P 0.6 P
上式的限度指标适用于低速脱轨的情况。
第七节 车辆通过曲线
摩擦中心法 古典曲线通过理论——摩擦中心法，以最小力法
为原理的图解法及以平衡方程为基础的分析法。适用 于小半径曲线钢轨导向力的计算。 蠕滑中心法
运用当代机车车辆动力学的研究成果，在摩擦中 心法基础上，采用了锥形踏面，计入了轮对的偏载效 应，引用了蠕滑理论，并考虑了蠕滑系数的非线性。
成的前进速度 = 横向速度差/由滚动形成的前进速度 上式中的速度差称为蠕滑速度，当曲线几何参数
一定时，可由轮对在曲线上占有的几何位置来决定。
蠕滑力与蠕滑率的关系
在较小的蠕滑率范围内，蠕滑力与蠕滑率呈线性
关系。在线性范围内（即小蠕滑情况），该直线的斜
率叫做蠕滑系数。
即 F f
负号表示蠕滑力的方
2.轨道谱
第九节 轨道临界速度
轨道临界速度
在恒速移动作用下，当速度达到一定值时，轨道 发生共振，对应的速度就是轨道的临界速度。
EI
4W x 4
m
2W t 2
cW (x, t) kW(x, t)
P0eiwt (x vt)
EI k
Pv
m
c
本章复习重点
轨道结构竖向受力的准静态计算 轨道结构基本力学参数 轨道部件强度检算 车辆通过曲线 车辆脱轨条件
受压应力检算、抗弯强度检算 三、道床及路基面强度检算
道床顶面应力、道床内部应力、路基面应力
本节主要内容
扣件力学分析 轮轨接触问题 车辆通过曲线 轨道动力学 轨道临界速度
第五节 扣件力学分析
扣件的功能要求 基本要求：联结、调整 力学要求：阻力（防爬）、弹性（减振）
弹性扣件组成 弹性扣压件、轨下胶垫
一、摩擦中心法——古典曲线通过理论
以最小力法为原理的图解法及以平衡方程为基础 的分析法。 （一）基本假设
1、刚性转向架； 2、车轮踏面为圆柱形，忽略其锥度； 3、各轮重均等，且与轨顶面的摩擦系数亦相同； 4、不考虑牵引力作用，各力均作用于轨顶面的平 面内。 5、转向架的曲线轨道通过——有几何约束的平面 运动。组成：切向平动+绕转动中心的转动
H sin cos tg P cos sin 1 tg
（2）轮载减载率
轮载减载率 P P
2.脱轨安全性指标
根据理论分析和试验研究，目前建议采用的脱轨 安全性指标为：
（1）脱轨系数
危险限度 H P 1.2
允许限度 （2）轮载减载率
H
P
1.0
危险限度 P 0.65
（二）计算模型及计算方法
1、计算模型 蠕滑中心法仍采用刚性转向架和一个自由度的力 学模型。与摩擦中心法近似。 2、计算方法 除蠕滑系数与蠕滑力计算采用相关蠕滑理论计算 外，所采用的平衡方程与摩擦中心法相同。
三、车辆稳态通过曲线的计算理论
第八节 轨道动力学简介
轨道动力学的发展状况 一、连续支承梁轨道模型 二、弹性点支承梁轨道模型 三、轮轨系统模型 四、轮轨不平顺描述
转动中心位于曲线半径与转向架纵轴或其延长线 的垂直交点上。
转向架的前轴外轮称导向轮，钢轨给导向轮一导 向力，迫使转向架转向。导向力作用于导向轮轮轨侧 向接触点A处，转向架纵轴与A点切线的交角称冲角。
（二）计算模型
刚性转向架的平面运动。 一个自由度：广义坐标 x1 两个未知量：x1 、N 两个独立的平衡方程求解。
而由多种因素的不利组合造成。 从脱轨时受力分析的角度来看，影响车辆脱轨的
影响因素可分为两大类： 1.轮重减载； 2.轮轨横向力加大。
脱轨的判别指标： 1.轮载减载率 2.脱轨系数
1.脱轨分析 （1）脱轨系数 H/P 称车轮爬轨安全系数，简称脱轨系数。反映
的是横向力 H 与垂向力 P 的相对大小比例关系。
车轮踏面与钢轨的接触 涉及几何学、运动学、力学、材料学等。
一、轮轨接触 接触形式：单点接触和两点接触。
二、钢轨接触应力计算
钢轨局部应力。
赫兹接触理论：假定车轮和钢轨是两个互相垂直 的弹性圆柱体，则两者的接触面为一椭圆形，接触 面上的压应力与椭球面的纵坐标成正比。
椭＋
y2 b2
＝1
力平衡条件：
P
qdxdy
2 3
abq0
最大压应力：
q0＝
3P
2ab
三、轮轨接触弹簧
又称赫兹弹簧。表示轮轨竖向接触力与轮轨相对 位移的关系。
赫兹接触刚度：
kh
3
3PE 2 R1R2 2(1 v 2 )2
非线性特性。可简化为线性弹簧。
四、车辆的脱轨条件 脱轨原因分析：车辆脱轨原因复杂，非单一因素，
一、扣件刚度 扣件弹性：扣压件弹性和轨下胶垫弹性 扣件刚度：扣压件刚度和轨下胶垫刚度
k kp kc
二、初始扣压力 作用：保证钢轨稳定和防爬（R扣>R道） 计算： 每组扣件纵向阻力： R Pc ( f1 f2 ) 单位长度爬行阻力： 下限：道床纵向阻力 R Pc ( f1 f2 ) / a
一、连续支承梁轨道模型
P
EI
Pv
m
k
c
P
二、弹性点支承梁轨道模型
钢轨 a
P 钢轨支点 弹性系数 a
钢轨 a
P a
钢轨
P 道床
扣件 轨枕 弹性 质量 路基弹性
扣件 轨枕 枕下支承
三、轮轨系统模型
簧上质量
簧下质量
钢轨或轨道 等效质量
...
...
......
...
四、轮轨不平顺描述
1.不平顺的时域描述
向与滑动的方向相反。
在车轮产生大蠕滑以
至打滑的情况下，蠕滑力
趋向饱和，最大的蠕滑力
即库仑摩擦力。
自由轮对纯滚动时的轮轨几何关系
若车轮在曲线上实现纯滚动，就没有蠕滑现象。
实际上这种纯滚动状态是不存在的。假设一个具有踏
面斜率λ 的自由轮对在曲线上作纯滚动，轮对中心所