附录3简单荷载作用下梁的挠度和转角
梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
EIw M xd x C1
EIw M xd x d x C1x C2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
转角则明显不同。
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
解：该梁的弯矩方程为
M x Fl x
挠曲线近似微分方程为
EIw M x Fl x
以x为自变量进行积分得
EIw
F lx
x2 2
C1
EIw
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和
w
M x
1 w2 3/2 EI
第五章材料力学考试复习重点知识与练习题
从图在该段中的变线段(T即为非粮馆举性段, 压液线可看出即整个拉伸过程可分为以下四个阶段。
* /）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E,对应的最高应力值 虎克定律（r=Ec 成立。
而ab 段, 在该段内所产生的应变仍是弹性的， 但它与应力已不成正比。
b点相对立白 勺应力第五早材料力学 主讲：钱民刚 第一节 概论材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供 了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸 和形状，以达到安全与经济的设计要求。
♦一、材料力学的基本思路 （一）理论公式的建立 理论公式的建立思路如下：（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下 的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的 （7- e 曲线如图5-1所示。
陶度箓n------- 搬面设计为确保构件不致因强度/、丸而破坏, 应使其最——该啊瓯丽于材料的极限应力0- u,物出射和 （力与姻（美系）* 变形外力 T ］表小，即临界前载应力力布1£配IX没有屈服阶段，也酸 _ 曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。
它 1故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时/,在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁TE与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉 事蝌性变形也较为蛾显。
破坏断口为斜断面，这表明试件是因m max对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限①良或名义屈服极限（T该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变 成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点 （7S 称为屈服 极限。
这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成 45。
的滑移线，这是由于试 件材料在45。
的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。
对于塑性材料来说，由于屈 服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故（7S 是衡量塑性材料强度的一个重要指标。
5-1梁的挠度及转角
A
x y
cB
F
x
挠曲方程
W =y= f(x)
yw
（a）
c′
dy
dx B′
tg = dy/dx = y ′
∵挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线
∴ 很小 ≈ tg=dy/dx= f ′(x)
转角方程 =y ′ = f ′(x)
(b)
4.符号规定
挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正
EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，
在D点处确定其最大挠度和最
大转角。
a
Fb
A
c
B
L
最大挠度和最大转角
A
1
x0
Fab(l b) 6lEI
B
2
xl
Fab(l a) 6lEI
梁上无拐点 wmax w1/ 2
2）一次积分获转角方程
（5-2b）
EIzy′= - ∫M(x) dx+c 3）二次积分获挠度方程
（5-3a） （5-3b）
EIzy= - ∫[∫M(x) dx] dx +Cx+D
C、D为方程的积分常数
4 由边界条件(boundary condition) 确定 积分常数。
4、由边界条件确定积分常数
x3
l2
b2
x]
§5-3 按叠加原理计算 梁的挠度及转角
§5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and It’s Integration
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
梁弯曲时的位移1梁的位移——挠度和转角2梁的挠曲线
x
a
3
x3
l2
b2
x
左、右两支座处截面的转角分别为
qA
q1
|x0
Fb l 2 b2 6lEI
Fabl b
6lEI
qB
q2
|xl
Fabl
6lEI
a
当a>b时有
qmax qB
Fabl a
6lEI
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax 所在w 0 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的
22
2
挠曲线近似微分方程为
EIw M x q lx x2 2 以x为自变量进行积分得：
EIw
q 2
lx2 2
x3 3
C1
EIw
q 2
lx3 6
x4 12
C1x
C2
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
w
x 1 w2 3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
第七章 梁的位移-转角、挠度
l2
AqAFA
F
B
qA
q L3 2 4E I z
FA
FL2 16EIz
A
C
EI z
l2
l2
A
qL3 24EIz
FL2 16EIz
B
20
第七章 梁的弯曲变形
例7-5 AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
A
q0L 6
B
C
l q0L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半
y
x
最大转角 y''0 Mx0
A
FbL2 b2 6EIzL
FabL b 6EIzL
最大挠度 y' 0 令x=a
E z y 2 I F 6 L x 3 b 1 6 F x a 3 F L 6 2 L b b 2x
x0 xL
E zB I F 2 L BL 2 b F 1 2 F 6aE L L bz ILa a2 F L 6 2 L b b 2
§7-2 挠曲线的近似微分方程
1.基本概念
位移的度量 A
挠曲线－－
梁变形后各截 面形心的连线
y－挠度
A
θ－转角
F C
l
B
C
y
Bx
挠度向下为正，向上为负. y
转角绕截面中性轴顺时针转为正， 逆时针转为负。
C
B
3
变形过大
• 结构性构件破坏 • 非结构构件破坏 • 影响适用性
第七章 梁的弯曲变形
4
第七章 梁的弯曲变形
变形几何方程为 (w B )q (w B )F R B 0
27
第七章 梁的弯曲变形
梁的挠度
梁的挠曲线、挠度和转角的概念
图6-1
挠曲线——如图6-1，平面弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵对称面内的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。
挠度——弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称为挠度，用y表示。
转角——弯曲变形时横截面相对其原来的位置转过的角度称为转角，用θ表示。
挠曲线方程——挠度和转角的值都是随截面位置而变的。
在讨论弯曲变形问题时，通常选取坐标轴x向右为正，坐标轴y向上为正。
选定坐标轴之后，梁各横截面处的挠度y将是横截面位置坐标x的函数，其表达式称为梁的挠曲线方程，即
y = f ( x ) 。
显然，挠曲线方程在截面x处的值，即等于该截面处的挠度。
根据微积分知识，挠曲线的斜率为
因工程实际中梁的转角θ之值十分微小，可近似认为
可见，挠曲线在截面位置坐标x处的斜率，或挠度y对坐标x的一阶导数，等于该截面
的转角。
关于挠度和转角正负符号的规定：在如图6-1选定的坐标系中，向上的挠度为正，逆时针转向的转角为正。
材料力学-梁的挠度
Fy RA RB F 0 RA 0.5F mA RB l F 1.5l 0 RB 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
1 M Fx1 1 2 3 M 2 F ( l x2 ) 2
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
[例8] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长 a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40 kN/m ，弹性模量 E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
P( x a ) M ( x) 0 (0 x a) (a x L)
a L f
P x
写出微分方程并积分
P( a x) EIf 0
(0 x a) ( a x L)
1 3 P(a x) C1 x C2 EIf 6 D1 x D2
梁的刚度校核
max
1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条 件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
f
max
L
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
(顺时针)
转角为： C C1 C 2
Fl 2 Fl 2 9 Fl 2 8EI EI 8EI
说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为
直线 。
[例6] 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图
第八章叠加法求变形(3,4,5)
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI
B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B
梁的挠度和转角PPT文档78页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
梁的挠度和转角
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
《梁的挠度及转角 》课件
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
惯性矩截面系数弯矩图计算公式汇总
惯性矩、截面系数、弯矩图计算公式汇总附录1 截面图形的几何性质提要:不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。
附1.1 截面的静矩与形心任意平面几何图形如图1.1所示。
在其上取面积微元dA，该微元在yOz坐标系中的SSy=?zdA，Sz=?ydA坐标为z、y。
设静矩为，则有:AA图1.1 静矩的概念 (附1.1)静矩的量纲为长度的3次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标zC和yC。
则A?zC=?z?dA=Sy A———————————————————————————————————————————————由此可得薄板重心的坐标zC为zC=?AzdAA=SyA 同理有yC=Sz A?260? 材料力学所以形心坐标或zC=SyA，yC=SzA(附1.2)Sy=AzC，Sz=AyC由式(附1-2)得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yC=0，Sz=0;zC=0，则Sy=0;反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。
设第i块分图形的面积为Ai，形心坐标为 yCi,zCi ，则其静矩和形心坐标分别为———————————————————————————————————————————————Sz=?AiyCi，Sy=?AizCii=1i=1nniCi(附1.3)SyC=z=A?Ayii=1nCi?Ai=1n，zC=SyA=?Azi=1nn(附1.4) ———————————————————————————————————————————————i?Ai=1i【例附1.1】求图1.2所示半圆形的Sy,Sz及形心位置。
材料力学(I)第五章
挠曲线近似微分方程为 q EIw M x lx x 2 ( 2) 2 q lx 2 x 3 C1 ( 3) 通过两次积分得： EIw 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw C1 x C 2 ( 4 ) 2 6 12
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
b x2 F x a EIw C 2 (1 ) 2 F l 2 2
2
b x2 F C1 (1) EIw1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 ( 2) l 6
b x3 F x a EIw 2 F l 6 6 C 2 x D2 ( 2 )
26
例题 5-3
4. 建立转角方程和挠度方程 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
左段梁 (0 x a )
1 w1
右段梁 (a x l )
2 w 2
Fb l 1 2 2 2 2 Fb 1 2 2 2 x a x l b ( 3 ) l b x ( 3 ) 2lEI b 3 2lEI 3 w2 Fbx 2 Fb l 3 3 2 2 w1 l b 2 x 2 ( 4) x a x l b x (4 ) 6lEI 6lEI b
按叠加原理计算梁的挠和转角PPT课件
左侧截面上的剪力
和弯矩
应当作为外力和外力偶矩施加在悬
F臂及SB梁图 和c中简所2支示q梁a。上，它们的M指B向 和转向12也2应q与a2 qa 的2 正负相对应，如图b
F SB
和M
B
8
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图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相 同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起 弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。
wA w1 w2
1 3
q a3 EI
a
2q a 4
8EI
7 qa4 12 EI
11
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感谢您的观看！
12
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悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬 臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达 式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原 理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。
1
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二、叠加原理的应用
例题1 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截 面的转角qA 及 qB。
(a)
2
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解：作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷 载的叠加(图b)。
(a)
(b)
3
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C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号8的 公式有
9
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梁的挠度和转角
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), ( x) 和 , 。 A max F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b
L
L
L
2、分段列出梁的弯矩方程 AC段 (0 x a)
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
则由 解得：
C 1 x a
Fab(a b) 0( a b) 3LEI
0在AC段。
Fb 1 ( x ) [3x 2 ( L2 b 2 )] 0 6 LEI
x L2 b 2 3
D左 D右 连续条件： D左 D右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
④积分常数的物理意义和几何意义
物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 C 即坐标原点处梁的转角，它的 EI o EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的 EI倍就是积分常数D。 D EI o 几何意义：C——转角 D——挠度
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 边界条件： A 0
连续条件：
B左 B右 B左 B右
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
A 0 解：边界条件： A 0 C 0
答案 D
2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)
FA＝0 FB＝0 MCD＝const
A C D B
答案 D
简支梁挠度计算公式
简支梁挠度计算公式均布荷载作用下工字梁的最大挠度在梁跨中间，其计算公式如下: Ymax = 5 ql ^ 4 / (384 ej)。
地点:ymax是中间的最大挠度梁的跨度(CM)Q为均匀线荷载(kg / cm)E为工字梁弹性模量，对于工程结构钢，E = 2100000 kg / cm ^ 2 J为工字梁截面惯性矩，可在型钢表(cm ^ 4)中求得也可转换为kn;以m为单位ra=rb=p/2mc=mmax=pl/4fc=fmax=pl^3/48eiθa=θb=pl^2/16ei符号意义及单位p——集中载荷，n；q——均布载荷，n；r——支座反力，作用方向向上者为正，n；m——弯矩，使截面上部受压，下部受拉者为正，nm；q——剪力，对邻近截面所产生的力矩沿顺时针方向者为正，n；f——挠度，向下变位者为正，mm；θ——转角，顺时针方向旋转者为正，°；e——弹性模量，gpa；i——截面的轴惯性矩，m^4；ξ＝x/l，ζ=x'/l，α＝a/l，β=b/l，γ=c/l简支梁就是承载两端竖向荷载，而不提供扭矩的支撑结构。
体系温变、混凝土收缩徐变、张拉预应力、支座移动等都不会在梁中产生附加内力。
简支梁受力简单，为力学简化模型。
将简支梁体加长并越过支点就成为外伸梁，简支梁支座的铰接是固定铰支座、滑动铰支座的基数级跨中弯距Mka：Mka= (Md+Mf) ×VZ/VJ+ΔMs/VJ －MsMka= (Md+Mf)×1.017/1.0319+△Ms/1.0319－Ms=(17364.38+0)×1.017/1.0319+4468.475/1.0319－164.25 = 21279.736（kN·m）计算各加载级下跨中弯距：Mk= (k(Mz+Md+Mh+Mf) －Mz) ×VZ/VJ+ΔMs/VJ －MsMk=(k(Mz+Md+Mh+Mf) －Mz)×1.017/1.0319 +△Ms/1.0319―Ms=（k (31459.38+17364.38+24164.75+0)－31459.38）×1.017/1.0319+4468.475/1.0319－164.25=71934.601×k－26839.0389（kN·m）计算静活载级系数：Kb = [Mh/(1+μ) +Mz+Md+Mf]/(Mh+Mz+Md+Mf)Kb= [24164.75/1.127+31459.38+17364.38+0]/ (24164.75+31459.38+17364.38+0)=0.963计算基数级荷载值：Pka=Mka/α=21279.736/54.75=388.671（kN）计算各荷载下理论挠度值：f = 2 P [ L+2 (L/2－Χ1)(3L－4(L/2－Χ1)) +2 (L/2－Χ2)(3L－4(L/2－Χ2)) ] / 48EI/1000=0.01156P。
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w = Fx2 (3l − x) 6EI
w = Fx2 (3a − x) 6EI
(0 ≤ x ≤ a) w = Fa2 (3x − a)
6EI (a ≤ x ≤ l)
w = qx2 (x2 + 6l2 − 4lx) 24EI
转角和挠度
θB
=
Mel EI
wB
=
Mel 2 2EI
θB
=
Fl 2 3EI
附录 3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
序号
梁上荷载及弯矩图
1
2
3
4
w=沿 y 方向的挠度
wB=w(l)=梁右端处的挠度 θB = w′(l) =梁右端处的转角
w=沿 y 的方向挠度
wc=w(
l 2
)=梁的中点挠度
θa = w′(0) =梁左端处的转角
θa = w′(l) =梁右端处的转角
挠曲线方程 w =Mex2
⎡⎢⎢⎢⎣2
x3 b3
−
x b
⎛⎜⎜⎜⎝2
l2 b2
−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎤⎥⎥⎥⎦
(0 ≤ x ≤ a)
θB
=
−
qb2 (2l − b)2 24EIl
wc
=
qb5 24EIl
⎜⎜⎝⎛⎜
3 4
l3 b3
−
1 2
l b
⎠⎞⎟⎟⎟⎟
13
w
=
−
q 24EI
⎡⎢⎢⎣2
b2x3 l
−
b2x l
(2l 2
− b2 )
wB
=
Fl 3 3EI
θB
=
Fa2 2EI
wB
=
Fa2 6EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3l
−
a)
θB
=
ql 3 6EI
wB
=
ql 4 8EI
·286·
序号
梁上荷载及弯矩图
5
6
7 8 9
10
材料力学
挠曲线方程 w = q0x2 (10l3 −10l2x + 5lx2 − x3)
120EIl
续表 转角和挠度
θB
=
q0 x3 24EI
−
(x
−
a)4 ⎤⎥⎥⎦
(a ≤ x ≤ l)
(当 a > b 时)
wc
=
⎢⎣⎡⎢
qb5 24EIl
3 4
l3 b3
−
1 2
l b
+
1 16
l5 b5
• ⎜⎜⎝⎛⎜1−
2a l
⎠⎞⎟⎟⎟4
⎥⎥⎦⎤⎥
(当 a < b 时)
·287·
θA
=
M Al 3EI
θB
=
−
M Al 6EI
θC
=
M Al 2 16EI
θA
=
M Bl 6EI
θB
=
−
M Bl 3EI
wc
=
M Bl2 16EI
θ
A
=
ql 3 24EI
θB
=
−
ql 3 24EI
wc
=
5ql 4 384EI
θA
=
7q0l 3 360EI
θB
=
q0l 3 45EI
wc
=
5q0l 4 768EI
θ
A
=
Fl 2 16EI
θB
=
− Fl2 16EI
wc
=
Fl 3 48EI
·286·
附录 3 简单荷载作用下梁的挠度和转角
·287·
续表
序 梁上荷载及弯矩图
号 11
挠曲线方程
w = Fbx (l2 − x2 − b2 ) 6EIl
(0≤x≤a )
w
=
Fb 6EIl
⎡⎢⎢⎣
l b
(x
−
a)2
+
(l 2
−
b2x
−
x3 ⎤⎥⎥⎦
(a≤x≤l )
转角和挠度
θA
=
Fab(l + 6EIl
b)
θB
=
−
Fab(l + 6EIl
a)
wc
=
Fb(3l2 − 4b2 ) 48EI
(当 a≥b 时)
w = M ex (6al − 3a2 − 2l2 − x2 ) 6EIl
θ
A
=
Me 6EIl
(6al − 3a2 − 2l2 )
(0≤x≤a ) 当 a=b= l 时
θB
=
Me 6EIl
(l 2
− 3a2 )
12
2 w = M ex (l 2 − 4x2 )
当a=b= l 时 2
24EIl (0≤x≤ l )
θ
A
=
M el 24EI
2
θB
=
M el 24EI
， wc
=0
θA
=
qb2
(2l2 −
24EIl
b2)
w
=
−
qb3 24EIl
wB
=
q0l 4 30EI
w = M Ax (l − x)(2l − x) 6EIl
w = M B x (l2 − x2 ) 6EIl
w = qx (l3 − 2lx2 + x3) 24EI
w = q0x (7l4 −10l2x2 + 3x4 ) 360EIl w = Fx (3l2 − 4x2 ) 48EI (0≤x≤ l ) 2