利用函数解决实际问题归纳
利用函数关系解决实际问题
利用函数关系解决实际问题在数学中，函数关系是解决实际问题的重要工具之一。
通过建立函数之间的关系，我们可以通过输入和输出来解决各种实际问题。
本文将探讨如何利用函数关系解决实际问题，并且通过数学模型对其进行建模和求解。
一、什么是函数关系函数关系是指一组值的集合，其中每个输入值都与一个唯一的输出值相关联。
函数关系可以用数学表达式，图表或图形等形式呈现。
数学中常用的函数关系有线性函数、二次函数、指数函数等。
二、建立函数模型为了解决实际问题，我们需要建立问题与函数模型之间的对应关系。
通常，我们可以通过分析问题中的已知条件和未知量之间的关系，选择合适的函数模型来描述。
下面以几个实际问题为例，介绍如何建立函数模型。
1. 问题一：小明每天骑车上学，若骑行的速度为v（km/h），通行的时间为t（h），请问他每天的骑行里程是多少？解答：我们可以建立以下函数关系模型：里程 = 速度 ×时间又因为里程和速度、时间之间是线性关系，所以可以建立线性函数模型：里程 = v × t通过这个函数模型，我们可以根据已知的速度和时间来计算出小明每天的骑行里程。
2. 问题二：某物体从高处自由落下，落地时的速度为v，求物体下落的高度h。
解答：根据自由落体运动规律，我们可以建立以下函数关系模型：v² = 2gh其中，v为速度，g为重力加速度，h为下落的高度。
通过这个函数模型，我们可以根据已知的速度来计算出物体下落的高度。
三、利用函数关系解决实际问题通过建立函数模型，我们可以利用函数关系解决各种实际问题。
下面以几个例子说明如何利用函数关系解决实际问题。
1. 例子一：某公司生产一种产品，已知每天生产量与销售量之间的函数关系为：销售量 = 0.8 ×生产量 + 50。
如果某天公司的生产量为200，那么销售量是多少？解答：根据函数关系模型，我们可以计算出销售量：销售量 = 0.8 × 200 + 50 = 2102. 例子二：某物体从高处自由落下，落地时的速度为20 m/s，求物体下落的高度。
如何应用三角函数解决实际问题
如何应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
本文将介绍如何应用三角函数解决实际问题，并提供相关的例子进行说明。
一、三角函数简介三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos和tan表示。
这些函数可以描述直角三角形中各个角的关系。
例如，在一个直角三角形中，对于一个给定的角度Θ，sinΘ等于对边与斜边的比值，cosΘ等于临边与斜边的比值，tanΘ等于对边与临边的比值。
二、应用实例：测量高楼高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但我们无法直接得到高楼的实际高度。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
首先，在离高楼一定距离的地方A站立，测量与地平线之间的角度α。
然后，远离高楼一段距离B站立，再次测量与地平线之间的角度β。
由于我们可以测得AB之间的距离，我们可以根据三角函数的性质得到高楼的高度H。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = H/ABtanβ = H/(AB+d)其中，H表示高楼的高度，AB表示A点到高楼的距离，d表示A点到B点的距离。
将上述两式联立解方程，可以得到高楼的高度H：H = AB*(tanβ - tanα)/(1 + tanα*tanβ)通过测量角度α和β以及距离AB和d，我们可以应用这个公式计算高楼的高度H。
三、应用实例：测量不可达距离三角函数还可以用来解决测量不可达距离的问题。
假设我们要测量两座高楼之间的距离，但由于某些原因，我们无法直接测量这个距离。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
假设我们站在第一座高楼的顶部A点，测量与水平线的角度α。
然后移动到第二座高楼的顶部B点，测量与水平线的角度β。
由于我们可以测得AB之间的水平距离d，以及A点到底部的垂直高度h1和B点到底部的垂直高度h2，我们可以根据三角函数的性质得到两座高楼之间的距离D。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = h1/dtanβ = h2/d将上述两式联立解方程，可以得到两座高楼之间的距离D：D = (h1-h2)/（(1+tanα*tanβ)/tanα-tanβ)通过测量角度α和β以及距离d和垂直高度h1、h2，我们可以应用这个公式计算两座高楼之间的距离D。
利用三角函数解决实际问题的方法
利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。
无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。
一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。
利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。
假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。
二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。
利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。
假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。
三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。
利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。
假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。
四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。
利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。
假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。
应用三角函数解决实际问题
应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在实际生活中，我们可以利用三角函数解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算船只与灯塔之间的距离等。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍如何应用三角函数解决实际问题。
一、测量高楼的高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
此时，我们可以利用三角函数中的正切函数来解决这个问题。
我们可以站在离这座高楼较远的地方，仰望其顶部，并找到一个合适的角度。
然后，通过测量自己所站位置与地面的距离，以及仰望高楼时的角度，利用正切函数可以计算出高楼的高度。
例如，假设我们站在离高楼的位置为100米的地方，仰望高楼的角度为30度。
我们可以利用三角函数中的正切函数，根据公式tan(角度) = 高楼高度 / 100，计算出高楼的高度为100 * tan(30度) = 57.74米。
因此，高楼的高度约为57.74米。
二、计算船只与灯塔之间的距离假设我们在海上驾驶一艘船，远处有一座灯塔，我们想要知道船只与灯塔的距离。
此时，我们可以利用三角函数中的正弦函数来解决这个问题。
我们可以站在船只上，观察灯塔并记录下观察的角度。
然后，通过测量船只与海平面的高度，以及观察灯塔时的角度，利用正弦函数可以计算出船只与灯塔的距离。
例如，假设船只与海平面的高度为10米，我们观察灯塔的角度为45度。
我们可以利用三角函数中的正弦函数，根据公式sin(角度) = 灯塔的高度 / 距离，计算出船只与灯塔的距离为10 / sin(45度) = 14.14米。
因此，船只与灯塔的距离约为14.14米。
三、求解三角形的边长在一些实际问题中，给定三角形的某些角度和边长，我们需要求解其他未知边长。
这时，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数来解决。
例如，已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，我们需要求解斜边的长度。
根据勾股定理，我们知道斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：斜边的平方等于两个直角边平方和。
初中数学知识归纳函数的应用问题
初中数学知识归纳函数的应用问题初中数学知识归纳：函数的应用问题函数是数学中重要的概念和工具，具有广泛的应用。
它可以帮助我们解决各种实际问题，包括数值计算、图形分析等。
本文将归纳初中数学中常见的函数应用问题，并探讨解决方法。
一、函数的定义与表示函数可理解为两个集合之间的一种映射关系。
通常用字母表示函数，如f(x)、g(x)等。
其中，x为自变量，f(x)为函数的值或因变量。
函数可以通过多种方式表示，如算式、表格、图形等。
以下以算式表示为例：1. 方程表达式：f(x) = 2x + 32. 分段函数：f(x) ={ x^2, if x < 0{ 2x, if x ≥ 0二、函数的应用问题1. 函数的值与自变量的关系问题一：已知函数f(x) = 3x + 2，求当x = 4时，f(x)的值。
解析：将x = 4代入函数表达式，得到f(4) = 3 * 4 + 2 = 14，因此当x = 4时，f(x)的值为14。
2. 函数的图象与问题问题二：根据函数f(x) = x^2 + 2x - 1的图象，判断f(x)的取值范围。
解析：首先观察函数图象的开口方向，该函数的二次项系数为正数，所以图象是开口向上的抛物线。
然后根据图象的最低点和y轴的交点，可以推测函数的取值范围为负无穷到最低点之间的值。
因此，f(x)的取值范围为(-∞, 最低点的y坐标]。
3. 函数的运算与问题问题三：已知函数f(x) = x^2 + 2x - 1和g(x) = 3x - 2，求f(x)与g(x)的和函数。
解析：将两个函数相加，得到f(x) + g(x) = (x^2 + 2x - 1) + (3x - 2)。
对表达式进行合并和整理，得到f(x) + g(x) = x^2 + 5x - 3。
因此，f(x)与g(x)的和函数为h(x) = x^2 + 5x - 3。
4. 函数的应用实例问题四：小明骑自行车从A地到B地的距离为120km，他的速度恒定为每小时20km。
利用函数关系解问题如何利用函数关系解决实际问题
利用函数关系解问题如何利用函数关系解决实际问题函数关系是数学中的重要概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。
利用函数关系解决实际问题需要我们熟悉函数的定义和性质，以及灵活运用数学方法和技巧。
本文将介绍如何利用函数关系解决实际问题，并给出一些具体的应用实例。
一、函数关系的基本概念和性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上的规则。
通常用f(x)表示函数f对输入x的响应。
函数关系有以下几个基本要素：1. 定义域：函数f的输入值可以取的实数的集合。
2. 值域：函数f的输出值可以取得实数的集合。
3. 图像：函数f在定义域内所有输入值对应的输出值的集合。
函数关系具有一些重要的性质：1. 单调性：函数的单调性表示随着自变量增大（或减小），函数值的变化趋势是否单调。
可以根据实际问题的需求选择单调递增或单调递减的函数关系。
2. 极值和最值：函数关系在定义域内可能有极值点和最值点。
极大值表示函数在某一点取得最大值，而极小值表示函数在某一点取得最小值。
3. 对称性：函数关系可能具有轴对称、中心对称或点对称等对称性质，根据实际问题中的对称性要求可以选择相应的函数关系。
二、利用函数关系解决实际问题的方法在解决实际问题时，可以通过建立数学模型来利用函数关系进行求解。
下面将介绍三种常见的方法。
1. 直接利用函数关系有些问题本身已经给出了函数关系，我们只需要根据函数关系进行计算即可。
例如：问题：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲以每小时60公里的速度向北行驶，乙以每小时45公里的速度向东行驶。
两人行驶了4小时后，两人之间的直线距离是多少？解析：根据问题描述可知，甲和乙分别沿着正北方向和正东方向行驶，可以建立一个直角坐标系。
由于甲和乙的运动速度恒定，可以分别得到甲和乙的位置随时间的函数关系，然后求出两者的位置，计算得到两者之间的直线距离。
2. 基于函数图像的方法有时候，问题给出的并不是具体的函数关系，而是某个函数的图像。
二次函数解集实际应用问题
知识点一利用二次函数解决最大利润问题某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。
设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元，那么涨价后：（1）每件商品的售价可以表示为________________。
（2）每件商品的利润可以表示为________________。
（3）销售可以表示为________________。
（4）每个月的销售利润为y=________________。
（5）x的取值范围为________________。
（6）当x=_____________元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是___________元。
知识点二确定最值的方法（1）配方法：将cax(的形式，当自变量x=___________时，y=2)-y+bxhy+ax+=2化成k有最大（小）值为___________。
y+=2的顶点是最高（低）点，当x=___________时，二次函数+（2）公式法：抛物线cbxax有最大（小）值为___________。
【例1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每天最高产量为40只，且生产x只的玩具熊猫成本为R元，售价每只为P元，且R，P与x的关系式分别为x170-P2=。
R30=，x500+（1）假设每天获得利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式。
（2）请你利用（1）中得出的函数关系式对每天的生产情况与利润之间的关系进行分析。
同步训练：（学生做）1.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？2.红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)满足函数关系式y1=0.5x+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y2(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．(1)求y2与x的函数关系式；(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)之间的函数关系式．3.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500=-+．y x（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）知识点三利用二次函数解决最大（小）面积问题如图所示，在一个直角三角形的内部做一个长方形ABCD。
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
初中数学知识点总结：利用一次函数解决实际问题
知识点总结
应用一次函数知识解决最值问题
一次函数中的自变量取值范围是全体实数，其图象是一条直线，所以此函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量往往有一定的限制，故就有了最大或最小值，在求函数最值时，就先求出函数表达式，并确定出增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。
常见考法
(1)根据图象获取信息解决问题;
(2)设计一个方案，比较哪个方案更优。
误区提醒
(1)不能正确的建立一次函数模型;
(2)忽视变量的实际意义。
【典型例题】(2010辽宁丹东市)某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔;②购书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价20元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支(不少于4支).。
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用
初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用初中数学知识归纳：函数与方程的实际问题应用数学是一门实用的学科，在我们日常生活中有着广泛的应用。
其中，函数与方程是数学的基础内容之一，它们在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将归纳整理初中数学中函数与方程的实际问题应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。
一、函数在实际问题中的应用我们生活的各个方面都涉及到了函数的应用，比如我们经常听说的速度、抛物线等等。
下面我们具体讨论几个常见的实际问题。
1.1 飞机起降问题假设一架飞机以一个恒定的速率起飞，那么它的高度将随着时间的推移而增加。
我们可以用函数来描述这个过程，假设函数为h(t)，其中t表示时间，h(t)表示飞机的高度。
如果飞机以每秒500米的速度上升，那么可以表示为h(t) = 500t。
1.2 铺设铁路在设计铁路线路时，需要考虑线路的曲线问题，而曲线正是函数的应用之一。
假设铁路是一段半径为r的圆的一部分，而这段圆弧的长度为l。
我们可以用函数来表示这段圆弧的形状，假设函数为y(x)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
通过函数的性质，我们可以计算出曲线的斜率以及其他相关的信息，为铁路的设计提供便利。
1.3 注射药液问题在医学领域，注射药液的输送过程可以用函数来描述。
假设注射药液的浓度随着时间的推移而改变，我们可以用函数C(t)来表示药液的浓度，其中t表示时间。
通过分析函数的变化情况，我们可以得出药液的浓度曲线，并据此做出相关的判断和决策。
二、方程在实际问题中的应用方程在实际问题中的应用同样广泛，通过方程我们可以解决各种实际问题。
下面我们将讨论几个例子。
2.1 物体自由落体问题当一个物体自由落体时，我们可以用方程来描述其运动。
假设物体从一定高度h自由落下，时间t为0时物体的速度为0，我们可以得出以下的方程：h = (1/2)gt^2，其中g是物体自由落体的加速度，也就是重力加速度。
2.2 两个人合作完成任务在某个任务中，两个人一起合作完成，根据问题的具体情况，我们可以利用方程求解他们合作完成任务所需的时间或者速度。
利用函数求解实际问题的步骤与技巧
利用函数求解实际问题的步骤与技巧在解决实际问题时，利用函数来进行求解是一种常见且高效的方法。
函数可以将复杂的问题分解为较小的部分，并通过调用函数来实现模块化的计算。
本文将介绍利用函数求解实际问题的步骤与技巧。
一、理解问题与拆分步骤在利用函数求解实际问题之前，我们首先需要充分理解问题的要求和约束。
通过仔细阅读问题的描述和相关资料，我们可以把问题分解为多个步骤或子问题。
每个步骤可以看作是一个函数，通过编写和调用这些函数，我们可以逐步解决问题。
二、确定函数的输入与输出为了设计好函数并使其能够正确地解决问题，我们需要确定每个函数的输入和输出。
输入是指函数需要接收的数据或参数，而输出是指函数的返回结果或影响其他部分的变量。
合理地定义输入和输出可以使函数的功能更加明确，也有助于提高代码的可读性和可维护性。
三、编写函数体一旦我们确定了函数的输入和输出，就可以开始编写函数体了。
函数体是由一系列语句组成的代码块，通过这些语句来实现具体的计算和操作。
在编写函数体时，我们要注意使用适当的语法和数据结构，以及进行必要的错误处理。
可以根据具体问题的特点来选择不同的算法和方法，以便获得更高效的求解结果。
四、测试函数的正确性在编写完函数后，我们需要对其进行测试，确保其能够正确地解决问题。
测试可以通过提供各种输入值来验证函数的输出是否符合预期。
通过对边界情况和一般情况进行充分的测试，可以发现潜在的问题和错误，并及时修复。
五、优化函数的性能当函数能够正常工作时，我们可以考虑对其进行性能上的优化。
通过优化算法和数据结构的选择，以及使用合适的编程技巧，我们可以提高函数的执行效率和响应速度。
在优化过程中，我们需要关注时间复杂度和空间复杂度，并根据具体情况权衡其优劣。
六、整合函数和解决问题在完成上述步骤后，我们可以将更小的函数整合为一个整体，从而解决实际问题。
通过逐步调用函数来完成每个步骤，我们可以获得最终的解决方案。
在整合过程中，我们需要注意函数之间的依赖关系，并确保它们按照正确的顺序执行。
利用一次函数解决问题
利用一次函数解决问题一次函数（也称为线性函数）是数学中常见且重要的函数类型之一。
它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有许多应用领域。
本文将介绍如何利用一次函数解决问题。
一、利用一次函数解决实际问题一次函数在实际问题中的应用非常广泛。
它可以描述物体的直线运动、收入与支出的关系、成本与产量的关系等。
下面举例说明：例1：小明每天骑自行车上学，他发现骑行的时间与距离之间存在一定的关系。
他测量了两天的数据，如下所示：时间（分钟）：10 20 30 40距离（千米）：1 2 3 4小明想要知道骑行 50 分钟可以骑多远，他可以利用一次函数解决这个问题。
解：我们可以先通过已知数据构建一个一次函数。
选择时间作为自变量 x，距离作为因变量 y。
现在我们来求解 a 和 b 的值。
已知点 A (10, 1) 和点 B (20, 2)，可以利用两点间的斜率公式计算 a的值：a = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - 1) / (20 - 10) = 1 / 10 = 0.1接下来，我们可以代入其中一点的坐标和已知的 a 值，求解 b 的值：1 = 0.1 * 10 + bb = 1 - 1 = 0所以，一次函数为 y = 0.1x + 0。
现在可以利用求得的一次函数来解决问题。
当 x = 50 时，我们可以通过函数表达式求得对应的 y 值：y = 0.1 * 50 + 0 = 5因此，小明骑行 50 分钟可以骑行 5 千米。
二、利用一次函数解决图像问题一次函数的图像是一条直线，通过直线的性质，我们可以解决一些与图像相关的问题。
下面举例说明：例2：某公司生产零件，每天生产数量与花费的时间之间呈一次函数的关系。
已知当生产数量为 1000 时，需要 4 小时。
而当生产数量为2000 时，需要 8 小时。
现在需要求解该函数的表达式并计算生产 3000 个零件所需的时间。
专题：利用一次函数解决实际问题 含答案
专题：利用一次函数解决实际问题——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义◆类型一费用类问题一、建立一次函数模型解决问题1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？二、分段函数问题2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．三、两个一次函数图象结合的问题3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个四、分类讨论思想4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？一、两个一次函数图象结合的问题5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?二、分段函数问题6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式；(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？一、两个一次函数图象结合的问题7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________(填序号)．二、分段函数问题8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．参考答案与解析1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤14），3.5x －21（x >14）. (3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)． 答：小明家5月份应交水费70元．2．解：(1)当0≤x ≤20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ，把(20，160)代入y ＝ax 中，得a ＝8.即y 与x 的函数解析式为y ＝8x ；当x >20时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(20，160)，(40，288)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝160，40k ＋b ＝288，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6.4，b ＝32，即y 与x 的函数解析式为y ＝6.4x ＋32.综上所述，y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8x （0≤x ≤20），6.4x ＋32（x >20）.(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤35，x ≥45－x ，∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元，则W ＝6.4x ＋32＋7(45－x )＝－0.6x ＋347.∵k ＝－0.6<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝35，45－x ＝10时，总费用最低，即购买B 种树苗35棵，A 种树苗10棵时，总费用最低，W 最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．3．D4．解：(1)设y 甲＝kx ，把(2000，1600)代入，得2000k ＝1600，解得k ＝0.8，所以y 甲＝0.8x .当0＜x ＜2000时，设y 乙＝ax ，把(2000，2000)代入，得2000k ＝2000，解得k ＝1，所以y 乙＝x .当x ≥2000时，设y 乙＝mx ＋n ，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2000m ＋n ＝2000，4000m ＋n ＝3400，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0.7，n ＝600，所以y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0<x <2000），0.7x ＋600（x ≥2000）.(2)当0＜x ＜2000时，0.8x ＜x ，到甲商店购买更省钱；当x ≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x ＜0.7x ＋600，解得x ＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x ＞0.7x ＋600，解得x ＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x ＝0.7x ＋600，解得x ＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．5．解：(1)l 2 30 20 解析：由题意可知，乙的函数图象是l 2，甲的速度是602＝30(km/h)，乙的速度是603＝20(km/h)．故答案为l 2，30，20.(2)设甲出发x h 两人恰好相距5km.由题意30x ＋20(x －0.5)＋5＝60或30x ＋20(x －0.5)－5＝60，解得x ＝1.3或1.5.答：甲出发1.3h 或1.5h 两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.(2)设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把点A (1，80)，B (3，320)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝80，3k ＋b ＝320，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝120，b ＝－40.∴y ＝120x －40(1≤x ≤3)． (3)当x ＝2.5时，y ＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发2.5h 后离目的地120km.7．①②④8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m 3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m 3/h)．(2)当2≤t ≤3.5时，设Q 关于t 的函数解析式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵当t ＝1.5时，排水300×1.5＝450(m 3)，此时Q ＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数解析式为Q ＝－300t ＋1050.。
三角函数的应用实际问题解决
三角函数的应用实际问题解决三角函数是数学中重要的一个分支，它不仅具有纯理论的意义，还有广泛的实际应用。
在工程、物理、天文等领域，三角函数被广泛地运用于解决实际问题。
本文将探讨三角函数在实际问题中的应用，并给出相应的解决方案。
一、测量问题的解决在测量中，三角函数被广泛应用于解决一些无法直接测量的问题。
比如，在无法直接测量高塔或大楼的高度时，可以通过测量水平距离和仰角，运用正切函数求得目标物体的高度。
具体计算公式为：h = d * tanθ其中，h表示目标物体的高度，d表示水平距离，θ表示仰角。
通过测量得到水平距离d和仰角θ，就能快速准确地计算出目标物体的高度h。
二、力学问题的解决在力学中，三角函数也有重要应用。
比如，在解决斜面上物体滑动问题时，可以运用正弦函数和余弦函数进行分析计算。
以斜面上的物体自由滑动为例，设物体的质量为m，斜面的倾角为θ，重力加速度为g，则物体在斜面方向上的加速度为：a = g * sinθ物体的法向加速度为：a' = g * cosθ通过计算加速度和法向加速度，可以进一步推导出物体在斜面上滑动的速度、位移等相关参数，从而解决实际力学问题。
三、信号处理问题的解决在信号处理中，三角函数经常用于对信号进行分析和滤波。
例如，对于周期性信号，可以利用傅里叶级数将其分解为一个或多个正弦函数的和，从而实现信号的频谱分析。
在音频处理中，正弦函数常用于生成合成音效，通过调整正弦函数的频率、振幅等参数，可以模拟各种不同的音乐乐器声音。
此外，正弦函数还广泛应用于图像处理中的色彩调整、滤波等操作，提供了丰富的图像效果。
综上所述，三角函数在实际问题的解决中起着重要的作用。
无论是测量问题、力学问题还是信号处理问题，三角函数都能提供有效的解决方案。
通过合理运用三角函数的相关知识，我们能够更好地理解和解决实际生活中的各种问题。
利用函数解决实际问题
利用函数解决实际问题1. 将实际问题抽象为具体函数（1）确定x ，通常为自由变化的量（2）确定y ，通常为所求的值（3）建立函数关系)(x f y =，通常利用一些实际定义例如：利润=销售额－成本 销售额=单价×数量面积公式 距离=速度×时间等（4）确定函数的定义域2. 利用函数相关内容，解决数学问题【典型例题】[例1] 某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。
（1）定价 元时，日销售额最大为 。
（2）定价 元时，日利润最大为 。
[例2] A 地产汽油，B 地需汽油，只能用汽车运输。
汽车满载的油量等于汽车往返A 、B 两地所需油耗，故无法直接由A 运到B ，在A 、B 之间建立一个中转汽油库P ，从A 将油运至P ，再由P 运至B ，为使运油率最大。
（运油率地运出的油地收到的油A B =）P 的位置应满足AP=AB 。
[例3] 某厂今年1、2、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件。
为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数c b a y x +⋅=。
已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好。
[例4] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图I 所示的一条折线表示，西红柿的种值成本与上市时间用II 所示抛物线表示。
（1）写出图I 、图II 的函数关系式。
)(t f P =，)(t g Q =（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的收益最大。
[例5] 某报刊摊点从报社批发进某种晚报的价格是每份0.12元，卖出价格为每份0.2元，卖不完的报纸可以每份0.04元的价格退回报社，在每月中（30天计）有20天每天可以卖出400份，有10天只能卖出250份。
三角函数的应用解决实际问题
三角函数的应用解决实际问题三角函数是数学中重要的一部分，它们不仅在数学领域中起着重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
通过运用三角函数的知识，我们可以解决许多与角度和距离相关的实际问题。
本文将以实际问题为切入点，介绍三角函数在解决实际问题中的应用。
一、三角函数在测量问题中的应用在测量问题中，我们经常需要测量高度、距离等物理量。
而正弦、余弦、正切等三角函数可以帮助我们计算这些物理量。
以测量高楼的高度为例，假设有一座高楼，我们无法直接测量其高度，但我们可以使用三角函数来解决这个问题。
我们设置一个测量点与高楼底部的连线和测量点与高楼顶部的连线之间形成的角为θ，我们可以利用正切函数来计算出高楼的高度。
具体地说，我们利用正切函数的定义：tan(θ) = 高度/距离，通过测量点与高楼底部的距离和测量点与高楼顶部的距离以及测量点与高楼底部的连线和测量点与高楼顶部的连线之间形成的角，就可以计算出高楼的高度。
二、三角函数在静力学问题中的应用静力学是力学的一个重要分支，研究物体的平衡与力的作用。
在静力学问题中，我们常常需要计算物体所受的力和力的分解，而三角函数的应用可帮助我们解决这些问题。
以斜面问题为例，我们可以通过分解力并利用正弦、余弦函数计算出一个斜面上物体所受的分力。
具体地说，对于一个斜面，我们可以将它的重力分解为垂直于斜面的分力和平行于斜面的分力，这样我们就可以利用正弦、余弦函数计算出物体所受的分力的大小，进而求解出斜面上物体的平衡状态。
三、三角函数在电路问题中的应用在电路问题中，三角函数也有重要的应用。
例如，在交流电路中，我们常常需要计算电流和电压之间的相位差，而三角函数可以帮助我们解决这个问题。
以正弦波形为例，设电流和电压的关系为i(t) = I*sin(ωt)、v(t) =V*sin(ωt + φ)，其中I、V分别表示电流和电压的最大值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。
我们可以通过对两者进行比较，利用三角函数的性质，求解出相位差φ的大小。
如何通过二次函数应用解决实际问题
如何通过二次函数应用解决实际问题二次函数作为一种基本的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
通过二次函数的应用，我们可以解决许多实际问题。
以下从八个方面探讨如何通过二次函数应用解决实际问题。
一、建筑和工程在建筑和工程领域，二次函数可以用于计算建筑物的重心、稳定性等。
例如，在桥梁设计中，可以利用二次函数计算桥梁的弯曲程度和承重能力。
此外，二次函数还可以用于优化工程中的资源分配和成本预算等问题。
二、金融和投资在金融和投资领域，二次函数可以用于计算复利、评估投资风险等。
例如，在股票交易中，可以利用二次函数计算股票价格的波动范围和趋势，从而制定合理的投资策略。
此外，二次函数还可以用于评估贷款的利率和还款计划等。
三、物理学和工程学在物理学和工程学领域，二次函数可以用于描述物体的运动规律、分析机械系统的动态特性等。
例如，在力学中，可以利用二次函数描述物体的加速度、速度和位移等物理量之间的关系；在机械工程中，可以利用二次函数分析机械系统的稳定性和振动等问题。
四、计算机科学在计算机科学领域，二次函数可以用于图像处理、数据分析和机器学习等方面。
例如，在图像处理中，可以利用二次函数进行图像的平滑处理、边缘检测等操作；在数据分析和机器学习中，可以利用二次函数进行回归分析、分类预测等任务。
五、生物学和医学在生物学和医学领域，二次函数可以用于描述生长曲线、药物动力学等。
例如，在生长曲线研究中，可以利用二次函数描述个体生长速度的变化规律；在药物动力学中，可以利用二次函数分析药物在体内的吸收、分布和排泄等过程。
六、经济学和商业在经济学和商业领域，二次函数可以用于研究需求供给曲线、企业成本最小化等问题。
例如，在需求供给曲线研究中，可以利用二次函数描述商品价格与需求量之间的关系；在企业成本最小化分析中，可以利用二次函数优化生产流程和资源分配等。
七、地理学和环境科学在地理学和环境科学领域，二次函数可以用于模拟气候变化、水资源分布等问题。
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早需要多少天能还清所有债务，
此时每件服装的价格应定为多少
元？
3、某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小 张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植 每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图 ①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩） 之间函数关系如图②所示．
6、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台， 现在决定 把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台 机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机 器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器 到D市、E市的运费为400元和500元．
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕 后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的 最大值和最小值．
利用函数解决实际问题归纳
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8。动点P从 点A开始沿折线AC-CB-BA运动，点P在AC、CB、BA边上 运动时，速度分别为每秒3、4、5个单位。直线l从与AC重合 的位置开始，以每秒4/3个单位的速度沿CB方向平行移动， 即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、BA边交于E、F两 点。点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一 次回到点A时，点P和直线l同时停止运动。当点P在折线ACCB-BA上运动时，设△PEF的面积为S，请直接写出S和t的 函数关系以及自变量t的取值范围；
（1）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式； （2）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），求w与 m之间的函数关系式．并说明如何安排种植蔬菜和水果，农 庄支付的总费用最小。
当m-1≤x≤m时，求函数 y x2 2经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、 B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的 包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/ 吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s （单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平 均销售价格为9万元/吨． （1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式； （2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨 梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w关于x的函数关系式； ②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？ （3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获 得最大毛利润，并求出最大毛利润．
2、某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行 经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给 该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务 均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元， 该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可 用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为 每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债 务）． （1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系 式；
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器 调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和 最小值．
反思小结