曲线的切线(详解)

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专题02 曲线的切线方程(解析版)

专题02 曲线的切线方程(解析版)曲线的切线方程(解析版)切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线上某一点处的变化趋势。

在本专题中，我们将重点探讨曲线的切线方程的求解方法，并应用于具体的实例中。

本文将以清晰的语言和整洁的排版，详细介绍曲线的切线方程的推导过程和应用要点，让读者更好地理解和掌握该知识点。

一、切线的定义与性质在开始讨论曲线的切线方程之前，首先需要了解切线的定义与性质。

切线是指曲线上一点处切线与曲线相切的直线。

切线具有以下几个性质：1. 切线与曲线相切于切点，切点的坐标可以通过求解方程组得到；2. 切线的斜率等于曲线在切点处的导数值；3. 切线与曲线的切点处的曲线方程相同。

了解了切线的定义与性质后，我们可以进一步推导切线方程的求解方法。

二、切线方程的求解方法求解曲线的切线方程有几种不同的方法，如点斜式、两点式和一般式。

在本文中，我们将着重介绍点斜式和两点式这两种方法。

1. 点斜式点斜式是一种简单、直观的求解切线方程的方法。

设曲线的方程为y = f(x)，切点坐标为(x0, y0)，曲线在切点处的斜率为k。

则切线的方程可以表示为：y - y0 = k(x - x0)其中，k可以通过求解曲线的导数得到。

通过代入切点的坐标和斜率的值，即可得到切线方程。

2. 两点式两点式是另一种常用的求解切线方程的方法。

设曲线上两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则切线的方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)通过代入曲线上已知的两点坐标，即可得到切线方程。

三、切线方程的应用切线方程作为解析几何中的重要工具，在数学和实际应用中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 切线与法线切线和法线是曲线上两条最基本的直线。

切线与曲线在切点处相切，而法线与切线垂直。

根据切线方程的求解方法，我们可以进一步得到法线的方程。

2. 最大和最小值对于一个函数，其最大值和最小值通常出现在函数曲线的切线与x轴相交的点处。

曲线的切线

课题：导数的概念（一）—曲线的切线教学目标：1知识与技能：了解曲线的切线的概念，掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法，会求过曲线上一点的切线斜率与切线方程.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度。

.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法. 理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数. 理解函数在一点处可导，则函数在这点连续.2过程与方法：掌握用极限思想研究问题的方法。

3情感态度价值观：通过探究曲线的切线斜率这一过程，培养学生主动探索，发现问题，并积极尝试解决问题的精神，帮助学生养成探索学习的良好习惯。

教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题。

教学过程：一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课：（一）１．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x ∆yQM Px O y2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率切线x O y就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x∆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量)平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度（二）导数的定义1定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- (5)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关(6)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成00000/lim )()(lim )(0x x x x f x x f x f x x o x -=∆-∆+=→→∆ (7)若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导(8)若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线2. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f 注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值 3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导4. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.从f (x )在x 0处可导的定义可以知道，f (x )在x 0处有定义，考察 f (x )在x 0处是否有极限，并且是否等于f (x 0).已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 令x =x 0+Δx ，当Δx →0时，x →x 0∴0lim →∆x f (x )=0lim →∆x f (x 0+Δx )=0lim →∆x ［f (x 0+Δx )－f (x 0)+f (x 0)］ =0lim →∆x ［xx f x x f ∆-∆+)()(00·Δx +f (x 0)］ =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00·0lim →∆x Δx +0lim →∆x f (x 0)=f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0) ∴f (x )在x 0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥00 x x x x 在x 0=0处 ∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0 ∴y =|x |在x =0处连续.0lim →∆x x y ∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x ∴y =|x |在x 0=0处不可导.5. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 三、讲解范例：例1求y =x 2在点x =1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy ，再求x y ∆∆，最后求0lim →∆x xy ∆∆. 解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 注意：(Δx )2括号别忘了写.例2已知y =x ，求y ′.分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x .解：Δy =x x x -∆+，xx x x x y ∆-∆+=∆∆ ∴)(lim lim lim 000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆ =x x x x x 211lim 0=+∆+→∆. 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.例3 已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2.解：Δy =(x +Δx )3－2(x +Δx )+1－(x 3－2x +1)=x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3－2x －2Δx +1－x 3+2x －1=(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2－2)Δxxy ∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2－2 ∴y ′=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+3x Δx +3x 2－2］=3x 2－2.方法一：∵y ′=3x 2－2，∴y ′|x =2=3×22－2=10.方法二：Δy =(2+Δx )3－2(2+Δx )+1－(23－2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δx xy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10 ∴y ′|x =2=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+6Δx +10］=10. 点评：如果题目中要求y ′，那么求y ′|x =2时用方法一简便如果只要求y ′|x =2，用方法二比较简便四、课堂练习：1．求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.解：Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )－(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ，x y ∆∆=2Δx +16 ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2Δx +16)=16，即y ′|x =3=16 2.已知y =4+x ，求y ′解：Δy =44+-+∆+x x x ，xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44 ∴0lim →∆x x y ∆∆=44(lim 44lim 00+++∆+∆∆=∆+-+∆+→∆→∆x x x x x x x x x x x =421441lim 0+=+++∆+→∆x x x x x ，∴y ′=421+x 五、小结：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤.f ′(x 0)=y ′|0x x = =0lim →∆x xy ∆∆=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 f ′(x )=y ′=0lim →∆x x y ∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00 三个步骤：①求函数的增量Δy ，②求平均变化率x y ∆∆，③取极限f ′(x 0)= 0lim →∆x x y ∆∆，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件题目：导数的概念学校：黑龙江省实验中学姓名：赵春梅教龄：3年。

函数中切线的概念及性质

函数中切线的概念及性质切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在某一点处的局部特性。

切线与曲线的切点处相切，并且在该点附近近似代表曲线的变化情况。

在数学中，切线经常应用于函数的求导和微分等问题中。

下面我将详细介绍切线的定义、性质以及一些具体的应用。

1. 切线的定义：对于一条曲线C，取其上一点P(x0, y0)。

如果存在一个直线L，使得曲线C与直线L在点P处相切，并且曲线C与直线L在点P处的切线方向与曲线在该点处的切线方向相同，那么直线L就称为曲线C在点P处的切线。

2. 切线的性质：（1）切线与曲线在切点处相切；（2）切线是通过曲线上的一点的一次线性逼近；（3）切线与曲线在切点上切线方向相同。

3. 切线的求法：对于给定的函数y=f(x)，我们要求其在点P(x0, y0)处的切线。

有以下步骤：（1）计算函数在点P处的斜率，即求导数f'(x0)；（2）使用点斜式方程(y-y0) = f'(x0)(x-x0)得到切线的方程。

4. 切线的几何意义：切线可以近似地描述曲线在某一点的变化情况，即切线的斜率可以表示曲线在该点处的变化速率。

切线还可以与曲线的图像相切，便于我们研究曲线的局部性质。

5. 切线与导数的关系：函数在某一点的导数恰好是函数在该点处的切线的斜率。

因此，求导数的过程实质上是求曲线在各个点处的切线的斜率。

6. 切线的应用：（1）求曲线的近似值：由于切线可以近似替代曲线，所以我们可以通过求解切线的问题来近似地求解曲线的问题。

（2）求函数的变化率：函数在某一点的切线的斜率可以表示函数在该点处的变化率，从而可以帮助我们研究函数的增减性、极值、趋势等问题。

（3）求最优解：对于一些优化问题，我们可以通过研究曲线的切线来找到函数极值的位置，从而得到函数的最优解。

总之，切线是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在某一点处的局部特性。

切线的定义、性质以及与导数的关系有助于我们深入理解曲线变化的情况，并在数学、物理等领域中有广泛的应用。

五种方法解二次曲线的切线问题，理解应用这些公式你离学霸不远了

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题型：已知焦点在x轴上的椭圆与直线2x+3y-10=0相切，且离心率为√3/2，求此椭圆方程
这里给出五种方法求解，几乎每种都代表着不同的方法，这些方法中蕴含着丰富的知识，同学们好好研究一下，对你们的学习非常有帮助呢！
解法一：（判别式法）
初等数学中，二次曲线的切线问题源于判别式，且利用判别式还可得出有关切线的某些性质、公式或定理。

解法二：。

2023高考数学一轮复习专题03 曲线的公切线方程(解析版)

专题03曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12答案D解析易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①．设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为kx 0＋b③，由②③可得b ＝12x 0，将b ，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12．(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数直线l 的方程为．答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设l ，∴f ′(x 1)＝1e x，∴切点为(x 1，1e x)y ＝1e x·x －11e xx ＋1e x，①，同理设l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)①与②相同，∴111122121e e , e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⇒=⎪⎨⎪-+=+⎩③④把③代入④有－11e x x ＋1e x ＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1．(3)曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线．答案1解析由y ＝ln x ＋x 得y ′＝1x＋1，设点(x 1，ln x 1＋x 1)是曲线C 1上任一点，∴曲线C 1在点(x 1，ln x 1＋x 1)处的切线方程为y －(ln x 1ln x 1－1．同理可得曲线C 2在点(x 2，x 22)题意知两切线重合，1＝2x 2，x 1－1＝－x 22，消去x 22x ＋4ln x －3(x >0)，则f ′(x )＝－2x 3－2x 2＋4x ＝4x 2－2x －2x 3＝当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．即方程①只有一个解，故曲线C 1与C 2只有1条公切线．(4)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝．答案8解析方法一因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2．所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1．因为y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由＝2x －1，＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0．由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8．方法二同方法一得切线方程为y ＝2x －1．设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)，所以0|x x y ＝＝2ax 0＋(a ＋2)．由ax0＋(a ＋2)＝2，20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，0＝－12，＝8.(5)(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________．答案0或1解析设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x 的切点为(x 2，y 2)，y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x 2＝1x 1．又由k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x 2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)·(x 1－1)＝0，则x 1＝1e 或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2(1,2)，与曲线y ＝e x 的切点为(1，e)或(0，1)，所以k ＝e －11－1e＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1．a4ln x0有解，令φ(x)＝1x2＋2x＋1＋4ln x(x>0)，φ′(x)＝－2x3－2x2＋4x＝4x－2x－2x3＝2(2x＋1)(x－1)x3，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．【对点训练】1．若直线l与曲线y＝e x及y＝－14x2都相切，则直线l的方程为________．1．答案y＝x＋1解析设直线l与曲线y＝e x的切点为(x0，0x e)，直线l与曲线y＝－14x2的切点为1y＝e x在点(x0，0x e)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝0x e，y＝－x24在点1y′|x＝x1x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝0x e x－x0e0x e＋0x e或y＝－12x1x＋14x21＝－x12，x0＋＝x214，所以0x e＝1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1．2．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝e xa的图象相切，则实数a等于()A．e B．e e2C．e2D．e e 2．答案B解析由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，则f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．设y＝2x－1与函数g(x)＝e xa的图象相切于点(x 0，y 0)，由g ′(x )＝e x a ，可得00000e 2,e 21,x x g x a g x x a ⎧()==⎪⎪⎨⎪()===-⎪⎩′解得x 0＝32，a ＝321e 2＝e e 2．3．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A ．14B ．12C ．1D ．43．答案A解析由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．4．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于()A ．1B ．2C ．3D ．3或－14．答案D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1，0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3．5．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．5．答案1－ln 2解析y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x＋1)的切线为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)．＝1x 2＋1，1＋1＝ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln2．6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．6．答案－2解析∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1．又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1．g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，∴m ＝－2．7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．07．答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1．8．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝e xe2的切线，也是曲线y ＝e x －1的切线，则k ＋b 等于()A ．－ln 22B ．1－ln 22C ．ln 2－12D ．ln 228．答案D解析设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝e x e 2相切于点P (x 1，y 1)，y ′＝e x e2＝e x －2，k 1＝12e x -；直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝e x －1相切于点Q (x 2，y 2)，y ′＝e x ，k 2＝2e x ，∴l 1：y ＝1112221e e e x x x x x ---+-，l 2：y ＝2222e e 1e x x x x x +--，12112222212e e e e e e 1x xx x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩---，∴---，∴x 2＝－ln 2，∴k ＋b ＝2222e e 1e x x x x +--＝12＋12－1－(－ln 2)×12＝ln 22．9．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．9．答案(1，1)解析y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1．设P (m ，n )，y ＝1x(x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．10．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为．10．答案－e34-解析由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ．∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax ．设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，又∵g ′(x )＝－1x ，ln x 0－14＝ax 0，①＝－1x 0，②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e 34-．11．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．211．答案B 解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1111e e e x x xx x -+，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由＝1x 2，－1x 1＝－1＋ln x 2，得x 2＝11e x ，111e e x x x -＝－1＋ln x 2＝－1＋1ln 1e x ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1．又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2．12．曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝a e x (a >0)存在公切线，则a 的取值范围是________．12．答案，4e 2解析设公切线在y ＝x 2上的切点为(x 1，x 21)，在y ＝a e x(a >0)上的切点为(x 2，2e x a )．函数y ＝x 2，y ＝a e x (a >0)的导数分别为y ′＝2x ，y ′＝a e x ，则公切线的斜率为2x 1＝222112e e x x x a a x x =--，整理得a ＝2241e x x ()-．由a >0可知，x 2>1，令f (x )＝4x －1e x，x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＝4e x2－x e x 2＝8－4xe x，f ′(x )>0⇒1<x <2；f ′(x )<0⇒x >2，∴f (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，f (x )max ＝f (2)＝4e 2；当x →＋∞时，f (x )→0，即0<f (x )≤4e2，∴a ，4e 2．13．若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．13．解析易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0，0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x ＝2x ，＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1．(2)当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①，又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②，联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x ＝－14x ，＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164．综上，a ＝1或a ＝164．14．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0．(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．14．解析(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2．(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1．当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9．由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2．在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9．②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1．在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x －10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9．综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0．。

高数中求曲线的切线方程

高数中求曲线的切线方程
在高等数学中，我们经常需要求曲线的切线方程。

给定一个曲线和一个点，我们要找出这个点处的切线方程。

假设曲线方程为 y = f(x)，给定的点为 (x0, y0)。

切线的斜率就是函数在该点的导数。

所以，首先我们需要求出函数 f(x) 在 x0 处的导数。

然后，使用点斜式方程 y - y0 = m(x - x0) 来求切线方程，其中 m 是斜率。

用数学公式表示，我们有：
1.导数 f'(x0) = lim (x->x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)
2.切线方程为 y - y0 = f'(x0) * (x - x0)
现在我们要来解这个问题，给定一个具体的曲线和点，求出切线方程。

计算结果为：切线斜率 m = 0
所以，给定点 (x0, y0) 处的切线方程为：y0。

专题(一)曲线的切线

导数与函数专题（一）——曲线的切线一、知识归纳1．导数的几何意义即曲线切线的斜率，因此，对牵涉到曲线切线斜率的问题可考虑由函数求导数，利用导数知识来帮助解题．2．已知切线方程时，可由切线方程求得切线斜率，即等于函数在切点处的导数．另外，切点坐标满足曲线方程，也满足切线方程，这在解题时常用到．3．已知切点坐标00()x y ，时，先求出函数在该点处的导数，即得切线斜率0()k f x '=，再利用直线方程的点斜式写出切线相乘000()()()y f x f x x x '-=-．4．切点坐标未知时，先设出切点00()P x y ，，代入曲线方程()y f x =得00()y f x =，再根据题设条件得出另一个有关00x y ，的关系式，解方程组求出00x y ，，然后再求切线方程．二、典型例题【例1】求曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程．解：由2()36f x x x '=-，则(1)3k f '==- 故所求切线方程为：32y x =-+．【例2】求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设切点为00()P x y ，，则切线斜率为200()32k f x x '==-，则切线方程为2000(32)()y y x x x -=--，即320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =或012x =-，故所求切线为20x y --=或5410x y +-=．【例3】若两条曲线39y x b =-与ln y x =在x a =处有公切线，求a b ，的值，并写出公切线的方程．解：曲线29y x b =-在点3(9)P a a b -，处的切线方程为32(9)27()y a b a x a --=-，即232718y a x a b =--…………①曲线ln y x =在点(ln )P a a ，处的切线方程为1ln ()y a x a a -=-，即1ln 1y x a a=++……②式子①，②表示同一个直线方程，于是2312718ln 1a a a b a ⎧=⎪⎨⎪--=-⎩，解得131ln 33a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，公切线方程为3ln31y x =--．【例4】已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．解：设l 与1C 的切点211()x x ，，l 与2C 的切点222((2))x x --，，曲线1C 在1x 处的导数为12x ，过点211()x x ，的1C 的切线方程为： 21112()y x x x x -=-，即：2112y x x x =-曲线2C 在2x 处的导数为22(2)x --，过点222((2))x x --，的2C 的切线方程为：2222(2)4y x x x =--+-．由题意直线2112y x x x =-与2222(2)4y x x x =--+-重合，则有12221222(2)4x x x x =--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1202x x =⎧⎨=⎩或1220x x =⎧⎨=⎩，所以两曲线1C 和2C 的公切线l 的方程为0y =或44y x =-．三、巩固练习（1）设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0]4π，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）（A ）1[1]2--，（B ）[10]-，（C ）[01]，（D ）1[1]2，（2）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(0)4M π，处的切线的斜率为（ B ）（A ）12-（B ）12（C）（D（3）曲线21x y e -=+在点(02)，处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ A ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）1（4）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)x f x e x =>的图象上的动点，该图象在P处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，该线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是．212e e+（5）在抛物线22x y =上求一点P ，使P 到直线4y x =-的距离最短，并求出这个最短距离．解：212y x =，y x '=．设直线l 平行直线4y x =-，并与抛物线22x y =相切，切点为00()x y ，，则00200|12x x y x x y ='==⎧⎪⎨=⎪⎩，解得00112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1)2P ，．切点离直线的最短距离为1|14|d --==．（6）已知函数3()f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．解：（Ⅰ）()f x 的导数2()31f x x '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()666()g t t at t t a '=-=-．当t 变化时，()g t 、()g t '变化情况如下表：一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异实根，则()0a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．（7）已知抛物线21:2C y x x =+和22:C y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．（Ⅰ）a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．（Ⅱ）若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．解：（Ⅰ）函数22y x x =+的导数2+2y x '=，曲线1C 在点2111(2)P x x x +，的切线方程是：21111(2)(22)()y x x x x x -+=+-，即211(22)y x x x =+-………①函数2y x a =-+的导数2y x '=-，曲线2C 在点222()Q x x a -+，的切线方程是： 2222()2()y x a x x x -+=--，即2222y x x x a =-++………②如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程，可得1222121x x x x a+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，消去2x 得方程2112210x x a +++=．若判别式442(1)0a ∆=-⨯+=时，即12a =-时解得112x =-，此时点P 与Q 重合．即当12a =-时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14y x =-．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当12a <-时，1C 和2C 有两条公切线．设一条公切线上切点为1122()()P x y Q x y ，，，．其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121x x +=-，2222121121112()2(1)1y y x x x a x x x a a +=++-+=+-++=-+，线段PQ 的中点为11()22a -+-，．同理，另一条公切线段P Q ''的中点也是11()22a-+-，．所以公且线段PQ 和P Q ''互相平分．（8）已知定义在正实数集上的函数221()2()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，，其中0a >，设两曲线()()y f x y g x ==，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（Ⅱ）求证：()()(0)f x g x x >≥．解：（Ⅰ）23()2()a f x x a g x x''=+=，．设()y f x =与()y g x =(0)x >在公共点00()x y ，处的切线相同，由题意，()y f x =与()y g x =在公共点处的函数值相同，切线的斜率也相同．于是0000()()()()f x g x f x g x =⎧⎨''=⎩，即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．由20032a x a x +=得0x a =或03x a =-（舍去）．即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．把b 看作a 的函数，令225()3ln (0)2h a a a a a =->，则()2(13ln )h a a a '=-．于是当(13ln )0a a ->，即130a e <<时，()0h a '>；当(13ln )0a a -<，即13a e >时，()0h a '<．故()h a 在13(0)e ，为增函数，在13()e +∞，为减函数．于是()h a 在(0)+∞，的最大值为12333()2h e e =，即23max 32b e =．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，只需证明()F x 的最小值等于0即可．因为23()(3)()2(0)a x a x a F x x a x x x-+'=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +∞，为增函数．于是函数()F x 在(0)+∞，上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．。

专题02 曲线的切线方程(解析版)

专题02 曲线的切线方程考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021·全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020·全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析法一因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020·全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021·新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)． (9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12D ．1 答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2x ＋12，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14． (11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．答案2 解析设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B ．⎣⎡⎭⎫2π3，π C ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x在x ＝1处的切线方程为． 2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019·全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019·全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1) 处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019·天津)曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程为________． 6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1 ＝－12x ，即y ＝－12x ＋1． 7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e－a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝ x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ． 13．已知曲线y ＝13x 3＋43． (1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0． (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x ． (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6．故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6．15．(2021·全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增； ②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13． (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞) 解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为．答案 0 解析依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以a ＋b ＝0．(4)(2019·全国Ⅰ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D 解析因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13C ．3D ．－3 答案 B 解析由题可得y ′＝－3（x －2）2，所以曲线在点(1，－2)处的切线的斜率为－3．因为切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，所以－3·⎝⎛⎭⎫－a b ＝－1，解得a b ＝－13，故选B ． (6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．答案 1＋ln 2 解析设切点为(m ，m ln m )，y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝m ＝1＋ln m ，∴y －m ln m ＝(1＋ln m )(x －m )，即y ＝(1＋ln m )x －m ，又y ＝kx －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln m ＝k ，m ＝2，即k ＝1＋ln 2． (7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞) 解析 f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝1－a 2x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，即－⎝⎛⎭⎫x 0＋a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，∵曲线存在两条切线，故该方程有两个解，∴Δ＝4a 2－8(－a )>0，解得a >0或a <－2．(8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．答案 (1－ln2，＋∞) 解析由题意，临界情况为y ＝2(x ＋a )与y ＝e x 相切的情况，y ′＝e x ＝2，则x ＝ln2，所以切点坐标为(ln2，2)，则此时a ＝1－ln2，所以只要y ＝2|x ＋a |图象向左移动，都会产生3个交点，所以a >1－ln2，即a ∈(1－ln2，＋∞)．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．1．答案 e －2 解析因为y ′＝ln x ＋1，所以(ln1＋1)(ln t ＋1)＝－1，∴ln t ＝－2，t ＝e －2．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．4．答案 (－∞，2) 解析由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． 5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为．5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ·(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．6．答案－1 －3 解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________． 7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x，则1m＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2． 9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝．10．答案－274 解析设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2 ＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274． 11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．答案 A 解析因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ． 12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0． (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π．故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞． 14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ． (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。

切线的知识点总结

切线的知识点总结一、基本概念1. 切线的定义在平面解析几何中，给定曲线上一点P(x0, y0)，若曲线经过该点的一条直线与曲线在该点处有且仅有一个公共点，则该直线被称为曲线在该点处的切线。

2. 切线方程设曲线的方程为F(x, y) = 0，点P(x0, y0)为曲线上的点，当曲线在点P处有切线时，切线方程可表示为F’(x0, y0)(x - x0) + F’’(x0, y0)(y - y0) = 0，其中F’和F’’分别表示对x和y的偏导数。

3. 切线的性质（1）切线与曲线的关系：切线与曲线在切点处相切。

（2）切线方向：切线在切点处与曲线的切线方向相同。

二、求解切线的方法1. 隐式求导法经典方法是先求出曲线的导数函数，再利用导数的定义求得曲线在给定点处的斜率，进而得出切线方程。

例如，对于曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，点P(1, 1)处的切线方程的求解过程可用隐式求导法进行。

2. 参数方程法对于一些曲线如抛物线、双曲线等，可以用参数方程表示其方程，从而通过参数方程法求得切线方程。

3. 极坐标下的切线方程对于极坐标系下的曲线，通过导数和极坐标系的极坐标变换，可以求得曲线在给定点处的切线方程。

4. 三角函数和指数函数的切线方程对于三角函数和指数函数等特殊函数，可通过函数导数的求解和切线方程的一般形式得出切线方程的具体形式。

三、切线的应用1. 几何意义切线是研究曲线的一个基本工具，它可以描述曲线在某点的切线方向，从而揭示曲线的局部性质。

例如，切线可以用来描述曲线在某点的陡峭程度，曲线的凸凹情况等。

2. 物理应用在物理学中，切线常被用来描述曲线运动的速度、加速度等物理量。

在物体做曲线运动时，可以利用切线的方向和斜率表示速度方向和大小，从而分析物体的运动状态。

3. 工程应用在工程领域，切线的概念常被应用在工程设计、建筑设计等领域。

利用切线概念，可以分析曲线的局部形态，辅助工程设计过程。

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题讲义-云南民族大学附属中学高三数学复习

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题一考纲解析：曲线的切线方程是近几年高考的重点和难点，一般出现在选择、填空和大题等位置。

常出现的题型包括圆的切线方程，椭圆、双曲线、抛物线以及一般曲线的切线方程。

处理方法有用直线与曲线联立∆判别式为零确定相切情况和利用导数几何意义求曲线的切线方程。

二、题型解析题型一圆的切线方程方法指导：圆切线问题处理步骤首先看点),(000y x P 是在圆上还是圆外：若过圆上一点且与圆相切的切线方程只要一条；若过圆外一点且与圆相切需结合图形分析，过圆外一点且与圆相切要考虑切线斜率是否存在？如果斜率存在一般设切线方程：)(00x x k y y -=-切通过点到切线距离等于圆半径求出切线斜率，最后可通过图形检验切线斜率的正负性。

典例一过点M （0,5）、N （3，-4）的圆圆心C 在直线：-2x+3y+3=0.求过点H （-2,4）且与圆C 相切的切线方程【解】：根据圆知识点圆内两条相交弦的交点即为圆心，3354-=--=MN k ,M,N 的中点为（21,23），直线MN 的中垂线为：)23(3121-=-x y ，设圆心坐标为(a,b) 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-)23(31210332a b b a 解得圆心坐标（3,1），故圆C 方程：25)1()3(22=-+-y x 如上图所示，H 点在圆外部，其中一条切线方程显然为：x=-2另外一条存在斜率，设为：)2(4+=-x k y ，圆心C(3,1)到直线的距离51|35|2=++=k k d ，解出,158则方程为：8x-15y+16=0,综述切线方程为：x=-2或8x-15y+16=0. 变式训练：(1)（2010年课标全国）圆心在原点且与直线x+y+2=0相切的圆的方程为【解】设圆的方程为：222r y x =+，根据题意，得22|2|=-=r ，所以圆的方程为：222=+y x(2) (2020.浙江)已知直线1)4(1)0(2222=+-=+>+=y x y x k b kx y 和圆与圆均相切，则k= ,b= .【解】: 如下图所示：满足k>0的直线方程即与122=+y x 圆相切且又与1)4(22=+-y x 圆相切的直线为直线AB ，则设直线AB方程为：)2(-=x k y ,圆心O （0,0）到直线AB的距离11|2|2=+-=k k d ，解得332,33-==b k 进而得到。

平面曲线的切线与法线

x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0 . (3)
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
F(x, y, z) 0,
L:
G(
x,
y,
z)
0
.
(4)
设 P0( x0, y0, z0 ) L; F ,G 在点 P0 近旁具有连续的
一阶偏导数, 且
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
y0 ) 0;
(1)
法线方程 : Fy (P0 )( x x0 ) Fx (P0 )( y y0 ) 0 .
例1 求笛卡儿叶形线
2(x3 y3) 9xy 0
在点 P0(2,1) 处的切线与法线. 解设 F ( x, y) 2( x3 y3 ) 9x y. 由§1 例 2 的讨
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
的图象；并求该曲线在点 P0 ( 3 , 3 2 ) 处的
切线与法线.
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解在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);

曲线的切线(详解)

曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。

当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。

2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。

问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。

小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。

问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。

小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。

3例2 已知曲线y=。

x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。

解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。

变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。

九年级切线知识点详解

九年级切线知识点详解直至连线知识点详解切线是数学中的一个重要概念，它与曲线的性质密切相关。

在九年级的数学学习中，切线知识点是一个重要的内容。

本文将详细介绍九年级切线的相关知识，包括切线的定义、切线的性质以及切线的应用。

一、切线的定义切线是指在曲线上某一点处与该点所在曲线的切点重合的一条直线。

切线与曲线之间只有一个公共点，且在该点处切线与曲线的斜率相等。

二、切线的性质1. 切线的斜率等于曲线导函数在该点处的斜率。

对于曲线y=f(x)，如果曲线在某一点P(x0,y0)处有切线，则切线的斜率等于曲线的导函数f'(x)在x0处的导数值，即：k = f'(x0)2. 切线与曲线相切于该点处。

由切线的定义可知，切线与曲线只有一个公共点，且在该点处切线与曲线相切。

3. 切线与曲线的切点相互重合。

切线与曲线在切点处重合，即切线通过曲线上的该点。

三、切线的应用1. 切线的应用于曲线的切线方程的求解。

通过切线的定义和性质，可以求解曲线的切线方程。

以曲线y=f(x)和该曲线上的一点P(x0,y0)为例，切线方程的一般形式为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)2. 切线的应用于几何问题的解决。

切线在几何问题中也有广泛的应用，比如判断两个图形之间的关系、求解切线长度等。

四、切线知识点的例题现在我们通过一些例题来巩固对切线知识点的理解。

例题1：求曲线y=2x^2的切线方程，并画出该曲线和切线的图像。

解：首先求曲线的导函数：f'(x) = 4x然后选择曲线上的一点P(x0,y0)，我们选取P(1,2)作为切点。

根据切线方程的一般形式可以得到切线方程：y - 2 = 4(1)(x - 1)y - 2 = 4x - 4y = 4x - 2画出曲线y=2x^2和切线y=4x-2的图像如下：（图像略）例题2：在曲线y=x^3 - 6x^2 + 9x - 2上寻找切线与x轴平行的点。

解：首先求曲线的导函数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9然后设曲线上的一点为P(x0,y0)，根据题目要求，切线与x轴平行，则切线的斜率为0。

高中数学：曲线上一点的切线方程

曲线上一点的切线方程定理高三数学00222200222200(,),1,:2,(,)()()()()()()P x y x y r x x y y r a b x a y b r x a x a y b y b r +=+=-+-=--+--=设曲线上一点下面就是各种常用曲线上的点的切线方程。

一，圆的切线方程圆心在原点的圆：的切线方程圆心的圆的切线方程00220022222200222200220022222200222(,)1,112,11(,)1,112,1P x y x x y y x y x a b a by y x x y x y a b a bP x y x x y y x y x a b a by y x x y x y a b a b +=+=+=+=-=-=-=-二，椭圆上一点的切线方程焦点在轴上椭圆的切线方程:焦点在轴上椭圆的切线方程:三，双曲线上一点的切线方程焦点在轴上双曲线的切线方程:焦点在轴上双曲线的切线方程:21=00200200200200(0)(,)1,2:()2,2:()3,2:()4,2:()p P x y x y px y y p x x x y px y y p x x y x py x x p y y y x py x x p y y >==+=-=-+==+=-=-+四，抛物线上一点的切线方程焦点在轴正半轴上的切线方程焦点在轴负半轴上的切线方程焦点在轴正半轴上的切线方程焦点在轴负半轴上的切线方程椭圆上一点的切线方程推导抛物线的切线方程的推导过程设过抛物线22y px =上一点M(x 0,y 0)的切线的斜率为k,则，由点斜式得切线方程为：)(00x x k y y -=-联合抛物线方程，有：整理，得：消去,,2),(200y px y x x k y y ⎩⎨⎧=-=-,0)2(4)](2[0,0)2()(2002022*********022000222=-+⨯-+--=∆∴=-+++--y kx x k y k p ky x k y kx x k y x p ky x k x k 即：，相切，整理，得：,022020=+-p k y k x )(),(,2,2),(2),(2,2,084,22),(,2284200002020002000000000200202000200x x p y y x x y y pyp y x px y x x y y x x x x yy y x y k px y px y px y y x M x px y y k +=+=⨯=∴=+=-=-=∴=-∴=∴=⨯-±=∴即：代入上式，得：又整理，得：代入，得：上的点，是抛物线点所以，过抛物线px y 22=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00x x p y y +=．同理：过抛物线px y 22-=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00x x p y y +-=过抛物线py x 22=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00y y p x x +=过抛物线py x 22-=上一点M(x 0,y 0)的切线的方程为：)(00y y p x x +-=。

双曲线的切线(全面版)

双曲线的切线（11）本文拟讨论由坐标平面内任意点，，引双曲线：＞，＞的切线，切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标．P(x y )C =1(a 0b 0)(1)001x a y b2222不妨只考察P 在原点、P 在坐标轴正半轴上、P 在第一象限内的情形．当P 在原点或P 在区域Ⅰ时，不存在切线；当P 在C 1或C 2（不含原点)上时，仅一条切线；当P 在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C 3(不含A 、B ）上时，有两条切线．结论：①原点处无切线. ②点在C 3上时一条切线③当P 在线段AB 上时,Q 在C 1的右支上半支． ④当P 在线段AB 的延长线上时,Q 在C 1的左支下半支． ⑤若点P 在区域Ⅰ内，过P 不存在切线．⑥若点P 在曲线C 1上（异于点A ），切点即点P ．⑦若点P 在曲线C 2上（异于点B)，若P 在线段OB 上，Q 在C 1右支下半支．若P 在线段OB 的延长线上, Q 在C 1右支上半支．⑧若点P 在区域Ⅱ内, Q 1在C 1右支下半支，Q 2在C 1右支上半支．⑨若点P 在区域Ⅲ内, Q 1、Q 2位于C 1同一支且在x 轴同侧．⑩若点P 在区域Ⅳ内， Q 1在C 1的右支下半支，Q 2在C 1的左支下半支． ⑪若点P 在区域Ⅴ内, Q 1在C 1左支下半支，Q 2在C 1的右支上半支．如图所示，记的渐近线为∶－，的右顶点为，，直线∶C C =0C A(a 0)C 1213x a ybx=a ；C 3与C 2的交点为B （a,b ）；C 1的内部（含焦点的部分)为区域Ⅰ；C 1与C 2之间的部分，在C 3左侧为区域Ⅱ，在C 3右侧部分为区域Ⅲ；C 2与y 轴正半轴所夹的部分，在C 3左侧为区域Ⅳ，在C 3右侧为区域Ⅴ．1 若P 在原点∵方程组无实数解，x x a y b =-=⎧⎨⎪⎩⎪012222∴ 直线x=0不是C 1的切线．设过P(0，0）的直线l 的方程为y=kx ，代入(1）消去y 得(b 2－a 2k 2）x 2＝a 2b 2，当≥时，此方程无实根，所以与无公共点；当＜时，此方程有两相反|k|C |k|1b a ba l实根，∴l 与C 1有两个交点．故过P 不存在C 1的切线．2 若过点P 存在无斜率的切线此时切线方程为，代入消去得－，此方程有两相等实x =x (1)x a y =b (x a 0222022) 根的充要条件是－，即．x a =0|x |=a 022故点P 在C 3上时，C 3为C 1的一条切线，切点为A ．3 若过点P 存在有斜率的切线设切线斜率为k ，则切线方程为y －y 0=k （x －x 0）（2）将(2）代入(1）消去y 可得(b 2－a 2k 2）x 2－2a 2k （y 0－kx 0)x －a 2[(y 0－kx 0)2＋b 2]=0 （3）方程（3）的判别式Δ－－＋＋令－－＋＋=4a b [(x a )k 2x y k (y b )]f(k)=(x a )k 2x y k (y b )220222000220222000223。

求曲线的切线方程和法平面方程

求曲线的切线方程和法平面方程一、概念解析1. 曲线的切线：曲线上某一点处的切线是过该点且与曲线相切的直线。

2. 法平面：法平面是垂直于曲面上某一点处的法向量所构成的平面。

二、求解方法1. 求曲线的切线方程：（1）参数方程法：设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，则该曲线在点P(x0,y0,z0)处的切向量为T=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)|t=t0。

因此，该点处的切线方程为：(x-x0)/(dx/dt)=(y-y0)/(dy/dt)=(z-z0)/(dz/dt)（2）隐函数法：设曲线的隐函数方程为F(x,y,z)=0，则在点P(x0,y0,z0)处，该曲线所在平面上任意一条经过P点且垂直于该平面的直线都是该点处的切线。

因此，将F(x,y,z)在P(x0,y0,z0)处进行泰勒展开，得到：F(x,y,z)=F(x0,y0,z0)+(∂F/∂x)(x-x0)+(∂F/∂y)(y-y0)+(∂F/∂z)(z-z0)+o(||(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)||)因为F(x0,y0,z0)=0，所以该式可以化简为：(∂F/∂x)(x-x0)+(∂F/∂y)(y-y0)+(∂F/∂z)(z-z0)=0这是该曲线所在平面的法向量方程。

将该式中的(x,y,z)代入曲线的隐函数方程中，得到：F(x_0+(dx/dt)t,y_0+(dy/dt)t,z_0+(dz/dt)t)=0对该式求导，得到：(∂F/∂x)(dx/dt)+ (∂F/∂y)(dy/dt)+ (∂F/∂z)(dz/dt)= 0这是曲线在点P处的切向量方程。

因此，点P处的切线方程为：( x-x_ 0)/( dx/ dt )=( y-y_ 0)/( dy/ dt )=( z-z_ 0)/( dz/ dt )2. 求法平面方程：（1）参数方程法：设曲面的参数方程为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，则该曲面在点P(x0,y0,z0)处的法向量为N=( ∂f/ ∂u × ∂f / ∂v, ∂g / ∂u × ∂g / ∂v, ∂h / ∂u × ∂h / ∂v )|u=u_ 0,v=v_ 0。

圆锥曲线的直线切线定理解析

圆锥曲线的直线切线定理解析圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它由一个固定点（焦点）和到该点距离与到一条直线（准线）距离之比等于常数的点所组成。

直线切线是在某一点上与曲线相切的直线。

本文将对圆锥曲线的直线切线定理进行解析。

一、圆锥曲线的类型在解析几何中，常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。

它们的定义方式如下：1. 椭圆：椭圆是到两个焦点的距离和为定值的点的集合。

其标准方程为 $(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的长半轴和短半轴。

2. 双曲线：双曲线是到两个焦点的距离差为定值的点的集合。

其标准方程为 $(\frac{x}{a})^2 - (\frac{y}{b})^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为双曲线的长半轴和短半轴。

3. 抛物线：抛物线是到焦点的距离与到准线的距离相等的点的集合。

其标准方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 为抛物线的焦点到准线的距离。

二、直线切线定理的定义直线切线定理是指通过圆锥曲线上的一点，能且只能有一条直线与其相切。

也就是说，曲线上的每一点都有一条切线与其相切，并且切点是相切线上的唯一交点。

三、直线切线的求解方法1. 求解椭圆的直线切线：设椭圆的方程为 $(\frac{x}{a})^2 +(\frac{y}{b})^2 = 1$，曲线上一点为 $P(x_0, y_0)$。

由于切线与曲线相切，切线方程的斜率等于曲线在该点的导数。

因此，可以通过求解曲线方程和导数方程的联立方程组，来确定切线斜率 $k$。

之后，可以通过点斜式或一般式等方法，得出切线的方程。

2. 求解双曲线的直线切线：设双曲线的方程为 $(\frac{x}{a})^2 - (\frac{y}{b})^2 = 1$，曲线上一点为 $P(x_0, y_0)$。

与椭圆类似，可以通过求解曲线方程和导数方程的联立方程组，来确定切线斜率 $k$。