换底公式的推导及特殊换底公式及练习.
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n
（数乘）
注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算
不必考虑 M ， N 是否非负；但是从右向左运算时必须 保证 ， M 非负； N 2.两端的底数必须相同这就是说利 用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 结果：1、 lg15 1.7, 2、 ； lg 2
例4 若lg2=m， lg3 n，求log512的值.
lg12 lg 4 lg 3 解：log 5 12 10 lg 5 lg 2 lg 4 lg 3
lg10 lg 2
2 lg 2 lg 3 1 lg 2
2m n 1 m
五、
终结
log a N (其中a，b 0，a，b 1.换底公式：logb N 1，N 0) log a b
2、利用计算器计算ln15 和 ln 2.
lg 2 0.3;
ln15 2.7,
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10； 第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学 计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
问题1 可否利用计算器求出 log 的值呢？ 15
三、推论
令 N ， a
推论1
n
1 logb a log a b
log a N logb N 则 就变形为 log a b
1 log am b logbn a m m logbn a
1
1 1 m m log a b n n log a b
n 推论2 log am b log a b m
(0， ) y 0.84x 在 方法一：利用指数函数的性质可知
上是减函数，故可取 x=1，2，3，4，5， 6， ....直 至对应的 y为止，如下表所示： 0.5
x
0 1
0.59
2
0.50
3
0.42 ...
4
5
...
1 x 0.84 0.71 y 0.84
0.5 由表可知，当时 y ，对应的 , x4 即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半. 方法二： 由题意可得 0.84 x 0.5， 即x log0.84 0.5 lg 0.5 利用换底公式得 x ， lg 0.84 用科学计算器计算得 x 3.98， 即月经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
loga d 右边
四、应用
例1 计算：
(1) log9 27
例2
；
(2) log8 9 log 27 32
用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log2 48 ； log3 10 ;
lg 48 lg 2
17 0.3
56.7
log8 ;
=
lg10 lg 3
1 0.48
我们可设log 2 15 x ， 从而有
2
2 x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
log10 2 log10 15，即
x
lg 2 lg15 x lg 2 lg15 lg15 lg15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
lg15 x log 2 15 lg 2
n
n log a b m
请同学们自己推导.
n
注：实际上由换底公式直接可得推论2，
log a b n log b n a log am b log a b m log a a m m
直接利用换底公式
n
推论3
loga b logb c logc d loga d
lg b lg c lg d lg d 证明 左边 lg a lg b lg c lg a
证明
设 logb N x ，根据对数的定义，有
b N
x
两边取以 a为底的对数，得
x
loga b loga N.
由于b 0，所以可得 x loga b loga N， 又由于b 1，所以可得 log a N log a N . x ， 即 logb N log a b log a b
3.91.
lg15 抽象推广到一般情况可得重要 由 log 2 15 lg 2
的对数转换公式：
换底公式
log a N logb N (其中a，b 0，a，b 1，N 0) log a b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程， 并思考如何将以 b 为底 N 的对数转换为以 a为底的对 数的比值.
2.推论： （） 1 logb a
n
1 log a b
n （） 2 log am b log a b m
（） 3 loga b logb c logc d loga d
鸣Biblioteka Baidu马海红
未经允许转载
2.1
lg lg 8
0.5 0.9
log5 50 ;
log1.082 2
0.56
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每 经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过 多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1 个有效数字）. 分析：对于实际问题的解答，其基本思路为： 1.分析实际问题； 2.建立数学模型； 3.利用数学方法求解； 4.解答. 解：设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y，则 经过1年，剩留量是 y 0.84 经过2年，剩留量是 y 0.842 …… 经过x年，剩留量是 y 0.84x
一、从对数的运算性质说起
则有： 1，M 0，N 0， 如果a 0， a
(1) loga (M ) loga ( N ) loga (MN );
1
（加法）
(2) loga (M ) loga ( N ) loga (MN ); （减法）
(3) nloga M loga M ,(n R);
（数乘）
注意：1.在实际解题过程中以上三式从左向右运算
不必考虑 M ， N 是否非负；但是从右向左运算时必须 保证 ， M 非负； N 2.两端的底数必须相同这就是说利 用对数的运算性质只能解决同底数的对数运算 .
二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 结果：1、 lg15 1.7, 2、 ； lg 2
例4 若lg2=m， lg3 n，求log512的值.
lg12 lg 4 lg 3 解：log 5 12 10 lg 5 lg 2 lg 4 lg 3
lg10 lg 2
2 lg 2 lg 3 1 lg 2
2m n 1 m
五、
终结
log a N (其中a，b 0，a，b 1.换底公式：logb N 1，N 0) log a b
2、利用计算器计算ln15 和 ln 2.
lg 2 0.3;
ln15 2.7,
ln 2 0.7.
说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10； 第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学 计算器可以直接计算常用对数和自然对数.
问题1 可否利用计算器求出 log 的值呢？ 15
三、推论
令 N ， a
推论1
n
1 logb a log a b
log a N logb N 则 就变形为 log a b
1 log am b logbn a m m logbn a
1
1 1 m m log a b n n log a b
n 推论2 log am b log a b m
(0， ) y 0.84x 在 方法一：利用指数函数的性质可知
上是减函数，故可取 x=1，2，3，4，5， 6， ....直 至对应的 y为止，如下表所示： 0.5
x
0 1
0.59
2
0.50
3
0.42 ...
4
5
...
1 x 0.84 0.71 y 0.84
0.5 由表可知，当时 y ，对应的 , x4 即约经过4年该物质的剩留量是原来的一半. 方法二： 由题意可得 0.84 x 0.5， 即x log0.84 0.5 lg 0.5 利用换底公式得 x ， lg 0.84 用科学计算器计算得 x 3.98， 即月经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.
loga d 右边
四、应用
例1 计算：
(1) log9 27
例2
；
(2) log8 9 log 27 32
用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：
log2 48 ； log3 10 ;
lg 48 lg 2
17 0.3
56.7
log8 ;
=
lg10 lg 3
1 0.48
我们可设log 2 15 x ， 从而有
2
2 x 15
对上式两边同取以10为底的对数可得
log10 2 log10 15，即
x
lg 2 lg15 x lg 2 lg15 lg15 lg15 x ， 即 log 2 15 lg 2 lg 2
x
lg15 x log 2 15 lg 2
n
n log a b m
请同学们自己推导.
n
注：实际上由换底公式直接可得推论2，
log a b n log b n a log am b log a b m log a a m m
直接利用换底公式
n
推论3
loga b logb c logc d loga d
lg b lg c lg d lg d 证明 左边 lg a lg b lg c lg a
证明
设 logb N x ，根据对数的定义，有
b N
x
两边取以 a为底的对数，得
x
loga b loga N.
由于b 0，所以可得 x loga b loga N， 又由于b 1，所以可得 log a N log a N . x ， 即 logb N log a b log a b
3.91.
lg15 抽象推广到一般情况可得重要 由 log 2 15 lg 2
的对数转换公式：
换底公式
log a N logb N (其中a，b 0，a，b 1，N 0) log a b
说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面 对log 2 15 的求值过程实际上就是一种证明方法，可类 似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程， 并思考如何将以 b 为底 N 的对数转换为以 a为底的对 数的比值.
2.推论： （） 1 logb a
n
1 log a b
n （） 2 log am b log a b m
（） 3 loga b logb c logc d loga d
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2.1
lg lg 8
0.5 0.9
log5 50 ;
log1.082 2
0.56
例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每 经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过 多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1 个有效数字）. 分析：对于实际问题的解答，其基本思路为： 1.分析实际问题； 2.建立数学模型； 3.利用数学方法求解； 4.解答. 解：设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y，则 经过1年，剩留量是 y 0.84 经过2年，剩留量是 y 0.842 …… 经过x年，剩留量是 y 0.84x
一、从对数的运算性质说起
则有： 1，M 0，N 0， 如果a 0， a
(1) loga (M ) loga ( N ) loga (MN );
1
（加法）
(2) loga (M ) loga ( N ) loga (MN ); （减法）
(3) nloga M loga M ,(n R);