数学中的分析法与综合法
高二数学人选修课件第一章综合法和分析法
第二步，计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的差，得到$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 2x_1 + 2) (x_2^2 - 2x_2 + 2) = (x_1 - x_2)(x_1 +第三步，由于$x_1, x_2 in [1, +infty)$且$x_1 < x_2$，所以$x_1 - x_2 < 0$，同时$x_1 + x_2 - 2 > 0$。
第四步，再次对两边同时平方，得到 $42 > 40$。
第三步，对第二步的结论进行简化， 得到$sqrt{42} > 2sqrt{10}$。
因此，我们证明了$sqrt{6} - sqrt{5} > 2sqrt{2} - sqrt{7}$。
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
综合法的优缺点
01
优点
02
逻辑性强：综合法遵循严格的逻辑推理，使得证明过程具 有严密性。
03
适用性广：综合法可以应用于各种数学领域，具有广泛的 适用性。
04
缺点
05
对已知条件依赖性强：综合法需要从已知条件出发进行推 导，若已知条件不足或不明确，则难以应用综合法。
06
创造性思维受限：综合法主要依赖于逻辑推理和运算，相 对于分析法而言，对创造性思维的发挥有所限制。
应用于解析几何
在解析几何中，分析法可 以帮助我们找到满足特定 条件的点、直线或曲线。
应用于数列与极限
分析法在数列与极限的求 解中也有广泛应用，可以 通过逐步推导找到数列的 通项公式或极限值。
分析法的优缺点
优点
分析法思路清晰，逻辑严密，可以逐步推导出问题的解决方 案。
综合法、分析法和分析综合法
综合法、分析法和分析综合法证明一个数学命题，重要的是寻找“条件”（已知）与“结论”（未知）之间的逻辑关系．寻找的方法通常分成正面思考和反面思考两大类．正面思考的方法有综合法、分析法和分析综合法等，反面思考的方法有反证法和同一法等．（一）综合法所谓综合法就是从“已知条件”出发，运用已学过的数学知识（定义、公理、定理等），一步步地进行推理，直至导出“结论”为止．综合法以“结论”为目标，由“已知”推出“可知”，逐步靠拢目标．因例1 如图1-1．已知：α⊥β，b⊥β且bα．求证：b∥α．【分析】由α⊥β和平面与平面垂直的性质定理可知，在α内，作垂直于α与β交线的直线c必垂直于β．从而由b⊥β、c⊥β和直线与平面垂直的性质定理可得，b与c重合或平行．若b与c重合，则bα，与已知条件bα不合；若 b∥c，则 b∥α．【证明】设α∩β=m，在α内作直线c⊥m．【解说】用综合法证明立体几何题，从“已知”过渡到“可知”时，必须注意挖掘几何图形的性质，充分运用性质定理去推证，这是综合法证题的一个规律．例2 如图1-2．已知：在四面体ABCD中，AB⊥DC，AC⊥BD．求证：AD⊥BC．【分析】由AB⊥DC和AC⊥BD可得出什么？注意到CD、BD都在平面BCD内，AB、AC都是这个平面的斜线，这样，已知条件就是平面BCD的两条斜线与该平面内的两条直线分别垂直．因此，由三垂线定理的逆定理可得，两条斜线的射影也分别垂直于这两条直线．于是，作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH，则BH⊥CD，CH⊥BD．从而H是△BDC的垂心，可知DH⊥BC．由DH是AD 在平面BDC内的射影和三垂线定理，可得AD⊥BC．【证明】如图1-2．过A作AH垂直于平面BCD，垂足为H，连结BH、CH、DH．（二）分析法所谓分析法就是从“结论”入手，去追溯“结论”成立的条件（即在什么条件下“结论”成立），再把所得的条件作为结论，去寻找这个新结论成立的条件．像这样，追根求源，一直追溯到“已知”为止．例3如图1-3．已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1．（1994年全国高考文科、理科试题）【分析】欲证AB1∥平面DBC1，即证AB1平行于平面DBC1内的一条直线．由于D是AC的中点，联想△CAB1的中位线的性质，只需找到B1C的中点E．而由已知易得B1BCC1是矩形，B1C与BC1的交点就是E．【证明】连结B1C、BC1，设B1C∩BC1=E，再连结DE．【解说】在本例的分析中，用分析法作了一番探索后，发现了由“已知”通向“未知”的思维过程，为综合法证明铺平了道路．例4 如图1-4．已知：在四面体ABCD中，AC=BC，AD=BD．求证：AB⊥DC．【分析1】欲证 AB⊥DC，由直线与平面垂直的性质知，需证AB垂直于过DC 的某个平面．因此，需找两条相交直线，它们都垂直于AB，且与DC共面．因AB 是△CAB和△DAB的公共边，问题转化为在AB上是否存在一点M，使AB⊥MC，且AB⊥MD，但这由已知条件CA=CB和DA=DB可知．【证法1】设M是AB的中点，连结MC和MD．【分析2】如图1-5．AB在平面ABD内，CD与这个平面相交．要证AB⊥CD，若CD是平面ABD的斜线，则问题转化为证CD在平面ABD内的射影 DH（CH⊥平面ABD）垂直于AB．因DA=DB，只需证∠ADH=∠BDH．由DA=DB知，只需证AH=BH，这可由CA=CB得出．若CD⊥平面ABD，则易得CD⊥AB．【证法2】（1）当CD不垂直于平面DAB时（如图1-5），过C作CH⊥平面DAB，垂足为H，连结AH、BH、DH．于是，由（1）、（2）可知，CD⊥AB．【解说】这两种证法都需要添置适当的辅助线，而这些辅助线都是在探索“结论”成立的条件中发现的．因此，分析法是立体几何中添置辅助线的一种重要方法．（三）分析综合法综合法由“条件”靠拢“结论”是正向思维，分析法由“结论”追溯“条件”是逆向思维．因此，在思维方法上，这两种方法构成一对矛盾．分析法和综合法是证明数学命题的两种有效方法，在立体几何中都大有用武之地，但是，使用这两种方法要灵活机动，因题制宜，不可拘泥于某一种方法．有的题目，单用一种方法简直到了山穷水尽疑无路的地步，一旦改换另一种方法，思维沿着相反的方向进行，就会出现柳暗花明又一村的美景．因此，一旦把两种方法结合起来，互相穿插使用，便能加快解题速度．这样，分析法和综合法互相配合就产生了分析综合法．这种方法从一个命题的两头（“条件”和“结论”）向中间靠拢，思路清晰，目标明确，思维集中，容易找到问题的突破口，发现解题途径．例5 如图1-6，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．求证：BE=EB1．（1996年全国高考理科试题改编）在平面A1CE内可作EG⊥A1C于G，设AC的中点为F，连BF、FG，【证明】如图1-6．在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C于G，则由截面EA1C⊥侧面A1C，得EG⊥侧面A1C．■设F是AC的中点，连结BF、FG，则由BA=BC，得BF⊥AC．∵平面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1．∴BF∥EG．从而BF、EG确定一个平面，这个平面与侧面A1C的交线为FG．又 BE∥侧面A1C，∴BE∥FG．于是 BE=FG．在△CAA1中，∵FG∥BE，BE∥AA1，∴FG∥AA1．又 F是AC的中点，。
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
小学数学：分析法和综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
数学归纳法
¬q ⇒r ⇒L⇒t
问题1 今天，据观察第一个到学校的是男同学， 问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学， 第二个到学校的也是男同学， 第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是 男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 数列{a 的通项公式为a 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2, 计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列 的通项公式为： {an}的通项公式为：an＝1. 问题3 三角形的内角和为180 180° 问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和 180° 角和为3 180° 于是有： 为2 · 180°，五边形的内 角和为3 · 180°，于是有： 边形的内角和为(n (n180° 凸n边形的内角和为(n-2) · 180°. 问题4 数列为{1,2,4,8} {1,2,4,8}， 问题4：数列为{1,2,4,8}，则它的通项公式为 (n≤4， an=2n-1(n≤4，n∈N* ) 请问： 以上四个结论正确吗？为什么? 请问： 以上四个结论正确吗？为什么? 得出 以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
n +n 2
4
2
当n=k+1时， 时
k +k L假设n = k(k ∈N )时成立，即1+ 2 +L+ k = )时 2
4 * 2
2
多少项？ 2k+1 多少项？
1+2+3+…+k2+ (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 k4 + k2 2 = +(k2 +1)+(k2 + 2)+L+ + +1) (k 2 2 4 k +k = +(2k+1)k2 +(1+ 2 +L+ 2k +1) 2 k4 + 4k3 + 7k2 + 6k + 2 = 22 4 3 3 2 2 k + 2k + k + 2k + 4k + 2k + 2k + 4k + 2 = 2 2 4 2 2 2 2 (k +1) +(k +1) k (k +1) + 2k(k+1) + 2(k+1) = L = 2 2
分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
2.2.1综合法和分析法
分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,
1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β
【高中数学优质课件】推理与证明03综合法与分析法 课件(31张)
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.
高中数学2.2.1 综合法和分析法
-16-
2.2.1 综合法与分析法
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 规范解答 当堂检测
综合法与分析法的综合应用 例3已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
求证:logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc. 分析:解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质将题 目转化成整式不等式证明.
①综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找
已知条件的必要条件.
②综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,
通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.
-3-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 1】 命题“求证:tan θ+ta1n������ = sin22������”的证明过程“tan
-17-
2.2.1 综合法与分析法
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
规范解答 当堂检测
解:要证明 logx������+2������+logx������+2 ������+logx������+2 ������<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx
①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推
理实际上是寻找使结论成立的充分条件.
②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为
2.2.1综合法和分析法
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b ) 16ab
2 2 2
4
4
3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评] • (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； • 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。 • (3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
a+b 练习：证明不等式： 2
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b ) 0
2
a+b 证法2:要证; ab 2 只需证;a + b 2 ab
分析法
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证;a + b 2 ab 0
课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已 知入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述 中要注意语言的规范性和逻辑性.
分析与综合法
由A、B、C成等差数列→B=60° →b² =a² +c² -2accosB=a² +c² -ac。 思路接近，整理一下即得完整的证明。（从两 条线进行考察）
二、综合法
1、综合法：把研究的对象的各部分、方面、因素都联系起 来加以研究考察，从而在整体上认识和掌握事物的本质属 性和规律的一种思维方法。 特点是：从事物各部分、方面、因素的特点和属性出发寻找 内在联系，然后再去认识事物的整体规律。 2、数学解题中的综合法：指从已知的定义、定理、条件出 发，逐步推演从而导致所求结论的一种方法，是由因索果 的方法。 3、分析法与综合法混合使用 思维层面：解决问题总是从分析模式开始，找到方法后再 综合理解和表达出来。 方法层面：分析法和综合法是解决问题时的两种表达方式 4、联合使用二者的优势：目的性更明确；整体性更充分。
例2 已知A、B为锐角三角形之二内角，求证tgA· tgB＞1。 证明 • 考虑到tgA· tgB，可作CD⊥AB，则应有 （要证明结论， 也就是要证） CD 2
tan A tan B
即 CD² ＞AD· BD。 我们希望能在CD所在直线上找一点E，使得ED² ＝ AD· BD，且有CD＞ED。（是否存在这样的点E？不明确） 假设这个不明确的部分是成立的，则E点应在CD内。通 过已有的知识和C是锐角， 我们很快知道E点即是以AB为直径的半圆与CD的交点，且落 在CD内，即原命题是成立的。
例1 若x、y、z为互不相等的正数，求证
证明 把要求证的不等式看成是一个整体事物，并假设其 成立。 然后变形(即把它分解成一些适当的部分，以找出能解决 问题的一种分解形式)，即需证明
那么，原不等式做为一个整体，就可分解成以下三个部分 ， 且有 这三个部分按题设条件是成立的，所以原不等式成立
综合法与分析法
定义： 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每
一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法（逆推证法）。特点：执果索因
分析法的框图表示：
Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件
2.函数 f(x)＝xlo|xg|a|x|(0<a<1)的图象大致是
中物理
解析 取 a＝12，当 x＝2 时，f(2)＝－1<0，排除 A，B； 当x＝－2时，f(－2)＝1>0，排除D，故选C.
3.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，a＋b＝2，则必有
a2＋b2 A.1≤ab≤ 2
√ a2＋b2
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表 示所要证明的结论.
1.从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其 逐步推理实质上是寻找它的 必要条件 . 2.用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、 形式简洁.
综合法 分析法
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方 法，也是解决数学问题时常用的思维方式.
不等式：a
+ 2
b
ab (a>0,b>0)的证明.
运用以前学过的数学知识，大家自己证明试试看！
证明:
∵ ( a b)2 0
∴ a + b 2 ab 0
∴ a + b 2 ab
∴
a+b 2
ab
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.2综合法与分析法
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0， 即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
归纳升华 1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思 路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两 法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从 而解决较复杂的不等式证明问题．
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
高中数学—综合法与分析法
∵∴即a2>(aab->-1bcb),(+b-bc-1)c(c+-ca)-1<a0, 0 成立.
5. 已知 m, nR+,
求证
m
+ 2
n
m+n
mnnm
.
证明: ∵ m, nR+,
要证
m+ 2
n
m+n
mnnm
,
只需证
(
m+ 2
n
)m+n
mnnm
,
(
m+ 2
n
)m+n
(
mn )m+n ,
∴只需证 ( mn)m+n mnnm,
b3+c3=(b+c)(b2-bc+c2) ≥(b+c)bc, c3+a3=(c+a)(c2-ca+a2) ≥(c+a)ca, ∴2(a3+b3+c3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca
=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2 =a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
配方计算得 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0,
∵a, b, c互不相等, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0 成立, ∴原不等式成立.
4. 已知 a>b>c,
求证
1 a-b
+
1 b-c
+
1 c-a
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数学中的分析法与综合法
作者：冯伟源
来源：《师道·教研》2012年第10期
做任何事情都要讲究方法.古往今来,人们十分重视方法论的研究,力图运用正确的方法来认识世界和改造世界,中学数学教学,要进一步提高教学质量,必须熟悉和灵活运用数学中的科学方法,其中分析与综合是中学数学中最常用的科学方法,在数学教学中,它有各种不同的表现形式,既是研究数学概念的方法,又是解答数学问题证明数学定理的方法.笔者就这两种方法作一阐述.
分析是在思想中把事物的整体分解为部分,把复杂事物分解为简单要素,把完整的过程分解到各个阶段,并加以研究的思维方法.在数学中,分析就是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法.例如,为了求多边形的面积,我们可以把多边形分解为若干个三角形,分别进行研究,又如,对于列方程解应用题这一完整过程,可以分解为设元、列方程、解方程、检验等四个阶段分别予以考察,在数学解题中,分析是首先且大量要用到的一种思维方法,因为对于求知的整体事物,要使学生深刻地认识它、理解它,首先就得恰当地分解它、简化它.具体地说,分析法是从数学题的特征结论或要求出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.
例1:如图,P是⊙O外一点,PQ切⊙O于Q,PAB和PCD是割线,∠PAC=∠BAD.求
证:PQ■=PA■+AC·AD.
证法(分析法):由于易知PQ■=PA·PB
要证:PQ■=PA■+AC·AD
只需证:PA·PB= PA■+AC·AD
即证AC·AD= PA■-PA·PB
即AC·AD= PA(PA-PB)
又因PA-PB=AB
只需证AC·AD=PA·AB
即AC/PA=AB/AD
这就将问题转化为证明△PAC与△ABD相似.
连接BD,因∠PAC是圆内接四边形ABCD的一个外角,故∠PCA=∠ABD.
又∠PAC=∠BAD,故△PAC∽△DAB,由此命题得证.
综合是在思想中把事物的各个部分、各个方面、各个要素、各个阶段联结为整体进行考察的思维方法,在数学中综合就是从原因推导到由原因产生的结果的一种思维方法.例如,把正整数、零、负整数、正分数、负分数联结起来考察,对有理数就能有一个完整的认识;把有理数和无理数联结起来研究,则对实数就可以有更深刻的理解.综合不是把事物的各个部分简单地拼凑在一起,而是着重于找出其互相联系的规律性.具体地说,综合法是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.
例2:已知a , b ,c, d为正实数,且a■+b■+c■+d■=4abcd, 求证:a=b=c=d.
证明:(综合法)
由a■+b■+c■+d■=4abcd
得a■+b■+c■+d■- 4abcd=0
从而转化成(a■-b■)■+(c■-d■)■+2a■b■+2c■d■-4abcd=0
即(a■-b■)■+(c■-d■)■+2(ab-cd)■=0
易知a■-b■=0 , c■-d■=0,ab-cd=0
又a,b,c,d为正数
故有a=b, c=d,ab=cd
即a=b=c=d.
分析和综合是最基本最常用的思维方法,也是其它各种思维方法的基础,但它们相辅相成、对立统一的,没有分析,就没有综合.分析是综合的基础,首先分析,而后综合,在综合时仍需分析.人的认识就是循着分析—综合—再分析—再综合的辩证过程,一步一步加深对客观事物的认识.数学的教学过程,实质上就是对数学材料不断地进行分析和综合的过程,只有加强分析才能使学生学得深入透彻,不致于囫囵吞枣、一知半解;只有注重综合,才能使学生学得完整系统,不致于断章取义、以偏概全.。