《三角形的证明》复习课件1 公开课课件

如： ……
提示:能将证明的能力提升一个台阶的前提是:认识
并掌握一定数量的基本图形.
回顾 思考 7
互逆定理与互逆命题
你能说出一对互逆的命题吗?
它们的真假性如何?
在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理?
一个命题的逆命题的真假性如何?
一个定理的逆命题的真假性如何?
回顾 思考 8
基本作图
作一条线段等于已知线段; 作一个角等于已知角; 作线段的垂直平分线;
M N
思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是 一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形 的性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意 分清条件与图形中的对应关系
我能行
初露锋芒
在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC
的平分线,已知 AB 4 3 ,求AD的长.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
A
E
D
O
B
C
作业分析 5
提高证明能力的源泉
5、已知:如图,在△ABC中, ∠A,∠B,∠C的
度数之比是1∶2∶3 ,AB 3 .
求:AC的长.
作业分析 6
提高证明能力的源泉
6、已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为
N,M,且OM=ON.
求证:PM=PN.
B N
P
O
MA
作业分析 7
提高证明能力的源泉
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边 的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
例2:如图,ΔABC,ΔCDE是等边三角形 (1)求证:AE=BD
学无止境
(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N, 求证:CM=CN
(3)连结MN,猜想MN与BE的位置 关系.并加以证明
明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
提示:
要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子, 使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子 称为反例(counter example).
回顾 思考 4
知识要点回顾
1.定理: 等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角
2.推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上 A 的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
∵DA=DB,AE=BE
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)
∵AB=2AC,E为AB的中点
∴AE=AC
E
在ΔAED和ΔACD中, AE=AC,∠1=∠2,AD=AD
B
∴ΔAED≌ΔACD(SAS)
∴∠AED=∠ACD=900
即AC⊥DC
小试牛刀
A
12
C D
F
或用延长法:延长AC至F使CF=AC,连结DF
例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB
求证:DC⊥AC
小试牛刀
证明:延长AC至F使CF=AC,连结DF
∵AB=2AC,AC=CF
∴AB=AF
A
∵∠1=∠2,AD=AD
12
∴ΔADB≌ΔADF(SAS)
B
C
∴DB=BF
∵DA=DB
D
∴DA=DF
F
∵AC=CF
∴DC⊥AF(等腰三角形三线合一) 即DC⊥AC
与直角三角形有关的结论 与一般的三角形有关的结论
线段的垂直平分线 角的平分线
回顾 思考 6 我能行不只是字面意义
与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法.
如：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离 相等.
如：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高.
如：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一 点到三个顶点的距离相等.
作已知角的平分线;
已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.
作图题的一般步骤: 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.
做一做: 任意画一个角,利用尺规将其二等分,四等分.
作图题的要求:能写出规范的作图步骤.
例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB 求证:DC⊥AC
证明:取AB的中点E,连结DE
定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出 它们的定义(definition) .
命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement). 每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分
组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题
定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB
A D
∴PD=PE 逆定理:
1
O2
在一个角的内部,且到角的两边距离相 E 等的点,在这个角的平分线上.
P
C
B
∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE ∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)
11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且
7、已知:如图,MN是线段AB的垂直平分线,C,D
是MN上的点.
M
求证:
C
(1)△ABC,△ABD是等腰三角形;
D
(2)∠CAD=∠CBD.
B
A
N
作业分析 8
提高证明能力的源泉
8、任意作一个钝角,求作它的角平分线.
作业分析 9
提高证明能力的源泉
9、已知线段a, 求作：以a为底,以2a为高的等腰三角形.
6.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方.
它的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,
那么这个三角形是直角三角形.
7.直角三角形全等的判定定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
8.写出命题：
(简称“HL”)
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么
这个锐角所对直角边等于斜边的一半
∵∠ACB=900 , ∠A=300
A
∴ BC 1 AB
300
2
它的逆命题:
C
B
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半, 那么这条直角边所对的锐角等于300.
∵∠ACB=900, BC 1 AB 2
∴ ∠A=3
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom).
证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明.
定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理 的推论(corollary).推论可以当作定理使用.
3.等腰三角形有关知识要点:
结论1:等腰三角形两底角的平分线相等. 结论2:等腰三角形两腰上的中线相等. 结论3:等腰三角形两腰上的高相等；
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
4.等边三角形的判定：
(1).三条边都相等的三角形是等边三角形. (2).三个角都相等的三角形是等边三角形. (3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
解:∵ ∠C=900,∠B=300,
∴ AC 1 AB 1 4 3 2 3
A
∠CAB=6200 2
∵AD是角平分线
∴∠CAD=300
C
D
B
设CD=x,那么AD=2x，在RtΔACD中，AD2=CD2+AC2
∴ (2x)2 x2 (2 3)2 解得：x=2 ∴AD=4
思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性
这一点到三个顶点的距离相等.
(这一点叫做三角形的外心)
12.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且
这一点到三条边的距离相等.
(这一点叫做三角形的内心)
A
A
ND P
F M
P
B
C
B
HE
C
回顾 思考 5
在本章中你学到了什么
通过探索,猜 想,计算和证 明得到定理
命题的逆命题 及其真假
尺 规 作 图
与等腰三角形、等边三角形 有关的结论
9.线段的垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
∵MN垂直平分AB (MN⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上) ∴PA=PB