高中数学离心率问题知识+练习

一、基础知识： 1、离心率公式：c

e a

=

（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞

2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+

① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+

① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a -=

② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率

1.椭圆(22

21012x y b b

+=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P

为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________

2.设21F F ，分别为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使

得,4

9

||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =

⋅=+则该双曲线的离心率为 A 34 B.35 C.4

9

D.3 3.P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上的一点，12F F ，是焦点，1PF 与渐近线平行，

1290F PF ∠=则双曲线的离心率为（ ）

C. 2 4.双曲线)0,0(1:

2

22

2>>=-b a b y a x C 的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦

距等于（ ）

A.2

B.22

C.32

D.4

5.设12,F F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左右焦点，若双曲线左支上存在一点

M ，使得()

110F M OM OF ⋅+=，O 为坐标原点，且123

3

MF MF =

，则该双曲线的离心率为（ ）

A.

1+ B.

C.

+ D.

6.已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为（ ）

A.

B. 2

C.

D.

7.已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双

曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是 （ ）

A ．

123+ B

C ．1313+ D

8.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的

左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ） 9.已知12,F F 是椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P ，使得

12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A.A. ⎫⎪⎪⎭

B. ⎫⎪⎪⎭

C. ⎛ ⎝

D. ⎛

⎝ 思路一：考虑在椭圆上的点P 与焦点连线所成的角中，当P 位于椭圆短轴顶点位置时，

12F PF ∠达到最大值。所以若椭圆上存在12PF PF ⊥的点P ，则短轴顶点与焦点连线所成的

角90θ≥，考虑该角与,,a b c 的关系，由椭圆对称性可知，2452

OPF θ

∠=

≥，所以

2

2tan 1OF c OPF OP b ∠==≥，

即22222

c b c b c a c ≥⇒≥⇒≥-，进而2212c a ≥即212

e ≥，

解得e ≥()0,1e ∈

可得e ⎫∈⎪⎪⎭

思路二：由12PF PF ⊥可得1290F PF ∠=，进而想到焦点三角形12F PF 的面积：

12

2212

tan

2

F PF F PF S

b b ∠==，另一方面：12

121

2

F PF P P S F F y c y =

⋅⋅=⋅，从而22

P P b c y b y c ⋅=⇒=，因为P 在椭圆上，所以[],P y b b ∈-，即2

P b y b b c c

=

≤⇒≤，

再同思路一可解得：e ⎫

∈⎪⎪

⎭

O F C 22

221(0)x y a b a b

+=>>,A B C P C PF x ⊥A l PF M y

E BM OE C 131

22334