第五章 线性空间与线性变换PPT课件
线性空间与线性变换重要PPT课件
(6) a ( a) ( a);
(7) a b a b；
(8) 1 a a1 a.
故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实 数域上的线性空间。
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注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以 是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.
线性空间的简单性质：
若 (II) 组中的每个向量都能由向量组 (I) 线性表 示, 则称向量组 (II) 可由向量组 (I)线性表示, 若向量组 (I) 与向量组 (II) 能相互线性表示, 则 称这两个向量组等价.
性质 设A, B,C是向量组，则
(1)反身性：A与A等价 (2)对称性：A与B等价，则B与A等价 (3)传递性: A与B等价，B与C等价,则A与C等价.
即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.
同理，对 1, 2 ,令
k11 k22 0
即
kk1120k2 0
k1 5k2 0
得k1 k2 0. 故 1, 2 线性无关.
注：向量组只包含两个非零向量 1,时2，则
1,2线性相关 ，使2 =1或1=2
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线性相关性的判定
定理1 n维列向量组 1,2, ,s线性相关的充要条
特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常 的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
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例1 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
Amn Bmn Cmn , Amn Dmn ,
易验证加法和数乘满足八条运算律.
Rmn是实数域上的线性空间.
3.1 线性空间的定义与性质
常见的几何空间：
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
5.4第5章 线性空间与线性变换
4. 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间V n ( 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 证明 设 1 , 2 T (Vn ), 则有 1 , 2 Vn ,
使 T1 1 , T 2 2 , 从而
1 2 T1 T 2 T (1 2 ) T (Vn ), (因1 2 Vn ); k1 kT1 T (k1 ) T (Vn ), (因k1 Vn ),
所以， B X AX
1
18
例19 设V是一个二维线性空间， 1 , 2 是一组基，线性 变换 在 1 , 2 下的矩阵是 2 1 1 0
1 1 1 , 2 为V的另一组基，且 (1 ,2 ) (1 , 2 ) 1 2 求 在基 1 , 2 下的矩阵.
19
小结
R 给定了线性空间 R 的一组基以后， 中的线 性变换与 R nn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线阵．
n n
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
20
思考题
已知R 的两个线性变换
22
T ( X ) XN , S ( X ) MX , X R22
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维 线性空间V的线性变换到数域P上的 n n 矩阵的一个 13 映射.
定理3 设 1 , 2 ,, n 是数域P上n维线性空间V的一组基， 在这组基下，V的每个线性变换都唯一对应一个 n n 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于 逆矩阵.
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
第讲线性空间与线性变换课件
即
0 x 0, x 0,1
f 的负元素为 f1 x f1 x, x 0,1
（2）下证 dimV ，即证存在任意多个线性无关 的函数。令
f0 x 1, f1 x x, f2 x x2, , fn x xn , x 0,1
则可证 f0, f1, , fn 线性无关，由于 n 任意大，所以
2、线性空间的简单性质
（1）零元素 是唯一的； （2）任意元素 的负元素 是唯一的；
（3）0 , k ,1 ;
（4）如果 k ，则 k 0 或 .
例1、设V 是定义在闭区间0,1 上所有实函数的集
合，在V 上定义的加法为：对 f1, f2 V , f1 f2 为函数
f1 f2 x f1 x f2 x
设，存在 Vi ,1 i m 1. 若 Vm ，得证。 否则， Vm ，必存在 Vm 。我们证明存在正整数 k , 使 k Vi 对所有的 i 1, 2, , m 成立。
首先注意 k Vm。否则，我们有 Vm ，矛盾。
我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数 k ，使
k Vi 对 i 1, 2, , m 1 成立即可。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
例2、设V1,V2 是数域P上的线性空间，对 k P,
1,2 , 1, 2 V1 V2 , 规定 1,2 1, 2 1 1,2 2 k 1,2 k1, k2
（1）证明：V1 V2 关于以上运算构成P上的线性空间；
（2）设 dimV1 m,dimV2 n ，求 dimV1 V2 .
A
s
，作齐次线性方程组
Ax O
T s
可得它的基础解系1, 2, , ns（其中i 为 n 维列向量），
则有 iT j
第五章线性空间与线性变换第三讲
fi ( A) xi fi ( A)ui ( A)gi ( A) x ui ( A) f i ( A)gi ( A) ui ( A) f ( A) x 0, 即 xi V 于是V V1 Vk
下面证明若 x Vi
V ，则
j i j j i
x 0.
x Vi，即f i ( A) x 0，x V j，即x＝ y j，其中y j V j，将x＝ y j 代入(*)中得到
第三讲
多项式与子空间
1.
设A是 域F上的线性空间V的线性变换,f(t)是域F上的多项式，f(A)= 0,且 f(t)= f(t) 1
-1 fk(t)，f1 , ,fk 两两互质,且Vi＝f(A) (0), 1 i k. i
证明：V = V1⊕ ⊕Vk 证： 令gi (t ) f (t ) , 显然g1 (t ), fi (t ) , g k(t)是两两互质的，即它们的最大公因式是1. gk (t )uk(t)＝1, 于是
故 V Vx1 Vx2
4.
设λ 是线性变换A的r重特征值,A是n维线性空间V的线性变换,Vλ 是 A的特征子空间，V1是A的 属于λ 的根向量构成的根子空间. 证明： Vλ 的维数 ≤ r，V1的维数＝r x 取V的一组基使A的矩阵为若当标准形. A= 其中j , j 1 s 1 x s 0 0 x A1 0 s n r ，故 I A x = 其中 A1 1 A2 0 s 1 x A2 x . 因j ， 1 j s, 于是r ( A2 ) s, 易验证A1r 0, s 于是 I A的秩 s n r，故( I A)X 0的解空间的维数 r , 即V的维数 r. 又( I A)r的秩等于n r，故( I A)r X 0的解空间V1的维数等于r.
线性代数课件PPT第五章 线性变换 S1 线性变换的定义
由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以
T1(p+q)T1(p)+T1(q).
18
5
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
y P'
记
x y
r cos r sin
, 于是
T
x y
x cos x sin
y sin y cos
p
o
x
r r
cos cos
cos sin
r sin sin r sin cos
r r
cos( sin(
)),
例5 设V是数域F上的线性空间，k是F中的某个数 ， 定义V的变换如下：
k
这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换.
当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换 .
8
例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),
则T不是R3的一个线性变换.
证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T( + )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.
事实上, 对任意的x, xRn,
T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x),
T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
6
线性空间及线性变换71页PPT
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
第五章线性空间与线性变换第一讲
k Vi，取k1 , k2， , km是m个不同的整数, 则k j V jr , j 1,
必存在i j使jr ir，于是ki (k j ) V jr , 即(ki k j ) V jr，ki k j .于是 V jr，矛盾. （因 V jr）本题结论成立.
r , r+1
n 是V的一组基，V1＝L(1
r ),V2 L( r+1
n ),
V V1 V2
(以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V (2) 设1
rs是V 的基.
则由A的定义Az 0,即z A1 (0). 于是V2 A1 (0).对任意的 z A1 (0), 我们证明z V2 . 设z y z1 其中y V1 , z1 V2 , Az y 0,即z z1 V2 , 对任意的x V , Ax Ay Az Ay y. A2 x A( Ax) Ay y, 即Ax A2 x A A2 下面证明唯一性, 若存在B使BV V1 , B 1 (0) V2 , 且B 2 B, 我们证明A B. x V 有x y z , Ax y , Bx By Bz By, By V1 , 若By y1 y , 则 y1 y 0 V1，于是B( y1 y ) By1 By V1，因B 2 B, 故 B 2 y By, 又B 2 y B ( By ) By1，于是By＝By1，即B( y1 y )＝0，于是y y1 V2，即 y y1 V1 V2， 这与V1 V2＝0 矛盾.
第五讲线性空间与线性变换
第五讲线性空间与线性变换第五讲线性空间与线性变换⼀、基本概念1. 数域K 数的集合，且1) 0,1K ∈；2) K 关于,,,+-?÷运算封闭.例如：数域,,Q R C* 任意数域都包含有理数域（有理数域是最⼩的数域）. 数域有⽆穷多.2. 数域K 上的线性空间K V ⾮空集合V + 数域K + 集合V 在数域K 上关于“+”与“数乘”运算封闭 + ⼋条规律线性空间也称为向量空间，其中的元素也称为向量. * n 维实向量线性空间nR 例如，例5.1-例5.73. ⼦空间K U 1) K K U V ?；2) 且K U 是数域K 上的线性空间.⽣成⼦空间K U 1)12,,,s K V ααα? ；2){}112212,,,K s s s U L k k k k k k K ααα=+++∈ . （P84 例5.10）4. 基维数坐标基线性空间中的“极⼤线性⽆关组” P84 维数 “极⼤线性⽆关组”的秩 P84 例如，例5.11-例5.14坐标线性空间中的向量由基线性表⽰的系数 P85 例如，例5.15-例5.165. 基变换和坐标变换基变换基之间的线性变换 P87过渡矩阵构成基变换的矩阵（过渡矩阵是可逆矩阵） P88 坐标变换向量在不同的基下的坐标之间的线性变换 P88 6. 线性变换线性变换线性空间K V 到K V 的满⾜线性运算的映射 P89 例如，例5.17-例5.20线性变换的矩阵基表⽰基的像的线性变换矩阵 P90 例如，例5.21-例5.227. 欧⽒空间内积设V 是实数域R 上的⼀个线性空间，在V 上定义⼀个⼆元函数，记作[],αβ，如果它满⾜：1),,,V k R αβγ?∈∈，有 1) [][],,αββα=（对称性）； 2) [][][],,,αβγαγβγ+=+, [][],,k k αββα=（线性性）； 3)[],0αα≥,当且仅当αο=时，[],0αα=（正定性），则称这个⼆元函数[],αβ是V 上的内积. P93欧⽒空间定义了内积的实线性空间（实数域上的线性空间） P93 * n 维实向量线性空间nR 是欧⽒空间例如，例5.24-例5.261α=（规范性） P94向量的夹⾓[],,a r c c o sαβαβαβ=?，0,αβπ≤≤ P94 向量的正交 [],,02παβαβ==（正交性） P94 例如，标准单位向量组中的向量是相互正交的向量例1（P94 例5.27）8. 规范正交基规范向量组向量长度皆为1的向量组正交向量组向量皆⾮零且互相正交的向量组（正交向量组线性⽆关） P94规范正交向量组满⾜规范性和正交性的向量组，即若12,,,s ααα满⾜：,0,,i j i j αα=?，1,i i α=? P94正交基/规范正交基由正交向量组成的基/由规范正交向量组成的基 P95 正交矩阵 TA A E = P97⼆、基本结论1. 线性空间的基本性质 P831)线性空间的零向量是唯⼀的；2)每⼀个向量的负向量是唯⼀的； 3)0,,k k K αοοο==?∈； 4)若k αο=, 则0k αο=或＝.2. ⼦空间的判定定理1（P84 定理5.1）例如，例5.8-例5.9推论（P85）如果线性空间U V ?，则()()r U r V ≤.3. 基的性质定理2（P85 定理5.2）（产⽣基的⽅法）推论（P85）含有⾮零向量的线性空间⼀定存在基. 推论（P95）⾮空的欧⽒空间⼀定存在规范正交基.4. 坐标变换与基变换的关系定理3（P88 定理5.3）例1（P88）5. 线性变换的性质线性变换的性质（P88）定理4（P91 定理5.4）(向量与向量的像在同⼀基下的坐标的关系) 定理5（P92 定理5.5）(两组基的线性变换矩阵之间的关系)例2（P92 例5.23）三、向量组的规范正交化定理1（P95 定理5.7）例1（P95 例5.28）例2（P96 例5.29）四、习题解答 1. P98 3.提⽰: 即求1234,,,αααα的极⼤线性⽆关组极其秩. 2. P98 5.提⽰: （1）1V 是1n -维线性空间. 23,,,n e e e是1V 的⼀组基.（3）3V 是1n -维线性空间. ()()()1,0,,0,1,0,1,,0,1,,0,0,,1,1TTT--- 是3V 的⼀组基.（5）5V 是1维线性空间, ()1,2,,1,Tn n - 是5V 的⼀组基.（6）6V 是2维线性空间, ()()1,0,,0,0,0,1,,1,1TT是6V 的⼀组基.3. P98 6.提⽰:（1）()1234,,,αααα11111111111111112121014101110111111002010023002301110111007400013----------- ? ? ? ?=→→→------ ? ? ? ?-()1234,,,4R αααα=, 所以1234,,,αααα是线性空间4K 的⼀组基.（2）设()1234,,,x βαααα= , 则()11234,,,x ααααβ-=.()123451513421,,,23-→-- ---32-6,, 所以β在基1234,,,αααα下的坐标为()1,2,1,3T-.4. P98 7.提⽰: 令()()()21123n n k k x a k x a k x a ο-+-+-++-= , 有120n k k k ==== , 故()()()211,,,,n x a x a x a ---- 线性⽆关, 可以成为线性空间[]n R x 的⼀组基.因为()()()()()()()()21(1)112!!n n f x f a f a x a f a x a f a x a n --'''=+-+-++- , 所以()211n f x x x x -=++++ 在基()()()211,,,,n x a x a x a ---- 下的坐标为()()()()(1)11,,,,2!(1)!Tn f a f a f a f a n -??''' ?-??, 即 ()()2121,121,,1Tn n a aa a n a --+++++++- .5. P98 8.提⽰: （1）过渡矩阵()()1123123,,,,C αααβββ-=;（2）()()()()1123123123123,,,,,,,,,TTx x x y y y ααααβββα--==.6. P99 10.提⽰: 计算基的像()()()()11122122,,,A E A E A E A E , 表⽰()()()()() 11122122,,,A E A E A E A E =()()()()()11122122,,,A E A E A E A E C , 则C 即是所求.7. P99 11. 提⽰: 同上题 8. P99 12.提⽰:（1）同上题;（2）⽤123,,εεε表⽰123,,ηηη, 并计算像()()()123,,A A A ηηη. 余下同（1）.9. P99 13.提⽰:（1）()()321123001,,,,010100εεεεεε?? ?= ? ???. 余下同12.（2）;（2）()()123123100,,,,00001k k εεεεεε?? ?= ? ???, 余下同上;（3）()()1223123100,,,,110001εεεεεεε?? ?+= ? ???, 余下同上.10. P100 14.提⽰: ()32214212413211110111011101021*********111011101110111000000002311011100000000r r r r r r r r r r r +-+--?------ ? ? ? ?---- ? ? ? ?---故由1234,,,αααα⽣成的⼦空间V 的⼀组基为1110,0123.正交化 11110177711066663244--???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ,单位化 1117610206610224--，. 故空间V 的⼀组规范正交基为1117610206610224--，. 11. P100 16. 17.提⽰:（1）、（2）C 是正交矩阵1T T CC E CC -?=?=（3）()TT TAB AB ABB A E ==（4）TTT A O A O A O A O E O B O B O B OB ??==12. P100 3.提⽰: P64 11. 13. P100 4.12,,,n ααα是⼀组基.14. P100 5.提⽰:（1）()()()22123111,,1,1,11,,011001x x x x x ααα??=+++=;（2）()223321,,21x x x x ??++=.14. P100 6.提⽰: 同12.（2）. 15. P101 7.提⽰: （1）关于y 轴对称;（2）投影到x 轴;（3）关于直线y=x 对称; （4）逆时针旋转900.16. P101 8.提⽰: ()()()(),,,x x A A B B C C D D A y y ''''?=?=?=?=??= ? ? ????? .（1）1001x x x y y y ??--==;（2）10202x x x y y y==;（3）2222 11x x y x y x y y ??+== -+-.17. P102 10.x ααα=的解即为所求.18. P102 11.提⽰:（2）设{}1U α=, 有()()()()()()1111011R U R U nU U R U R U n R U R U n αοαο=?=?=?⊥+=≠?=?=- 19. P102 12.提⽰: A 是正交矩阵12 11T TA A AA E A A -?=??=??=?=±??另⼀⽅⾯,由**1T AA A E A A A A A -=?==, 1,1ij ij ij ij A a A A a A ?===-=-??当当20. P102 13.提⽰: 由12.(1)及01A B A B +=??=-及()()TTTT T BA B A B A B A +=+=+()0TB A B A B A B A B A B A ??+?=+?-+=+?+=五、知识扩展1. 设B 是秩为2的54?矩阵,()()()1231,1,2,3,1,1,4,1,5,1,8,9TTTααα==--=--是齐次⽅程组Bx ο=的解向量, 求Bx ο=的解空间的⼀组规范正交基.提⽰: ()2R B =?基础解系含有两个解向量, 即Bx ο=的解空间的基中含有两个解向量. ⼜12,αα线性⽆关, 故12,αα是Bx ο= 的解空间的⼀组基. 将12,αα正交化规范化, 即得Bx ο=的解空间的⼀组规范正交基.。
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定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在 V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) +=+(加法交换律);
(2) (+)+=+(+)(加法结合律);
(3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.
解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.
所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.
也可以写成:
2 1 1 , 2 , 3 2 1 2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T,
向量组1, 2,…r的一个极大线性无关组, 就是线性
空间L(1, 2,…r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.
定理5.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量m+1, m+2,…,n, 使 得1, 2,…, m, m+1, m+2,…,n是V的一组基.
Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V 的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. 例如
齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间 U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线 性空间. K[x]n是n维线性空间, 1, x, x2,…,xn-1 是它的一组基.
第五章
线性空间与线性变换
线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线 性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的 概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.
§1 线性空间的概念
一. 数域
定义5.1 设K是一个数集, 如果 (1) 0, 1K ; (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.
线性空间也称为向量空间, 其元素都称为向量. 例如: 数域K上的所有n维向量组成的集合Kn, 对向量的加法 和乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间. 数域K上的所有mn矩阵的集合Kmn, 对矩阵的加法和
乘数两种运算, 构成数域K上的一个线性空间.
实系数齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U, 对解
向量的加法和乘数两种运算, 构成实数域R上的一个线性
空间. 数域K上的所有次数小于n的多项式的集合K[x]n, 对多 项式的加法和乘数两种运算, 构成K上的一个线性空间.
线性空间具有下列简单性质: 1. 零向量是唯一的. 01=01+02=02 2. 每个向量的负向量是唯一的. -1=(-1)+0=(-1)+(+(-2)) =((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2 3. 0=0, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 . 4. 若k=0, 则, k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0
三. 子空间 定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的
子空间.
按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间,
V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它
的称为非平凡子空间. 定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即 , U, kK, 都有+U, kU
也可表示为:
x1 x2 1 , 2 , ..., n xn
二. 基变换与坐标变换
线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不 同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设1, 2,…,n和1, 2,…, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果
数集
Q (2 ) { a + b 2 | a , b Q }
也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于
有理数域. 二. 线性空间的定义和例子
对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域
上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两 种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.
由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.
定义5.5 设1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如
果VK可以表示为:
=x11+x22+…+xnn
则称(x1, x2,…xn)T为向量在基1, 2,…, n下的坐标.
可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.
例1 试求线性空间R3中向量=(1, 2, 3)T在基:
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1)T, 3=(1, -1, -1)T
下的坐标+x33 即
x1 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 2 x x x 3 2 3 1