复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
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z→a z→a
g （z ） b = （有限复 f a （ f z ） （ ）
数
1 1 ± 的一阶极点〔 4-5〕。 cosz z 定理4 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点
数 ） 。 ∴点z=a也为 定理2′ g （z ） 的可去奇点。 （ f z ） 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
z=a为函数g （z ） 的可去奇点， 则点 z=a也为函数 的可去奇点。
证明： ∵点z=a为g （z）的 可 去 奇 点 ， ∴不妨设 limg （z ） =b （有限复数 ） 。
z→a
17
总第 76 期 自然科学
大理 学 院 学 报
由f （z）在点 z=a 解 析 知 f （z）在 点 z =a 必 连 续 ， 从而 lim（ f z ） =f （a ） ， 又（ f a ） ≠0于是lim
〔 （ f z ） g （z ） 〕 ＝ 假若lim
z→a z→a
c （有限复数 ） ， 由（ f z ） 在点z=a解 ≠ ∞
析知lim（ f z ） =f （a ） 从而 c （有限复数 ） （ f z ） g （z ） （ ） lim g （z ） = lim = f a ， 这与 （2 ） z→a z→a （ f z ） ∞ 〔（ f z ） g （z ） 〕 ≠ 式矛盾， 故必有 lim
z→a
（有限复数 ） 由f （z）在点 z=a 解 析 知 f （z）在 点 z =a 必 连 续 ， 从而 lim（ f z ） =f （a ） ， 于是 lim 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =f （a ） ±b （有限复
z→a z→a
f z ） 在点a的主要部分为零圳lim（ f z ） =b （≠∞ ） 。 点圳（ 引理 2 函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的 m 阶极
在， 即limg （z ） ≠
z→a
z=0必为函数 阶极点， 由定理3知， 又由于函数 点。
b （有限复数 ） （1 ） ≠ ∞ c （有限复数 ） 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =≠ ， 由（ f z ） 在点 z=a 假若 lim ∞
z→a z→a z→a z→a
1 π 在点z= +kπ （k=0， ± 1， ±2， … ） 解 z 2
g （z ） 的可去奇点， 且 lim g （z ） ≠0， 则点 z=a 也为函数 （ f z ） 的可去奇点。 g （z ） 可仿照定理2证明 （略 ） 。 例1 函数cosz在z=0解析， z=0为
sinz sinzcosz z =0 必为函数 cosz ± ， 的 点， 由定理 1 知， z z 可去奇点。 又由于cos0=1≠0， 据定理2， z=0也必为函 sinz sinz 的可去奇点。 类似地， 由于lim =1≠0， 据 数 z → a zcosz z 定理2′， z=0亦必为函数 定理3 极点〔 3〕。 证明： ∵点z=a为g （z ） 的m阶极点， ∴g （z ） 在点a的 λ （z ） 某去心邻域内能表成g （z ） = ， 其中λ （z ） 在点a m ） （z-a 解析， 且λ （a ） ≠0.于是
z=2必为函数z ±sin 点， 由定理5知，
2
2
1 的本质奇点。 z-2
2
又由于z ｜z=2=4≠0， 据定理6， z=2也必为函数z sin sin 及 Z sin
2
1 z-2பைடு நூலகம்
（z ） ≠ 在， 即limg
z→a
≠ ∞
b （有限复数 ）
（2 ）
1 z-2 z
2
的本质奇点；据定理 6′ ， z =2 也必为函数
m （z-a ）（ f z ） ±λ （z ） （ f z ） ±g （z ） = ， 这里 φ （z ） = （z-a ）（ f z ） m （z-a ） m
zcosz 的可去奇点。 sinz
z 1 1 函数e 在z=1解析， e =e≠0； z=1为 2 （z-1 ）z
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
z→a
z=a为函数g （z）的 m 阶 极 点 ， 则点z=a也为函数 g （z ） 的m阶极点。 （ f z ） g （z ） ， （ f z ） 证明： ∵点z=a为g （z ） 的m阶极点， ∴g （z ） 在点a的 λ （z ） 某去心邻域内能表成g （z ） = ， 其中λ （z ） 在点a m （z-a ） 解析， 且λ （a ） ≠0.于是 （ f z ） g （z ） = sinz 的可去奇 z 且 a解析， φ （a ） =f （a ） λ （a ） ≠0 ∴点z=a也为（ f z ） g （z ） 的m阶极点。 同理可证点z=a也为 例3 g （z ） 的m阶极点。 （ f z ） f z （ ） λ （z ） ， 这里φ （z ） =f （z ） λ （z ） 显然在点z= m ） （z-a
大理学院学报
JOURNAL OF DALI UNIVERSITY
第 9 卷 第 4 期 2010 年 4 月 Vol.9 No.4 Apr. 2010
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
何彩香， 张晓玲
（大理学院数学与计算机学院， 云南大理 671003 ）
［摘要］讨论了复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质， 并给出了简单的证明。利用这些性质可以快速准确地判定某些复变 函数的孤立奇点的类型， 这对研究某些复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内的性质、 复积分的计算等是很有意义的。 ［关键词］解析点； 可去奇点； 极点； 本质奇点 ［中图分类号］O174.5 ［文献标志码］A ［文章编号］1672-2345 （2010 ） 04-0017-03 Operational Properties of Analytic Point and Isolated Singularity of Complex Function HE Caixiang，ZHANG Xiaoling （College of Mathematics and Computer Science, Dali University, Dali , Yunnan 671003, China） 〔Abstract〕 This paper discusses operational properties of analytic point and isolated singularity of complex function and gives out simple proofs about them. By the properties, we can decide the type of isolated singularity of some complex functions. This is very meaningful for the researcher about the properties of isolated singularity in the deleted neighborhood and the computation of complex integration. 〔Key words〕analytic point; moving singularity; pole; essence singularity
复变函数的解析点与孤立奇点都是复变函数 积分及其 论中的重要概念， 复变函数的某些性质 、 在孤立奇点处的留数等均与孤立奇点的类型有关， 因此，准确快速地判定复变函数的孤立奇点的类 型， 对研究复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内 的性质、 复积分的计算等是至关重要的。本文讨论 了两个复变函数的和、 差、 积、 商所得新函数与其中 某个复函数的孤立奇点的类型的关系， 并给出了简 单的证明和应用。
引理3
函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的本质奇
z→a
f z ） 在点 a 的主要部分有无限多项 圳 lim（ f z ） ≠ 点 圳（ b （有限复数 ） ， 即lim（ f z ） 不存在 ≠ ∞
z→a 〔 1-2〕
。
2
主要结果及应用
定理1 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
为 “点z=a为函数 定理5 奇点。
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
g （z ） 的本质奇点， 则点z=a也为函数（ f z ） ±g （z ） 的本质 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存
z→a
±λ （z ） 在点z=a解析， 且φ （a ） =±λ （a ） ≠0 ∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） 的m阶极点。 例2 函数 1 1 在 z =0 解析， z =0 为函数 的一 cosz z 1 1 ± 的一阶极 cosz z
g （z） 的可去奇点， 则点 z=a 也为函数 （ f z） ±g （z） ， （ f z ） g （z ） 的可去奇点。 证明： ∵ 点 z=a 为 g （z ） 的可去奇点， ∴ lim g （z ） =b
z→a
1 定义和预备知识
引理1 函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的可去奇
z→a
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
1 z-2
的本质奇点。
［参考文献］
〔1〕钟玉泉.复变函数论 〔M〕 .3版.北京： 高等教育出版社， 2003： 193-203. 〔2〕西安交通大学高等数学教研室.复变函数 〔M〕 .4版.北京： 2005： 145-153. 高等教育出版社， 〔3〕何彩香.复函数极点的运算性质 〔J〕 .大理学院学报， 2004， 3 （5 ） ： 77-78. 〔4〕张元林.积分变换 〔M〕 .4版.北京： 高等教育出版社， 2006： 32-38. 〔5〕何彩香， 姚恩瑜， 葛浩.带有宵禁限制的动态最短费用路 问题 〔J〕 .浙江大学学报： 理学版， 2008， 35 （4 ） ： 390-394. 〔6〕何彩香， 姚恩瑜.带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的 讨论 〔J〕 .科技通报， 2007， 23 （4 ） ： 463-467. 〔7〕何彩香， 姜秀燕， 施冰.有宵禁限制的时间最短路 〔J〕 .大理 2006， 5 （6 ） ： 10-13. 学院学报， 〔8〕何彩香， 胡竟湘， 李汝烯.有宵禁限制的成本最短路问题 〔J〕 .湖南工程学院学报， 2006， 16 （3 ） ： 73-76. 〔9〕顾作林， 闫心丽， 方影.高等数学 〔M〕 .4版.北京， 人民卫生 出版社， 2008： 267-268. 〔10〕毛宗秀， 姚金华.高等数学 〔M〕 .3版.北京， 人民卫生出版 社， 2005： 127-129. 〔11〕何彩香， 寸仙娥.带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问 题的讨论 〔J〕 .大理学院学报， 2008， 7 （8 ） ： 67-70. 〔12〕Cai-Xiang He， Shao-Ming Wang.The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 〔J〕 .Intrenational Journal of Combinaorial Graph Throry and Applications， 2008， 1 （2 ） ： 161-169. ［基金项目］大理学院科研基金资助项目 （2007X05 ） ［收稿日期］2010-01-18 ［作者简介］何彩香， 副教授， 主要从事复变函数论及组合优 化研究.
c-m 点圳（ f z ） 在点a的主要部分为有限多项， 设为 m （z-a ） cc- 1 （m-1 ） + +…+ （c -m ≠0 ） 圳（ f z ） 在点 a 的某去心 m-1 z-a （z-a ） λ （z ） f z ） = ， 其中λ （z ） 在点a解析， 且 邻域内能表成（ m ） （z-a λ （a ） ≠0。
z→a
π 1 析， 且点z= +kπ （k=0， ±1， ±2， … ） 为函数 的一 2 cosz 阶极点， 所以点z= π +kπ （k=0， ±1， ±2， …） 也必为函 2
∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） 的本质奇点。 定理6 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点
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何彩香， 张晓玲
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
第9卷
z=a为函数g （z）的 本 质 奇 点 ， 则点z=a也为函数 g （z ） （ f z ） g （z ） ， 的本质奇点。 （ f z ） 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存
z→a
g （z ） 的m阶极点， 则点 z=a 也为函数（ f z ） ±g （z ） 的m阶
的二阶极点，由定理 4 知， z =1 必为函数 及 2 （z-1 ）z 1 （z-1 ）ze 注
2 z
e
z
的二阶极点〔 6-7〕。 若定理 4 的条件中去掉（ f a ） ≠0， 结论将改 （ f z ） 〔 8-9 〕 的可去奇点” 。 g （z ）
lim 数 ） ， 〔 （ f z ） g （z ） 〕 =f （a ） · b （有限复数 ） 。
z→a
∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） ， （ f z ） g （z ） 的可去奇点。 定理2 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点 g （z ） （ f z ）
解析知lim（ f z ） =f （a ） 从而limg （z ） =±lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 （ ） ｝ = f z ± 〔c-f （a ） 〕 （有限复数 ） ， 这与 （1 ）式矛盾， 故 ≠ ∞ c （有限复数 ） 必有lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 ≠≠ ， ∞
g （z ） b = （有限复 f a （ f z ） （ ）
数
1 1 ± 的一阶极点〔 4-5〕。 cosz z 定理4 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点
数 ） 。 ∴点z=a也为 定理2′ g （z ） 的可去奇点。 （ f z ） 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
z=a为函数g （z ） 的可去奇点， 则点 z=a也为函数 的可去奇点。
证明： ∵点z=a为g （z）的 可 去 奇 点 ， ∴不妨设 limg （z ） =b （有限复数 ） 。
z→a
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由f （z）在点 z=a 解 析 知 f （z）在 点 z =a 必 连 续 ， 从而 lim（ f z ） =f （a ） ， 又（ f a ） ≠0于是lim
〔 （ f z ） g （z ） 〕 ＝ 假若lim
z→a z→a
c （有限复数 ） ， 由（ f z ） 在点z=a解 ≠ ∞
析知lim（ f z ） =f （a ） 从而 c （有限复数 ） （ f z ） g （z ） （ ） lim g （z ） = lim = f a ， 这与 （2 ） z→a z→a （ f z ） ∞ 〔（ f z ） g （z ） 〕 ≠ 式矛盾， 故必有 lim
z→a
（有限复数 ） 由f （z）在点 z=a 解 析 知 f （z）在 点 z =a 必 连 续 ， 从而 lim（ f z ） =f （a ） ， 于是 lim 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =f （a ） ±b （有限复
z→a z→a
f z ） 在点a的主要部分为零圳lim（ f z ） =b （≠∞ ） 。 点圳（ 引理 2 函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的 m 阶极
在， 即limg （z ） ≠
z→a
z=0必为函数 阶极点， 由定理3知， 又由于函数 点。
b （有限复数 ） （1 ） ≠ ∞ c （有限复数 ） 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =≠ ， 由（ f z ） 在点 z=a 假若 lim ∞
z→a z→a z→a z→a
1 π 在点z= +kπ （k=0， ± 1， ±2， … ） 解 z 2
g （z ） 的可去奇点， 且 lim g （z ） ≠0， 则点 z=a 也为函数 （ f z ） 的可去奇点。 g （z ） 可仿照定理2证明 （略 ） 。 例1 函数cosz在z=0解析， z=0为
sinz sinzcosz z =0 必为函数 cosz ± ， 的 点， 由定理 1 知， z z 可去奇点。 又由于cos0=1≠0， 据定理2， z=0也必为函 sinz sinz 的可去奇点。 类似地， 由于lim =1≠0， 据 数 z → a zcosz z 定理2′， z=0亦必为函数 定理3 极点〔 3〕。 证明： ∵点z=a为g （z ） 的m阶极点， ∴g （z ） 在点a的 λ （z ） 某去心邻域内能表成g （z ） = ， 其中λ （z ） 在点a m ） （z-a 解析， 且λ （a ） ≠0.于是
z=2必为函数z ±sin 点， 由定理5知，
2
2
1 的本质奇点。 z-2
2
又由于z ｜z=2=4≠0， 据定理6， z=2也必为函数z sin sin 及 Z sin
2
1 z-2பைடு நூலகம்
（z ） ≠ 在， 即limg
z→a
≠ ∞
b （有限复数 ）
（2 ）
1 z-2 z
2
的本质奇点；据定理 6′ ， z =2 也必为函数
m （z-a ）（ f z ） ±λ （z ） （ f z ） ±g （z ） = ， 这里 φ （z ） = （z-a ）（ f z ） m （z-a ） m
zcosz 的可去奇点。 sinz
z 1 1 函数e 在z=1解析， e =e≠0； z=1为 2 （z-1 ）z
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
z→a
z=a为函数g （z）的 m 阶 极 点 ， 则点z=a也为函数 g （z ） 的m阶极点。 （ f z ） g （z ） ， （ f z ） 证明： ∵点z=a为g （z ） 的m阶极点， ∴g （z ） 在点a的 λ （z ） 某去心邻域内能表成g （z ） = ， 其中λ （z ） 在点a m （z-a ） 解析， 且λ （a ） ≠0.于是 （ f z ） g （z ） = sinz 的可去奇 z 且 a解析， φ （a ） =f （a ） λ （a ） ≠0 ∴点z=a也为（ f z ） g （z ） 的m阶极点。 同理可证点z=a也为 例3 g （z ） 的m阶极点。 （ f z ） f z （ ） λ （z ） ， 这里φ （z ） =f （z ） λ （z ） 显然在点z= m ） （z-a
大理学院学报
JOURNAL OF DALI UNIVERSITY
第 9 卷 第 4 期 2010 年 4 月 Vol.9 No.4 Apr. 2010
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
何彩香， 张晓玲
（大理学院数学与计算机学院， 云南大理 671003 ）
［摘要］讨论了复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质， 并给出了简单的证明。利用这些性质可以快速准确地判定某些复变 函数的孤立奇点的类型， 这对研究某些复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内的性质、 复积分的计算等是很有意义的。 ［关键词］解析点； 可去奇点； 极点； 本质奇点 ［中图分类号］O174.5 ［文献标志码］A ［文章编号］1672-2345 （2010 ） 04-0017-03 Operational Properties of Analytic Point and Isolated Singularity of Complex Function HE Caixiang，ZHANG Xiaoling （College of Mathematics and Computer Science, Dali University, Dali , Yunnan 671003, China） 〔Abstract〕 This paper discusses operational properties of analytic point and isolated singularity of complex function and gives out simple proofs about them. By the properties, we can decide the type of isolated singularity of some complex functions. This is very meaningful for the researcher about the properties of isolated singularity in the deleted neighborhood and the computation of complex integration. 〔Key words〕analytic point; moving singularity; pole; essence singularity
复变函数的解析点与孤立奇点都是复变函数 积分及其 论中的重要概念， 复变函数的某些性质 、 在孤立奇点处的留数等均与孤立奇点的类型有关， 因此，准确快速地判定复变函数的孤立奇点的类 型， 对研究复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内 的性质、 复积分的计算等是至关重要的。本文讨论 了两个复变函数的和、 差、 积、 商所得新函数与其中 某个复函数的孤立奇点的类型的关系， 并给出了简 单的证明和应用。
引理3
函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的本质奇
z→a
f z ） 在点 a 的主要部分有无限多项 圳 lim（ f z ） ≠ 点 圳（ b （有限复数 ） ， 即lim（ f z ） 不存在 ≠ ∞
z→a 〔 1-2〕
。
2
主要结果及应用
定理1 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
为 “点z=a为函数 定理5 奇点。
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
g （z ） 的本质奇点， 则点z=a也为函数（ f z ） ±g （z ） 的本质 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存
z→a
±λ （z ） 在点z=a解析， 且φ （a ） =±λ （a ） ≠0 ∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） 的m阶极点。 例2 函数 1 1 在 z =0 解析， z =0 为函数 的一 cosz z 1 1 ± 的一阶极 cosz z
g （z） 的可去奇点， 则点 z=a 也为函数 （ f z） ±g （z） ， （ f z ） g （z ） 的可去奇点。 证明： ∵ 点 z=a 为 g （z ） 的可去奇点， ∴ lim g （z ） =b
z→a
1 定义和预备知识
引理1 函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的可去奇
z→a
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
1 z-2
的本质奇点。
［参考文献］
〔1〕钟玉泉.复变函数论 〔M〕 .3版.北京： 高等教育出版社， 2003： 193-203. 〔2〕西安交通大学高等数学教研室.复变函数 〔M〕 .4版.北京： 2005： 145-153. 高等教育出版社， 〔3〕何彩香.复函数极点的运算性质 〔J〕 .大理学院学报， 2004， 3 （5 ） ： 77-78. 〔4〕张元林.积分变换 〔M〕 .4版.北京： 高等教育出版社， 2006： 32-38. 〔5〕何彩香， 姚恩瑜， 葛浩.带有宵禁限制的动态最短费用路 问题 〔J〕 .浙江大学学报： 理学版， 2008， 35 （4 ） ： 390-394. 〔6〕何彩香， 姚恩瑜.带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的 讨论 〔J〕 .科技通报， 2007， 23 （4 ） ： 463-467. 〔7〕何彩香， 姜秀燕， 施冰.有宵禁限制的时间最短路 〔J〕 .大理 2006， 5 （6 ） ： 10-13. 学院学报， 〔8〕何彩香， 胡竟湘， 李汝烯.有宵禁限制的成本最短路问题 〔J〕 .湖南工程学院学报， 2006， 16 （3 ） ： 73-76. 〔9〕顾作林， 闫心丽， 方影.高等数学 〔M〕 .4版.北京， 人民卫生 出版社， 2008： 267-268. 〔10〕毛宗秀， 姚金华.高等数学 〔M〕 .3版.北京， 人民卫生出版 社， 2005： 127-129. 〔11〕何彩香， 寸仙娥.带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问 题的讨论 〔J〕 .大理学院学报， 2008， 7 （8 ） ： 67-70. 〔12〕Cai-Xiang He， Shao-Ming Wang.The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 〔J〕 .Intrenational Journal of Combinaorial Graph Throry and Applications， 2008， 1 （2 ） ： 161-169. ［基金项目］大理学院科研基金资助项目 （2007X05 ） ［收稿日期］2010-01-18 ［作者简介］何彩香， 副教授， 主要从事复变函数论及组合优 化研究.
c-m 点圳（ f z ） 在点a的主要部分为有限多项， 设为 m （z-a ） cc- 1 （m-1 ） + +…+ （c -m ≠0 ） 圳（ f z ） 在点 a 的某去心 m-1 z-a （z-a ） λ （z ） f z ） = ， 其中λ （z ） 在点a解析， 且 邻域内能表成（ m ） （z-a λ （a ） ≠0。
z→a
π 1 析， 且点z= +kπ （k=0， ±1， ±2， … ） 为函数 的一 2 cosz 阶极点， 所以点z= π +kπ （k=0， ±1， ±2， …） 也必为函 2
∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） 的本质奇点。 定理6 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点
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何彩香， 张晓玲
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
第9卷
z=a为函数g （z）的 本 质 奇 点 ， 则点z=a也为函数 g （z ） （ f z ） g （z ） ， 的本质奇点。 （ f z ） 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存
z→a
g （z ） 的m阶极点， 则点 z=a 也为函数（ f z ） ±g （z ） 的m阶
的二阶极点，由定理 4 知， z =1 必为函数 及 2 （z-1 ）z 1 （z-1 ）ze 注
2 z
e
z
的二阶极点〔 6-7〕。 若定理 4 的条件中去掉（ f a ） ≠0， 结论将改 （ f z ） 〔 8-9 〕 的可去奇点” 。 g （z ）
lim 数 ） ， 〔 （ f z ） g （z ） 〕 =f （a ） · b （有限复数 ） 。
z→a
∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） ， （ f z ） g （z ） 的可去奇点。 定理2 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点 g （z ） （ f z ）
解析知lim（ f z ） =f （a ） 从而limg （z ） =±lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 （ ） ｝ = f z ± 〔c-f （a ） 〕 （有限复数 ） ， 这与 （1 ）式矛盾， 故 ≠ ∞ c （有限复数 ） 必有lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 ≠≠ ， ∞