复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数论第5章第2节
并且只有当f ( z) eia z 时等号才成立.
4 极点
1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
m 负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) ,
1
即
f ( z ) cm ( z z0 )m c2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z a
z a
由函数极限的性质, f ( z)在点a的某去心邻域内有界;
"(3) (1)" 设 f ( z) M , z K {a} 考察f ( z)在点a的主要部分 c n ( z a) n n 1 1 f ( ) c n d , (n 1, 2,...) ( n ) 1 2 i ( a) 而为K内的圆周 a , 可以充分小, 于是由 f ( ) 1 1 M c n d 2 ( n ) 1 ( n ) 1 2 a 2
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g ( z0 ) 0. (3) 利用极限 lim f ( z ) 判断(但不知道阶数) .
3) 如果f ( z )在点a主要部分为无穷多项,则称a为
f ( z ) 的本质奇点.
sin z z2 z4 z 2n n , 如： 1 (1) z 3! 5! (2n 1)!
0 点. z
2 n 2 sin z 1 1 z 2 z n ( 1) , 3 2 z z 3! 5! (2n 1)!
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
复变函数中的孤立奇点理论
复变函数中的孤立奇点理论复变函数是数学中重要的一个分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复数域是由实数和虚数构成的数学集合，其中虚数单位i满足$i^2=-1$。
在复变函数中，孤立奇点是一个重要的概念，它在函数的定义域内是孤立的奇异点。
本文将深入探讨复变函数中的孤立奇点理论。
1. 孤立奇点的定义与分类在复变函数中，孤立奇点是指在某个开集内除去某一点后，函数在该点附近没有定义或者发散的点。
根据Laurent级数的理论，孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
1.1 可去奇点可去奇点是指在该点附近可以通过定义函数的方式使函数在该点连续。
在数学上，对于一个函数在孤立奇点的邻域内能定义一个解析函数，则称该孤立奇点为可去奇点。
1.2 极点极点是指在该点附近函数趋向于无穷大的奇点。
具体地说，如果一个函数在孤立奇点的邻域内的绝对值趋近于无穷大，则称该孤立奇点为极点。
1.3 本性奇点本性奇点是指函数在该点附近无法通过定义解析函数的方式使其连续的奇点。
在复变函数中，本性奇点附近函数具有无限多个奇异点。
2. 孤立奇点的性质与表示孤立奇点具有一些重要的性质和表示方法。
2.1 高斯-麦克劳林定理高斯-麦克劳林定理是关于复变函数在孤立奇点附近的展开定理。
它表明，如果函数在孤立奇点附近解析，并且在孤立奇点中心点的一个小圆盘内有定义，则该函数可以展开成Laurent级数。
2.2 孤立奇点处的留数在复变函数中，孤立奇点处的留数是描述孤立奇点附近函数特性的一个重要概念。
对于一个函数在孤立奇点处的留数，可以通过Laurent 级数展开式求得。
留数可以用于计算函数在孤立奇点附近的积分值等问题。
3. 孤立奇点理论的应用孤立奇点理论在实际问题中有广泛的应用。
3.1 物理学中的应用在物理学中，特别是量子力学中，复变函数中的孤立奇点理论有重要的应用。
例如，在计算物理系统的量子态密度时，通过计算系统的配分函数确定系统的状态分布。
3.2 工程领域的应用复变函数中的孤立奇点理论也在工程领域得到了应用。
复变函数5.3解析函数在无穷远点的性质
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能 表成 f ( z) zm ( z), 其中 (z )在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0); (3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m阶零点(只要令 g(∞)=0). 定理5.5 (对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点 ∞为极点的充要条件是 lim f ( z ) . z
5.3解析函数在无穷远点的性质
一、点为孤立奇点的定义及分类
二、点为孤立奇点的性质
5.3解析函数在无穷远点的性质
定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|≥0 内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点. 设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z, 于是 在去心邻域: 1 1 K {0} : 0 | z ' | (如r 0规定 )内解析 r r
定理5.6(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点 ∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成 立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
不等于零; (2) lim f ( z ) 广义不存在(即当z趋向于∞ z 时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
1 例5.11 f ( z ) ( z 1)(z 2)
n
bn z n (5.13)
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: ( z' 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z )在z=0
的主要部分,我们称 的主要部分.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbn z n
n 1
为f(z)在z=∞
定理5.3 (对应于定理5.3) f(z)的孤立奇点z=∞ 为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一 条成立: (1) f(z)在 z= 的 主要部分为零
复变函数-孤立奇点及分类讲解
于是f (z)在0 z z0 内可展开为洛朗级数
f (z) an(z z0 )n an(z z0 )n an(z z0 )n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式中不含有(z z0)的负幂项，即an 0,
(n 1,2,......) 则称孤立奇点z0为f (z)的可去奇点。
显然，函数的奇点是
z 1,
zk
1 k
2
(k 0, 1, 2...)
由于lim tan( z 1) lim sin( z 1) 1 z1 z 1 z1 z 1 cos(z 1)
1
所以，z 1为可去奇点。
又
sin(z 1) z 1
zk
(vi)
若f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z0 )
0且P ( z )在z0点 解 析 ，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为f (z)的m级极点。
例 试确定函数 f (z) tan( z 1) 的奇点类型。
z 1
解：由于 f (z) tan( z 1) sin(z 1) z 1 (z 1)cos(z 1)
定理 z 为 f (z) 的可去奇点、极点、本性奇点的 充要条件分别为当 z 时， f (z) 的极限为有限数、 为无穷大、不存在也不为无穷大。
例
函数 z 1 z2
是否以 z 为孤立奇点？
若是，属于哪一类？
例 函数 sin z cos z 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
z
于是1
cos z2
复变函数与积分变换：5.1 孤立奇点
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
(z)在 z0 解析,且 (z0 ) 0 .
z0是f (z)的m级极点.
例
求f
(z)
(1
z2
z )(1
(1) sin z 1 z2 z4 (1)n z2n
z
3! 5!
(2n 1)!
特点：没有负幂次项
ez
(2)
1
zn
z n1
1 1
z
z n1
z z n0 n! n0 n! z
2!
n!
特点：只有有限多个负幂次项
1
(3)e z
1 z1
1
z2
1
zn
2!
n!
特点：有无穷多个负幂次项
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
对 上 式 两 边 沿 简 单 闭 曲线c逐 项 积 分 得 ：
c f (z)dz c1
dz c z z0
2ic1
定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内 的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z) 在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。
Q(z) z z0
(z)在z0处解析且 (z0 ) 0
故f (z) 1 g(z) z z0
复变函数讲解第一节孤立奇点
公式知: f( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m m)(!z0)c0 0.
充分性证明略 .
16
例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f(z)z31, (2) f(z)sizn .
解 (1)由于 f(1)3z2 30, z1 知 z1是 f (z) 的一阶零点 . (2)由于 f(0)cozz s010, 知 z0是 f (z) 的一阶零点.
f(z)Fc(0z,),zzz0z0
6
例1 函数 sin z 的孤立奇点 z0的类型 z
解：sizn11z21z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
故 z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
7
2) 极点
定义 如果洛朗级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 ) 那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
8
说明: 定义式可改写为：
其中，
f(z)(z1z0)mg(z)
g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 奇点并不一定都是孤立的。
例如:
z
0 不是奇点的分类
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
复变函数的解析点是复变函数在某一点处可以被写成一系列幂级数的点，而孤立奇点是复变函数中只有单个奇次幂项且系数不为零的点。
解析点的运算性质
对于复变函数的解析点，有如下几条运算性质：
如果复变函数的解析点有公共部分，那么这些点就是复变函数的公共解析点。
如果复变函数的解析点不存在公共部分，那么这些点就是复变函数的交替解析点。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数也是解析的。
如果复变函数在某一点是解析的，那么在这一点处复变函数的导数的导数也是解析的。
孤立奇点的运算性质
对于复变函数的孤立奇点，有如下几条运算性质：
如果复变函数有孤立奇点，那么这些点就是复变函数的孤立奇点。
孤立奇点是复变函数中的特殊点，因为在这些点处复变函数的导数不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么在这些点处复变函数的导数不存在，但是如果将复变函数按照某种方式拓展，那么复变函数的导数可能在这些点处存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数也不存在。
如果复变函数有孤立奇点，那么复变函数在这些点处的导数的导数的导数可能存在。
对于复变函数的孤立奇点，如果复变函数在这些点处可以被写成一系列幂级数，那么这些点就不再是孤立奇点，而是解析点。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一种特殊情况，指的是某个点处的函数不连续且无法进行泰勒展开的点。
在实际应用中，孤立奇点经常出现在复函数的分母中，导致分母为零从而使得函数的值无法计算。
因此，了解孤立奇点及其性质对于理解复变函数的研究和应用至关重要。
首先，我们来看一个简单的例子：设$f(z)$为复变函数$\frac{1}{z}$。
此时，我们可以发现，当$z=0$时，函数$f$的值为无穷大，即$f$在$z=0$处有一个孤立奇点。
这是因为当$z$无限地接近于0时，分母会无限地接近于零，从而使得$f$的值趋向于无穷大或负无穷大。
因此，我们可以将孤立奇点定义为“使得函数无法在该点处连续的点”。
在复平面上，孤立奇点通常具有以下几个性质：1. 孤立奇点必须是函数的“独立点”。
也就是说，如果一个点是函数的“可去奇点”、“极限奇点”或“本性奇点”，那么它就不可能是孤立奇点。
2. 孤立奇点是函数的“聚点”。
也就是说，无论以任何方式接近孤立奇点，都必然会进入到“不可解析”的区域内。
3. 孤立奇点有限。
也就是说，一个复变函数的孤立奇点不能无限多。
有了这些性质，我们可以更好地理解孤立奇点的特性和行为。
例如，对于一个孤立奇点，我们可以通过求解$f$的洛朗级数来近似描述它附近的函数行为。
洛朗级数可以看做是泰勒级数在孤立奇点处的推广形式，是一种形如$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为常数，$z_0$为孤立奇点。
通过求解这个级数，我们可以得到$f$的近似值，并进一步研究其性质。
此外，我们还可以通过研究孤立奇点的类型来判断复变函数在该点附近的行为。
根据孤立奇点的定义，我们可以将其分为三类：可去奇点、极限奇点和本性奇点。
可去奇点指的是在该点附近可以重新定义函数使其连续的点；极限奇点指的是在该点附近函数的绝对值无限地增大或减小的点；本性奇点则是既非可去奇点也非极限奇点的孤立奇点，我们通常将这类点称为“真正的”孤立奇点。
复变函数第五章
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型
复变函数与积分变换51孤立奇点课件
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点
复变函数讲义-4-5孤立奇点
一、孤立奇点的概念 二、函数在无穷远点的性态 三、小结与思考
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1
一、孤立奇点的概念
定义 如果函数 f (z)在 z0不解析, 但 f (z)在 z0 的某一去心邻域 0 z − z0 内处处解析, 则称 z0 为 f (z)的孤立奇点.
例
z = 0 是函数
+
f (z) = cn(z − z0 )n . n=−
由于lim f (z)存在，则存在正数 M 和 (< ) 使得 z→z0
0 <|z−z0| < 时，|f (z)| M. 所以
0 | c−n |=
1
2i
C (
f −
(
z0
) )−
n+1
d
1
2
| f ( ) |
C | − z0 |−n+1
,
所以 : z = −1是函数的一级极点,
z = 1是函数的二级极点.
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15
1 例3 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出
它的级. 解 函数的奇点是使 sin z = 0 的点, 这些奇点是 z = k (k = 0, 1, 2).是孤立奇点.
因为 (sin z) z=k = cos z z=k = (−1)k 0, 所以 z = k是sin z的一级零点，即 1 的一级极点.
z
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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17
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个 z − z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数，与实数域上的函数不同，复变函数的值域也是复数域。
当一个复变函数在某一点处的值没有定义时，这个点就被称为该函数的奇点。
奇点按照其性质可以分为孤立奇点和本性奇点，本文将会着重讨论孤立奇点的性质及特征。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指函数在该点的邻域内不存在定义的情况下，该点对函数的解析延拓有着重要的作用。
换言之，孤立奇点是指在该点附近处于解析的函数，在该点却不连续或无定义。
孤立奇点可以分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型，下面分别进行详细解释。
二、可去奇点可去奇点是指当函数在该点处可以解析扩张，即在该点有一个 Laurent 展开式的过程中，a-1 的系数为 0。
例如：函数 f(z)=-sinz/z，在 z=0 处可以解析扩张，因为该函数满足 Laurent 展开式，且 a-1=0，可以看做是在该点处的一个可去奇点。
在一些情况下，可去奇点可以视为函数在该点附近的一个极限。
也就是说，可去奇点并不会导致复变函数在在该点的解析性的丧失，而只是在该点的一个小区域内不连续，可以理解为函数在该点的极限。
三、极点极点是指在一些点附近，函数存在一个无限趋近于某一值的现象，而不是像可去奇点一样在该点处没有定义。
极点又可以分为一阶、二阶，三阶等不同阶次的极点。
四、essential 奇点本性奇点，或称 essential 奇点，是指不能通过解析扩张而消除的奇点，这表明在这些点附近，函数的行为非常难以预测。
比如，当函数 f(z)=exp(1/z) (其中 z=0)，我们无法使用 Laurent 展开式表示它，因此我们可以将这个点视为一个 essential 奇点。
五、总结可以看到，在复变函数中，孤立奇点被分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型。
这些奇点在函数的解析延拓中起着重要的作用，通过对不同类型孤立奇点的认识及使用，可以在复杂且不可解释的情况下对函数进行更加深入的理解。
复变函数第四章
∑c
n=0
∞
n
( z − z0 ) n
(0 < z − z 0 < R )
z → z0
lim f ( z ) = c 0
(有 限 值 )
所以不论 f(z) 原来在 z0 是否有定义, 只要令 f(z0)=c0, 则 函数的展开式就变成在 z0 的邻域（圆域）上的泰勒级 数 f ( z ) = ∑ c ( z − z ) ( z − z < R ) ，从而函数f(z)在 z0 就成 为解析的了， 这也意味着在圆域 |z−z0|<R内函数处处 解析， z0 点不再是奇点， 因此称为“可去奇点”。
例1 判断函数
( z 2 − 1)( z − 2)3 f ( z) = (sin π z )3
在扩充平面内有些什么
类型的奇点? 如果是极点, 指出它的阶数。 [解] 首先考虑分母为零的点：
sin π z = 0 ⇒ z = 0, ±1, ±2,...
显然函数f(z)除这些使分母为零的点外, 在全平面解析。 由于(sinπz)' = πcosπz在z=0, ±1, ±2, …处均不为零, 因 此这些点都是sinπz的一阶零点, 从而是(sinπz)3的三阶 零点. 所以这些点中除去1,−1,2（因为它们同时是分子 的零点）外都是f(z)的三阶极点.
1 d m −1 Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) m f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z
f ( z) = 如果f(z)可以表示为有理函数的形式： P( z ) Q( z )
规则3 并且P(z)及Q(z)在z0都解析, P(z0)≠0, Q(z0)=0, Q'(z0)≠0, 即z0为f(z)的一阶极点, 则
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数，即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是，复变函数的导数可以沿任意方向取值，因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点，可以分为两类：可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点，探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲，如果函数在某一点附近有定义，但在该点处没有定义，则该点就是该函数的孤立奇点。
例如，函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点，因为它在z=0附近有定义，但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法：性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为，孤立奇点可以分为以下三类：（3）本质奇点：如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述，则该点为本质奇点。
例如，函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述，因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数，任何方法都无法消除奇点。
2、类型（1）一阶孤立奇点：如果孤立奇点的极限存在，则其阶数为1阶。
例如，函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点，在实际问题中具有广泛的应用。
其中，最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如，孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性，还可以用于电磁场中的场分布计算，以及通信系统中的信号传输分析等。
此外，在数学中，孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑，以及在复分析中的一些基础问题中。
总之，孤立奇点作为复变函数中的重要特征，是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的研究涉及到很多复杂的概念和性质，其中之一就是孤立奇点。
孤立奇点就是复变函数在某个复数点处的奇点，即在该点附近函数的数值变化非常剧烈。
具体来说，如果一个函数在某个点处不解析且在该点的某个领域内解析，则该点就是孤立奇点。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点处函数虽然存在奇点，但可以通过定义一个新的函数来消除奇点。
也就是说，在可去奇点处函数可以定义为解析的。
极点是指在该点处函数在极限的意义下无穷大。
极点分为两种类型：一阶和多阶。
一阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是有限的。
多阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是无穷大的。
本性奇点是指在该点处函数在极限的意义下无定义，即在该点处不存在有限的极限。
本性奇点是最复杂的一种奇点，其性质非常多样化。
对于复变函数中的孤立奇点，我们可以通过级数展开来研究其性质。
根据洛朗级数定理，一个复变函数在其孤立奇点处可以展开为洛朗级数。
洛朗级数包含两个部分：主部和副部。
主部是无穷级数的主要部分，副部是无穷级数的次要部分。
对于可去奇点，主部为0，副部为有限项的级数。
对于一阶极点，主部为有限项的级数，副部为无穷项级数。
对于多阶极点，主部为无穷项级数，副部也为无穷项级数。
对于本性奇点，主部和副部都为无穷项级数。
通过洛朗级数的展开，可以更好地了解复变函数在孤立奇点附近的性质。
可以判断其奇点的类型，进而确定函数的解析性质。
复变函数中的孤立奇点是函数在某个点处的奇点，可以分为可去奇点、极点和本性奇点。
孤立奇点的性质可以通过洛朗级数展开来研究。
对于可去奇点、一阶极点和多阶极点，其展开式包含有限项和无穷项级数。
对于本性奇点，展开式全为无穷项级数。
复变函数第五章1
z sin z 例 4 计算 Ι = ∫ dz z 3 z =1 (1 − e ) 解： 在 z = 1内：z = 0为一级极点。
z sin z z 2 sin z z3 sin z Res ,0 = lim = lim ⋅ lim = ( −1)3 = −1 (1 − e z )3 z →0 (1 − e z )3 z →0 (1 − e z )3 z →0 z
+ Res[ f (z), i] + Res[ f (z),−i]}. P(z) z 1 由规 , 则3 = 3 = 2 ,故 Q′(z) 4z 4z 1 1 1 1 z ∫ z4 −1d z = 2πi(4 + 4 − 4 − 4) = 0. C
e dz, C 为正向圆周|z|=2. 例3 计 算积 ∫ 分 2 z(z −1) C
第五章 留数
§1 孤立奇点 函数不解析的点为奇点 如果函数 虽在z 函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在 0不解 奇点 虽在 但在z 的某一个去心邻域0<|z−z0|<δ内处处解析 则 内处处解析, 析, 但在 0的某一个去心邻域 − z0称为 (z)的孤立奇点 称为f 的孤立奇点.
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含 −z0的负幂项 则孤 如果在洛朗级数中不含z− 的负幂项, 立奇点z 的可去奇点. 立奇点 0称为 f (z)的可去奇点 的可去奇点
∫ f (z)d z = 2πi∑Res[ f (z), z ].
C k =1 k
n
D
zn C3 z3 Cn C2 z1 z2 C1
C
[证] 把在C简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有
∫ f (z)d z = ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z +L+ ∫ f (z)d z.
复变函数论第5章第2节
考虑 ϕ ( z ) 在单位圆 | z |< 1 内任一点 z0 处的值 , 根据最大模原理, 如果 r 满足条件 | z0 |< r < 1 , 根据最大模原理 有
f (0) = 0 ， | f ( z ) |< 1 (| z |< 1)
f (z) 1 | ϕ ( z0 ) |≤ max | ϕ ( z ) |= max < . | z| = r | z| = r z r 让 r → 1 即得
所以 a 是 f (z ) 的 m 阶极点 阶极点.
说明
此引理为判断函数的极点提供了一个较为
简便的方法. 简便的方法. 1 例2 函数 sin z 有些什么奇点 如果是极点 指出 有些什么奇点, 如果是极点, 它的阶. 它的阶 解 函数的奇点是使 sin z = 0 的点 的点, 是孤立奇点 这些奇点是 z = kπ ( k = 0 , ± 1 , ± 2L) , 是孤立奇点.
因为 (sin z )′ z = kπ = cos z z = kπ = ( −1) ≠ 0, 1 即 的一阶零点， 所以 z = kπ 是 sin z 的一阶零点， 的一阶极点. 的一阶极点 sin z
k
3z + 2 , z = 0 是二阶极点 例3 有理分式函数 f ( z ) = 2 极点, z ( z + 2) z = −2 是 一阶 极点 极点.
下面的定理也是极点的 一个特征 .
定理5.5 点 a 为函数 f (z ) 极点的充要条件是
lim f ( z ) = ∞ .
z→a
极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z − a 的负幂项为有 限项 限项.
(2) 由定义的等价形式判别 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) =
解析函数零点与孤立奇点
定义法：将函数f(z)在a处的洛朗级数展开，通过找出负指数项的个数的方法来判断处解析函数的孤立奇点的三种类型.
极限法：通过对函数f(z)在a处的极限求解，即可判断出孤立奇点的类型.即:
当a是函数f(z)的可去奇点时，有lim┬(z→a) f(z)存在但是为有限个;
当a是函数f(z)的极点时，有lim┬(z→a) f(z)=∞;
当n<m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞.[7]
孤立奇点在复变函数极限求解中主要是利用极点来求解∞/∞型的复变函数求极限问题.如果函数f(z)和g(z)在点z_0的去心邻域：0<|z-z_0 |<R内解析，并且z_0是函数f(z)的n阶极点，是函数g(z)的m阶极点，则有：
当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞;[8]
解析函数的零点在极限的求解中的应用主要是针对于0/0型的复变函数求极限问题.如果z_0是解析函数f(z)的n阶零点，也是g(z)的m阶零点，则有：
当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =0; [5]
当n=m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =(f^m (z_0 ))/(g^n (z_0 ) ) ，即是分子、分母展开式中的首项系数之比;[6]
对于孤立奇点的分类，我们主要是以解析函数的洛朗展开式为工具，根据洛朗展开式中的负指数的有无和系数将孤立奇点分为以下三种类型：
对于f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项的系数为0，则称a为函数f(z)的可去奇点；
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项有无数多项，则称a为函数f(z)的本质奇点；
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项存在，则称a为函数f(z)的极点，而且a还是函数f(z)的一阶极点，一阶极点也称为单极点。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是复数域上的函数，其研究在数学领域中占据着重要的位置。
而在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
本文将从孤立奇点的概念、分类以及性质等方面进行浅析，以便读者更好地理解复变函数中的孤立奇点。
我们来看一下孤立奇点的概念。
在复变函数中，孤立奇点是指在函数的定义域内，存在一个小邻域，在这个小邻域内函数是解析的，而在该邻域之外函数的性质发生了变化，从而导致在该点处函数出现了不连续或者无穷大的情况。
也就是说，孤立奇点是指函数在某一点处的性质与其周围的点存在明显的不同。
根据孤立奇点在复平面上的性质，可以将孤立奇点分为三类：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点指的是当函数在某一点处存在有限的极限值，但是函数在该点并不是解析的，可以通过定义新的函数值来使函数在该点处变得解析。
极点指的是当函数在某一点处的绝对值趋于无穷大，或者在该点处函数值趋于无穷大，这种情况下该点就称为极点。
本质奇点则是指在该点处函数无法进行解析延拓，并且在该点附近函数值的变化非常剧烈。
这三种不同性质的孤立奇点在复变函数中具有不同的特点和重要性，需要分别加以研究和分析。
我们来看一下各种孤立奇点的性质。
首先是可去奇点，对于可去奇点，函数在该点附近可以通过定义新的函数值来使得原函数变得解析，因此对于这种奇点来讲，其在函数的整体性质中并不会产生太大的影响，但需要注意的是，在某些情况下可去奇点可能会是函数的边界点，从而对函数的积分等操作产生影响。
接下来是极点，对于极点来说，其在函数的整体性质中则会产生一定的影响，尤其是对于极点的阶数和分布情况，在函数的性质中将会有不同的表现。
最后是本质奇点，本质奇点在复变函数中通常是研究的重点，因为这种奇点往往对函数的整体性质产生明显的影响，而且一些特殊的本质奇点会引发复变函数的一些重要性质和定理。
我们来看一下孤立奇点在复变函数中的应用。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要的概念，它在复变函数的研究和应用中具有重要的作用。
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JOURNAL OF DALI UNIVERSITY
第 9 卷 第 4 期 2010 年 4 月 Vol.9 No.4 Apr. 2010
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
何彩香， 张晓玲
（大理学院数学与计算机学院， 云南大理 671003 ）
［摘要］讨论了复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质， 并给出了简单的证明。利用这些性质可以快速准确地判定某些复变 函数的孤立奇点的类型， 这对研究某些复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内的性质、 复积分的计算等是很有意义的。 ［关键词］解析点； 可去奇点； 极点； 本质奇点 ［中图分类号］O174.5 ［文献标志码］A ［文章编号］1672-2345 （2010 ） 04-0017-03 Operational Properties of Analytic Point and Isolated Singularity of Complex Function HE Caixiang，ZHANG Xiaoling （College of Mathematics and Computer Science, Dali University, Dali , Yunnan 671003, China） 〔Abstract〕 This paper discusses operational properties of analytic point and isolated singularity of complex function and gives out simple proofs about them. By the properties, we can decide the type of isolated singularity of some complex functions. This is very meaningful for the researcher about the properties of isolated singularity in the deleted neighborhood and the computation of complex integration. 〔Key words〕analytic point; moving singularity; pole; essence singularity
z→a
（有限复数 ） 由f （z）在点 z=a 解 析 知 f （z）在 点 z =a 必 连 续 ， 从而 lim（ f z ） =f （a ） ， 于是 lim 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =f （a ） ±b （有限复
z→a z→a
f z ） 在点a的主要部分为零圳lim（ f z ） =b （≠∞ ） 。 点圳（ 引理 2 函数（ f z ） 的孤立奇点 a 为（ f z ） 的 m 阶极
z→a z→a
g （z ） b = （有限复 f a （ f z ） （ ）
数
1 1 ± 的一阶极点〔 4-5〕。 cosz z 定理4 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 且（ f a ） ≠0； 点
数 ） 。 ∴点z=a也为 定理2′ g （z ） 的可去奇点。 （ f z ） 若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
c-m 点圳（ f z ） 在点a的主要部分为有限多项， 设为 m （z-a ） cc- 1 （m-1 ） + +…+ （c -m ≠0 ） 圳（ f z ） 在点 a 的某去心 m-1 z-a （z-a ） λ （z ） f z ） = ， 其中λ （z ） 在点a解析， 且 邻域内能表成（ m ） （z-a λ （a ） ≠0。
g （z ） 的可去奇点， 且 lim g （z ） ≠0， 则点 z=a 也为函数 （ f z ） 的可去奇点。 g （z ） 可仿照定理2证明 （略 ） 。 例1 函数cosz在z=0解析， z=0为
sinz sinzcosz z =0 必为函数 cosz ± ， 的 点， 由定理 1 知， z z 可去奇点。 又由于cos0=1≠0， 据定理2， z=0也必为函 sinz sinz 的可去奇点。 类似地， 由于lim =1≠0， 据 数 z → a zcosz z 定理2′， z=0亦必为函数 定理3 极点〔 3〕。 证明： ∵点z=a为g （z ） 的m阶极点， ∴g （z ） 在点a的 λ （z ） 某去心邻域内能表成g （z ） = ， 其中λ （z ） 在点a m ） （z-a 解析， 且λ （a ） ≠0.于是
g （z ） 的m阶极点， 则点 z=a 也为函数（ f z ） ±g （z ） 的m阶
的二阶极点，由定理 4 知， z =1 必为函数 及 2 （z-1 ）z 1 （z-1 ）ze 注
2 z
e
z
的二阶极点〔 6-7〕。 若定理 4 的条件中去掉（ f a ） ≠0， 结论将改 （ f z ） 〔 8-9 〕 的可去奇点” 。 g （z ）
复变函数的解析点与孤立奇点都是复变函数 积分及其 论中的重要概念， 复变函数的某些性质 、 在孤立奇点处的留数等均与孤立奇点的类型有关， 因此，准确快速地判定复变函数的孤立奇点的类 型， 对研究复变函数在其孤立奇点处的去心邻域内 的性质、 复积分的计算等是至关重要的。本文讨论 了两个复变函数的和、 差、 积、 商所得新函数与其中 某个复函数的孤立奇点的类型的关系， 并给出了简 单的证明和应用。
在， 即limg （z ） ≠
z→a
z=0必为函数 阶极点， 由定理3知， 又由于函数 点。
b （有限复数 ） （1 ） ≠ ∞ c （有限复数 ） 〔（ f z ） ±g （z ） 〕 =≠ ， 由（ f z ） 在点 z=a 假若 lim ∞
z→a z→a z→a z→a
1 π 在点z= +kπ （k=0， ± 1， ±2， … ） 解 z 2
z→a
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
1 z-2
的本质奇点。
［参考文献］
〔1〕钟玉泉.复变函数论 〔M〕 .3版.北京： 高等教育出版社， 2003： 193-203. 〔2〕西安交通大学高等数学教研室.复变函数 〔M〕 .4版.北京： 2005： 145-153. 高等教育出版社， 〔3〕何彩香.复函数极点的运算性质 〔J〕 .大理学院学报， 2004， 3 （5 ） ： 77-78. 〔4〕张元林.积分变换 〔M〕 .4版.北京： 高等教育出版社， 2006： 32-38. 〔5〕何彩香， 姚恩瑜， 葛浩.带有宵禁限制的动态最短费用路 问题 〔J〕 .浙江大学学报： 理学版， 2008， 35 （4 ） ： 390-394. 〔6〕何彩香， 姚恩瑜.带硬宵禁限制的动态最短费用路问题的 讨论 〔J〕 .科技通报， 2007， 23 （4 ） ： 463-467. 〔7〕何彩香， 姜秀燕， 施冰.有宵禁限制的时间最短路 〔J〕 .大理 2006， 5 （6 ） ： 10-13. 学院学报， 〔8〕何彩香， 胡竟湘， 李汝烯.有宵禁限制的成本最短路问题 〔J〕 .湖南工程学院学报， 2006， 16 （3 ） ： 73-76. 〔9〕顾作林， 闫心丽， 方影.高等数学 〔M〕 .4版.北京， 人民卫生 出版社， 2008： 267-268. 〔10〕毛宗秀， 姚金华.高等数学 〔M〕 .3版.北京， 人民卫生出版 社， 2005： 127-129. 〔11〕何彩香， 寸仙娥.带硬宵禁限制的动态最短费用路逆问 题的讨论 〔J〕 .大理学院学报， 2008， 7 （8 ） ： 67-70. 〔12〕Cai-Xiang He， Shao-Ming Wang.The math model and algorithm for the dynamic minimum time path problem with curfews 〔J〕 .Intrenational Journal of Combinaorial Graph Throry and Applications， 2008， 1 （2 ） ： 161-169. ［基金项目］大理学院科研基金资助项目 （2007X05 ） ［收稿日期］2010-01-18 ［作者简介］何彩香， 副教授， 主要从事复变函数论及组合优 化研究.
解析知lim（ f z ） =f （a ） 从而limg （z ） =±lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 （ ） ｝ = f z ± 〔c-f （a ） 〕 （有限复数 ） ， 这与 （1 ）式矛盾， 故 ≠ ∞ c （有限复数 ） 必有lim ｛ 〔 （ f z ） ±g （z ） 〕 ≠≠ ， ∞
m （z-a ）（ f z ） ±λ （z ） （ f z ） ±g （z ） = ， 这里 φ （z ） = （z-a ）（ f z ） m （z-a ） m
zcosz 的可去奇点。 sinz
z 1 1 函数e 在z=1解析， e =e≠0； z=1为 2 （z-1 ）z
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
为 “点z=a为函数 定理5 奇点。
若函数（ f z ） 在点z=a解析， 点z=a为函数
g （z ） 的本质奇点， 则点z=a也为函数（ f z ） ±g （z ） 的本质 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存
z→a
±λ （z ） 在点z=a解析， 且φ （a ） =±λ （a ） ≠0 ∴点z=a也为（ f z ） ±g （z ） 的m阶极点。 例2 函数 1 1 在 z =0 解析， z =0 为函数 的一 cosz z 1 1 ± 的一阶极 cosz z
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总第 76 期
何彩香， 张晓玲
复变函数的解析点与孤立奇点的运算性质
第9卷
z=a为函数g （z）的 本 质 奇 点 ， 则点z=a也为函数 g （z ） （ f z ） g （z ） ， 的本质奇点。 （ f z ） 证明： ∵点z=a为g （z ） 的本质奇点， ∴limg （z ） 不存