第18章第1节含参变量的反常积分

（ f x，y）dy有
设有函数
F ( y ) ,使得
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
10
f ( x, y) F ( y), a x b, c y .
若 F ( y)dy 收敛，
c
则I(x)=

c
f ( x, y)dy 关于x [a, b]上一致收敛.
2015年9月8日星期二
(就(1)的情况)
f y ( x, y) dx
y
因为 f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 连续，由连续性定理 沿区间 [c, y] (c y d )
(2).对于含参量积分I(x)=
c
（ f x，y）dy有
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
I ( x) f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
c '



c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
14
c
2015年9月8日星期二
第十八章 含参变量的反常积分
注 : 连续性定理说明,在一致收敛的条件下,
极限运算与积分运算可以交换顺序
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
xx0 c
lim

f ( x, y)dy

c
f ( x0 , y)dy

c
lim f ( x, y)dy
2015年9月8日星期二 3
第十八章 含参变量的反常积分
含参量反常积分一致收敛的定义
(1). 含参量无穷广义积分
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 与函数 I ( x)

知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
若 0, A0 ( ) c, A, A A0 , x [a, b], 都有
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
I(y)= f(x,y)dx在[c,d]上连续.
(2)
+
设f ( x, y)在[a, b] [c, )上连续,
c +
I ( x) I ( x)
f ( x, y )dy,在[a, b]上一致收敛, 则函数 f ( x, y )dy在[a, b]上连续.
则称含参瑕积分I(x)= f ( x, y)dy在[a，b]上一致收敛.
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第十八章 含参变量的反常积分
二.含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分

c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
充要条件是 0, M a, A1, A2 M , y [c, d ], 都有

A2
A1
f ( x, y)dx .
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
(1).对于含参量积分I(y)=
第十八章 含参变量的反常积分 证明


A
A
f (x, y )dy | f (x ,y )|dy
A
A
F (y ) dy
A
A
因为 c F ( y ) dy 收敛，所以由广义积分一致收敛 的柯西准则，有

知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
0, A0 c, A, A A0 , | F ( y) dy |
(2).对于含参量积分I(x)=
c
（ f x，y）dy有
c
设f ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若 I ( x)
f ( x, y)dy
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可积， 且

b
a
dx

若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy
c N
对参数x在[a, b]上一致有界,
(ii) x [a, b],函数g ( x)关于y是单调递减 且当y 时对参量x, g ( x, y )一致地收敛于0,
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
则含参量反常积分


c
f ( x, y) g ( x, y)dy
c d
又对每一个x，这个有奇点的瑕积分存在，
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
若 0, 0 ( )(与x （a，b）无关），
使当 0 , 0 ( )时，

d
d
f ( x, y )dy 或
d c
d
d
f ( x, y )dy ,
A
A
从而
x [a, b]

所以
A
A
f ( x, y ) dy F ( y ) dy
A
A


c
f ( x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。
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2015年9月8日星期二
第十八章 含参变量的反常积分 阿贝耳判别法:
若 (i )


c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;

a
f ( x, y) dx 关于 y
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧


a
f ( x, y) dx 在 [c, d ]
d

d
c
dy

a
f ( x, y) dx dx f ( x, y) dy
a c
即积分顺序可以交换.
证明(从略)
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第十八章 含参变量的反常积分 可积性定理

A
A
f ( x, y )dy 或

A
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 上一致收敛于I ( x).
2015年9月8日星期二


c
f ( x, y)dy在 [a, b]
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第十八章 含参变量的反常积分 (2). 含参量瑕积分
设I(x)= f ( x, y)dy对于x [a, b]有奇点y d，
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
a
f ( x, y) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界 函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分
一含参量反常积分及一致收敛定义 .
设 f ( x, y)定义在无界区域 R ( x, y ) a x b, c y 若对每一个固定的

知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
a
I ( y)

a
f ( x, y) dx
在 [c, d ] 可导，且
d f ( x, y) dx f ( x, y) dx a y dy a
即求导和积分顺序可以交换. 2015年9月8日星期二 20
第十八章 含参变量的反常积分 可微性定理
x [a, b],
反常积分


c
f ( x, y)dy
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a, b] 上取值的函数,
记作 : I ( x)
c
f ( x, y)dy, x [a, b]
称为定义在 [a, b] 上的含参量 x 的无穷限反常积分,
或简称为含参量反常积分.
充要条件是 0, M c, A1, A2 M , x [a, b], 都有

A2
A1
f ( x, y )dy .
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分

a
f ( x, y)dx 在 [c, d ] 上一致收敛的
c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x) f x ( x, y)dy.
d f ( x, y)dy f ( x, y )dy. c x dx c
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 证明:
( y)

A
从而
y [c, d ]

所以
A
A
f ( x, y ) dx F ( x ) dx
A
A


a
f ( x, y) dx 关于 y [c, d ] 一致收敛。
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2015年9月8日星期二
第十八章 含参变量的反常积分 魏尔斯特拉斯判别法:
(2).对于含参量积分I(x)=
c
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 证明
因为



A
A
f ( x, y ) dx | f ( x, y ) | dx F ( x) dx
A A
A
A
a
F ( x) dx 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西
A
准则，有
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
0, A0 a, A, A A0 , | F ( x) dx |
在[a, b]上一致收敛.
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 三、含参量反常积分一致收敛的性质 1. 连续性定理
(1) 设f ( x, y)在{( x, y) | a x , c y d}上连续,
I ( y)
a

a
f ( x, y) dx在[c, d ]上一致收敛, 则函数
a
（ f x，y）dx有
设有函数
F ( x) ,使得
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
| f ( x, y) | F ( x), a x , c y d ,
若


a
F ( x) dx 收敛，则I ( y)

a
f ( x, y) dx
关于y [c, d ]一致收敛.
0, 0, 当| y | 时,

A
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
从而，当 | y | 时，有
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
| I ( y y ) I ( y ) |

A
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
c
f ( x, y)dy

c
dy f ( x, y)dx.
a
b
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 3. 积分号下求导的定理
(1).对于含参量积分I(y)=
a
可微性定理
（ f x，y）dx有

设 f ( x, y), f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续，a f ( x, y) dx f y ( x, y ) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则 收敛，
第十八章 含参变量的反常积分
主要内容
1.含参量反常积分的定义
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
2.含参量反常积分一致收敛的定义
3.含参量反常积分一致收敛的判别方法
4.含参量反常积分一致收敛的性质
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 本节研究形如


a
f ( x, y) dx

b
f ( x, y) dx |
y [c, d ] 时，


A
f ( x, y y ) dx
又 f ( x, y) 在 [a, A; c, d ] 上连续，所以 作为 y 的函数在 [c, d ] 连续，于是 2015年9月8日星期二

A
a
f ( x, y ) dx
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第十八章 含参变量的反常积分
(ii) x [a, b],函数g ( x, y )为y的单调函数, 且对参量x, g ( x, y)在[a, b]上一致有界
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
则含参量反常积分


c
f ( x , y ) g( x , y )dy
在[a , b]上一致收敛.
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 狄利克雷判别法;
a
A


A
f ( x, y y ) dx


A
f ( x, y ) dx 3
定理证毕。
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 2. 积分顺序交换定理
(1).对于含参量积分I(y)=
a
可积性定理
（ f x，y）dx有

设 f ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续， 在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y) 可积，并且
xx0
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 证明:
因为
(就(1)的情况)


a
f ( x, y) dx 在 [c, d ] 内一致收敛，所以

0, A0 a, A A0 , y [c, d ], |
因此，当
A
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧