第18章第1节含参变量的反常积分
含参变量反常积分
|∫
d
d −η
f ( x, y )dy |< ε ，
则称含参量反常积分
∫
d
c
f ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛．
例6 证明 ∫
+∞
0
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) p x
即证 ∀[ p0 , p1 ] ⊂ ( −1,1),
∫
+∞
0
∫
+∞
0
2 2 +∞ cos x 1 cos x cos x 2 dx = dx + ∫ dx = I1 + I 2 p p p ∫ 0 1 x x x
sin xy dy y
在，）上一致收敛（其中但在 [δ + ∞ δ > 0),
（，）内不一致收敛。 0 +∞
分析
A > A0 要证：∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使得当时，
对一切，都有 x ∈ [δ , +∞ )
|∫
+∞ A
sin xy dy |< ε y
证
+∞
令 u=xy, 得
+∞ sin u sin xy ∫ A y dy = ∫ Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 由于 ∫ du 收敛，故 0 u 就有 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时， A > A0 +∞ sin u |∫ du |< ε A u A0 取N = 时 则当A > N 时有 Aδ > A0， δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， 有 Ax ≥ Aδ > A0， +∞ sin xy +∞ sin u 从而 | = ∫ A y dy | | ∫ Ax u du |< ε +∞ sin xy 所以 ∫ [δ + ∞ 一致收敛. dy 在，） 0 y
含参量反常积分
01
工程问题建模
含参量反常积分在工程问题建模中具有 重要应用，如流体动力学、电磁学等领 域。
02
03
金融数据分析
含参量反常积分在金融数据分析中具 有广泛应用，如风险评估、投资组合 优化等领域。
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收敛性
当参数在某个范围内变化时，含参量 反常积分的值是有限的，则称该含参 量反常积分在该范围内收敛。
收敛性的判定方法
柯西准则
如果存在一个正数$alpha$，使得在积分区间上，被积函数的绝对值小于$alpha$，则 该含参量反常积分收敛。
狄利克雷判别法
如果被积函数在积分区间上单调有界，且参数的变化范围有限，则该含参量反常积分收 敛。
02
CATALOGUE
含参量反常积分
含参量反常积分的定义
含参量反常积分
在数学中，含参量反常积分（或含参量不定积分）是一种特殊的反常积分，其中积分上 限或下限是参数。
定义
设函数f(x, a)在区间[a, b]上连续，且对于每一个固定的a值，f(x, a)在[a, b]上可积。那 么含参量反常积分∫f(x, a)dx在[a, b]上的值是函数F(x, a)在[a, b]上的增量，其中F(x, a)
含参量反常积分
目 录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的收敛性 • 含参量反常积分的应用 • 含参量反常积分的展望
01
CATALOGUE
反常积分简介
反常积分的定义
反常积分是指定积分在某个区间上发 散或无界的积分，通常表示为∫f(x)dx ，其中f(x)是定义在某个区间上的函数 ，而这个区间可能是无穷区间或者不 连续的区间。
解决数学问题
含参变量的反常积分
充分性 若 0, N c, M A1 , A2 N ,
则令 A2 , 得
A2 A1
f ( x , y )dy .
c
M
f ( x , y )dy .
这就证明了 I ( x )
f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛.
*例2 证明含参量的反常积分
( y)
1
g( A1 , y ) A g( A1 , y ) A
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) M 判别法
设有函数 F(x), 使得
f ( x , y ) F ( x ) , a x , y .
若 F ( x )dx 收敛, 则
对A, A a ,
A
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx 2 M .
于是, A1 , A2 A, y , 由积分第二中值定理，
A
A2
1
f ( x , y ) g ( x , y )dx
或简单地说含参量积分(1)在 上一致收敛.
注1 由定义, I ( y ) 充要条件是
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛的
( A) sup
y
a
A
f ( x , y )dx 0 ( A ).
注2 由定义, I ( y )
f ( x , y )dx 在 上不一致收敛
若I ( y)
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛, 则
含参变量的反常积分dini定理
含参变量的反常积分dini定理一、反常积分的基本概念反常积分也称为广义积分，是一种积分范围超越常规定积分的积分。
在定义上，反常积分可以看作是对定积分的推广，其积分区间可以是无穷区间，也可以是其他非正常区间。
反常积分具有广泛的应用，包括物理学、工程学、概率论等领域。
二、含参变量的反常积分含参变量的反常积分是指在积分过程中包含参数的积分。
这种积分在处理一些复杂问题时非常有用，例如物理中的热传导问题、弹性力学中的应变问题等。
含参变量的反常积分在处理这些问题的过程中，通过引入参数来简化问题，使问题得到更有效的解决。
三、Dini定理的背景和意义Dini定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到含参变量的反常积分。
Dini定理的背景可以追溯到19世纪末，当时数学家开始关注含参变量的反常积分。
Dini定理的意义在于，它提供了一种判断含参变量的反常积分收敛性的方法，从而为解决一系列相关问题提供了理论支持。
四、Dini定理的证明过程Dini定理的证明过程相对复杂，需要使用到实数性质、微积分基本定理等知识点。
在证明过程中，首先需要引入一个与被积函数有关的辅助函数，然后通过分析这个辅助函数的性质，逐步推导出Dini定理的结论。
具体证明过程可以参考数学分析教材或相关论文。
五、Dini定理的应用举例Dini定理的应用非常广泛，下面举几个具体的例子来说明其应用。
1. 在物理学中的应用：在研究波动方程时，Dini定理可以用来判断波动方程解的存在性和唯一性。
例如，在研究弦振动时，通过引入参数和利用Dini定理，可以证明弦振动方程解的存在性和唯一性。
2. 在工程学中的应用：在电气工程中，Dini定理可以用来判断电路中的电流和电压是否收敛。
例如，在分析交流电路时，通过引入角频率作为参数，并利用Dini定理判断电流和电压的收敛性，从而为电路的分析和设计提供依据。
3. 在概率论中的应用：在随机过程和概率论中，Dini定理可以用来判断随机过程的样本函数的收敛性。
含参量反常积分答案
§2 含参量反常积分一 一致收敛性及其判别法设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰（1）都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有()(,),cx f x y dy x I φ+∞=∈⎰， （2）称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。
定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。
总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。
都有(,)()cf x y dy x φε+∞-<⎰，即(,)cf x y dy ε+∞<⎰则称含参量反常积分（1）在I 上一致收敛于()x φ，或简单地说含参量积分（1）在I 上一致收敛。
定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分（1）在I 撒谎能够一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,M A A>时，对一切x I ∈，都有12(,)A f x y dy Aε<⎰. （3）由定义1，我们还有以下含参量积分一致收敛的判别准则. 定理19.8 含参量积分(,)cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛的充分且必要条件是lim ()0,A F A →+∞=其中()(,).Ax I F A SUPf x y dy +∞∈=⎰例1 证明含参量反常积分sin cxydy y+∞⎰在[],δ+∞上一致收敛（其中0δ>），但在()0,+∞内不一致收敛。
证 作变量代换u xy =，得sin sin ,x Axyu dy du y uA +∞+∞=⎰⎰ 其中0A >.由于0sin u du u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当'A M >时，就有'sin .udu u A ε+∞<⎰取A M δ>,则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由（5）式有sin Axydy yε+∞<⎰， 因此lim ()0,A F x →+∞=从而由定理19.8，（4）式在[),δ+∞上一致收敛，又因为0sin sin lim ,0AA uu du du u u++∞+∞→=⎰⎰(0,)(0,)sin sin sin ()supsup 2x Ax x xyu u F A dy du du y uu A π+∞+∞+∞∈+∞∈+∞==≥=⎰⎰⎰（其中sin 2u dy u π+∞=⎰将在本节例6中证明），所以由定理19.8，（4）式在()0,+∞上不一致收敛。
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总含参数的反常积分是指在积分中包含一个或多个参数的情况下的积分运算。
一致收敛是指在定义域上的每个点上，函数项级数都收敛于同一个函数。
一致收敛的发散判别法是用来判断含参数的反常积分是否一致收敛的方法。
它的基本思想是先对含参数的反常积分的被积函数进行求和，然后通过逐项求和的结果进行判断。
一般来说，当积分区间是有界区间时，可以直接采用一般的单调收敛判别法，若积分区间是无界区间，则需要使用其他方法来判断其一致收敛性。
以下是一些常见的含参数反常积分的一致收敛发判别法及推广：1.魏尔斯特拉斯判别法：该判别法适用于被积函数在区间上无上界的情况。
若函数项级数的每一项在区间上都存在可求得的上界，并且级数的系数与参数无关，即参数只出现在积分区间上，则该函数项级数在该区间上一致收敛。
2.绝对收敛发散判别法：若被积函数在积分区间上绝对收敛，则函数项级数在该区间上一致收敛。
3.阿贝尔判别法：若函数项级数在积分区间上逐项收敛，且在积分区间上一致有界，则函数项级数在该区间上一致收敛。
4.一致收敛的推广汇总：对于参数函数项级数的一致收敛判别，可以将其推广为参数函数项广义积分的一致收敛判别。
具体而言，可以参考以下几种情况的判别方法：a.线性组合的情况：若参数函数项级数与常数函数项级数的线性组合在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
b.积分换元法的情况：若参数函数项级数的积分变量进行换元，得到的新的参数函数项级数在积分区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
c.参数函数项级数的逐项积分的情况：若参数函数项级数的逐项积分在积分区间上一致收敛，则参数函数项级数在该区间上一致收敛。
d.参数函数项的相对收敛性：若参数函数项级数的每一项与参数的函数项级数的每一项的绝对值相比，在积分区间上一致有界，并且参数的函数项级数在该区间上一致收敛，则原参数函数项级数在该区间上一致收敛。
含参变量反常积分
|e
x
sin x | e
0 x
而积分
所以
0
e0 x dx 收敛，
0
e x sin x dx 在 [0 ,) (0 0) 内一致收敛
狄利克雷判别法;
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy 对参数x在[a, b] c
sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛.
在上式两端对 y 求导，得
d ( y ) f ( x, y ) dx dy a
定理证毕。
含参量反常积分的性质
• 连续性
设f ( x, y)在[a, b] [c,)上连续， 含参量反常积分
I ( x)
c
f ( x, y)dy 在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上连续.
A2
A1
f ( x, y )dy .
一致收敛的充要条件; 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
条件是:对任一趋于 的递增数列 An (其中 A1 c ),函数
项级数
n 1
An1
An
f ( x, y )dy un ( x) 在 [a, b] 一致收敛.
M
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 c f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛于 I ( x) .
3 、 含参量反常积分一致收敛的判别方法
一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
c
f ( x, y)dy 在 [a, b] 上一致收敛的充要
§19.2含参变量的反常积分
一般地, 取M n max n, A2 n1 , (n 2), 则有
A2 n A2 n1 M n及xn [a, b], 使得 :
A2 n
A2 n 1
f ( xn , y)dy 0
()
由上述所得到的数列 An 是递增的,且 lim An n
n
f ( x, y)dy A
n 1
An 1
An 1 逐项求导 I ( x) f ( x, y )dy n1 An n 1
An 1 An
An
注: 其中 un ( x)
f ( x, y )dy
Ak 1 Ak
n 1
An 1 An
f ( x, y )dy lim
n
n
f ( x, y )dy
c
lim
k 1 An 1
n c
f ( x, y )dy
f ( x, y)dy
cos xy dx 在 (, ) 上一致收敛. 例 2 证明 0 1 x 2
证 : y (, ), 有 :
1 而 dx收敛, 2 0 1 x
由M 判别法,
cos xy 1 , 2 2 1 x 1 x
cos xy dx在(, )内一致收敛. 0 1 x 2
sin u du u
取A0 N 1 N , 取x0
2( N 1)
(0, ), 使 :
sin u p A0 x0 u du 2 0 . A0 (此时,0 A0 x0 ) 2 所论积分在(0, )非一致收敛.
含参变量反常积分
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
则称含参量反常积分
f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛于I( x),
或含参量积分在[a, b]一致收敛.
由于
I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关.如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切 x [a, b]，都有
sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0 u
0, M c，使得当 A M时，就有|
sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时 ， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量反常积分的几种计算方法摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。
关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。
本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。
一 积分号下积分法要对含参变量反常积分()(),y ag f x y dx +∞=⎰实现积分号下求积分，须验证以下条件：(1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞⎰在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),cf x y dx +∞⎰在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛；(3) (,)c ady f x y dx +∞+∞⎰⎰及(),a cdx f x y dy +∞+∞⎰⎰至少有一个收敛，则 ()(),,accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰例1 利用20u edu+∞-⎰u=xα令2()0(0)x edx ααα+∞-∀>⎰，求2ed αα+∞-⎰的值。
分析：2x e dx +∞-⎰这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。
含参量反常积分
contents
目录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的计算 • 含参量反常积分在数学物理中的应用 • 总结与展望
01 反常积分简介
反常积分的定义
反常积分分为两种：无穷积分和瑕积 分。无穷积分是指积分区间为无穷的 积分，而瑕积分是指被积函数在积分 区间内存在无界点的积分。
含参量反常积分是反常积分的一种， 其中包含一个或多个参数，这些参数 在积分的计算过程中起到关键作用。
反常积分的性质
反常积分具有连续性、可微性和可积性等性质。连续性是指反常积分的结果是一个连续函数；可微性 是指反常积分的结果是可微的；可积性是指反常积分的结果是有限的。
含参量反常积分在参数变化时，其性质也会发生变化，如从瑕积分变为正常积分，或者从收敛变为发 散。
含参量反常积分在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。通过含参量反常积分，可 以解决许多实际问题中的积分计算问题。
展望
理论发展
应用拓展
计算方法的改进
随着数学理论的不断发展和完善， 含参量反常积分理论也将得到进 一步深化和完善。未来，含参量 反常积分理论可能会在更广泛的 领域得到应用和发展。
变量替换法
利用变量替换技巧，将含参量反常积分转化为容易计算的形式，再 进行积分计算。
计算步骤
确定积分上下限
根据题目要求，确定反常积分的积分上下限。
确定被积函数
根据题目要求，确定反常积分的被积函数。
计算积分值
根据计算方法，计算出含参量反常积分的值。
计算实例
要点一
计算 $int_{0}^{1} frac{1}{x…
04 含参量反常积分在数学物 理中的应用
在数学物理中的重要性
含参变量的反常积分(1)
类似可定义含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ , −+∞∞ ������ ������, ������ ������������ 的一 致收敛性.
定理15.2.2（Weierstrass判别法） 如果存在函数 ������(������) 使得
(������) ������ ������, ������ ≤ ������ ������ ，������ ≤ ������ ≤ +∞， ������ ≤ ������ ≤ ������，
(������) 反常积分���+��� ∞ ������(������)������������ 收敛， 则含参变量积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 [������, ������] 上一致收敛.
������
收敛，则称含参变量反常积分���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 在 ������ = ������������ 处 收敛，并称 ������������ 是它的收敛点。记 ������ 是含参变量反常积分 ���+��� ∞ ������ ������, ������ ������������ 的所有收敛点构成的集合，则 ������ 是函数
(������) 对每个固定的 ������ ∈ [������, ������], ������(������, ������) 关于 ������ 是单调函数; (������) ������(������, ������) 一致有界: ∃ ������，使得对任意 ������ ∈ ������, +∞ , ������ ∈ [������, ������]， 有 ������ ������, ������ ≤ ������.
含参变量的反常积分
条件是: 对任一趋于 的递增数列{ An } (其中A1
c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x , y)dy
un ( x)
n1
(7)
在 J 上一致收敛,
其中 un( x)
An1 An
f ( x, y)dy.
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证 必要性 由(1)在 J 上一致收敛, 故 0, M c,
或称含参量反常积分.
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定义1 若含参量反常积分(1)与函数 I(x)对 0 ,
N c, 使得当 M N 时, 对一切 x J, 都有
M
c f ( x, y)dy I( x) ,
即
M f ( x, y)dy ,
则称含参量反常积分(1)在 J上一致收敛于I(x), 或简 单地说含参量积分(1)在 J 上一致收敛.
因此, 含参量积分在 (0, ) 上非一致收敛.
而对于任何正数 , 有
( A) sup xexydy e A 0 ( A ), x[ ,) A
因此, 该含参量积分在 [ , ) 上一致收敛.
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二．含参量反常积分一致收敛性的判别
定理19.7 (一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分(1)
在[a, b]上一致收敛的充要条件是: 0,N c,
使得当 A1, A2 N 时, 对一切的 x [a, b], 都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(3)
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证 必要性
若I( x) f ( x, y)dy 在 J 上一致收敛, 则 c 0, N c, A N 及 x J , 有
使得当 A A M时，对一切 x J, 总有
含参变量反常积分
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数， 且对参量x,
g( x, y)在[a,b]上一致有界， 则含参量反常积分
c f ( x, y)g( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
设 f (x, y) 在 {(x, y) | a x , c y d} 上连续，
解 因为 | e x sin x | e0x
而积分 e0 x dx 收敛， 0
所以 e x sin x dx 在 [0,) (0 0) 内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i) N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
d
f (x, y) dx
f (x, y) dx
dy a
a y
证明 因为 f y (x, y) 在 [a, ; c, d] 连续，由连续性定理
( y) a
f y (x, y) dx 在
[c, d ]连续，
沿区间 [c, y] (c y d) 积分 ( y) ，由积分顺序交
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
| eyx2 sin ydx |
| sin y
et2 dt |
A
y yA
|
sin
y
|
et2 dt
| sin y |
y0
2
y
因为 lim sin y 0 y y0
则 0， 0 ，当 0 y 时，有
y)dy
在[a, b]上一
含参量反常积分一致收敛的判别法.
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名学号系别数学系年级2010级专业数学与应用数学指导教师职称完成日期摘要含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。
要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。
本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。
关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法AbstractImproper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression.Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis目录1引言 (1)2基本概念 (1)2.1含参量反常积分 (1)2.2含参量反常积分一致收敛 (2)3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2)3.1定义法 (2)3.2柯西准则法 (3)3.3变上限积分的有界性法 (3)3.4确界法 (4)3.5微分法 (5)3.6级数判别法 (6)3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6)3.8狄里克莱判别法 (8)3.9阿贝尔判别法 (8)4结束语 (1)参考文献 (10)致谢 (11)含参量反常积分一致收敛的判别法柯美蓉（闽江学院数学系；福建福州350108）1.引言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.现行的数学分析教材[1-3、5]给出的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判别.为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性，本文研究、归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的九种方法:一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人们的研究、理解.2.基本概念2.1 含参量反常积分设函数),(y x f 定义在无界区域},),{(I y x a y x R ∈+∞<≤=上，其中I 为区间[]d c ,,反常积分dx y x f a⎰+∞),(都收敛，则它的值是 y 在[]d c ,上取值的函数，当记这个函数为)(y Φ时，则有I y dx y x f y a∈=Φ⎰+∞,),()(， （2-1）称dx y x f a⎰+∞),(式为定义在I 上的含参量y 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分[1].2.2 含参量反常积分一致收敛若含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(与函数)(x Φ对任给的正数,存在某一实数a N >，使得当N M >时,对一切[]d c y ,∈都有ε<Φ-⎰May dx y x f )(),(， （2-2）即ε<⎰+∞Mdx y x f ),(， （2-3）则称含参量反常积分dx y x f a⎰+∞),(在I 上一致收敛于)(y Φ，或者简单的说含参量积分dx y x f a⎰+∞),(在I 上一致收敛.3.含参量反常积分一致收敛的判别方法3.1 定义法定义判别法：根据以上2.2 关于含参量反常积分一致收敛的定义进行判别. 例3-1 证明：含参量反常积分dy xe xy ⎰+∞-0在()+∞,0内不一致收敛，但是在[)+∞,α上一致收敛（其中0>α）[2].分析 由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分()dy y x f ⎰+∞0,在()+∞,0上不一致收敛指：存在00>ε对任何实数00>A ,总存在0A A >和()+∞∈,0x ，st()0,ε≥⎰+∞Ady y x f . （3-1）4.结束语含参量反常积分是很重要的积分，研究它的连续性、可微性和可积性的关键在于研究它的一致收敛性.本文介绍一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法这九种判别方法，这些方法适用于不同含参量反常积分一致收敛的判定，每个判别法都有它的优点，同时也存在着一定的局限，选用恰当的方法能使判定过程变得方便、简单.然而，含参量反常积分一致收敛的判别法不只有这九种，还有很多方法等着人们去发现，去探讨，去挖掘.参考文献[1] 华东师范大学数学系．数学分析(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，2010.6.[2] 洪毅．数学分析[M]．广州：华南理工大学出版社，2002.3.[3] 罗俊，汪名杰，高敏.数学分析习题与解析[M]．北京：兵器工业出版社，2008.9.[4] 赵文强.关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究[J]．重庆工商大学学报：自然科学版，2011.28(5): 460-461.[5] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993.5.[6]张永峰．含参量反常积分局部一致收敛于连续［J］．咸阳师范学院学报，2006，21( 6) : 59-60.[7]张振祺．含参量反常积分局部一致收敛的判别法［J］．榆林学院学报，2010，20( 6) : 1-3.[8]张国才王恕达含参量积分的局部收敛性（I ）［J］。
含参变量反常积分
2、 含参量反常积分一致敛收的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I (x)
若 0 , N 0 , M N , x [a ,b ]都 , 有 f(x,y)dy, M
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy在 [a,b] 上一致收敛于 I ( x) .
可以交换.即
df(x,y)d y f(x,y)d.y
dc x
c x
• 可积性
设 f(x,y)在[区 a ,b ] [c 域 ,)上 ， 连 若 I(x续 ) f(x,y)dy
在 [a,b]上一,则 致 I(x)在 收 [a,b]上 敛可 ，且 积c
b
b
adcxf(x ,y )d y c dayf(x ,
在
[c, d ]
内一致收敛，所以
a
0 , A 0 a , A A 0 , y [ c ,d ]|,A f ( x ,y ) d | x
因此，当 y[c,d] 时， f(x,yy)dx A
又 f (x, y) 在 [a,A;c,d] 上连续，所以
A
f (x, y)dx
含参量反常积分 e ux2dx 0
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
例4 证明
（1） eyx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛； 1
（2） e yx2 sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛. 1
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
ac
c
a
则另一个也收敛 ,且
a dcxf(x ,y )d y c dayf(x ,y )d .x
例 1 :
含参变量反常积分
知 难
设 f (x, y)定义在无界区域 R(x, y) a x b,c y
而
若对每一个固定的
x [a,b], 反常积分
c f (x, y)dy
进
,
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,
记作: I(x)
f (x, y)dy,
x [a,b]
第十八章 含参变量的反常积分
知
本节研究形如
难
a f (x, y) dx
而 进
,
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
无
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界
坚
函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
不
摧
2020年2月12日星期三
1
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第十八章 含参变量的反常积分
一.含参量反常积分及一致收敛定义
的柯西c 准则，有
进
,
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| F( y) dy | A
从而 x [a, b]
无 坚
A
A
A f (x, y)dy A F( y)dy
不 摧
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
A f (x, y)dy 或
f (x, y)dy ,
A
A
无 坚
则称含参量反常积分 f (x, y)dy在 [a,b] c
不 摧
上一致收敛于I (x).
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第十八章 含参变量的反常积分
含参变量的积分与反常重积分
( x) y ( x) D: a xb
上的连续函数, 则
y
y (x)
( x)
( x)
D y (x) o a bx
( x)
f ( x, y ) d y
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
2n 12n 33 1
2
n
.
2. B函数
B p, q x
1 0
p 1
1 x
q 1
dx, P>0,q>0时收敛.
性质1. 连续性.(对p>0， q>0) B函数与 函数的关系 性质2.
1 1 B 2 , 2 1
1 2 2
在[a, b] 上可微 ， 且
( x)
( x)
f ( x, y ) d y
( x)
称为Leibniz公式.
( x)
( x)
f x ( x, y ) d y f ( x, ( x)) ( x)
f ( x, ( x)) ( x)
例4.3 设 x, y
xb x a d x (0 a b ) . 例4.2 求 I 0 ln x 解: 由被积函数的特点想到积分:
1
a
b
x dy
y
x y b xb x a a ln x ln x
( x y 在 [0,1] [ a, b] 上连续)
b
I d x x y d y
2
0 时有 e x y e 1 于是存在 0 0, 使得当 于是该反常二重积分收敛. 1 2 x x y I e dx e dy e dx . 0 0 x 2
6_5含参积分与反常积分
含参变量的积分与反常积分
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 三、含参变量的反常积分* 四、反常重积分 *
一、被积函数含参变量的积分
设 f ( x, y ) 是矩形域 D [a, b] [ , ]
上的连续函数,
则积分
f ( x, y ) d y 确定了一个定义在[a, b]上的关于
设 f ( x, y ) 为定义在区域
y
y (x)
( x) y ( x)
D:
a xb
D
y (x)
上的连续函数, 则
( x)
( x) ( x)
o
f ( x, y ) d y
a
b x
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
( x) g ( x)
f x ( x, y ) d y
此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
例５ １求含参变量积分 arctan .
0 1
积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
b
x y 1
y 1
1
dy
0
a
b
1 y 1
d y ln
b 1 a 1
定理3. (可微性) 若 f ( x, y ) 及其偏导数 f x ( x, y ) 都在
矩形域 D [a, b] [ , ]上连续 , 则 ( x )
f ( x, y ) d y
课件：含参变量的反常积分
一切 x [a,b] ,都有
A
f (x, y)dy I (x)
即
f (x, y)dy
c
A
则称含参量广义积分(1)在[a,b] 上一致收敛于I (x).
Weierstrass 判别法(M-判别法)
设设有级函数数g(uyn )(,x使)定得义在区间D 上, Mn 是收敛
的正项f (级x,数y).若g当( yn),充a分大x 时b,,对c yxD,有. ：
（ a>0 , b>0 )
4.4 反常重积分
对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的 积分和无界函数的积分。
定义 设D 是平面上艺无界区域。函数 f N在 D 上各
点N 有定义，用任意光滑曲线 在D 中划出有限区域
设二重及积分 f Nd 存在，当曲线 连续变动，使所
划出的区域 无 限扩展而趋于区域 D时，如果不论 的
0
2
得 : (r)
e
r 4
2
.
2
4.3 欧拉积分
• 1.Γ函数：
（一）定义 ： 含参变量广义积分 ( ) x1exdx 0 1.它为无穷限广义积分 2.当 1 时又是瑕积分
它的定义域就是积分的收敛域：易知 0
（二）性质
函数 ( )在其定义域 0内连续且
有任意阶连续导数：
(n) ( ) x1(lnx)nexdx 0
xy x2
dx在(,
)内一致收敛.
定理 (可积性)
设 f (x, y)在[a,b][c, )上连续.
若I (x) f (x, y)dy在[a,b]上一致收敛, c
则I (x)在[a,b]上连续,且
b
b
a dxc f (x, y)dy c dya f (x, y)dx
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c
（ f x，y）dy有
c
设f ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若 I ( x)
f ( x, y)dy
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
在[a, b]上一致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可积， 且
b
a
dx
充要条件是 0, M c, A1, A2 M , x [a, b], 都有
A2
A1
f ( x, y )dy .
2015年9月8日星期二
6
第十八章 含参变量的反常积分 一致收敛的柯西准则: 含参量反常积分
a
f ( x, y)dx 在 [c, d ] 上一致收敛的
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
充要条件是 0, M a, A1, A2 M , y [c, d ], 都有
A2
A1
f ( x, y)dx .
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第十八章 含参变量的反常积分 魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法
(1).对于含参量积分I(y)=
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
a
f ( x, y) dx, ( b 为瑕点)
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界 函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
2015年9月8日星期二
2
第十八章 含参变量的反常积分
一含参量反常积分及一致收敛定义 .
设 f ( x, y)定义在无界区域 R ( x, y ) a x b, c y 若对每一个固定的
a
（ f x，y）dx有
设有函数
F ( x) ,使得
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
| f ( x, y) | F ( x), a x , c y d ,
若
a
F ( x) dx 收敛，则I ( y)
a
f ( x, y) dx
关于y [c, d ]一致收敛.
(就(1)的情况)
f y ( x, y) dx
y
因为 f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 连续，由连续性定理 沿区间 [c, y] (c y d )
若 (i) N c, 含参量反常积分 f ( x, y)dy
c N
对参数x在[a, b]上一致有界,
(ii) x [a, b],函数g ( x)关于y是单调递减 且当y 时对参量x, g ( x, y )一致地收敛于0,
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
则含参量反常积分
c
f ( x, y) g ( x, y)dy
a
f ( x, y) dx 关于 y
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
a
f ( x, y) dx 在 [c, d ]
d
d
c
dy
a
f ( x, y) dx dx f ( x, y) dy
a c
即积分顺序可以交换.
证明(从略)
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第十八章 含参变量的反常积分 可积性定理
c
f ( x, y)dy
c
dy f ( x, y)dx.
a
b
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第十八章 含参变量的反常积分 3. 积分号下求导的定理
(1).对于含参量积分I(y)=
a
可微性定理
（ f x，y）dx有
设 f ( x, y), f y ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续，a f ( x, y) dx f y ( x, y ) dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛，则 收敛，
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
a
I ( y)
a
f ( x, y) dx
在 [c, d ] 可导，且
d f ( x, y) dx f ( x, y) dx a y dy a
即求导和积分顺序可以交换. 2015年9月8日星期二 20
第十八章 含参变量的反常积分 可微性定理
A
A
从而
x [a, b]
所以
A
A
f ( x, y ) dy F ( y ) dy
A
A
c
f ( x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。
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第十八章 含参变量的反常积分 阿贝耳判别法:
若 (i )
c
f ( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛;
A
从而
y [c, d ]
所以
A
A
f ( x, y ) dx F ( x ) dx
A
A
a
f ( x, y) dx 关于 y [c, d ] 一致收敛。
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第十八章 含参变量的反常积分 魏尔斯特拉斯判别法:
(2).对于含参量积分I(x)=
c
(2).对于含参量积分I(x)=
c
（ f x，y）dy有
设f ( x, y)与f x ( x, y)在区域[a, b] [c,)上连续， 若
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
I ( x) f ( x, y)dy 在[a, b]上收敛,
c '
c
f x ( x, y)dy 在[a, b]上一
A
A
f ( x, y )dy 或
A
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分 上一致收敛于I ( x).
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c
f ( x, y)dy在 [a, b]
4
第十八章 含参变量的反常积分 (2). 含参量瑕积分
设I(x)= f ( x, y)dy对于x [a, b]有奇点y d，
在[a, b]上一致收敛.
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第十八章 含参变量的反常积分 三、含参量反常积分一致收敛的性质 1. 连续性定理
(1) 设f ( x, y)在{( x, y) | a x , c y d}上连续,
I ( y)
a
a
f ( x, y) dx在[c, d ]上一致收敛, 则函数
a
A
A
f ( x, y y ) dx
A
f ( x, y ) dx 3
定理证毕。
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第十八章 含参变量的反常积分 2. 积分顺序交换定理
(1).对于含参量积分I(y)=
a
可积性定理
（ f x，y）dx有
设 f ( x, y) 在 [a, ; c, d ] 上连续， 在 [c, d ] 上一致收敛，则 I ( y) 可积，并且
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
I(y)= f(x,y)dx在[c,d]上连续.
(2)
+
设f ( x, y)在[a, b] [c, )上连续,
c +
I ( x) I ( x)
f ( x, y )dy,在[a, b]上一致收敛, 则函数 f ( x, y )dy在[a, b]上连续.
（ f x，y）dy有
设有函数
F ( y ) ,使得
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
10
f ( x, y) F ( y), a x b, c y .
若 F ( y)dy 收敛，
c
则I(x)=
c
f ( x, y)dy 关于x [a, b]上一致收敛.
2015年9月8日星期二
第十八章 含参变量的反常积分
主要内容
1.含参量反常积分的定义
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
2.含参量反常积分一致收敛的定义
3.含参量反常积分一致收敛的判别方法
4.含参量反常积分一致收敛的性质
2015年9月8日星期二
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第十八章 含参变量的反常积分 本节研究形如
a
f ( x, y) dx
b
c
致收敛, 则I ( x)在[a, b]上可微， 且 I ( x) f x ( x, y)dy.
d f ( x, y)dy f ( x, y )dy. c x dx c
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第十八章 含参变量的反常积分 证明:
( y)
0, 0, 当| y | 时,
A
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
a
A
从而，当 | y | 时，有
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧
| I ( y y ) I ( y ) |
A
a
f ( x, y y ) dx f ( x, y ) dx
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第十八章 含参变量的反常积分
含参量反常积分一致收敛的定义
(1). 含参量无穷广义积分
对于含参量反常积分 c f ( x, y)dy 与函数 I ( x)
知 难 而 进 , 无 坚 不 摧