高考题中的常见数学建模方法

高考题中的常见数学建模方法

“数学建模”是指通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，是一种创造性活动，也是一种解决现实问题的量化手段，根据创造性人才成长和发展的规律以及现代社会对人才素质的要求，寓创新能力培养于数学建模之中，是培养学生创新能力的一条有效途径。解答数学应用问题的核心是建立数学模型。这就要求：认真分析题意，准确理解题意，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想、转化、抽象，建立数学模型。

中学数学建模的基本类型有：

一、函数最值模型

有关涉及用料最省、成本最低、利润最大等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为函数最值问题结合导数来解决。

例1：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=a/(x-3)+10(x-6)~(2)，其中3

（I）求a的值

（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

分析：本题是2011年福建高考题，是以函数最值为模型的一个实际问题。考查运算求解能力、应用意识，函数建模的能力，关键是列出利润的目标函数，第（I）题，代入x=5，y=11，得a=2

（II）由（I）可知，该商品每日的销售量y=2/(x-3)+10(x-6)~(2)，所以商场每日销售该商品所获得的利润的目标函数为

f(x)=(x-3)[2/(x-3)+10(x-6)~(2)]=2+10(x-3)(x-6)~(2)，3

再利用导数求得三次函数的最大值。

二、不等式模型

有关设计求最大、最小值问题的应用题时，考虑转化为不等式，应用不等式的性质及基本不等式来解。

例2;某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=______

A.4650元

B.4700元

C.4900元

D.5000元

分析：这是2011年四川高考题，是一道以不等式为模型的应用题，关键是列出线性约束条件及目标函数。

【解析】由题意设派甲，乙x,y辆，则利润Z=450x+350y，得约束条件()画出可行域在()的点()代入目标函数z=4900.

三、数列模型

有关涉及平均增长率、等值增加、利率等应用问题，可考虑转化为等差、等比数列来解决。

例3：某地现有耕地1万公顷，规划10年后粮食产量比现在增加22%，要人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至少只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食年产量＝）（96年高考题23）

分析：设平均每年至多只能减少x公顷。题设所给的条件可列出下表：()

关键词：耕地平均每年至少只能减少x公顷时，要人均粮食占有量比现在提高10%，释成数学语言：

整理之有：

（10000－10x）*(1+22%)≥11000*(1+1%)~(10) 解之有：x≤4（公顷）

由以上例子可知，领会应用问题的语言，把应用问题转化为自己能够理解的数学语言，并在不同的情景中发现问题，把应用问题转化成纯数学问题，是顺利建模不可缺少的因素。

建模类型除了上述采用的这三种类型外，若有关测量、确定方向等应用问题，考虑利用三角函数来解决，即三角模型，根据题意，涉及几个量的一些应用问题，建立适当的方案或方案组来解决。

针对以上情况，作为教师应充分认识到加强建模教学的重要性。数学建模与纯数学有很大的区别，并不像以前学生遇到的数学问题那样去寻求唯一的解答。对于学生来说，需要很长的时间进行磨练，需要将思维方式朝向问题解决的方向转变。因此不仅在高三复习中对建模教学加强，而要在整个高中教学中及至初中教学中都要加强训练，要做到由浅入深，由近及远，形成一个练习的教学过程。使学生在解决数学建模问题上有所准备，提高应考能力。在数学教学中，经常联系实际，建立生活中的数学模型，就能让学生感受到“生活处处皆数学，”有利于提高学习的情趣和内在动力、从而激发学生的创新能力。