七年级奥数：含绝对值符号的一次方程

七年级奥数：含绝对值符号的一次方程

阅读与思考

绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：

1．形如∣ax ＋b ∣＝c (c ≥0)的最简绝对值方程

这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax ＋b ＝c 或ax ＋b ＝—C 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．

例题与求解

例1 方程∣x —5∣＋2x ＝—5的解是_______．

(四川省竞赛题)

解题思路 设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．

例2 适当∣2a ＋7∣＋∣2a －1∣＝８的整数a 的值的个数有( )． (A )5 (B )4 (C )3 (D )2

解题思路 发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．

例3 已知关于x 的方程||1x ax =+同时有一个正根和一个负根，求整数a 的值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)

解题思路 去掉绝对值的符号，把x 用a 的代数式表示，首先确定a 的取值范围．

例4 解下列方程： (1) ||31||4x x -+=；

(天津市竞赛题)

(2)|x ＋3|－|x －1|＝x ＋1

(北京市“迎春杯”竞赛题)

(3|x －1|＋|x －5|＝4

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

解题思路 多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．

例5 讨论关于x 的方程|x －2|＋|x －5|＝a 的解的情况．

(南京市竞赛题)

解题思路 方程解的情况取决于a 的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种

关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．

能力训练

A 级

1．若x =9是方程|x －2|=a 的解，则a =_______；又若当a =1时，则方程|x －2|=a 的解是_______．

2．方程|y ＋2|－|2y －|的解是_______，方程3(|x |—1)=＋1的解是_______．

3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x =_______

(北京市“迎春杯”竞赛题)

4．已知|x |=x ＋2，那么19x

+3x ＋27的值为_______．

(“希望杯”邀请赛试题)

5．方程|||x |－2|－1|=2的解是_______．

6．满足(a －b )＋(b －a )|a －b |=ab (ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( ) (A )ab <0 (B )ab >0 (C )a +b >0 (D )a +b <0

7．有理数a 、b 满足|a ＋b |<|a －b |，则( )．

(A )a ＋b 6≥0 (B )a ＋b <0 (C )ab <0 (D )ab ≥0

8．若关于x 的方程|2x －3|＋m =0无解，|3x －4|＋n =0只有一个解，|4x －5|＋k =0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．

(A )m >n >k (B )n >k >m (C )k >m >n (D )m >k >n 9．方程|x －5|＋x —5=0的解的个数为( )．

(A )不确定 (B )无数个 (C )2个 (D )3个

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

10．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )． (A )0 (B )2 (C )1 (D )3

． (全国初中数学联赛试题)

11．解下列方程：

(1)4－2|x ＋1|=3；

(2)|

x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|； (五城市联赛题)

(4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|

(全国通讯赛试题)

313

1

3153

5

x 99

2

2

1

2

1

12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a =0(0

(陕西省竞赛题)

B 级

1．关于x 的方程|a |x =|a ＋1|－x 的解是x =0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a |x =|a ＋1|－x 的解是x =1，则有理数a 的取值范围是_______．

2．若0

(第十届“希望杯”邀请赛试题)

3．若a >0，b <0，则使|x －a |＋|x －b |=a －b 成立的x 的取值范围是_______．

(武汉市选拔赛试题) 4．已知|a |＋a =0且a ≠—1，那么

=_______．

5．若有理数x 满足方程|1－x |=1＋|x |，那么化简|x －1|的结果是( )． (A )1 (B )x (C )x —1 (D )1—x

6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个． (A )0 (B )1 (C )2 (D )大于2的自然数

7．当a >0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )． (A )0.0013

8．已知方程|x |=ax +1有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．

(全国初中数学联赛试题)

(A )a =1 (B )a >－1 (C )a ≥1 (D )a <1

9．设a 、b 为有理解，且|a |>0，方程||x －a |－b |=3有三个不相等的解，求b 的值．

(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)

10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?

(江苏省竞赛题)

1

1+-a a