七年级奥数：含绝对值符号的一次方程

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含绝对值号的一元一次方程

含绝对值号的一元一次方程题目特点：一元一次方程中的未知数含有绝对值号。

解题关键：去绝对值号，化为一元一次方程求解。

解题方法：分类讨论，分x ≥0和x ＜0两种情况讨论。

讨论时，要注意方程的解是否符合题意。

解题关键：去绝对值号。

所用知识：0||0x x x x x ⎧=⎨-<⎩?。

,,||(),.x a x a x a x a a x x a -⎧-=⎨--=-<⎩… 例1 方程|3x|=15的解的情况是（）A 、有一个解，是5B 、无解C 、有无数个解D 、有两个解，是±5解：①当x ≥0时，去绝对值得：3x=15，解得：x=5；②当x ＜0时，去绝对值得：-3x=15，解得：x=-5。

故方程有两根，分别为x=5和x=-5．故选D ．点评：这是绝对值方程，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．例2 若关于x 的方程||21x x =+的解为负数，则x 的值为（）A 、14-B 、13-C 、12- D 、-1 分析：分x ≥0和x ＜0两种情况讨论去绝对值即可．解：①当x ≥0时，去绝对值得，x=2x+1，解得x=-1，不符合预设的x ≥0，舍去．②当x ＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得13x =-．故选B ．例3 方程2|x-5|=6x 的解为（）A 、x=52-或54x =B 、x=52或54x =-C 、54x =D 、52x =- 分析：首先考虑去掉绝对值，这是要考虑x 的取值范围，即x ＞5和x ＜5，又有方程2|x-5|=6x 可知，x ＞0，由上可知方程的解．解：（1）当x ≥5时，2（x-5）=6x ，∴4x=-10，解得x=52-，与x ＞5矛盾，舍去；（2）当x ＜5时，2（5-x ）=6x ，∴8x=10，解得x=54；故选C 。

点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算题，充分考察了绝对值的几何意义．难易适中．例4 方程|21|45x x -=+的解是（）A 、x=-3或23x =-B 、x=3或23x =C 、23x =- D 、3x =- 分析：分210x -…和210x -<两种情况讨论去掉绝对值符号，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．解：①当2x-1≥0，即x ≥12时，原式可化为：2145x x -=+，解得，x=-3，舍去； ②当2x-1＜0，即x ＜12时，原式可化为：1245x x -=+，解得，23x =-，符合题意．故此方程的解为23x =-．故选C ．练习：1．方程|2x-6|=0的解是（）A、3B、-3C、±3D、132．方程|3x|=15的解的情况是（）A、有一个解，是5B、无解C、有无数个解D、有两个解，是±5 3．方程|2007x-2007|=2007的解是（）A、0B、2C、1或2D、2或04．若|x-2|=3，则x的值是（）A、1B、-1C、-1或5D、以上都不对5．使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）A、-2B、0C、23D、不存在6．已知|3x|-y=0，|x|=1，则y的值等于（）A、3或-3B、1或-1C、-3D、37．关于x的方程mx+1=2（m-x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（）A、43B、43-C、34D、34-8．已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-12|-1=0，则m的值是（）A、10或25B、10或25-C、-10或25D、-10或25-9．方程|x|=5的解是x= ，|x-2|=0的解是，3|x|=-6的解是，|x+2|=3的解是。

奥数之解绝对值方程

奥数之解绝对值方程解绝对值方程是奥数（奥林匹克数学竞赛）中的重要内容之一。

本文将介绍解绝对值方程的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、什么是绝对值方程？绝对值方程是形如 |ax + b| = c 的方程，其中 a、b、c 是已知数。

在解绝对值方程时，我们的任务是找到数 x 的取值，使得方程左边的绝对值等于右边的数。

二、一元一次绝对值方程我们先来看一元一次绝对值方程，即形如 |ax + b| = c 的方程。

这里a、b、c 是已知数，且 a 不等于 0。

解这种方程的关键在于通过绝对值的定义，将含有绝对值的式子拆分成两个式子求解。

绝对值有两种取值，当变量 x 大于或等于 0 时，|x| = x；当变量 x 小于 0 时，|x| = -x。

因此我们可以将 |ax + b| = c 拆分为以下两种情况：情况一：ax + b = c，此时 x = (c - b) / a。

情况二：ax + b = -c，此时 x = (-c - b) / a。

综上所述，一元一次绝对值方程的解为 x = (c - b) / a 或 x = (-c - b) / a。

三、一元二次绝对值方程接下来我们看一元二次绝对值方程，即形如 |ax² + bx + c| = d 的方程。

这里 a、b、c、d 是已知数，且 a 不等于 0。

解一元二次绝对值方程可以用图像法。

首先我们画出 y = |ax² + bx + c| 和 y = d 两条直线的图像，这两条直线相交的点就是方程的解。

对于 y = |ax² + bx + c|，我们可以分别讨论 x 在哪些范围内使得 |ax²+ bx + c| 取正值或负值，然后画出对应的两条直线。

举个例子，如果 a > 0，那么当 ax² + bx + c 大于 0 时，|ax² + bx + c| = ax² + bx + c；当 ax² +bx + c 小于 0 时，|ax² + bx + c| = -(ax² + bx + c)。

初中数学培优专题学习专题09 含绝对值符号的一次方程

专题09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】解下列方程：（1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算．能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（）． A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（）． A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程：（1）142|1|32x -+=；（2）1|1|32x x -=-；（3）||21||3x x -+=；（五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（）． A ．1B ．xC ．1x -D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（）． A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（）． A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（）． A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11．用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）。

含绝对值的一元一次方程解法

含绝对值的一元一次方程解法引言一元一次方程是数学中常见的方程类型。

然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。

本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。

解法步骤解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

简单示例让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。

题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。

解方程 $|2x - 3| = 5$。

解法：1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式：- $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。

- $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。

2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。

解得 $x = 4$。

专练：含绝对值的一元一次方程的解法

含绝对值的一元一次方程的解法1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=．解方程：⑴235x += ⑵21302x --= ⑶200520052006x x -+-= ⑷1121123x x +--+-=（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．解方程⑴4329x x +=+ ⑵525x x -+=-（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．解方程⑴23a a =- ⑵2131x x -=+（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况： ①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．解方程⑴134x x -+-= ⑵154x x -+-= ⑶216x x -++=（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．解方程⑴2123x x +--= ⑵2134x x --+= ⑶23143x x x +--=-（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．【题01】解方程93352x x x ++-=+ 35162x x ---= 3548x -+=【题02】解方程：2112x --= 2121x x -+=+ 314x x -+= 11110x ----=【题03】当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解。

3 一次方程与一次不等式-含绝对值的一次方程-单墫

3.含绝对值的一次方程绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程，在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，从而转化为不含绝对值的方程．如果a a x (,||=是常数）当0>a 时，;a x ±= 当0=a 时，;0=x 当0<a 时，此方程无解，例1 解方程.5|32|=+x 解由题意可知532=+x 或,532-=+x则 1=x 或.4-=x例2 解方程.43|43|-=-x x分析观察到绝对值内的式子和绝对值外面的式子是相同的，那么谁的绝对值会等于本身呢？解由题意可知,043≥-x ,43≥x⋅≥34x 例3 解方程.3|4||1|=-+-x x分析本题可以根据去绝对值符号的方法进行“分段讨论”，但是仔细观察方程自身的特点，利用绝对值的几何意义，能很快地解出这个方程，解因为|1|-x 表示x 与1之间的距离（在数轴上），︱x-4︱表示x 与4之间的距离，而|4||1|-+-x x 一定大于等于1和4之间的距离，当x 落在1和4之间（包含1、4）时，取等号．因此，我们有,3|4||1|≥-+-x x 当且仅当41≤≤x 时取等号，所以原方程的解为.41≤≤x例4 若,100<<x 则满足条件a x =-|3|的整数a 的值有个，它们的和等于．（第10届初一希望杯）解当30<<x 时，则有a a x x ,3|3|=-=-的解为1、2；当103<≤x 时，则a a x x .3|3|=-=-的解为0、1、2、3、4、5、6．则a 的值有9个，它们的和等于24.例5 使得关于x 的方程1||+=ax x 同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是．（第12届初一希望杯）解若x 为方程的正根，则,1+=ax x 即,1)1(=-x a 因为,01>,0>x 所以,01>-a 即;1<a若x 为方程的负根，则,1+=-ax x 即,1)1(-=+x a 因为,01<-,0<x 故,01>+a 即.1->a要使原方程同时有正根和负根，则,11<<-a 这样的整数a 只有.0=a 例6 若关于x 的方程x m x .|1|=-有解，则实数m 的取值范围是分析与解分类讨论，去掉绝对值的符号．当1≥x 时，得,11,1)1(,1mx x m mx x -==-=-可得;10<≤m 当1<x 时，得;1)1(,1=+=-x m mx x 当1-<m 时，显然成立，当1->m 时，要求,111<+m 所以 .0>m综上所述，1-≤m 或.0≥m 例7 若方程01997||1997=--x x a只有负根，则实数a 的取值范围是．（1997年上海市初中数学竞赛）解当0>x 时，原方程为.01997)11997(=--x a当1997=a 时，方程无解；当1997=/a 时，则,199719972-=a x 所以.1997<a当0<x 时，原方程为,01997)11997(=---x a 则,199719972+-=a x 所以.1997->a所以 .19971997≤<-a例8 解方程.1|2||4|+=--+x x x分析要去掉绝对值符号，必须明确绝对值符号内的代数式4+x 和2-x 的符号，由04=+x和,02=-x 得4-=x 和,2=x 这样x 的取值范围从小到大排列依次为,2,24,4>≤<--≤x x x 由此可判定4+x 和2-x 的符号，这样的方法也称为“零点分段法”，解令,04=+x 解得;4-=x 令,02=-x 解得.2=x 当4-≤x 时，原方程可化为,1)2()4(+=-++-x x x解得 ,7⋅-=x当24≤<-x 时，原方程可化为,1)2(4+=-++x x x解得 ,1⋅-=x时，原方程可化为,1)2(4+=--+x x x解得 .5=x综上所述，517、、--=x 是原方程的解.例9 解方程.3||12||=+-x x分析方程中有两层绝对值符号，可以逐层去掉绝对值符号．解由,3||12||=+-x x可得 3|12|=+-x x 或.3|12|-=+-x x当3|12|=+-x x 时，,3|12|-=+x x则可得 312-=+x x 或者,312x x -=+ 解得 4-=x （不符合题意，舍去）或者;32=x 当3|12|-=+-x x 时，,3|12|+=+x x则可得 312+=+x x 或者,312--=+x x解得 2=x 或者34-=x （不符合题意，舍去）．所以，原方程的解为2=x 或⋅=32x习题 3一、选择题1. 若,||a x =则||a x -等于( )．a x A 22.或 a x B -⋅. x a C -. 0.D2. 若,200020|20002000|⨯=+x 则x=( )．（2000年重庆市初中数学竞赛）2120.-或A 2120.或-B 2119.或-C 2119.-或D3. 已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足,01|21|=--x 则m 的值为( )．5210.或A 5210.-或B 5210.或-C 5210.--或D二、填空题4. 当2||+=x x 时，则=++273194x x5. 解方程,12||21|21|2=+--x x 则x=6. 如果规定,2*b a =那么方程4||*3=x 的解是．（第14届迎春杯） 7. 已知关于x 的方程a x x =-++|6||3|有解，那么a 的取值范围是 8. 方程56|65|-=+x x 的解是．（1999年重庆市初二数学竞赛）参考答案。

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题09 含绝对值符号的一次方程_答案[精品]

专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x ≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x ≤1且－1≤y ≤5时，有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx ≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m ≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =- 或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到 122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a , x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x=±2003。

北师大数学初一上绝对值问题专题分类整理

含绝对值的一次方程1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a =-；③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a --=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=；②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．直接求解1、方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.2、解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-43、解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.4、方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.4、±107、2或05、已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.5、0或-16、已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.6、.57、若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)7、D8、解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.8、(1)x=3或x=13; (2)x=9或x=-37; (3)x=-43或x=2; (4)提示:分x<-1、-1≤x<12 、 •12≤x ≤2、x ≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x ≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x ≤2的x 值都是方程的解. 9、方程5665-=+x x 的解是．(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．讨论解的个数情况1、适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a 的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a 表示-7到1之间的偶数.注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．2、方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)2、B讨论解是否存在的情况1、已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.2、使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存在2、D3、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)3、A4、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.4、当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).5、当a 满足什么条件时,关于x 的方程│x-2│-│x-5│=a 有一解?有无数多个解?无解?5、提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．创新拓展题1、已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)1、提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.2、(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

初中数学培优专题学习专题09 含绝对值符号的一次方程_答案

专题09 含绝对值符号的一次方程例1 x ＝－10 提示：x －5＝±（－5－2x ），解得x ＝－10或x ＝0（舍去）．例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x 表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．例3 由12z +=得12z +=±，∴ 11z =，23z =-．又x ，y 异号，y ，z 同号，故当y ＝2，x ＝－3时，z ＝1，即x ＋y ＋z ＝0；当y ＝－2，x ＝3时，z ＝－3，即x ＋y ＋z ＝－2．综上可知x ＋y ＋z 的值为0或－2．例4 （1）54x =-或32x = （2）提示：当x ＜－3时，原方程化为()()311x x x -++-=+，解得x ＝－5；当－3≤x ＜1时，原方程化为()311x x x ++-=+，解得x ＝－1；当x≥1时，原方程化为()311x x x +--=+，解得x ＝3；故原方程的解是x ＝－5，－1，3．例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时，有21159x x y y ++-++++=，故当x = －2, y =－1时,x +y 有最小值为－ 3; 当X =1时,y =5时,x +y 有最大值为6.例6 分2种情况考虑:11x x mx ≥⎧⎨-=⎩① 011x x mx≤<⎧⎨-=⎩② 当且仅当m ≠1时,其解为11x m =-，这是m 满足的条件为 111m≥-，即0≤m <1,不符合-1≤m <0的条件,故应舍去.同理,有②得m >0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m <0.故方程无解.A 级1． x =11 提示:原方程可化为5x +6=6x -5或5x +6=5-6x .分两种情况讨论.2．3925y =或35- 107x =±3． 0或-14． 55． 2004 提示:x ₁=1002+1002² x ₂=1002-1002²6． A 提示:a <b7． C8．A9．B10．C 提示:用筛选法11． ⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3⑵ ｘ=4 ⑶43x =-或ｘ=2 ⑷提示:X <-1;-112x -<<， 122x ≤<, X ≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到122x ≤< 时,原方程化为 (21)(2)1x x x ---== , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足122x ≤<的x 值都是方程的解. 9 提示21x a -=± (0<a <1),2(1)x a -=±+, x =2±(1±a ),得x ₁=3+a ， x ₂=3-a ,x ₃=1+a , x ₄=1-a ,故x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄=8B 级1. -1 a ≥0 提示:由11a a +=+ 得a ×1≥0,即 a ≥02. 7 213. b ≤x ≤a 提示用绝对值得几何意义解4. 1 或-1 提示: 当a ＜-1时,原式=1,当-1<a ≤0时,原式=-15. D6. C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X ≤47. D 提示用绝对值得几何意义求解8. C 提示:当a ＞1时,方程有一负根;当a ＜1时,方程有一正根.9. 提示:若b +3,b -3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b =310. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a ＜3时,方程有一解;当a =±3时,方程有无穷多个解;当a >3或a ＜-3时,方程无解.11. 根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得x =±2003。

含有绝对值符号的方程

含有绝对值符号的方程解含绝对值的方程的关键,是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号,把它化为一般的方程,从而解决问题.本文就近几年竞赛中可能出现的类型题加以研究解决,供参考.一,形如lax+bl=c的方程对此类方程可分三种情况讨论:(1)c<0,方程无解;(2)c=0,根据绝对值的定义,ax+b=0;f3)c>0,根据绝对值的定义,ax+b=+c.例1解方程12x+31=5.解:由绝对值的定义12x+31=51~1]2x+3=+5由2x+3=5解得x=l,由2x+3=一5解得=一4所以原方程的解为x=l或=一4..二,形如III盯一bl—cI—的方程此类型含有多层绝对值,求解时可以不断地利用例1的方法,从最外层开始,逐层去掉绝对值符号,最后化为一般的一次方程求解.例2解方程Illxl一21—11=3.解:根据绝对值的定义,由IIlxl一21—11=3得Ikl一21—1=±3,l~llllxl一21=4或一21=一2(无解),由IIxl一21=4,得Ixl一2=±4,l~1]lxl=6或Ixl=一2(无解),由Ixl=6~x=+6,所以原方程的解为x=6或=一6.三,形如lax+bl=cx+d的方程此类方程可将它变为:似+6=±(c+d)且cx+d~0.方程似+6=±(c+d)的根,只有同时满足cx+d~O,才是原方程的根,否则,就是增根,应当舍去.例3解方程14x+31=2x+9.解:由原方程得4x+3=+(2x+9),且2x+9I>0解+3=+9,得x=3.解4+3=一(2x+91,导=一2.由于x=3时,2x+9=15>0;=一2时,2x+9=5>0,所以原方程的解为x=3或一2.四,形如k~x+bl+lcx+dl=e的方程解此类方程有两种方法:(1)零点分段法;(2)绝对值几何意义法.例4解方程Ix一21+12x+11=8.11解:可用"零点法",即令一2=0,2x+l=O分别得到x=2,一÷,用2,一÷将数轴分成三段:戈<一1,一÷≤<2,I>2,就可去掉绝对值符号再求解. 111(1)当<一÷时,原方程为一一2)一(+1)=8,解得一/,在<一÷之内,当海浪拍打在岸边的礁石上,它们都在唱一支动人心弦的歌.杨金字绝对值符口所以是原方程的解.(2)当一÷≤<2时,原方程为一一2)+(+1)=8,解=5,它不在一÷≤<2之内,因此舍去.(3)当I>2时,原方程为一2)+(+1)=8,解-~x=3,在所给的范围内,所以x=3是原方程解.综上得,原方程解为=3或=一÷.例5求适合13x一41+13+21=6的整数的值.解:式子13x一41+13x+21=6的几何意义是:数轴上表示数3x的点到表示数4及一2的点的距离之和等于6,显然一2≤3≤4,所以一÷≤≤4,因此适合条件的整数有两个,即戈:0,:1.通过例5可以看出:利用绝对值的几何意义解此类型题更形象,直观,简捷.五,形如lax+bl—Icx+dl=ex+fllCJ方程解此类型方程只能用零点分段法.例6解方程12x+31一Ix一11=4x一3.解:易知零点分别为=一要和x=l,所以把的取值范围分为:≤一3,一3≤1和>1.(1)当≤一妄时,原方程化为一(+3)一(一一1)]=缸一3,解得x1,不在≤一丢内,舍去.(2)当一要≤1时,原方程化为(+3)一-(x一1)]=舐一3,解得=5,它不在一≤1之内,舍去.(3)当x>l时,原方程化为(+3)～一1)=4x一3,解得=了7,~Ex>l之内,所以=÷是原方程的解.综上得,原方程的解为=_=-/.≥六,求参数型此类型一般利用绝对值意义,约去参量,从而求出参量或参量范围.例7若关于的方程I一21—11=a有三个整数解,求a的值.解:当a<Ol~,-J",原方程无解;当口≥0时,由绝对值的定义知Ix一21—1=±口,所以Ix～21=l+a.(1)若a>l,解Ix一21=1一a<O,无解.所以ix一21=l+a,只能有两解x=3+a~x=l-a; (2)若0≤口≤1,则由Ix一21=1+a,得x=l—a或x=3+a,由Ix一21=1～a,导=1+(威=3一ck原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,口必为整数,所以a只能取0 或1.当a=0时,原方程的解为x=3和x=l,两个解与题设不符,所以口≠0;当a=l时,原方程的解为x=4,0,2---"个解.综上得a=1.【练习】解方程1.I4x一51=82.IJ一21+11+31=123.I5一31—3x=24.I2x+51+14x一31+12x一21=85.+1I+一2l+一3I+I2y—4I+I),+1I=76.Ix+31—13x一21=5x+87.已知方程Ixl=ax+l有一负根,且无正根,求a的取值范围.【练习答案】=÷2.=一6或x=lO;3丢或x=18;4÷或X-----1;5.=2,y=2;6.:～13:37.a≥1.我携文学同行,走向壮丽人生.陈旭。

含绝对值符号的一次方程

第四讲含绝对值符号的一次方程【知识提要】【典例分析】【例1】方程5-x +2x =－5的解是。

【例2】适当81272=-++a a 的整数a 的值的个数有（）。

A 、5B 、4C 、3D 、2【例3】已知关于x 的方程1+=ax x 同时有一个正根和一个负根，求整数a 的值。

【例4】解下列方程.(1) 413=+-x x (2) 113+=--+x x x (3) 451=-+-x x【例5】讨论关于x 的方程a x x =-+-52的解的情况【基础题】1、若x=9是方程a x =-231的解，则a= ；又若当a=1时，则方程a x =-231的解是。

2、方程0532231=--+y y 的解是，方程3(15)1+=-x x 的解是。

3、已知199519953990=+x ，那么x= 。

4、已知2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为。

5、方程212=--x 的解是。

6、满足(a －b)2+(b －a)ab =b -a (ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（）。

A 、ab<0 B 、ab>0 C 、a+b>0 D 、a+b<07、有理数a 、b 满足b a +<b a -，则（）。

A a+b ≥0B a+b<0C ab<0D ab ≥08、若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054=+-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是（）。

A m>n>kB n>k>mC k>m>nD m>k>n9、方程055=-+-x x 的解的个数为（）。

A 、不确定B 、无数个C 、2个D 、3个10、若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值是（）。

A 、0B 、2C 、1D 、311、解下列方程：(1) 4－23121=+ (2)3121-=-x x(3) 3112=+-x x (4) 1212+=-+-x x x12、求关于x 的方程012=---a x (0<a<1)的所有解的和。

初中数学含绝对值符号的一元一次方程练习题含答案

初中数学含绝对值符号的一元一次方程练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（）D.不存在A.−2B.0C.232. 方程|x−19|+|x−93|=74的有理数解（）A.至少有3个B.恰好有2个C.恰有1个D.不存在3. 方程|x+1|+|x+9|+|x+2|=1992的解的个数是（）A.4B.3C.2D.14. 方程|x+1|+|x−5|＝6的整数解有（）A.5个B.6个C.7个D.无穷多个5. 方程|2007x−2007|=2007的解是（）A.0B.2C.1或2D.2或06. 方程|3x|=15的解的情况是（）A.有一个解，是5B.无解C.有无数个解D.有两个解，是±57. 方程m|x|−x−m=0(m>0且m≠1)有两个解，则实数m的取值范围是（）A.m>1B.0<m<1C.0<m<1或m<1D.这样的m不存在8. 方程|x+1|+|x−2|=3的整数解共有（）个．A.1B.2C.3D.49. 适合|2a+7|+|2a−1|=8的整数a的值的个数有（）A.5B.4C.3D.210. 若关于x的方程||x−2|−1|=a有三个整数解，则a的值是（）A.0B.1C.2D.311. 解方程|7x−1|=3，则x=________．的根，则a的取值范围是12. 若关于x的方程|x−1|=(a−1)x有且只有一个不大于12________．|=3，则x=________．13. 解方程|1−x214. 方程|x+5|−|3x−7|=1的解有________个．15. 若关于x的方程ax+3=|x|有负根且无正根，则a的取值范围是________．x|=4，则x=________．16. 方程|2−2317. 方程|5x+6|=6x−5的解是________．18. 关于x的方程||x−2|−1|=a恰有三个整数解，则a的值为________．19. 方程|2x+3|=1的解是________．，那么方程3△|x|=4的解x=________．20. 若规定a△b=a+2b221. 阅读下题和解题过程：化简：|x−2|+1−2(x−2)，使结果不含绝对值．解：当x−2≥0时，即x≥2时：原式=x−2+1−2x+4=−x+3；当x−2<0时，即x<2时：原式=−(x−2)+1−2x+4=−3x+7．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：|2x−1|=3．22. 有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|=3，解：当x≥0时，方程可化为：x+2x=3，解得x=1，符合题意．当x <0时，方程可化为：x −2x =3，解得x =−3，符合题意．所以，原方程的解为：x =1或x =−3．仿照上面解法，解方程：x +3|x −1|=7．23. 已知关于x 的方程kx +3=|x +1|−2|x −1|+|x +2|有三个解，求k 的取值范围．24. 阅读下列材料：由绝对值的定义，若有|x|=4，则x =4或−4，若|y|=a ，则y =±a ．我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程.例如： |2x +4|=5.解：方程|2x +4|=5可化为2x +4=5或2x +4=−5.当2x +4=5时，x =12. 当2x +4=−5时，x =−92. 故方程|2x +4|=5的解为x =12或−92.根据上面材料，解答下列问题：(1)解方程：|3x −2|=4；(2)已知|a +b +4|=6，求|a +b|的值.25. 解方程：|x −5|+√(42=1．26. 据绝对值的几何意义，方程|x −1|+|x +2|=5表示求在数轴上与1和−2的距离之和等于5的点对应的x 的值．在数轴上，1和−2的距离之和为3，所以满足方程的x 的对应点在1的右边或−2的左边；若x 对应点在1的右边，由图可看出x =2；同时，若x 对应点在−2的左边，可得x =−3，所以原方程的解是x =2或x =−3．请利用以上阅读材料，仿照上述过程解方程：|x −3|+|x +4|=9．27. 解方程：|x −|3x +1||=4．28. 求方程|x −|2x +1||＝3的不同的解的个数．29. 解方程：|x −4|−|x +2|=x +3．|=2．30. 解方程：|2x−3−2x−4231. 解下列方程：|x+3|−|x−1|=x+1．32. 如果a、b均为有理数，且满足|a−2|=3，(b−1)2=4，求a−b的值．33. 解方程：3|x−1|−|x+1|=2|x−2|34. 2|x−1|+3=9．35. 满足方程|2|2x−4|−3|=2x−1的所有解的和为多少？36. 解方程：|x−2|+|x−3|=2．37. 解关于x的方程：|x+1|−|x−2|=1.5．38. 解方程：|x+1|+|x−3|=4．39. 解方程：（1）|4x−1|=7；（2）2|x−3|+5=13．40. 先阅读下列解题过程，然后解答问题(1)、(2)解方程：|x+3|=2．解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=−1；当x+3<0时，原方程可化为：x+3=−2，解得x=−5．所以原方程的解是x=−1，x=−5．(1)解方程：|3x−1|−5=0；(2)探究：当b为何值时，方程|x−2|=b+1①无解；②只有一个解；③有两个解．参考答案与试题解析初中数学含绝对值符号的一元一次方程练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】，根据绝对值的性质即可得出答要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=−23案．【解答】解：要使方程3|x+2|+2=0成立，，根据绝对值的非负性，则可得：|x+2|=−23即可得知使方程3|x+2|+2=0成立的x不存在．故选D．2.【答案】A【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】首先根据x的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．【解答】解：当x≤19时，方程即：19−x+93−x=74，解得：x=19；当19<x<93时，方程变形为：x−19+93−x=74，恒成立；当x≥93时，方程变形为：x−19+x−93=74，解得：x=93．则x为范围[19, 93]中的有理数，即至少有3个．故选A．3.【答案】C【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】首先根据x的范围去掉绝对值符号，转换成一般的一元一次方程，从而求解．【解答】解：当x≤−9时，原方程即：−x−1−x−9−x−2=1992解得：x=−668；当−9<x≤−2时．原方程即：−x−1+x+9−x−2=1992解得：x=−1986不合题意舍去；当−2<x≤−1时，原方程即：−x−1+x+9+x+2=1992解得：x=1981，舍去；当x>−1时，原方程即：x+1+x+9+x+2=1992解得：x=660．故x=−668或660．故选C．4.【答案】C【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分三种情况：x≤−1；−1<x<5；x≥5去掉绝对值符号，化为常规的一元一次方程解答．【解答】当x≤−1时，原方程可化为−x−1+5−x＝6，解得x＝−1；当−1<x<5时，原方程可化为x+1+5−x＝6，x为−1<x<5中任意整数，即x＝0，1，2，3，4；当x≥5时，原方程可化为x+1+x−5＝6，解得x＝5，由上可知，原方程的整数解有7个，5.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分别讨论x≥1，x<1，可求得方程的解．【解答】解：①当x≥1时，原方程可化为：2007x−2007=2007，解得：x=2，②当x<1时，原方程可化为：2007−2007x=2007，解得：x=0，综上可得x=0或2．故选D．6.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】本题的关键是弄清绝对值的规律．绝对值是15的数有±15，从而将|3x|=15转化为两个方程3x=15或3x=−15，可求得x的值．【解答】解：绝对值是15的数有±15，∴3x=15或3x=−15，得到x=5或x=−5．故选D．7.【答案】A【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据方程m|x|−x−m=0(m>0且m≠1)有两个解，可得知有一个正根与一个负根，然后分类x的取值范围即可．【解答】解：由方程m|x|−x−m=0(m>0且m≠1)有两个解，可得知有一个正跟与一个负根，(m>0且m≠1)，则m>1；当x>0时，解方程得：x=mm−1<0，则m>−1，综上所述，当x<0时，解方程得；x=−mm+1∴m>1．故选A．8.【答案】D【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】讨论：当x<−1，−(x+1)−(x−2)=3；当x=−1，0+3=3成立；当−1<x<2，x+1−(x−2)=3，3=3恒成立；当x=2，3=3；当x>2，x+1+x−2=3，然后分别得到满足条件的x的值．【解答】解：当x<−1，−(x+1)−(x−2)=3，解得x=−1舍去；当x=−1，0+3=3成立，所以x=−1是原方程的整数解；当−1<x<2，x+1−(x−2)=3，3=3恒成立，所以原方程的整数解有0，1；当x=2，3=3，所以x=2是原方程的整数解；当x>2，x+1+x−2=3，解得x=2舍去．所以原方程的整数解为−1、0、1、2．故选D．9.【答案】B【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】此方程可理解为2a到−7和1的距离的和，由此可得出2a的值，继而可得出答案．【解答】解：由此可得2a为−6，−4，−2，0的时候a取得整数，共四个值．故选B．10.【答案】B【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的性质可得|x −2|−1=±a ，然后讨论x ≥2及x <2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a 的值．【解答】解：①若|x −2|−1=a ，当x ≥2时，x −2−1=a ，解得：x =a +3，a ≥−1；当x <2时，2−x −1=a ，解得：x =1−a ；a >−1；②若|x −2|−1=−a ，当x ≥2时，x −2−1=−a ，解得：x =−a +3，a ≤1；当x <2时，2−x −1=−a ，解得：x =a +1，a <1；又∵ 方程有三个整数解，∴ 可得：a =−1或1，根据绝对值的非负性可得：a ≥0．即a 只能取1．故选B ．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】47或−27 【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分为两种情况：①7x −1=3，②7x −1=−3，求出方程的解即可．【解答】解：分为两种情况：①7x −1=3，解得：x =47；②7x −1=−3，解得：x =−27，故原方程的解为x =47或x =−27．故答案是：47或−27． 12.【答案】a ≥2，或a <0【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值是大数减小数，可化简成不含绝对值得方程，根据方程的解不大于12，可得不等式，根据解不等式，可得不等式的解集．【解答】解：关于x 的方程|x −1|=(a −1)x 有且只有一个不大于12的根， 1−x =(a −1)x ，解得x =1a ， x =1a ≤12，解得：a ≥2，或a <0，故答案为：a ≥2，或a <0．13.【答案】−5或7【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】先去绝对值，然后解方程．依据绝对值的意义，±3的绝对值是3，从而将原方程可化为两个方程(1)1−x 2=3，(2)1−x 2=−3，然后解出x 的值．【解答】解：根据绝对值的意义，将原方程可化为：(1)1−x 2=3；(2)1−x 2=−3．解(1)得x =−5，解(2)得x =7．故填−5或7．14.【答案】2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分别讨论①x ≥73，②−5<x <73 ③x ≤−5，根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x ≥73时，原方程就可化简为：x +5−3x +7=1，解得：x =112符合题意；第二种：当−5<x <73时，原方程就可化简为：x +5+3x −7=1，解得：x =34符合题意；第三种：当x ≤−5时，原方程就可化简为：−x −5+3x −7=1，解得：x =132，不符合题意；所以x 的值为112或34．故答案为：2．15.【答案】a ≥1【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】首先考虑去掉绝对值以后，x 的正负问题，即x ≥0和x ≤0时的情况．【解答】解：(1)当x ≥0时，|x|=x ，∴ 原式=ax +3=x ，∴ x =31−a （无正根），∴ 1−a ≤0，∴ a ≥1；(2)当x ≤0时，|x|=−x ，∴ 原式=ax +3=−x ，∴ x =−31+a （有负根），∴ 1+a ≥0，∴ a ≥−1，故a 的取值范围是：a ≥1．16.【答案】−3或9【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据|2−23x|=4，先去绝对值符号，然后移项化系数为1即可得出答案．【解答】解：∵ |2−23x|=4，∴ 2−23x =4或−(2−23x)=4，由2−23x =4，移项化系数为1得：x =−3；由−(2−23x)=4，移项化系数为1得：x =9；故答案为：−3或9．17.【答案】x =11【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的代数定义，去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【解答】解：∵|5x+6|=6x−5，∴5x+6=±(6x−5)，解得，x=11或−111（舍去）．故答案为：x=11．18.【答案】1【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的性质可得|x−2|−1=±a，然后讨论x≥2及x<2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．【解答】解：①若|x−2|−1=a，当x≥2时，x−2−1=a，解得：x=a+3，a≥−1；当x<2时，2−x−1=a，解得：x=1−a；a>−1；②若|x−2|−1=−a，当x≥2时，x−2−1=−a，解得：x=−a+3，a≤1；当x<2时，2−x−1=−a，解得：x=a+1，a<1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a=−1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．故答案为1．19.【答案】x=−1或x=−2，【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x<−32时，原方程化简为−2x−3=1，解得x=−2，当x≥−32时，原方程化简为2x+3=1，解得x=−1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=−1或x=−2，故答案为：x=−1或x=−2．20.【答案】±5 2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据新规定a△b=a+2b，对方程3△|x|=4去绝对值后即可解答．2【解答】解：方程3△|x|=4可化为：3△x=4或3△(−x)=4，=4，当3△x=4时，根据新定义，3△x=3+2x2．解得：3+2x=8，x=52=4，当3△(−x)=4时，根据新定义，3△(−x)=3−2x2．解得：3−2x=8，x=−52故答案为：±5．2三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】时原方程可化为：2x−1=3，解：当2x−1≥0时，即x≥12解得：x=2，时，原方程化为−(2x−1)=3，当2x−1<0时，即x<12解得：x=−1，即原方程的解为x=2或x=−1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分为两种情况，当2x−1≥0或2x−1<0，先去掉绝对值符号，求出即可．【解答】时原方程可化为：2x−1=3，解：当2x−1≥0时，即x≥12解得：x=2，当2x−1<0时，即x<1时，原方程化为−(2x−1)=3，2解得：x=−1，即原方程的解为x=2或x=−1．22.【答案】解：当x<1时，方程可化为：x−3x+3=7解得x=−2，符合题意．当x≥1时，方程可化为：x+3x−3=7，解得x=5，符合题意．2所以，原方程的解为：x=−2或x=5．2【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分类讨论：x<1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x<1时，方程可化为：x−3x+3=7解得x=−2，符合题意．当x≥1时，方程可化为：x+3x−3=7，，符合题意．解得x=52所以，原方程的解为：x=−2或x=5．223.【答案】解：1)当x≤−2时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)−x−2，kx+3=−x−1−2+2x−x−2，kx=−8，则x=−8，k≤−2，−8k解得：k≥4；2)当−2<x≤−1，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，kx+3=−x−1−2+2x+x+2，kx+x−2x−x=−3−1−2+2，即(k−2)x=−4，，则x=42−k≤−1，则−2<42−k解得：4<k≤6；3)当−1<x≤1时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，，解得：x=24−k≤1，根据题意得：−1<24−k解得：k>6或k<2；4)当x>1时，原式即kx+3=x+1−2(x−1)+x+2，，解得：x=2k>1，则2k解得：0<k<2．总之，当k>6时，方程有3个解．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分x≤−2，−2<x≤−1，−1<x≤1，和x>1四种情况进行讨论，求得方程的解，然后根据方程有解的条件求得k的范围，然后进行总结求解．【解答】解：1)当x≤−2时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)−x−2，kx+3=−x−1−2+2x−x−2，kx=−8，则x=−8，k≤−2，−8k解得：k≥4；2)当−2<x≤−1，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，kx+3=−x−1−2+2x+x+2，kx+x−2x−x=−3−1−2+2，即(k−2)x=−4，，则x=42−k≤−1，则−2<42−k解得：4<k≤6；3)当−1<x≤1时，原式即kx+3=−x−1−2(1−x)+x+2，，解得：x=24−k≤1，根据题意得：−1<24−k解得：k>6或k<2；4)当x>1时，原式即kx+3=x+1−2(x−1)+x+2，，解得：x=2k>1，则2k解得：0<k<2．总之，当k>6时，方程有3个解．24.【答案】解：(1)方程|3x−2|=4可化为3x−2=4或3x−2=−4，当3x−2=4时，x=2..当3x−2=−4时，x=−23所以，原方程的解为：x=2或x=−2．3(2)方程|a+b+4|=6可化为a+b+4=6或a+b+4=−6，当a+b+4=6时，a+b=2.当a+b+4=−6时，a+b=−10.所以，|a+b|=2或|a+b|=10.【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分类讨论：x<1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：(1)方程|3x−2|=4可化为3x−2=4或3x−2=−4，当3x−2=4时，x=2..当3x−2=−4时，x=−23．所以，原方程的解为：x=2或x=−23(2)方程|a+b+4|=6可化为a+b+4=6或a+b+4=−6，当a+b+4=6时，a+b=2.当a+b+4=−6时，a+b=−10.所以，|a+b|=2或|a+b|=10.25.【答案】解：当x≤4时，原方程为：5−x+4−x=1，解得：x=4；当4<x≤5时，原方程为：5−x+x−4=1，解得：x为任意实数；当x≥5时，原方程为：x−5+x−4=1，解得：x=5；【考点】二次根式的性质与化简含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据二次根式的化简和绝对值的化简，可得答案．【解答】解：当x≤4时，原方程为：5−x+4−x=1，解得：x=4；当4<x≤5时，原方程为：5−x+x−4=1，解得：x为任意实数；当x≥5时，原方程为：x−5+x−4=1，解得：x=5；26.【答案】解：∵在数轴上3和−4的距离为7，7<9，∴满足方程|x−3|+|x+4|=9的x的对应点在3的右边或−4的左边．若x的对应点在3的右边，x=4；若x的对应点在−4的左边，x=−5，所以原方程的解是x=4或x=−5．【考点】含绝对值符号的一元一次方程数轴【解析】方程|x −3|+|x +4|=9表示数轴上与3和−4的距离之和为9的点对应的x 值，在数轴上3和−4的距离为7，满足方程的x 的对应点在3的右边或−4的左边，画图即可解答．【解答】解：∵ 在数轴上3和−4的距离为7，7<9，∴ 满足方程|x −3|+|x +4|=9的x 的对应点在3的右边或−4的左边．若x 的对应点在3的右边，x =4；若x 的对应点在−4的左边，x =−5，所以原方程的解是x =4或x =−5．27.【答案】解：原方程式化为x −|3x +1|=4或x −|3x +1|=−4(1)当3x +1>0时，即x >−13，由x −|3x +1|=4得x −3x −1=4∴ x =−52与x >−13不相符，故舍去由x −|3x +1|=−4得x −3x −1=−4∴ x =32 (2)当3x +1<0时，即x <−13，由x −|3x +1|=4得x +3x +1=4∴ x =34与x <−13不相符，故舍去由x −|3x +1|=−4得x +3x +1=−4∴ x =−54故原方程的解是x =−54或x =32【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】从内向外，根据绝对值定义性质简化方程；有|x|=1，得x =±1联想此题．【解答】解：原方程式化为x −|3x +1|=4或x −|3x +1|=−4(1)当3x +1>0时，即x >−13，由x −|3x +1|=4得x −3x −1=4∴ x =−52与x >−13不相符，故舍去由x −|3x +1|=−4得x −3x −1=−4∴ x =32(2)当3x +1<0时，即x <−13，由x −|3x +1|=4得x +3x +1=4∴ x =34与x <−13不相符，故舍去由x −|3x +1|=−4得x +3x +1=−4∴ x =−54 故原方程的解是x =−54或x =3228.【答案】|x −|2x +1||＝3，当x =−12时，原方程化为|x|＝3，无解；当x >−12时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x ＝2或x ＝−4（舍去）．当x <−12时，原方程可化为：|x +(2x +1)|＝3，即|3x +1|＝3，∴ 3x +1＝±3，解得：x =23（舍去）或x =−43．综上可得方程的解只有x ＝2或x =−43两个解．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】此方程有两层绝对值，先由2x +1＝0解得x =−12，然后分别对x =−12，x >−12，x <−12去掉绝对值符号，使方程转化为只含一个绝对值符号的方程，然后再去掉绝对值符号求解即可．【解答】|x −|2x +1||＝3，当x =−12时，原方程化为|x|＝3，无解；当x >−12时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x ＝2或x ＝−4（舍去）．当x <−12时，原方程可化为：|x +(2x +1)|＝3，即|3x +1|＝3，∴ 3x +1＝±3，解得：x =23（舍去）或x =−43．综上可得方程的解只有x ＝2或x =−43两个解．29.【答案】解：①当x =4时，|4−4|−|4+2|=4+3，此时方程无解；②当x =−2时，|−2−4|−|−2+2|=−2+3，此时方程无解；③当x <−2时，原方程化为：4−x +x +2=x +3，解得：x =3，此时x =3>−2，此种情况不合题意；④当−2<x <4时，原方程化为：4−x −(x +2)=x +3，解得：x =−13；⑤当x >4时，原方程化为：x −4−(x +2)=x +3，解得：x =−9，∵ −9<4，此种情况不合题意；综合上述，原方程的解是x =−13．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】求出x −4=0和x +2=0的值，分为五种情况，求出每一种情况方程的解，即可得出答案．【解答】解：①当x =4时，|4−4|−|4+2|=4+3，此时方程无解；②当x =−2时，|−2−4|−|−2+2|=−2+3，此时方程无解；③当x<−2时，原方程化为：4−x+x+2=x+3，解得：x=3，此时x=3>−2，此种情况不合题意；④当−2<x<4时，原方程化为：4−x−(x+2)=x+3，解得：x=−13；⑤当x>4时，原方程化为：x−4−(x+2)=x+3，解得：x=−9，∵−9<4，此种情况不合题意；综合上述，原方程的解是x=−13．30.【答案】解：|2x−3−2x−42|=2，化简2x−3−2x−42=2①或2x−3−2x−42=−2②．解①得x=3；解②得x=−1．∴原方程的解为x=3或−1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】先去掉绝对值，把原方程化成两个一元一次方程来解．【解答】解：|2x−3−2x−42|=2，化简2x−3−2x−42=2①或2x−3−2x−42=−2②．解①得x=3；解②得x=−1．∴原方程的解为x=3或−1．31.【答案】解：当x<−3时，原方程得：−x−3+x−1=x+1，解得：x=−5，满足x<−3，∴x=−5．当−3≤x≤1时，原方程得：x+3+x−1=x+1，解得：x=−1，满足−3≤x≤1，∴x=−1．当x>1时，原方程得：x+3−x+1=x+1，解得：x=3，满足x>1，∴x=3．∴方程的解为：x=−5、x=−1、x=3．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值性质，去掉绝对值符号，题目应该分为三个取值范围进行讨论，分别为：x<−3，−3≤x≤1，x>1，去掉绝对值后，解三个一元一次方程．【解答】解：当x<−3时，原方程得：−x−3+x−1=x+1，解得：x=−5，满足x<−3，∴x=−5．当−3≤x≤1时，原方程得：x+3+x−1=x+1，解得：x=−1，满足−3≤x≤1，∴x=−1．当x>1时，原方程得：x+3−x+1=x+1，解得：x=3，满足x>1，∴x=3．∴方程的解为：x=−5、x=−1、x=3．32.【答案】解：|a−2|=3a−2=3或a−2=−3a=5或a=−1(b−1)2=4b−1=2或b−1=−2b=3或b=−1．①a=5，b=3，a−b=5−3=2；②a=5，b=−1，a−b=5+1=6；③a=−1，b=3，a−b=−1−3=−4；④a=−1，b=−1，a−b=−1+1=0；∴a−b的值为2，6，−4，0．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】本题主要考查了绝对值及有理数的混合运算．【解答】解：|a−2|=3a−2=3或a−2=−3a=5或a=−1(b−1)2=4b−1=2或b−1=−2b=3或b=−1．①a=5，b=3，a−b=5−3=2；②a=5，b=−1，a−b=5+1=6；③a=−1，b=3，a−b=−1−3=−4；④a=−1，b=−1，a−b=−1+1=0；∴a−b的值为2，6，−4，0．33.【答案】解：当x<−1时，得：−3(x−1)+(x+1)=−2(x−2)解得：恒成立，∴x<−1当−1≤x≤1时得：−3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=−1当1<x≤2时得：3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=2当x>2时得：3(x−1)−(x+1)=2(x−2)解得：恒成立，则x>2．综上所述：x≤−1或x≥2．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据绝对值性质，因为本题含有三个绝对值，因此需要分类讨论，根据取值区间的不同，去掉绝对值符号，解一元一次方程．【解答】解：当x<−1时，得：−3(x−1)+(x+1)=−2(x−2)解得：恒成立，∴x<−1当−1≤x≤1时得：−3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=−1当1<x≤2时得：3(x−1)−(x+1)=−2(x−2)解得x=2当x>2时得：3(x−1)−(x+1)=2(x−2)解得：恒成立，则x>2．综上所述：x≤−1或x≥2．34.【答案】解：当x−1≥0，即x≥1时，方程化为2(x−1)+3=9，去括号得：2x−2+3=9，移项合并得：2x=8，解得：x=4；当x−1<0，即x<1时，方程化为−2(x−1)+3=9，去括号得：−2x+2+3=9，移项合并得：−2x=4，解得：x=−2，综上，原方程的解为−2或4．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分两种情况考虑：当x−1大于等于0与x−1小于0，利用绝对值的代数意义化简后，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：当x−1≥0，即x≥1时，方程化为2(x−1)+3=9，去括号得：2x−2+3=9，移项合并得：2x=8，解得：x=4；当x−1<0，即x<1时，方程化为−2(x−1)+3=9，去括号得：−2x+2+3=9，移项合并得：−2x=4，解得：x=−2，综上，原方程的解为−2或4．35.【答案】解：①当2x−4≥0时，方程化为|4x−11|=2x−1，即4x−11=2x−1或4x−11=1−2x，解得：x=5，或x=2，②当2x−4<0时，方程化为|5−4x|=2x−1，即5−4x=2x−1，或5−4x=1−2x，解得：x=1，或x=2（舍去），故方程|2|2x−4|−3|=2x−1的所有解的和为：5+2+1=8．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元一次方程，求出方程的根，即可得到结果．【解答】解：①当2x−4≥0时，方程化为|4x−11|=2x−1，即4x−11=2x−1或4x−11=1−2x，解得：x=5，或x=2，②当2x−4<0时，方程化为|5−4x|=2x−1，即5−4x=2x−1，或5−4x=1−2x，解得：x=1，或x=2（舍去），故方程|2|2x−4|−3|=2x−1的所有解的和为：5+2+1=8．36.【答案】；解：①当x<2时，原方程等价于2−x+3−x=2，解得x=32②当2≤x≤3时，原方程等价于x−2+3−x=2无解；③当x ≥3时，原方程等价于x −2+x −3=2，解得x =72，综上所述：方程的解是x =72，x =32．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】根据分类讨论：x <2，2≤x <3，x ≥3，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：①当x <2时，原方程等价于2−x +3−x =2，解得x =32； ②当2≤x ≤3时，原方程等价于x −2+3−x =2无解；③当x ≥3时，原方程等价于x −2+x −3=2，解得x =72，综上所述：方程的解是x =72，x =32． 37.【答案】解：①当x ≥2时，x +1−(x −2)=1.5，方程不存在；②当−1≤x <2时，x +1+(x −2)=1.5，2x =2.5x =1.25；③当x <−1时，−x −1+(x −2)=1.5，方程不存在；∴ |x +1|−|x −2|=1.5的解是x =1.25．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】分别讨论①x ≥4；②3≤x <4；③x <3；根据x 的范围去掉绝对值，解出x ，综合三种情况可得出x 的最终范围．【解答】解：①当x ≥2时，x +1−(x −2)=1.5，方程不存在；②当−1≤x <2时，x +1+(x −2)=1.5，2x =2.5x =1.25；③当x <−1时，−x −1+(x −2)=1.5，方程不存在；∴ |x +1|−|x −2|=1.5的解是x =1.25．38.【答案】解：①当x =−1时，2+2=4；②当x =3时，4+0=4；③当x <−1时，−x +1+3−x =4，解得：x =0，此时不符合x <−1；④当−1<x <3时，−x −1+3−x =4，解得：x =−2，此时不符合−1<x <3；⑤当x >3时，x +1+x −3=4，解得：x=3，此时不符合x>3；所以原方程的解为x=−1或x=3．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】求出x+1=0和x−3=0的解，分为5种情况，再每种情况去掉绝对值符号后求出每个方程的解即可．【解答】解：①当x=−1时，2+2=4；②当x=3时，4+0=4；③当x<−1时，−x+1+3−x=4，解得：x=0，此时不符合x<−1；④当−1<x<3时，−x−1+3−x=4，解得：x=−2，此时不符合−1<x<3；⑤当x>3时，x+1+x−3=4，解得：x=3，此时不符合x>3；所以原方程的解为x=−1或x=3．39.【答案】解：（1）原方程可化为：4x−1=7①，4x−1=−7②解①得，x=2，解②得，x=−1.5；故方程的解为x=2或x=−1.5．（2）原方程可化为：x−3=4①，x−3=−4②解①得，x=7，解②得，x=−1．故方程的解为x=7或x=−1．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】两个方程都含有绝对值，在解答时需要先去掉绝对值符号，分两种情况解答．【解答】解：（1）原方程可化为：4x−1=7①，4x−1=−7②解①得，x=2，解②得，x=−1.5；故方程的解为x=2或x=−1.5．（2）原方程可化为：x−3=4①，x−3=−4②解①得，x=7，解②得，x=−1．故方程的解为x=7或x=−1．40.【答案】解：(1)|3x−1|=5，3x−1=5或3x−1=−5，；所以x=2或x=−43(2)∵|x−2|≥0，∴当b+1<0，即b<−1时，方程无解；当b+1=0，即b=−1时，方程只有一个解；当b+1>0，即b>−1时，方程有两个解．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【解析】(1)先移项得到）|3x−1|=5，利用绝对值的意义得到3x−1=5或3x−1=−5，然后分别解两个一次方程；(2)利用绝对值的意义讨论：当b+1<0或b+1=0或b+1>0时确定方程的解的个数，【解答】解：(1)|3x−1|=5，3x−1=5或3x−1=−5，所以x=2或x=−4；3(2)∵|x−2|≥0，∴当b+1<0，即b<−1时，方程无解；当b+1=0，即b=−1时，方程只有一个解；当b+1>0，即b>−1时，方程有两个解．。

七年级数学秋季竞赛第20讲含绝对值的一元一次方程

含绝对值的一元一次方程姓名：日期：【知识要点】含绝对值符号的方程是指绝对值符号内含有未知数的方程，最简单的绝对是方程是x =a ，它的解得情况是：当0>a 时，方程的解为a x =或a x -=；当0=a 时，方程的解为0=x ；当0<a 时，方程无解.1、解含绝对值符号的方程的基本思想是利用绝对值的定义和有关性质去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的普通方程求解.2、去掉绝对值的基本方法是“零点分段法”，这是解含绝对值方程的一种非常重要的方法，是分类讨论数学思想的体现.注意：绝对值方程不是一元一次方程，如x =1不是一元一次方程，x1=x 也不是一元一次方程，因为x1和x 都不是整式。

【典型例题】例1、解方程（1）23=-x （2）5312=-x例2、解方程3210x x --+=例3、解方程32110x x -++=例4、解方程113+=--+x x x例5、解方程例6、已知关于x 的方程a x x =-+-32，在研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论.例7、若方程020072007=--x x a只有负数解，求实数a 的取值范围【练习与拓展】１、方程，共有几组不同整数解（）（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 2、若a x -=，则=-a x （）（A ）x-a （B ）0 （C ）0或-2a （D ）0或2a 3、b a b a +=-成立的条件是（）（A ）0>ab （B ）1>ab （C ）0≤ab （D ）1≤ab 4、已知：有理数x,y,z 满足xy<0,yz>0.并且21,2,3=+==z y x ，则x+y+z=____________ 5、若方程32100410041004=-x 的解分别为21,x x ，则=+21x x ______________6、解方程○14253x x --= ○21037=++-x x○3432x x --+= ○48534=-+x7、若关于x 的方程a x =--12有3个整数解，则a 的值是多少？8、解方程11213=++--x x x9、a,b 是数轴上的两个点，满足b a ≤，数轴上的点 x 到 a 的距离是 x 到 b 的距离的 2 倍，求x含绝对值的一元一次方程课后作业姓名：家长签名：1、使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是（）（A ）-2 （B ）0 （C ）32（D ）不存在 2、方程055=-+-x x 的解的个数为（）（A ）不确定（B ）无数个（C ）2个（D ）3个 3、方程431=-++x x 的整数解得个数是__________________个.4、若a>0,b<0,则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是____________________５、解方程16155x x ---=６、解方程235x x -++=。

初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组

含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=．（2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+．（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=．（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】解：若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

专题09 含绝对值符号的一次方程

七年级数学竞赛专题09含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如||(0)ax b c c +=…的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c +=或ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题与求解【例1】方程|5|25x x -+=-的解是__________．（四川省竞赛试题）解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．【例2】方程|1||3|4x x ++-=的整数解有（）． A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．【例3】已知：有理数x 、y 、z 满足0xy <，0yz >．并且||3x =，||2y =，|1|2z +=．求x y z ++的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：本题关键在于确定x 、y 、z 的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．【例4】解下列方程：（1）||31||4x x -+=；（天津市竞赛试题）（2）|3||1|1x x x +--=+；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（3）|1||5|4x x -+-=．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．【例5】已知|2||1|9|5||1|x x y y ++-=---+，求x y +的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|2||1||1||5|9x x y y ++-+++-=，再根据绝对值的几何意义来探求x 、y 的取值范围，进而可得x y +的最大值与最小值．【例6】当10m -<…时，试判定关于x 的方程|1|x mx -=的解的情况．（上海市竞赛试题）解题思路：由于10m -<…，且|1|0x -…，就有0x …，进而计算．能力训练A 级1．方程|56|65x x +=-的解是_______________．（重庆市竞赛试题）2．方程13|2||2|035y y +--=的解是_______________，方程||3(||1)15x x -=+的解是_______________．3．已知|39901995|1995x +=，那么x =__________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）4．巳知||2x x =+，那么9919327x x ++的值为__________．（“希望杯”邀请赛试题）5．若方程23|10021002|1002x -=的解分别是1x 、2x ，则12x x +=__________．（“希望杯”邀请赛试题）6．满足2()()||a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）的有理数a 和b ，一定不满足的关系是（）．A ．0ab <B ．0ab >C ．0a b +>D ．0a b +<7．有理数a 、b 满足||||a b a b +<-，则（）．A ．0a b +…B ．0a b +<C ．0ab <D ．0ab …8．若关于x 的方程|23|0x m -+=无解，|34|0x n -+=只有一个解，|45|0x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系是（）．A ．m n k >>B ．n k m >>C ．k m n >>D ．m k n >>（“希望杯”邀请赛试题）9．方程|5|50x x -+-=的解的个数为（）． A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．若关于x 的方程||2|1|x a --=有三个整数解，则a 的值是（）． A ．0B ．2C ．1D ．3（全国初中数学联赛试题）11．解下列方程：（1）142|1|32x -+=；（2）1|1|32x x -=-；（3）||21||3x x -+=；（五城市联赛试题）（4）|21||2||1|x x x -+--+．（全国通讯赛试题）12．求关于x 的方程||2|1|0x a ---=（01a <<）的所有解的和．（陕西省竞赛试题）B 级1．关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是0x =，则a 的值是__________；关于x 的方程|||1|a x a x =+-的解是1x =，则有理数a 的取值范围是__________．2．若010x <<，则满足条件|3|x a -=的整数a 的值共有__________个，它们的和是__________．（“希望杯”邀请赛试题）3．若0a >，0b <，则使||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围是__________．（武汉市选拔赛试题）4．已知||0a a +=且1a ≠-，那么||1|1|a a -=+__________．5．若有理数x 满足方程|1|1||x x -=+，那么化简|1|x -的结果是（）． A ．1 B ．x C ．1x - D ．1x -6．适合关系式|34||32|6x x -++=的整数x 的值有（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．大于2的自然数7．如果关于x 的方程|1||1|x x a ++-=有实根．那么实数a 的取值范围是（）．A ．0a …B ．0a >C ．1a …D ．2a …（武汉市竞赛试题）8．巳知方程||1x ax =+有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是（）．A ．1a =B ．1a >-C ．1a …D ．1a <（全国初中数学联赛试题）9．设a 、b 为有理数，且方程||||3x a b --=有三个不相等的解，求b 的值．（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=有一解？有无数多解？无解？（江苏省竞赛试题）11．用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）。

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七年级奥数：含绝对值符号的一次方程
阅读与思考
绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：
1．形如∣ax ＋b ∣＝c (c ≥0)的最简绝对值方程
这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax ＋b ＝c 或ax ＋b ＝—C 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程
这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．
例题与求解
例1 方程∣x —5∣＋2x ＝—5的解是_______．
(四川省竞赛题)
解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．
例2 适当∣2a ＋7∣＋∣2a －1∣＝８的整数a 的值的个数有( )． (A )5 (B )4 (C )3 (D )2
解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．
例3 已知关于x 的方程||1x ax =+同时有一个正根和一个负根，求整数a 的值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)
解题思路去掉绝对值的符号，把x 用a 的代数式表示，首先确定a 的取值范围．
例4 解下列方程： (1) ||31||4x x -+=；
(天津市竞赛题)
(2)|x ＋3|－|x －1|＝x ＋1
(北京市“迎春杯”竞赛题)
(3|x －1|＋|x －5|＝4
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．
例5 讨论关于x 的方程|x －2|＋|x －5|＝a 的解的情况．
(南京市竞赛题)
解题思路方程解的情况取决于a 的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种
关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．
能力训练
A 级
1．若x =9是方程|x －2|=a 的解，则a =_______；又若当a =1时，则方程|x －2|=a 的解是_______．
2．方程|y ＋2|－|2y －|的解是_______，方程3(|x |—1)=＋1的解是_______．
3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x =_______
(北京市“迎春杯”竞赛题)
4．已知|x |=x ＋2，那么19x
+3x ＋27的值为_______．
(“希望杯”邀请赛试题)
5．方程|||x |－2|－1|=2的解是_______．
6．满足(a －b )＋(b －a )|a －b |=ab (ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( ) (A )ab <0 (B )ab >0 (C )a +b >0 (D )a +b <0
7．有理数a 、b 满足|a ＋b |<|a －b |，则( )．
(A )a ＋b 6≥0 (B )a ＋b <0 (C )ab <0 (D )ab ≥0
8．若关于x 的方程|2x －3|＋m =0无解，|3x －4|＋n =0只有一个解，|4x －5|＋k =0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．
(A )m >n >k (B )n >k >m (C )k >m >n (D )m >k >n 9．方程|x －5|＋x —5=0的解的个数为( )．
(A )不确定 (B )无数个 (C )2个 (D )3个
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
10．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )． (A )0 (B )2 (C )1 (D )3
． (全国初中数学联赛试题)
11．解下列方程：
(1)4－2|x ＋1|=3；
(2)|
x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|； (五城市联赛题)
(4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|
(全国通讯赛试题)
313
1
3153
5
x 99
2
2
1
2
1
12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a =0(0<a<1)的所有解的和．
(陕西省竞赛题)
B 级
1．关于x 的方程|a |x =|a ＋1|－x 的解是x =0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a |x =|a ＋1|－x 的解是x =1，则有理数a 的取值范围是_______．
2．若0<x <10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．
(第十届“希望杯”邀请赛试题)
3．若a >0，b <0，则使|x －a |＋|x －b |=a －b 成立的x 的取值范围是_______．
(武汉市选拔赛试题) 4．已知|a |＋a =0且a ≠—1，那么
=_______．
5．若有理数x 满足方程|1－x |=1＋|x |，那么化简|x －1|的结果是( )． (A )1 (B )x (C )x —1 (D )1—x
6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个． (A )0 (B )1 (C )2 (D )大于2的自然数
7．当a >0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )． (A )0.001<a <3 (B )0<a <0.01 (C )0<a <3 (D )a >3
8．已知方程|x |=ax +1有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．
(全国初中数学联赛试题)
(A )a =1 (B )a >－1 (C )a ≥1 (D )a <1
9．设a 、b 为有理解，且|a |>0，方程||x －a |－b |=3有三个不相等的解，求b 的值．
(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)
10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?
(江苏省竞赛题)
1
1+-a a。