二次函数在生活中的建模应用

二次函数模型的应用探究

学习单1

问题：怎样确定面积的最大值？

引导问题：

从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

探究问题：

用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？

归纳探究，总结方法：

运用新知：

为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿带的面积为 y m 2．

（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.

（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

问题：怎样定价利润最大？

引导问题：

某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？

探究问题：

某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？

归纳探究，总结方法：

运用新知：

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，并关需对每个房间每天支出20元的各种费用。房价定位多少时，宾馆利润最大？

问题：拱桥问题

引导问题：

飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t-1. 5t2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？

探究问题：

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？

归纳探究，总结方法：

运用新知：

有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；

（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．

问题：探究与二次函数有关的数学问题

引导问题：

观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于 10），猜想其中哪个积最大．

91×99，92×98，…，98×92，99×91．

探究问题：

（1）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2）．在x轴上任取一点M，完成下列作图步骤：

①连接AM，作线段AM的垂直平分线l

1，过M作x轴的垂线l

2

，记

l

1，l

2

的交点为P．

②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．

观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线．

（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标为（x，y），你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？

归纳探究，总结方法：

运用新知：

分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？

问题：推测刹车距离与刹车时间的关系

探究问题：

行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表

（1）在如图所示网格中，建立平面直角坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象，探究刹车时车速、刹车距离之间的函数关系；

（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；

（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．