不定积分的几何意义

u ( x)
F[ ( x)] C
30
例
求
2 x 1dx
1 解：原式= 2 x 1d (2 x 1) 2
1 2 (2 x 1) C 2 3
3 2
1 (2 x 1) C 3
31
3 2
例
求
dx a2 x2
(a 0)
解：原式= 1
并且 ∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋ C
则 ∫f(x)dx ＝ F[φ-1(x)]＋ C
36
例
求

a 2 x 2 dx
(a 0) .
, 则 解: 令 x a sin t , t ( 2 2 ),
a2 x2 a2 a2 sin2 t
dx a cos t d t

dx x a
2 2

du u 2 a2
ln u u 2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
ln a2 x x a
2 2
C1
ln x x2 a 2 C
(C C1 2ln a)
x a 时，
dx x2 a2
x sin x cos x C
43
例
求不定积分
2 x x e dx
解：原式
2 x x 2 x 2 de x x e e d x
x 2 e x 2 xe x dx
x 2 e x 2( xe x e x dx )
x2e x 2 xe x 2e x C
第五章
不定积分
1
引
言
积分学分为不定积分与定积分 两部分．不定积分是作为函数导数 的反问题提出的，而定积分是作为 微分的无限求和引进的，两者概念 不相同，但在计算上却有着紧密的 内在联系．
2
本章主要研究不定积分的概念、性 质及基本积分方法，主要有凑微分法， 变量置换法，以及分部积分法.
3
本章主要内容：
接计算不定积分，有时很困难，因此， 需要引进一些方法和技巧。以下几节介 绍几个常用积分法.
26
第二节
凑微分法
有一些不定积分，将积分变量进行一定 的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变 为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变 量可直接由基本积分公式求出不定积分来.
27
例如
1 4x 1 4x e dx 4 e d (4 x) 4 e d (4 x)
2a
(
1 1 )dx ax ax

1 dx 1 dx 2 a a x 2a a x
1 ax ln | | C 2a ax
32
例
求
csc xdx
sin x 1 dx sin 2 x dx sin x
解：原式=
d cos x d cos x 2 cos 2 x 1 1 cos x
a cos t
∴ 原式 a cos t a 2 cos 2 t d t
a2 t sin 2t C 2 4
2 2 x a x sin 2t 2sin t cos t 2 a a
x 1 a2 arcsin x a2 x2 C 2 a 2

1 1 cos x ln | | C 2 1 cos x
1 cos x ln | | C ln | csc x cot x | C sin x
33
类似可得
1 sec xdx cos x dx

d (x ) 2 sin( x ) 2


ln | csc( x ) cot( x ) | C 2 2
dx (3) ln x C x
18
(4)
(5) (6) (7)
cos x C sin x d x
cos xdx
x
sin x C
x a x a dx C ln a
x e d x e C
19
(12)
(13)
sec x tan xdx csc x cot xdx
u=2
x
cos udu sin u C
sin(2 x) C
29
微分法凑 设 f (u ) 有原函数 F (u), u ( x) 可导,
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x)
( x) u

f (u )d u F (u) C
则
dx a sec t tan t d t
∴ 原式

a sec t tan t
a tan t
d t sec t d t
ln sec t tan t C1
ln
x
a

x2 a2 aa
x2 a2
C1
ln x x 2 a 2 C
39
当 x a 时,令 x u , 则 u a , 于是
若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则
f(x)的所有原函数 F(x)＋ C 称为f(x)的
不定积分（indefinite integral）,记为
∫ f（x）dx ＝ F（x） ＋ C
其中∫ 称为积分号， x 称为积分变量 f(x)称为被积函数， C 称为积分常数 f(x)dx 称为被积表达式
13
15
二、不定积分的几何意义
y y
o o
x0
x
16
5.1.2
不定积分的基本公式和运算法则
一、不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就 是微分运算的逆运算．因此，有一个导 数或微分公式，就对应地有一个不定积 分公式．
17
基本积分表
(1)
(2)
k dx k x C 1 1 x dx 1 x C


ln | sec x tan x | C
34
第三节 变量置换法
凑微分的方法，是把一个较复杂的积分化成便于 利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出
凑微分式，却可以设法作一个代换 x＝φ(t)，
而积分
∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt
可用基本积分公式求解
35
定理 设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可 导的连续函数，且其导数φ′(t)≠０， x＝φ(t)的反函数t＝φ-1(x)存在且可导，
4x
想到基本积分公式 eu du eu C
若令u＝４x，把４x看成一个整体（新的积分
变量），这个积分可利用基本积分公式算出来
1 4x 1 u 1 u 1 4x e dx 4 e d (4 x) 4 e du 4 e C 4 e C
4x
28
例
2 cos(2 x)dx cos(2 x)d (2 x)
44
例
求 x arctan x dx .
x2 arctan x d( ) 2
1 2 1 x2 x arctan x dx 2 1 x2 2
1 2 1 1 x arctan x (1 ) dx 2 2 1 x2
解：原式

1 1 2 x arctan x ( x arctan x) C 2 2
二、不定积分的几何意义
由于函数f(x)的不定积分F(x)＋C 中含有
任意常数C ，因此对于每一个给定的C ，都有
一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一
条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线．
因为C 可以取任意值，因此不定积分表示 f(x)的一簇积分曲线，即 F(x) ＋ C ．
14
二、不定积分的几何意义
第一节
第二节
原函数与不定积分
凑微分法
第三节
第四节
变量置换法
分部积分法
4
第一节
5.1.1 5.1.2
原函数与不定积分
不定积分的概念 不定积分的基本公式和 运算法则
5
问题提出
5.1.1
不定积分的概念
在小学和中学我们学过逆运算：
如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数
6
微分法:
ln x x2 a 2 C
40
小结： 被积函数含有
x a
2 2
或
x2 a2
时,
可采用三角代换消去根式
41
第四节 分部积分法
如果u＝u(x)与v＝v(x)都有连续的导数，则由函数 乘积的微分公式 d(uv)＝vdu＋udv 移项得 udv＝d(uv)－vdu 从而 ∫udv＝uv－∫vdu 或∫udv＝uv－∫vu′dx
sec x c
csc x c
20
关于不定积分，还有如下等式成立： １ ［∫f(x)dx］′＝ f(x) 或 d∫f(x)dx ＝ f(x)dx
２ ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C 或 ∫dF(x) ＝ F(x) ＋ C
21
二、不定积分的运算法则
１ 不为零的常数因子，可移动到积分号前 ∫af(x)dx ＝ a∫f(x)dx （a≠０）
F ( x) ( ? )
积分法: ( ? ) f ( x)
f ( x ), 设已知
F ( x)
互逆运算
设已知 f ( f (x x)),
反问题呢？
7
定义
若在某一区间上，F′(x) ＝ f(x) ，
则在这个区间上，函数F（x）叫做函数 f(x)的一个原函数（primitive function）
因为F′(x)＝f(x) ，这说明，在积分曲线
簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x＝x０
点处有相同的斜率f(x０)，所以对应于这些点处， 它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之 间相差一个常数．因此，积分曲线簇y＝ F(x)＋C 中每一条曲线都可以由曲线y＝F(x)沿y 轴方向 上、下移动而得到
这个公式叫作分部积分公式，当积分∫udv 不
易计算，而积分∫vdu 比较容易计算时，就可以使
用这个公式．
42
例
求 xcos x dx .
dv cos xdx
在计算方法 熟练后，
解: 令 u x ,
则 ∴ 原式
分部积分法
的替换过程 可以省略
du dx, v sin x
x sin x sin x d x

ln sec t tan t C1
ln
x2 a2
a

x a C1
ln x x 2 a 2 C
38
例
解:
求

dx x a
2 2
(a 0)
当 x a 时, 令 x a sec t , t (0, 2)
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
37
例
求

dx x a
2 2
(a 0).
解: 令
x a tan t , t ( 2 , 2 ),
则
a sec t
x2 a2 a2 tan2 t a2
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a se源自文库t
a sec 2 t d t sec t d t
10
问题提出 如果一个函数f(x)在一个区间有一个
原函数F(x) ，那么f(x)就有无穷多个
原函数存在，无穷多个原函数是否都有
一致的表达式
F(x)＋ C呢？
11
定理
若 F(x)是 f(x)的一个原函数， 则f(x)的所有原函数都可以表示成 F(x)＋ C
（C为任意常数）． 思考：如何证明？
12
定义

2


1 dx dx 2 cos x
tan x x C
tan x x C
24
课堂思考
乘法 f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx 成立吗 除法呢
不对，例如 f(x) g(x) x
25
利用基本积分公式及不定积分的性质直
２ 两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和 ∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx
22
小结:
本节给出了不定积分的定义、
几何意义和基本公式及运算法 则。
23
练习
sin 2 x tan xdx cos2 x dx sin 2 x cos2 x cos 2 x dx 2 cos x
8
一个函数的原函数并不是唯一的，
而是有无穷多个．比如，
(sinx)′＝ cosx
所以 sinx 是 cosx 的一个原函数， 而sinx ＋ C （C 可以取任意多的常数） 是 cosx 的无穷多个原函数．
9
一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x)
的一个原函数，则等式
[F(x)+ C]′＝ F′(x)＝ f(x) 成立（其中 C 为任意常数），从而一簇 曲线方程 F(x) ＋ C 是f(x)无穷多个原函数．