条件分式求值的方法与技巧

学科: 奥数

教学内容：条件分式求值的方法与技巧

求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面：

一、将条件式变形后代入求值

例1已知432z y x ==，z

y x z y x +--+22求的值． 解：设4

32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝

545443224322==+-⨯-⨯+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法．

例2已知的值求

b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0，

∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0，

解得a ＝－3b 或a ＝2b ．

当a ＝－3b 时，原式＝

233=+---b

b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3122=+--b b b b ．

二、将求值变形代入求值．

例3已知)1

1()11()11(,0c

b a a

c b b a

c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a

c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋c ＝0，

∴ 原式＝－3．

例4已知31=+x x ，的值求1

242

++x x x ．

分析：∵ 1)1(111222224-+=++=++x x x

x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值．

解：∵ 1)1(12224-+=++x x x

x x 8132=-=，

∴ 8

11242=++x x x ．

三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．

例5 已知y

xy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 解法一：∵ 311=-y

x ， ∴ y －x ＝3xy ⇒x －y ＝－3xy ．

∵ 原式＝xy

y x xy y x 2)(3)(2--+- 5

3233)3(2=--+-=xy xy xy xy ． 解法二：将分子、分母同除以xy （≠0）． ∴原式＝x

y x y 121232---+ 5

332323)11(2)11(23=--⨯-=-----=y

x y x 分析：∵ 填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解． 解法三：取x ＝2

1，y ＝－1，

)31211(=+=-y

x ． ∴原式

.532/52/3)1()1(2

1221)1(2)1(213212==---⨯⨯--⨯--⨯⨯+⨯

= 注意：特殊值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧．取特殊值要注意满足条件等式，其原则是要便于计算．

例6 已知a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(

22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 解：原式＝4

2])2(1)2(2[2-+⋅+--+-a a a a a a a 42)

2()1()2)(2(2-+⋅+--+-=a a a a a a a a 4

2)2(42-+⋅+-=a a a a a a

a a a 21)2(12+=+= ∵ 0122=-+a a ，

∴ 122

=+a a ，

∴ 原式＝1．

注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．

1．已知231=-x x ，求分式221x

x +的值．

2．已知01342=+++x x x ，先化简后求x

x x -+-3932的值． 3．化简求值4

3326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ，其中a ＝－3． 4．已知abc ＝1，则

1

11++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________．

参考答案

1．4

17； 2．0（原式＝x ＋3）； 3．)42(522--=-

a 原式； 4．1（取a ＝

b ＝

c ＝1）．