1.3.2杨辉三角与二项式定理
原创1 ：1.3.2杨辉三角
计数原理
§1.3.2 杨 辉 三 角
高中数学选修2-3·精品课件
复习提问
1.二项式定理
(a b)n Cn0 an C1nan 1b Crnan r br Cnnbn
2.二项式系数:
0 , 1 , 2 , ⋯ , ⋯
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
C 10
C
1
1
1
1
C 02 C 12 C 22
C 03 C 13
C
C
0
5
0
4
C
C
1
5
1
4
C
C 32 C 33
3
4
C
C
4
5
C 24 C
2
5
1
C
3
5
1
4
4
C
1
5
5
C 06 C 16 C 62 C 36 C 64 C 56 C 66
1
Cn n
Cn 0 Cn 1 Cn 2 … C nr …
C 63 C 64 C 65 C 66
你知道这是什么图表吗？
1
6
1
2
3
4
5
1
3
6
1
4
10 10
15 20 15
1
5
1
6
1
合作探究
1
1
观察：从图中你能得出哪
些性质？
1
1
1
1
6
思考：会证明这些性质吗？
20-21版：1.3.2 杨辉三角（创新设计）
则 Cn13∶C1n4＝2∶3.
∴3C1n3＝2C1n4，
3·n！
2·n！
即
＝
，
13！·n－13！ 14！·n－14！
得：n－313＝124，∴n＝34. 答案 34
5.2 二项式系数的性质
14
题型二 二项展开式的系数和问题
例2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式 的值.
5.2 二项式系数的性质
28
5－5r！！r！×3≥6－r！5！r－1！，
∴
5！
5！
≥
×3.
5－r！r！ 4－r！r＋1！
3r≥6－1 r， ∴5－1 r≥r＋3 1.
5.2 二项式系数的性质
29
∴72≤r≤92，
∵r∈N，
∴r＝4.
26
26
∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45·34x 3 ＝405x 3 .
第一章——
1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角
学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的 各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 课前预习 2 课堂互动 3 课堂反馈
自主学习，积淀基础 题型剖析，互动探究 自主反馈，检测成效
课前预习
自主学习，积淀基础
[知识链接] 1.二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？ 答 不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第 一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角 中的第n＋1行对应数值相等.
5.2 二项式系数的性质
4
2.根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项 的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？ 答 对称性，Cmn ＝Cnn－m.
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
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所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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1.3.2杨辉三角
四、应用举例
普 通 求证：当n为偶数时， S n 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例3.已知
Sn 2 Cn 2
n 1
n 1
Cn 2
2
n2
Cn
n 1
2 1, ( n N )
*
4 n 1 能被64整除
例3.已知
Sn 2 Cn 2
r 2.二项展开式的通项公式 T r 1 C n a n r b r
Liangxiangzhongxue
3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性。
Bqr6401@
二、提出问题
b Cn a b 普 (a b ) C n a C n a 通 r n r r n n 高 Cn a b Cn b 中 课 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少 程 标 个？ 准 接下来我们来研究二项式系数有些什么性质？
x
例2.已知 (1 2 x ) a 0 a1 x a 2 x a 7 x 求： (1) a1 a 2 a 7
7 2 7
(2) a1 a 3 a 5 a 7 (3) | a 0 | | a1 | | a 7 | 解：(1)当x=1时，有 (1 2 ) a 0 a1 a 2 a 7
Sn 4n 1
能被64整除。
练习：求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式 中x3项的系数 答案： C 171 C 141 3 3 0
杨辉三角和二项式定理
杨辉三角和二项式定理杨辉三角和二项式定理是数学中经典的基本概念和定理，被广泛应用于组合数学、数理统计、微积分等领域。
本文将介绍杨辉三角和二项式定理的定义、性质以及应用。
一、杨辉三角杨辉三角是一种数学图形，是由数字排列成三角形的形式，数字排列的规律性很强，主要是由二项式系数的各个项的系数构成的，又称为帕斯卡三角。
杨辉三角的构造方法如下：1.第一行写上数字1；2.从第二行开始，每相邻的两个数字都是上一行数字的相邻两个数字之和；例子：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、二项式定理二项式定理是代数学中的基本定理，它阐述了将一个二项式求幂的基本方法。
二项式定理的全称为“任意实数a和b以及非负整数n，有：(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + … + C(n, n)b^n”其中C(n, k)为组合数，在组合数学中有明确的定义，即从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数。
组合数用符号C(n, k)表示，其计算公式为：C(n, k) = n! / [k! (n-k)!]这样，我们就得到了二项式定理的定义。
三、杨辉三角和二项式定理的联系和应用二项式定理中的系数C(n, k)可以在杨辉三角中找到，这也是杨辉三角的一个重要应用。
具体来说，杨辉三角的第n行第k个数就是C(n, k)。
另外，杨辉三角还可以用来计算排列组合中的一些问题。
例如，需要在n个元素中选取m个元素的不同组合数，这就可以通过杨辉三角中的组合数来解决。
杨辉三角和二项式定理还可以应用于微积分中的泰勒公式、数理统计中的二项分布等问题。
在统计学中，二项分布是一个离散的概率分布，用来计算在n个独立的是/非试验中成功k次的概率。
杨辉三角和二项式定理在数学中属于基本概念和基本定理，对于理解和应用数学知识是非常重要的。
通过了解杨辉三角和二项式定理的定义和性质，可以更好地应用它们来解决实际问题。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
“杨辉三角”与二项式系数的性质
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
杨辉三角与二项式定理
杨辉三⾓与⼆项式定理⾸先杨辉三⾓是啥：利益⽅⾯，把（a + b）^n 展开，将会得到⼀个关于x的多项式： （a + b）^0 = 1 （a + b）^1 = a + b （a + b）^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 （a + b）^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 （a + b）^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4系数正好跟杨辉三⾓⼀致。
⼀般的，有⼆项式定理：所以，（a + b）^n 是n个括号连乘，每个括号⾥任选⼀项乘起来都会对最后的结果有⼀个影响。
如果选择了 k 个 a，就⼀定会选择 n - k个 b,最后的项也就是 a^(n-k)*b^k 。
然⽽从n个a⾥选择k个有多少种⽅法呢？有 C（k ， n）种⽅法，这就是组合数的定义。
给定 n ,如何求出（a + b）^n 中所有项的系数呢？⼀个⽅法是⽤递归，根据杨辉三⾓中不难发现的规律，可以写出程序：1 memset(c,0,sizeofcv));2for(int i = 0;i <= n;i++){3 c[i][0] = 1;4for(int j = 1;j <= i;j++)5 c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];6 }（以上的算法的时间复杂度是O（n^2））另⼀个⽅法是利⽤等式C( k, n) = ( n - k + 1) / ( k ) * C( k-1, n)，从C( 0, n) = 1开始从左往右递推，如下：c[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++)c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;可能不明显，却容易⽤组合数公式 C（k , n）= n! /( k! * (n - k)! )。
“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
变式: 设1 - 2 x a0 a1 x 1 a2 x 1 a7 x 1 ,
求a1 a3 a5 a7的值.
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1 37 2
No.16/18
课时小结
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数有 如下性质：
0 1 2 3 4 5 n n [问题拓展] 你能求cn cn cn cn cn cn ........ (1) cn 吗 ?
1 n r n r r n n 由 (a b)n Cn0 a n Cn a b Cn a b Cn b (n N )
n k 1 k
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No.8/18
二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
（2）增减性与最大值
当n为偶数时,中间一项的二项式 系数Cn 取得最大值.
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn , Cn 相等, 且同时取得最大值.
n-1 2 n 1 2
n 2
n k 1 k 1 C C 所以 相对于 n 的增减情况由 决定． k
由 n k 1 1 k n 1 k 2 n 1 k 可知，当 时，二项式系数是逐渐 2 增大的，由对称性可知它的后半部分是 逐渐减小的，且中间项取得最大值.
n! (k 1)!(n k 1)!
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No.6/18
问题探究
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
观察:图像增减性与最大值.
n r 2
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No.7/18
2018-2019版数学新导学笔记人教A全国通用版选修2-3讲义：第一章 计数原理1.3.2
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n 的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n .思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大．梳理 (1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C ＝C ＋C .k n ＋1k －1n k n (2)二项式系数的性质性质内容对称性C ＝C ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的mn n －m n 两个二项式系数相等如果二项式的幂指数n 是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大12n T +增减性与最大值如果n 为奇数，那么其展开式中间两项与的二项12n T +112n T ++式系数相等且同时取得最大值二项展开式中各二项式系数的和等于2n ，即C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n 0n 1n 2n n 各二项式系数的和奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n －1，即C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝2n －11n 3n 5n 2n 4n 6n1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( × )2．二项式展开式的二项式系数和为C ＋C ＋…＋C .( × )1n 2n n 3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( × )类型一 与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A ．第6行B ．第7行C ．第8行D ．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 (1)B (2)C解析 (1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C ，第2项是C ，第3项是C ，第4项是C ，…，第212231315项是C ，第16项是C ，所以S (16)2919＝C ＋C ＋C ＋C ＋…＋C ＋C ＝(C ＋C ＋…＋C )＋(C ＋C ＋…＋C )1221323192912131922329＝(C ＋C ＋C ＋…＋C －C )＋(C ＋C ＋…＋C )2121319232329＝C ＋C －1＝164.210310反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 34解析 由题意设第n 行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C ∶C ＝2∶3，即＝，解得n ＝34，所以在第13n 14n 14n －132334行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二 二项式系数和问题例2 已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.(2)令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由(2x －1)5的通项T k ＋1＝C (－1)k ·25－k ·x 5－k 知a 1，a 3，a 5为负值，k 5所|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243.(3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35.所以a 1＋a 3＋a 5＝＝－121.1－352引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a 0＋a 2＋a 4；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35.所以a 0＋a 2＋a 4＝＝122.1＋352(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数，所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4.令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝，f (1)＋f (－1)2偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.f (1)－f (－1)2跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝29.0919299(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝，59－12即所有奇数项系数之和为.59－12类型三 二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.3x 2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C ·(3x 2)3＝270.323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭223x (2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C ·3k ·，k 52(52)3k x ＋假设T k ＋1项系数最大，则有Error!∴Error!即Error!∴≤k ≤，∵k ∈N ，∴k ＝4，7292∴展开式中系数最大的项为T 5＝C (3x 2)4＝405.4523x 263x 反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论．①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用Error!解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和．考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C x 6y 5，T 7＝C x 5y 6.511611(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C x 11－k (－y )k ＝C (－1)k x 11－k y k ，k 11k 11∴项的系数的绝对值为|C ·(－1)k |＝C ，k 11k 11∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C x 6y 5，T 7＝C x 5y 6.511611(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C x 6y 5.611511(4)展开式中，二项式系数的和为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝211.01111121111(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C －C ＋C －…－C ＝(1－1)11＝0.011111211111．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6.2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第(2n ＋1－12＋1)项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.(2n ＋1＋12＋1)3．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( )(x ＋33x )A ．4 B ．5C ．6D ．7考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，故有＝64，所以n ＝6.4n2n 4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________．考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.①又T k ＋1＝C (－3)4－k (2x )k ，k 4∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.②由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大(14＋2x )的项的系数为________．考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 358解析 由C ＋C ＋C ＝37，得1＋n ＋n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二0n 1n 2n 12项式系数最大，T 5＝C ××(2x )4＝x 4，该项的系数为.481443583581．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )(x 3＋1x 2)A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C ＝210.6103．已知关于x 的二项式n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )(x ＋a3x )A ．1B ．±1C ．2D ．±2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 由条件知2n ＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C ()5－k k ＝C a k 中，令k 5x (a3x )k 51556kx 15－5k ＝0，得k ＝3.所以C a 3＝80，解得a ＝2.354．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( )A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11，令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，①令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，②＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024.②－①25．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C ＝C ＝45.8102106．设n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开(5x －1x )式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C (5x )4－k ·k ＝(－1)k 54－k C ，k 4(－1x )k 4342k x令4－＝1，得k ＝2，3k2所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C ＝150.247．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C ＋C ＋C ＋…＋C 的值为( )1n 2n 3n n A ．28 B ．28－1C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ，即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n －C ＝28－1.1n 2n 3n n 0n 8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和是1 024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C010********解析 由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式510系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为k10k10510T k＋1＝C a10－k(－b)k＝(－1)k C a10－k b k知，第6项的系数－C最小，故D正确．二、填空题9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，a k(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1＋x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.(1x＋31x3)10．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12项，511611中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 7解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.三、解答题12．设(2－x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值．3(1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－)100，①3所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－)100－2100.3(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋)100.②3与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝.(2－3)100－(2＋3)1002(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.33(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋x )100的展开式中，33令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.313．已知n 展开式的二项式系数之和为256.(x ＋mx )(1)求n ；(2)若展开式中常数项为，求m 的值；358(3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C x 8－k k ＝C m k x 8－2k ，k 8(mx )k 8故8－2k ＝0，即k ＝4，则C m 4＝，解得m ＝±.4835812(3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则Error!化简可得≤k ≤.8m －1m ＋19mm ＋1由于只有第6项和第7项系数最大，所以Error!即Error!所以m 只能等于2.四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则＝________.a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －6365解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故＝－.a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6636515．已知(＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求2n 的展3x (2x －1x )开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)10的展开式中第6项的二项式系数最大，(2x －1x )即T 6＝C ·(2x )5·5＝－8 064.510(－1x )(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C ·(2x )10－k ·kk 10(－1x )＝(－1)k ·C ·210－k ·x 10－2k .k 10∴Error!得Error!即Error!∴≤k ≤，k ∈N ，∴k ＝3，83113故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C ·27·x 4＝－15 360x 4.310。
1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)
Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
特例法 赋值法
知识对接测查3
1.C110 C120 L
C 10 10
2_1_0__1_; 1023
2 1024 C111
C131
每行两端都是1从第二行起每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和这个表叫做二项式系数表也称杨辉三角类似上面的表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了这个表称为杨辉三角
1.3.2 “杨辉三角” 与二次项系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
二项式系数最T大r1的 T项r2为第11项,即
C10 20
由所此以确它定们r的的取比值是
C2102 28312 C2100
5 27 313 11
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
3、若
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
栏 目 链 接
1．掌握二项式系数的性质． 2．会运用二项式系数的性质解决相关的问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．二项式系数的性质．
自 测 自 评 解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选 B. 答案：B
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题型一
“杨辉三角”的变形及引申问题用
例1 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从
1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
栏 目 链 接
变 式 训 练
2n 2．(1)(2013· 哈尔滨高二检测)若x＋x 的展开式中各项系
数和为 99－n，则展开式中系数最大的项为( A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项
)
栏 目 链 接
(2)(2x－1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为( 310－1 1－310 A. B. 2 2 1－210 210－1 C. D. 2 2
13 n 14 n
栏 目 链 接
解得 n 34 . 答案：34
题型二 例2
求展开式的系数和
已知(1－2x)7＝a0＋a1 x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
栏 目 链 接
(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝17＝1； 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝－1，则
杨辉三角与二项式定理
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日 本等国均有译本出版，流传世界。
四、总结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
3、利用杨辉三角进行简单的应用
探究２：研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1= 6 C61 第二条斜线上： 1+2+3+4+5= 15 C62 第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
(2) | a0 | | a1 | | a2 | | a5 | a0 a1 a2 a3 a4 a5
f (1) 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (3) a1 a3 a5;
都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3
行，……第n次全行的数都为1 的是第 2n－1 行
数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
高中数学_杨辉三角教学课件设计
T
n
2
1
1
的二项式系数相等且最大.
探究新知
探究4：各行数的和是多少？
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
猜想：Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
2 21
4 22
8 23 16 24 32 25 64 26
二项式系数的和
证明： Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
1.3.2 杨辉三角
新课引入
二项式定理: 一般地，对于n N+有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
C
r n
a
nr
b
r
Cnnbn
1.二项式系数：Cn0 , Cn1 , Cn2 ,Cnr ,, Cnn
2.通项：Tr1
Cnr anrb（r 其中0
r
n,
r
N，n
N
T5 C84 ( x)4 70 x4.
练习：
已知
x3
1
n
x3
的展开式中，只有第6项的系数最大，
求展开式中的常数项.
课堂小结
一、知识：
二项式系数的性质
1. 对称性 2. Cnm1 Cnm-1 Cnm . 3. 增减性与最大值
二、方法：
4. 二项式系数的和
观察归纳法、赋值法
创新与联想
中，令a=1，b=－1，得
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn 即 0 (Cn0 Cn2 Cn4 ) (Cn1 Cn3 Cn5 )
所以 Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 .
杨辉三角说课课件
四、教材重难点
教学重点：问题的方法，理解二项式系数的性质.
教学难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根 据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系 数的性质.
关键：函数思想的渗透.
五、说教法学法
六、教学过程
环节三：联系旧知探新知
点击添加文本 【问题提出】怎样证明 展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？ 【问题探究】探究：（1） 展开式的二项式系数 ， 可以看成是以为自变量的函 数吗？它的定义域是什么？ （2）画出函数图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值. （3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.
【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角 ”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为 学习二项式系数的性质埋下伏笔.
六、教学过程
环节二：感知规律悟性质
点击添加文本 通过课外学习，学生已经观察发现了杨辉三角的一些规律，展开式的二项 式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值. 【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数 具有杨辉三角同行中的规律.
知识 目标
通过学生从函数的角度研究二项式系数 的性质，体会用函数知识研究问题的方法， 培养学生的观察能力和归纳推理能力.
能力 目标
情感 目标
通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明 、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式 系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到 一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解 决问题的“再创造”过程.
“杨辉三角”与二项式系数的性质
合作学习
思维聚焦
1.二项式系数的性质既可以通过观察杨辉三角得到，也可 以通过逻辑推理直接得到：
由组合数性质“Cnm＝Cnn－m”可得到对称性，即 Crn＝Cnn－r. 由 Ckn＝nn－1n－2k…－1n－！k·＋k 2n－k＋1＝n－kk＋1Ckn－1 可知，Cnk相对于 Ckn－1的增减情况将由n－kk＋1与 1 的大小关系 决定．
二项式系数表与杨辉三角中每行的数值对应相同吗？
提示：不相同．二项式系数表第一行是两个数，而杨 辉三角的第一行只有一个数，事实上，二项式系数表中的 第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1(n∈N*)行对应数值相等．
如图所示，在杨辉三角中，第 n 条和 第 n＋1 条细斜线上各数之和与第 n＋2 条细斜线各数之和的关系如何？并证 明你的结论．
(3)由(2)得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1① 令 x＝1，y＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－2 1， 即所有奇数项系数之和为59－2 1.
(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r ＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr， 因此当 r＝1,3,5,7,9 时，Tr＋1 的系数小于 0. 即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2＋…＋a8－a9＝59.
时取得最大值．
(3)各二项式系数的和： (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__2_n ____， 即⑪___C_0n_＋__C_1n_＋__C_2n_＋__…__＋__C_rn_＋__…__＋__C_nn_＝__2_n____.
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项
原创1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
例1 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a6 x6 a7 x7
求 （1）a0
（2） a1 a2 a6 a7
赋值法
解：设 f (x) (1 2x)（7 1）令x=0,即 f (0) (1 2 0)7 1 展开式右边即为 a0 所以 a0 f (0) 1 （2）令x=1, f (1) (1 2 1)7 1 a0 a1 a2 a6 a7
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
最大项与增减性
增减性的实质是Cnk 与 Cnk1 比较的大小.
C
k n
n! k ! (n
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合 数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只 有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不 一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法， 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr x r
Cnn x n
思考探究
1.展开式的二项式系数 Cn0,Cn1,Cn2 Cnr , Cnn 有什么变化 规律？ 2.二项式系数最大的是哪一项？
新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
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n
0 2 1 3 即0 C n Cn C n Cn
n n
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。
作业：
• 1、课本37页 第8题（书上） • 2、练习册26—27页
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
r r 1 C 20 3 20 r 2 r C 20 319 r 2 r 1 r r 1 C 20 3 20 r 2 r C 20 3 21 r 2 r 1
例题：已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a6 x 6 a7 x 7
求： (1)a0
(2)a1 a2 a3 ... a7
7
解 : 设f ( x) (1 2x) （1）令x 0 a0 f (0) 1
（2）令x 1
我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
2 3 n n C1 C C C 2 1 n n n n
这是组合总数公式．
解 : 设f ( x) (1 2x) (3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7 2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1)
7
(4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是：0,1,2,, n 当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
r n
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
思考: 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
0 即证：n
C C C C 2
2 n 1 n 3 n
n1
证明：在展开式
C a C a
0 n n
0 n 1 n 2 n
1 n1 n
b C b
3 n n
n n n
中
令a=1，b=－1得
f (1) f (1) 1 37 a1 a3 a5 a7 2 2
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
思考：
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x
7 2 6
7
(1 2 x) 展开式中求a1 a2 a3 ... a7
即
3(r+1)>2(20-r) 2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
8 12 8
r=8
所以系数最大的项为：
T9 C 3 2 x y
8 20 12
典型例题
(1 2 x) 的展开式中第6项与第7项的系数相 例 3： 等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
n
课堂练习：
7
练习：
1.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 ( C) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
思考:
0 1 2 n n1 C 2 C 3 C n 1 C n 2 2 n 求证： n n n
证明：∵ 2 C 2C 3C n 1 C n C 2C 3C n 1 Cn
0 n 0 n 1 n 1 n 2 n 2 n n n
0 1 n 1 n n 1 C nC 2 C C n n n n
n 2 (C C C C )
n 2 2
0 n
1 n
2 n
n n
n
倒序相加法
思考.在(3x +2y)20的展开式中，求：
f (1) (1 2 1) 1 a0 a1 a2 a7
7
a1 a2 ... a7 (a0 a1 a7 ) a0 f (1) f (0) 1 1 2
例题：已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a6 x 6 a7 x 7 求：(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 m n m 得到． C C
n n
n 图象的对称轴：r 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大的，后 半部分是逐渐减小的，中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律 n (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
杨 辉 三 角
(a b) 第 0行 1 1 ( a b ) 第 1行 1 1 2 第 2行 1 2 1 6=3+3 (a b) 3 4=1+3 (a b) 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 4 10=6+4 ( a b ) 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 5 ( a b ) 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 (a b)6
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
1）已知 C a, C b ，那么 C =
5 15 9 15
10 16
；
2） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
3）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2“杨辉三角”与 二项式系数的性质
一、新课引入 二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b C b
r n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？