1.3.2杨辉三角与二项式定理

我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
2 3 n n C1 C C C 2 1 n n n n
这是组合总数公式．
f (1) (1 2 1) 1 a0 a1 a2 a7
7
a1 a2 ... a7 (a0 a1 a7 ) a0 f (1) f (0) 1 1 2
例题：已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a6 x 6 a7 x 7 求：(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
1.3.2“杨辉三角”与 二项式系数的性质
一、新课引入 二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
n r
b C b
r n n
n
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
杨 辉 三 角
(a b) 第 0行 1 1 ( a b ) 第 1行 1 1 2 第 2行 1 2 1 6=3+3 (a b) 3 4=1+3 (a b) 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 4 10=6+4 ( a b ) 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 5 ( a b ) 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 (a b)6
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则
r r 1 C 20 3 20 r 2 r C 20 319 r 2 r 1 r r 1 C 20 3 20 r 2 r C 20 3 21 r 2 r 1
例题：已知(1 2 x)7 a0 a1 x a2 x 2 a6 x 6 a7 x 7
求： (1)a0
(2)a1 a2 a3 ... a7
7
解 : 设f ( x) (1 2x) （1）令x 0 a0 f (0) 1
（2）令x 1
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是：0,1,2,, n 当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
r n
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
Hale Waihona Puke Baidu
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
(1 1) C C C C (1) C
n
0 2 1 3 即0 C n Cn C n Cn
n n
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。
即
3(r+1)>2(20-r) 2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
8 12 8
r=8
所以系数最大的项为：
T9 C 3 2 x y
8 20 12
典型例题
(1 2 x) 的展开式中第6项与第7项的系数相 例 3： 等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的 项。
n
课堂练习：
0 n 0 n 1 n 1 n 2 n 2 n n n
0 1 n 1 n n 1 C nC 2 C C n n n n
n 2 (C C C C )
n 2 2
0 n
1 n
2 n
n n
n
倒序相加法
思考.在(3x +2y)20的展开式中，求：
作业：
• 1、课本37页 第8题（书上） • 2、练习册26—27页
7
练习：
1.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 ( C) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
思考:
0 1 2 n n1 C 2 C 3 C n 1 C n 2 2 n 求证： n n n
证明：∵ 2 C 2C 3C n 1 C n C 2C 3C n 1 Cn
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
1）已知 C a, C b ，那么 C =
5 15 9 15
10 16
；
2） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
3）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个 二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 m n m 得到． C C
n n
n 图象的对称轴：r 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大的，后 半部分是逐渐减小的，中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律 n (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
解 : 设f ( x) (1 2x) (3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7 2(a1 a3 a5 a7 ) f (1) f (1)
7
(4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
f (1) f (1) 1 37 a1 a3 a5 a7 2 2
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
思考：
已知(1 2 x) a0 a1 x a2 x a6 x a7 x
7 2 6
7
(1 2 x) 展开式中求a1 a2 a3 ... a7
思考: 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
0 即证：n
C C C C 2
2 n 1 n 3 n
n1
证明：在展开式
C a C a
0 n n
0 n 1 n 2 n
1 n1 n
b C b
3 n n
n n n
中
令a=1，b=－1得