理论力学期末前复习题-1.计算题

（六）计算题
【1101】一圆轮以匀速v 0沿直线作纯滚动，如图所示，设初始时刻P 点与坐标原点O 重合，轮半径为r ，求轮缘上一点P 的运动学方程以及P 点的速度、加速度大小。

【1201】质点沿x 轴运动，加速度,0,,0,2
====x b x t k x k x &&&时为常数，且，求质点的运动学方程。

【1202】质点作平面运动时，其速率v 为常数C ，位矢旋转的角速度θ&为常数ω，
设000＝和时，θ==r t 求质点的运动学方程和轨道方程。

【1301】某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的鱼竿不慎掉入河中。

两分钟后，此人才发觉，立即返棹追赶。

追到鱼竿之处是在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大
【1302】一人手持5cm 成和两端开口的管子在雨中站立，管顶向北倾斜4ccm ，雨点直线穿过此管；如此人向南以s 的速度行走，则管顶向北倾斜3cm 就可以使雨点穿过，求雨点速度。

【1501】一质点受力32
x
mk F -=，此力指向坐标原点O ，试求质点沿x 轴从距原
点为l 处由静止开始运动，达到原点所需要的时间。

【1502】有孔小珠穿在光滑的抛物线形钢丝上且能自由滑动，抛物线的正交弦为4a ，其轴沿铅直方向而顶点位于下方，小珠从顶点开始运动时具有某一速率，这个速率使它恰能达到过焦点的水平面，试求小珠在顶点上方高为y （<Q ）时受到的约束力。

【1503】船在水中航行，停机时的速度为0v ，水的阻力为2kmv f =，问经过多少时间后航速减至
2
v 。

【1504】质量为m 的小球，在重力的作用下，在空气中竖直下落，其运动规律为)1(3t e B At s ---=，求空气阻力（以v 的函数表示之） 【1901】求质量为m 的质点在反立方引力场中的运动轨道。

【1902】质点在有心力的作用下作双纽线θ2cos 22a r =运动，试求有心力。

y
【2101】求半径为R 的均质半球体的质心。

【2701】总长度为a 的均质链条的一段b (0<b<a)挂在光滑桌面AB 边缘上，另一端躺在桌面上。

如果链条从静止开始运动，试求链条滑离桌子时所需要的时间。

【2702】雨滴下落时其质量增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。

【2703】长为l 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂。

开始时，整个链条是静止的，试以变质量方法来求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v 。

【2704】长为l 的均匀细链条盘成一团放在水平光滑桌面上，链条的一半从桌上下垂。

开始时，整个链条是静止的，试求此链条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度v 。

【3501】质量为m 1和m 2的两质点相距为l ，求其中心主转动惯量。

（题【3501】图） （题【3502】图）
【3502】由轻杆连成的刚性等腰三角形，高为h ，底边长为a ，在三角形三个顶点上分布有三个质点，上顶点质点的质量为2m ，底边上两质点质量均为1m ，求系统的中心主转动惯量321,I I I 及。

【3503】半径为R 的非均质圆球，在距中心r 处的密度可以用下式表示
)1(22
0R
r αρρ-=,式中0ρ 及α是常数。

试求圆柱绕直径转动时的回转半径。

（已
知球壳绕直径的转动惯量为 2
3
2mr I =
） 【3601】通风机的转动部分以某一初角速度0ω绕其轴转动，空气阻力矩与角速度成正比，比例常数为k ，如转动部分对其轴的转动惯量为I ，问经过多少时间后其转动的角速度为初角速度的一半。

【3602】质量为M ，半径为R 的圆环放在光滑水平面上，可以绕过环边上一点
O
1m 2
x
m
的铅直轴转动，若环开始时处于静止状态，有一质量为m 的小虫自O 点出发，沿圆环以相对匀速度v 0爬行，当小虫爬了半圈时，环的转动角速度是多少
（题【3602】图） （题【3603】图）
【3603】质量为m 的平板放在两个圆柱体上，圆柱体质量都是m ，半径均为R ，若在板上加一水平力F ，求平板的加速度。

设平板与圆柱，圆柱与地面之间均是纯滚动。

【3701】长为2a 的均质棒，以铰链悬挂于A 点上，在起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体，试证在以后运动中，棒以质心轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h 距离后，棒一共转了几圈
【3702】一端固结于天花板上的细绳缠绕在一个半径为r ，重为w 的圆盘上。

求圆盘中心向下运动的加速度a ，圆盘的角加速度β和绳的张力T 。

（已知圆盘对过
中心且垂直于盘面的轴的转动惯量为22
1
mr ）
【3703】一矩形板ABCD 在平行于自身的平面内运动，其角速度为定值ω，在某一瞬时已知A 点的速度为0v ，方向沿对角线AC ，试求此瞬时B 点的速度量值B v ，其中矩形边长b BC a AB ==,为已知。

【3704】如图所示，一圆轮沿水平轨道向右作纯滚动，AB 杆在A 端铰链在轮缘上，B 端可沿斜面滑动，已知圆轮中心O 的速度为v 0当AB 杆在水平位置时， （1）标出圆轮及AB 杆的转动瞬心的位置； （2）求A 、B 两点的速率。

（题【3704】图） （题【3801】图）
V
O
F
B
【3801】转轮AB ，绕OC 轴转动的角速度为1ω，而OC 绕竖直直线OE 转动的角速度则为 2ω。

如θ=∠===COE b OD a DB AD ,,，试求转轮最低点B 的速度。

【4101】一直线以匀角速度ω在一固定平面内绕其一端转动，当其直线位于ox 的位置时，有一质点P 开始从O 点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度v 的量值为常数，问此点应按何种规律沿此直线运动
【4102】一等腰直角三角形OBA 在其自身所在的平面内以等角速度ω绕顶点O 转动，某点M 以不变的相对速度沿AB 边运动，当三角形转一周时，M 点正好走过AB ，已知AB=b ，求M 点在A 点时的绝对速度和绝对加速度的量值。

【5201】质量为m ，长为l 2的均质棒，A 端抵在光滑墙上，而棒身斜靠在与墙相距为d （θcos l d ≤）的光滑棱角上，棒的B 端固定一质量为m 的质点，试用虚功原理求平衡时棒与水平面所成的角θ。

(题【5201】图) (题【5202】图)
【5202】两根均质棒AB 、BC 在B 处刚性联结在一起，且ABC ∠形成一直角，如图，将棒的A 点用绳系于固定点上，棒AB 长为a ，BC 长为b ，线密度均为ρ，用虚功原理求平衡时AB 和竖直方向所成θ角。

【5203】半径为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上。

一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，令一端在碗外，在碗内的长度为c ，试求证棒的全长为
()
c
r c 2
224- 【5301】利用拉格朗日方程推导平面极坐标系下质点运动方程。

O
B
C
（题【5301】图） （题【5302】图） 【5302】一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速度ω转动，管中有一质量为m 的质点，开始时细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a ，质点相对于管的速度为v 0，试由拉格朗日方程求质点相对管的运动微分方程。

【5303】质量为m 1的质点，沿倾角为α的光滑直角劈滑下，劈的质量为m 2，可在光滑水平面上自由滑动，用拉格朗日方程求质点在水平方向的加速度和劈的加速度。

（题【5303】图） （题【5501
【5304】匀质棒
AB ，质量为m ,长为2a ，其A 端可在光滑水平导槽上运动。

而棒本身又可在竖直面内绕A 端摆动。

除受重力外，B 端还受有一水平力F 的作用。

试用拉格朗日方程求其运动微分方程。

【5501】试用哈密顿正则方程导出单摆作微振动时的运动微分方程，设单摆的摆长为l 。

【5601】试求由质点组动量P ϖ
及动量矩J ϖ的直角坐标分量y x x x p J p J 与，与所组
成的泊松括号。

【5602】试求质点组动量矩J ϖ
的笛卡儿分量x J 与x J ，x J 与y J 所组成的泊松括号。

【5701】试通过哈密顿原理求复摆作微振动时的周期。

设复摆对定点O 的转动惯量为I 0，质量为m ，质心到点O 的距离为l 。

【5702】半径为a 的光滑圆形金属丝圈，以匀角速ω绕竖直直线转动，圈上套着质量为m 的小环，起始时小环自圆圈最高点无初速地沿着圆圈滑下当环和圈中
】图）
【5zh1】考虑水平面上不受外力作用的自由质点（取该水平面势能为零），设广义坐标取为直角坐标x 、y ，试写出系统的哈密顿函数、正则方程、及其首次积分。

m
x
x
O
【5zh2】一质点m 在固定光滑平面上运动，其势能为2
2
1kr V =
（k 为负数）
，若以θ,r 为广义坐标，写出其哈密顿函数和正则方程，并指出其循环坐标及循环积分。