2018年上海华二附中自招数学试卷及详细答案

2018年华二附中自招数学试卷及解析

1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为 【答案】40

【解析】根据题意，将2x =代入到75212ax bx x x ++++有7522222128a b ⋅+⋅+++=-有752226a b ⋅+⋅=-，将2x =-代入到75212ax bx x x ++++有

()()75

2222212261440a b -+-+-+=+=

2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22

12

4x x +=，则实数a = 【答案】311-

【解析】根据题意，122b x x a a +=-

=-，121c x x a a

⋅==+，()222

1212122x x x x x x +=+- ()()2

2221624a a a a =--+=-+=，计算可得311a =±；根据原有式子

2(2)10x a x a +-++=，()()2

2241850a a a a ∆=--+=-+≥，有411a ≥+或

411a ≤-，综上有311a =-

3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援 【答案】60°

【解析】根据题意画出图形，可以注意到ABC 是一个等腰三角形，所以乙船应该朝北偏东60°方向沿直线前往救援

4. 关于x 、y 的方程组1

x y x y x y

y x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有

组解

【答案】2

【解析】根据题意1

x y x y x y y x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有12y x -=，代入x y

x y x

y -+=，有22x y x y y y -++=；有1y =或22x y x y -+=+推出得11x y =⎧⎨=⎩或2

3

1

3

33x y -⎧

=⎪⎨⎪=⎩

有2组解 5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 【答案】25

【解析】将a b c ++平方得()2

222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

222222

2

222222222420

a a

b a

c bc b c a b ab ac bc bc a b ab ac bc ≥+++++≥+++++=++++=

有25a b c ++≥

6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是 【答案】69y ≥

【解析】根据题意有当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，244

p p

--≥-=，

有8p ≤-，当x p =时22225569y p p p =-+=+≥

7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是

【答案】

2

3

【解析】根据题意易得G 、H 为AC 的三等分点，

1166

AGD

CHD

AGB

BCH

ABCD S

S

S

S

S ====

=

111212

AGE

BEG

HFB

FCH

ABCD S

S

S

S

S ====

= 则阴影部分面积为

111112

12126663

++++=

8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC += 【答案】16 【解析】

9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标

14，34变成12，原来的1

2

变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥， 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为

【答案】2

n k （k 为[1,2]n

中的奇数） 【解析】

10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则

11

min{,,}M x y y x

=+的最大值是

【答案】2 【解析】

11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.

【答案】108A =，135B =，180C =，117D =

【解析】先设这4个数为1234,,,x x x x ，且它们的和能被234,,x x x ，另234x x x <<，则根据题意有：()()1234213421x x x x x x x x x N +++÷=+++÷=,N 为自然数，即

()13421x x x x N ++÷=-，因为它们的首位数字相同，所以1N -应该在3附近，又因为

234x x x <<，所以()13424x x x x ++÷=；