高中数学 排列与组合 版块一 加法原理完整讲义(学生版)
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3

第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”,表示与元素的顺序无关,排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素,不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”,而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列.因此区分某一问题是组合还是排列,关键是看取出的元素有无顺序.组合数的两个性质,性质1反映了组合数的对称性,在m >n2时,通常不直接计算C mn 而改为C n -m n ,对于性质2,C m n +1=C m n +C m -1n 要会正用、逆用、变形用.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)从a ,b ,c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积.( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合.( ) (4)C 35=5×4×3=60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________. (2)C 1820=________. (3)C 399+C 299=________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36=6×5×43×2×1=20.(2)C 1820=C 220=20×192×1=190. (3)C 399+C 299=C 3100=100×99×983×2×1=161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题:(1)从a ,b ,c ,d 四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法? (2)从a ,b ,c ,d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? (3)a ,b ,c ,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? (4)a ,b ,c ,d 四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?(5)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种? (6)某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪中恰有3枪连中,不同的结果有多少种? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?[解] (1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.(5)命中的4枪均为2枪连中,为相同的元素,没有顺序,是组合问题. (6)命中的4枪中恰有3枪连中,即连中3枪和单中1枪,有顺序,是排列问题. 拓展提升判断是否为组合问题,关键是判断问题是否与顺序有关,可以结合条件理解,也可以选择一个结果,交换这个结果中两个元素先后顺序,看是否对结果产生影响,若无新变化,则是组合问题.总之,与顺序有关是排列问题,若与顺序无关,则是组合问题.[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题,还是组合问题.(1)从集合A ={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加,得到的和共有多少个? (2)从集合A ={-1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除,得到的商共有多少个?(3)从a ,b ,c ,d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动,共有多少种不同的选法? (4)四个人互发一个电子邮件,共写了多少个电子邮件?解 (1)从集合A 中取出两个数后,改变两个数的顺序,其和不变.因此此问题,只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,故是组合问题.(2)从集合A 中取出两个数相除,若改变其分子、分母的位置,其结果就不同,因此其商的值与元素的顺序有关,是排列问题.(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动,没有顺序,因此是组合问题. (4)四人互发电子邮件,由于发信人与收信人是有区别的,与顺序有关,是排列问题. 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算:C 410-C 37·A 33; (2)已知1C m 5-1C m 6=710C m 7,求C m8;(3)求C 38-n3n +C 3n21+n 的值; (4)证明:m C m n =n C m -1n -1. [解] (1)原式=C 410-A 37=10×9×8×74×3×2×1-7×6×5=210-210=0.(2)原方程可化为m !(5-m )!5!-m !(6-m )!6!=7×(7-m )!m !10×7!,即m !(5-m )!5!-m !(6-m )(5-m )!6×5!=7×m !(7-m )(6-m )(5-m )!10×7×6×5!,∴1-6-m 6=(7-m )(6-m )60,即m 2-23m +42=0,解得m =2或21(不符合题意,舍去).∴C m 8=C 28=28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38-n ≤3n ,3n ≤21+n ,∴9.5≤n ≤10.5,∵n ∈N *,∴n =10, ∴C 38-n3n +C 3n21+n =C 2830+C 3031=30!28!·2!+31!30!·1!=466.(4)证明:m C mn =m ·n !m !(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n ·(n -1)!(m -1)!(n -m )!=n C m -1n -1.拓展提升(1)像排列数公式一样,公式C mn=n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !一般用于计算;而公式C m n =n !m !(n -m )!及C mn =A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等.(2)在解决与组合数有关的问题时,要注意隐含条件“m ≤n 且m ,n ∈N *”的运用.如本例(3).(3)要注意公式Am n =C m n A m m 的逆向运用,如本例(1)中可利用“C 37A 33=A 37”简化计算过程. (4)本例(4)所推导的结论“m C m n =n C m -1n -1”以及它的变形公式是非常重要的公式,应熟练掌握.[跟踪训练2] (1)①求值:C 5-n n +C 9-nn +1;②求证:C mn =m +1n -mC m +1n . (2)计算:①C 58+C 98100·C 77; ②C 05+C 15+C 25+C 35+C 45+C 55; ③C n n +1·C n -1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *,所以n =4或n =5. 当n =4时,原式=C 14+C 55=5, 当n =5时,原式=C 05+C 46=16.②证明:因为C mn =n !m !(n -m )!,m +1n -m C m +1n =m +1(m +1)!·n !(n -m )(n -m -1)!=n !m !(n -m )!,所以C mn =m +1n -mC m +1n . (2)①原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4950=5006.②原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6+5×42×1=32. ③原式=C 1n +1·C 1n =(n +1)n =n 2+n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习,有多少种不同的选法? (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即有C 210=10×92×1=45种不同的选法. (2)可把问题分两类:第1类,选出2名男教师,有C 26种方法;第2类,选出2名女教师,有C 24种方法,即共有C 26+C 24=21种不同的选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种,根据分步乘法计数原理,共有C 26·C 24=6×52×1×4×32×1=90种不同的选法. 拓展提升解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于:排列问题与取出的元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用,在分类与分步时,一定要注意有无重复和遗漏.[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.解 (1)从中任取5人是组合问题,共有C 512=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有C 29=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C59=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C13=3种选法;再从另外9人中选4人,有C49种选法.共有C13C49=378种不同的选法.1.下列问题不是组合问题的是 ( )A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?B.平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段?C.集合{a1,a2,a3,…,a n}的含有三个元素的子集有多少个?D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?答案 D解析组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合问题,选D.2.若C 7n +1-C 7n =C 8n ,则n 等于( ) A .12 B .13 C .14 D .15 答案 C解析 C 7n +1=C 7n +C 8n =C 8n +1,∴n +1=7+8,n =14,故选C. 3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有 ( ) A .A 310种 B .C 310种 C .C 310A 310种 D .30种答案 B解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B. 4.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________. 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2-9n -10<0,n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6.∵n ∈N *,∴n =6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}.5.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生; (2)既有内科医生,又有外科医生.解 (1)先选内科医生有C 36种选法,再选外科医生有C 24种选法,故有C 36C 24=120种选派方法.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C 16C 44+C 26C 34+C 36C 24+C 46C 14=246种选派方法.若从反面考虑,则有C 510-C 56=246种选派方法.。
6.2排列与组合(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册
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排列与组合一排列概念的理解1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.根据排列的定义,两个排列相同的充要条件:(1)两个排列的元素_完全相同;(2)元素的排列顺序也相同.注意点:(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列,顺序不同,排列不同.二画树状图写排列利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围:“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.三简单的排列问题要想正确地表示排列问题的排列个数,应弄清这件事中谁是分步的主体,分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.四排列数公式1.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A m n表示.2.排列数公式:A m n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!n-m!(n,m∈N*,m≤n).3.全排列:把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示,于是,n个元素的全排列数公式可以写成A n n=n(n-1)(n-2)×…×2×1=n!.规定:0!=1.注意点:(1)乘积是m个连续正整数的乘积;(2)第一个数最大,是A的下标n;(3)第m个数最小,是n-m+1.五利用排列数公式化简与证明排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算.六排列数公式的简单应用对于简单的排列问题可直接代入排列数公式,也可以用树状图法.情况较多的情形,可以进行分类后进行.七元素的“在”与“不在”问题解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法.排列问题的实质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”.八“相邻”与“不相邻”问题处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.九定序问题在有些排列问题中,某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个:(1)整体法,即若有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,将这(m+n)个元素排成一列,有A m+nm+n种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有A m m种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有A m+nm+nA m m种满足条件的不同排法;(2)插空法,即m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.十组合概念的理解组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.注意点:(1)组合中取出的元素没有顺序;(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.十一利用组合数公式化简、求值与证明(1)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表示.(2)组合数公式:C m n=A m nA m m=n n-1n-2…n-m+1m!或C m n=n!m!n-m!(n,m∈N*,且m≤n).(3)规定:C0n=1.注意点:(1)m≤n,m,n∈N*;(2)C m n=A m nA m m=n n-1n-2…[n-m-1]m!常用于计算;(3)C m n=n!m!n-m!常用于证明.(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别.(2)在解有关组合数的方程或不等式时,必须注意隐含条件,即C m n中的n为正整数,m为自然数,且n≥m.因此求出方程或不等式的解后,要进行检验,将不符合的解舍去.十二简单的组合问题解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用,即分类与分步的灵活运用,在分类与分步时,一定要注意有无重复和遗漏.十三组合数的性质1组合数的性质1:C m n=C n-mn.注意点:(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想;(2)两边下标相同,上标之和等于下标.十四组合数的性质2组合数的性质2:C m n+1=C m n+C m-1n.注意点:(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数;(2)体现了“含”与“不含”的分类思想.性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆=C m n+1-用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,使用变形C m-1nC m n,为某些项前后抵消提供了方便,在解题中要注意灵活应用.十五组合数在实际问题中的简单应用在求与两个基本原理的应用有关的问题时,即分类与分步的运用,在分类与分步时,一定要注意有无重复和遗漏.十六有限制条件的排列、组合问题有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类(1)“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.(2)“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.十七多面手问题解决多面手问题时,依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类,将问题细化为较小的问题后再处理.十八分组、分配问题角度1不同元素分组、分配问题“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等,均匀分成n组,最后必须除以n!;②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.角度2相同元素分配问题反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有C m-1种方法.可描述为(n-1)个空中插n-1入(m-1)块隔板.考点一 排列的概念【例1】(2021年广东汕头)(1)下列问题是排列问题的是( )A .从10名同学中选取2名去参加知识竞赛,共有多少种不同的选取方法?B .10个人互相通信一次,共写了多少封信?C .平面上有5个点,任意三点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?D .从1,2,3,4四个数字中,任选两个相加,其结果共有多少种?(2)从3个不同的数字中取出2个:①相加;②相减;③相乘;④相除;⑤一个为被开方数,一个为根指数.则上述问题为排列问题的个数为( )A .2B .3C .4D .5【练1】(2020·新疆)已知2132n A =,则n =( )A .11B .12C .13D .14考点二 排列数 【例2】(2020·全国高二单元测试)对于满足13n ≥的正整数n ,(5)(6)(12)n n n --⋅⋅⋅-=( )A .712n A -B .75n A -C .85n A -D .125n A -【练2】(2020·江西九江一中)5人随机排成一排,其中甲、乙不相邻的概率为( )A .15B .25C .35D .45考点三 排队问题【例3】(2021·全国高二练习)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,女生必须站在一起;(4)全体排成一排,男生互不相邻;(5)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;(6)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边.【练3】(2020·江苏高二期中)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是( )A.36B.72C.600D.480考点四数字问题【例4】(2020·浙江省东阳中学)由0,1,2,3,4,5共6个不同数字组成的6位数,要求0不能在个位数,奇数恰好有2个相邻,则组成这样不同的6位数的个数是( )A.144B.216C.288D.432考点五组合的概念【例5】(2020·广东湛江高二单元测试)给出下列问题:①有10个车站,共需要准备多少种车票?②有10个车站,共有多少中不同的票价?③平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段?④有10个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次?⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛,有多少中选派方法?以上问题中,属于组合问题的是_________(填写问题序号).【练5】下列问题不是组合问题的是 ( )A .10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次?B .平面上有2015个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段?C .集合{a 1,a 2,a 3,…,a n }的含有三个元素的子集有多少个?D .从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?考点六 组合数【例6】(2020·陕西高二期末)若()6671*n n n C C C n +-=∈Ν,则n 等于( )A .11B .12C .13D .14【练6】(2020·山东菏泽·高二期末)已知4m ≥,3441m m m C C C +-+=( )A .1B .mC .1m +D .0考点七 组合应用 【例7】(2020·江苏金湖中学)一个口袋内有3个不同的红球,4个不同的白球(1)从中任取3个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取4个球,使总分不少于6分的取法有多少种?【练7】(2020·北京朝阳·高二期末)从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛,则不同的选法种数是( )A.12B.18C.35D.36考点八全排列【例8】(2020·全国专题练习)在新冠肺炎疫情防控期间,某记者要去武汉4个方舱医院采访,则不同的采访顺序有( )A.4种B.12种C.18种D.24种【练8】(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲,一个学校讲一次,不同的次序种数为( )A.4B.44C.24D.48考点九相邻问题【例9】(2021·河北张家口市)某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人,他们排成一排照相,则甲、乙二人相邻的排法种数为( )A.24B.36C.48D.60【练9】(2020·沙坪坝区·重庆八中)小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛,5人坐成一排,若小涛与小江、小玉都相邻,则不同坐法的总数为( )A.6B.12C.18D.24考点十 不相邻问题【例10】(2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中)省实验中学为预防秋季流感爆发,计划安排学生在校内进行常规体检,共有3个检查项目,需要安排在3间空教室进行检查,学校现有一排6间的空教室供选择使用,但是为了避免学生拥挤,要求作为检查项目的教室不能相邻,则共有( )种安排方式. A .12 B .24 C .36 D .48【练10】(2020·全国)六个人排队,甲乙不能排一起,丙必须排在前两位的概率为( ) A .760B .16C .1360D .14考点十一 分组分配【例11】(2020·全国)疫情期间,上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援,每名专家只去一个区级医院,每个区级医院至少安排一名专家,则不同的安排方法共有( ) A .60种 B .90种C .150种D .240种【练11】(2020·全国)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法.考点十二 几何问题【例12】(2020·全国)如图,MON 的边OM 上有四点1A 、2A 、3A 、4A ,ON 上有三点1B 、2B 、3B ,则以O 、1A 、2A 、3A 、4A 、1B 、2B 、3B 中三点为顶点的三角形的个数为( )A .30B .42C .54D .56【练12】(2021·全国)直线x m =,y x =将圆面224x y +≤分成若干块,现有5种颜色给这若干块涂色,且任意两块不同色,则所有可能的涂色种数是( ) A .20 B .60C .120D .240考点十三 方程不等式问题【例13】(2020·全国)方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【练13】(2021·太原市)不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为( ) A .55 B .60C .91D .540考点十四 数字问题【例14】(2020·南通西藏民族中学)从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相加,则不同的结果共有( ) A .6种 B .9种C .10种D .15种【练14】已知集合{}A a b c d =,,,,从集合A 中任取2个元素组成集合B ,则集合B 中含有元素b 的概率为( )A.16B.13C.12D.1课后练习1.(2021高二下·天津期中)用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数,要求偶数不能相邻,则这样的五位数有()个A.120B.216C.222D.2522.(2021高二下·临沂期末)若A n3=8C n2,则n=()A.4B.5C.6D.73.(2021高二下·梅州期末)在象棋比赛中,参赛的任意两位选手都比赛一场,其中胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分,56分,57分,58分,但其中只有一名学生的统计结果是正确的,则参赛选手共有()A.6位B.7位C.8位D.9位4.(2021高三上·运城开学考)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫,要求每位医生只能去一所医院,每所医院至少安排一位医生.由于工作需要,甲、乙两位医生必须安排在不同的医院,则不同的安排种数是()A.90B.216C.144D.2405.(2020高二上·昌平期末)某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传,要求每名工作人员只去一个小区,每个小区至少去一名工作人员,则不同的安排方法共有种.6.(2021·富平模拟)2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》、《英雄赞歌》、《唱支山歌给党听》、《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》、《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出,要求最后一首歌曲必须是合唱,则不同的安排方法共有种.7.(2021高二下·郑州期末)2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日,2021年也是“十四五”开局之年,必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注,作为当代中学生,需要发奋图强,争做四有新人,首先需要学好文化课.现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排,组成一个六位数,则共可组成个不同的六位数.8.(2021·三明模拟)设n∈N且n<5,若62021+n能被5整除,则n等于.9.(2021高二下·江苏期中)用0,1,2,3,4,5这六个数字:(最后运算结果请以数字作答)(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数?)m(m∈N∗)的展开式中,第三项系数是10.(2021高二下·郑州期末)在二项式(x2+2√x.倒数第三项系数的18(1)求m的值;(2)求展开式中所有的有理项.精讲答案【例1】 【答案】(1)B(2)B【解析】(1)排列问题是与顺序有关的问题,四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的,其他问题都与顺序无关,所以选B. (2)排列与顺序有关,故②④⑤是排列. 【练1】 【答案】B【解析】∵2132n A =,∴(1)132n n -=,整理,得,21320n n --=;解得12n =,或11n =- (不合题意,舍去);∴n 的值为12. 故选:B. 【例2】 【答案】C【解析】根据排列数定义,要确定元素总数和选取个数,元素总数为5n -,选取个数为(5)(12)18n n ---+=,85(5)(6)(12)n n n n A ---⋅⋅⋅-=.故选:C .【练2】 【答案】C【解析】将5人随机排成一列,共有55120A =种排列方法;当甲、乙不相邻时,先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列,然后将甲、乙插入,故共有323461272A A =⨯=种排列方法,则5人随机排成一排,其中甲、乙不相邻的概率为7231205P ==. 故选:C. 【例3】【答案】(1)2520;(2)5040;(3)576;(4)1440;(5)3600;(6)3720.【解析】(1)从7人中选5人排列,共有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=(种).(2)分两步完成,先选3人站前排,有37A 种方法,余下4人站后排,有44A 种方法,按照分步乘法计数原理计算可得一共有347476543215040A A ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种).(3)捆绑法,将女生看成一个整体,进行全排列,有44A 种,再与3名男生进行全排列有44A 种,共有4444576A A ⨯=(种).(4)插空法,先排女生,再在空位中插入男生,故有43451440A A ⨯=(种). (5)先排甲,有5种方法,其余6人有66A 种排列方法,共有6653600A ⨯=(种).(6) 7名学生全排列,有77A 种方法,其中甲在最左边时,有66A 种方法,乙在最右边时,有66A 种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有55A 种方法,故共有76576523720A A A -⨯+= (种).【练3】 【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列,再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选:D .【例4】 【答案】B【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有236A =种排法,再把捆绑的2个奇数看成一个整体,因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻,将2个非0偶数全排有222A =种选法, 奇数插空全排有236A =种选法,最后把0插空,0不能在两端,有3种排法,可组成这样不同的6位的个数为6263216⨯⨯⨯=种排法, 故选:B【例5】 【答案】②④【解析】①有10个车站,共需要准备多少种车票?相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题;②有10个车站,共有多少中不同的票价?相当于从10个不同元素任取2个并成一组,属于组合问题;③平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段?相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题;④有10个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次?相当于从10个不同元素任取2个并成一组,属于组合问题;⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛,有多少中选派方法?相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题;以上问题中,属于排列问题的是②④. 【练5】 【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D 项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此是排列问题,不是组合问题,选D. 【例6】 【答案】B【解析】根据题意,6671n n n C C C +-=变形可得,6671n n n C C C +=+;由组合性质可得,6771n n n C C C ++=,即6711n n C C ++=,则可得到16712n n +=+⇒=.故选:B.【练6】 【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选:D【例7】【答案】(1) 13;(2) 22.【解析】(1 )从中任取3个球,红球的个数不比白球少的取法:红球3个,红球2个和白球1个.当取红球3个时,取法有1种;当取红球2个和白球1个时,.取法有213412C C =种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种. (2 )使总分不少于6分情况有两种:红球2个和白球2个,红球3个和白球1个.第一种,红球2个和白球2个,取法有223418C C =种; 第二种,红球3个和白球1个,取法有31344C C =种,根据分类计数原理,使总分不少于6分的取法有18422+=种. 【练7】 【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种,再从4名女生中选出2人有246C =种,所以共有1863=⨯种,故选:B【例8】 【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A =种,故选:D.【练8】 【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲,一个学校讲一次,不同的次序种数为44=432124A ⨯⨯⨯=.故选:C 【例9】 【答案】C【解析】先安排甲、乙相邻,有22A 种排法,再把甲、乙看作一个元素,与其余三个人全排列,故有排法种数为424248A A ⨯=.故选:C【练9】 【答案】B【解析】解:将小涛与小江、小玉捆绑在一起,与其他两个人全排列,其中小涛位于小江、小玉之间,按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选:B【例10】 【答案】B【解析】6间空教室,有3个空教室不使用,故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间,故所有不同的安排方式的总数为3424A =.故选:B.【练10】 【答案】C【解析】丙排第一,除甲乙外还有3人,共33A 种排法,此时共有4个空,插入甲乙可得24A ,此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能;丙排第二,甲或乙排在第一位,此时有1424C A 排法,甲和乙不排在第一位, 则剩下3人有1人排在第一位,则有122323C A A 种排法,此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选:C. 【例11】【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院,分为1,2,2和1,1,3两种情况;分为1,2,2时安排有1223542322C C C A A ;分为1,1,3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选:C 【练11】 【答案】360【解析】先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生.先选1本,有16C 种选法;再从余下的5本中选2本,有25C 种选法;最后余下3本全选,有33C 种选法.故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法.由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.【例12】 【答案】B【解析】利用间接法,先在8个点中任取3个点,再减去三点共线的情况,因此,符合条件的三角形的个数为33384542C C C --=.故选:B.【练12】 【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时,圆面224x y +≤被分成2块, 此时不同的涂色方法有5420⨯=种,当22m -<≤-或22m ≤<时,圆面224x y +≤被分成3块, 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种, 当22m -<<时,圆面224x y +≤被分成4块, 此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种, 所有可能的涂色种数是240. 故选:D 【例13】 【答案】36【解析】问题中的x y z 、、看作是三个盒子,问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里,有多少种方法.将10个球排一排后,中间插入两块隔板将它们分成三堆球,使每一堆至少一个球.隔板不能相邻,也不能放在两端,只能放在中间的9个空内.∴共有2936C =种.故答案为:36 【练13】【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子,允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球,问题等价于将15个相同小球放入三个盒子,没有空盒的放法种数,则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端)中插入两块板即可,因此,不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选:C.【例14】 【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和,则和的最小值为1236++=,和的最大值为45615++=,所以当从1,2,3,4,5,6中任取三个数相加时,则不同结果有10种.故选:C. 【练14】 【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ,则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======,共6个,其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个,故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选:C练习答案1. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】解:由题意知,分两种情况:①五位数是由2个偶数,3个奇数组成,共有A 33C 32A 42=216个; ②五位数是由3个偶数,2个奇数组成,共有C 32A 22A 33=36个;则这样的五位数一共有216+36=252个故答案为:D【分析】由排列与组合,结合题意,直接求解即可2.【答案】C【考点】排列及排列数公式,组合及组合数公式【解析】由题意知:n!3!=8⋅n!2!(n−2)!,即(n−2)!=24=4!,可得n−2=4,∴n=6.故答案为:C【分析】利用排列组合数计算公式,即可得出答案。
高中数学第四册排列组合讲义.
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A B P Q • • • •高中數學第四冊排列組合講義1.A , B 兩隊比籃球賽,每局不得成和局,規定A 隊勝三局為贏;A 隊勝三場前B 勝二局算B 隊贏,試問此比賽之所有可能情形有 種?又其中A , B 輸贏如何?2.有A , B , C , D , …等身高不等的8人排成一橫列,欲使任一較矮者不夾排在二較高者之間之排法共有 種?3.五種不同的顏色塗右圖,相鄰著異色,共有 種不同的塗法。
4.))()((v u z y x g f e d c b a +++++++++的展開式中共有 項。
5.540之正因數共有 個,其一切正因數和為 ,乘積為 。
6.x | 36000,(x , 63)=3,25| x 之自然數x 共有 個。
7.不同的渡船3艘,每艘可載5人,今有7人同時過渡,有 種安全的渡法。
8.如右圖,從A 到B 之走法中,不許走←方向的走法共有 種。
9.下列各街巷,從A 走到B 之捷徑走法各有幾?10. 如右圖自A 到B ,但限定只能走↑→↓三種方向,而且道路不重複走。
試問以下情形各有幾種走法? (1)由A 到B 有 種走法。
(2)由A 不經過P 到B 有 種走法。
(3)由A 不經過Q 到B 有 種走法。
(4)由A 不經過P 且不經過Q 到B 有 種走法。
(5)由A 經過P 但不經過Q 到B 有 種走法。
11. 考慮正五邊形及其所有對角線所成的圖形,此圖形中各線段圍成之各種三角形相似者列為一類,共有m 類,全等者列為一類,共有n 類,求m= 及n= 。
總共有 個三角形。
12. 在平面上任意畫不完全重合之n 個相異圓至多有 個交點。
13. 排容原理:1到100之自然數中,是2或3或5的倍數共有 個。
14. 千元鈔2張,五百元鈔3張,百元鈔4張,每次至少取一張,(1)共有 種取法。
(2)可以配出 種不同的款項。
15. 今有五個不同的門,甲、乙兩人由不同的門進入,不同的門出來,(1)自己可由相同的門進出有 種方法。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列

答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A������������ = (���������-������!���)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元 素的一个全排列. A������������ =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
������(������-1)! (������-������)!
=
������! (������-������)!
=
A������������ ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A������������--11
=
(������-1)! [(������-1)-(������-1)]!
排列与组合.版块一.加法原理.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

1.基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.又称加法原理.⑵乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.又称乘法原理.⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合⑴排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示. 排列数公式:A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+,m n +∈N ,,并且m n ≤.全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列.知识内容加法原理n 的阶乘:正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=.⑵组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合.组合数:从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号C m n 表示.组合数公式:(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-,,m n +∈N ,并且m n ≤. 组合数的两个性质:性质1:C C m n m n n -=;性质2:11C C C m m m n n n -+=+.(规定0C 1n =)⑶排列组合综合问题解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6.插板法:n 个相同元素,分成()m m n ≤组,每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排,从1n -个空中选1m -个空,各插一个隔板,有11m n C --.7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n 堆(组),必须除以n !,如果有m 堆(组)元素个数相等,必须除以m ! 8.错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n =,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.2.具体的解题策略有:①对特殊元素进行优先安排;②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.典例分析加法原理【例1】高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名学生作代表,参加学校组织的调查团,问选取代表的方法有几种.【考点】加法原理【难度】1星【题型】解答【关键字】无【解析】选取一名男生,或者选取一名女生,即可完成选取代表的事情,由分类计数原理,有381856+=(种)【答案】56;【例2】若a、b是正整数,且6+,则以()a b≤,a b为坐标的点共有多少个?【考点】加法原理【难度】1星【题型】解答【关键字】无【解析】按a的取值分类:1a=时,b有4个值;a=时,b有5个值,2a=时,b有1个值.3a=时,b有2个值;5a=时,b有3个值;4用分类计数原理,所有满足条件的点的坐标共有:5432115++++=(个).【答案】15;【例3】用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.648【考点】加法原理【难度】2星【题型】选择【关键字】2009年,北京高考【解析】分两种情况:个数为0与个位不为0.个位为0的数只需再确定十位与百位即可,有9872⨯=个;个位不为0的,需要在,,,中任选一个放在个位,再在除0与个位数字之外的8个数字中选择一个2468数字放在百位,最后选定十位,共有488256⨯⨯=种.故共有满足条件的数+=个.72256328【答案】B;【例4】用数字12345,,,,组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120【考点】加法原理【难度】2星【题型】选择【关键字】2009年,北京高考【解析】个位有24,两种选择,个位选定后,依次十位有4种,百位有3种,千位有2种,由乘法原理,共有243248⨯⨯⨯=个.【答案】C;【例5】用012345,,,,,这6个数字,可以组成____个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.【考点】加法原理【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】分四类:①千位数字为3,4之一时,百十个位数只要不重复即可,有2543120⨯⨯⨯=(个);②千位数字为5,百位数字为0,1,2,3之一时,共有144348⨯⨯⨯=(个);③千位数字是5,百位数字是4,十位数字是0,1之一时,共有11236⨯⨯⨯=(个);④最后还有5420也满足条件.所以所求四位数共有1204861175+++=(个).【答案】175;。
2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
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◎典题试解
不等式 C2n-n<5 的解集为________. 解析 由 C2n-n<5,得n(n2-1)-n<5,∴n2-3n
-10<0.解得-2<n<5.由题设条件知 n≥2,且 n∈N*,∴ n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
答案 {2,3,4}
公 阶乘
n!
式 式 Cnm=_m__!__(__n_-__m__)__!__
性质 Cnm=__C_nn_-_m_,Cmn+1=C__nm_+__C_nm_-_1__
备注 ①n,m∈N*,且 m≤n;②规定:C0n=1
核心要点探究
知识点一 组合的定义
探究1:通过下列问题的探究,明确排列与组合的关 系:
现从中抽取4件检查. (1)都不是次品的取法有多少种? (2)至少有1件次品的取法有多少种? (3)不都是次品的取法有多少种?
【自主解答】 (1)都不是次品的取法有 C490种. (2)解法一 至少有 1 件次品的取法有 C110C390+C210C290 +C310C190+C410种. 解法二 至少有 1 件次品的取法有 C4100-C490种. (3)解法一 不都是次品的取法有 C490+C110C390+C210 C290+C310C190种. 解法二 不都是次品的取法有 C4100-C410种.
②由33nn≥ ≤3n8+-2n1, ,得129≤n≤221,所以 n=10.
n∈N*,
n∈N*,
所
以原
式
=
C 2380 +
C
30 31
=
C
2 30
+
C
1 31
=
30×29 2×1
+
31
排列组合(加法与乘法原理)
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第1讲排列组合(加法与乘法原理)1、加法原理:完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法,在第二类方法中有m2种不同地方法,……,在第N类方法中有mn种不同地方法,那么完成这件工作共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法.运用加法原理计数,关键在于合理分类,不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中地具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务地任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点,不同地问题,分类地标准往往不同,需要积累一定地解题经验.2、乘法原理:完成一件工作共需N个步骤:完成第一个步骤有m1种方法,完成第二个步骤有m2种方法,…,完成第N个步骤有mn种方法,那么,完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数,关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤,各个步骤之间是相互联系地,任何一步地一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作;各步计数相互独立;只要有一步中所采取地方法不同,则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题,在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题,正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理,可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1:(1)教室图书角放有4种不同地故事书,有7种不同地漫画书,从中取一本,共有多少种不同地取法?(2)教室图书角放有4种不同地故事书,有7种不同地漫画书,从中各取一本,共有多少种不同地取法?练习:(1)由镇往县城有3条路,由县城往长青山旅游区有4条路,由镇区经县城去长青山有几种不同地走法?(2)某人到食堂去买饭菜,食堂里有4种荤菜,3种蔬菜,2种汤.他要各买一样,共有多少种不同地买法?例2:用1角、2角和5角地三种人民币(每种地张数没有限制)组成1元钱,有多少种方法?练习:现有一架天平和1g,3g,9g,27g地砝码各一个,能称出多少种不同地重量?例3:各数位地数字之和是24地三位数共有多少个?练习:在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4:(1)用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数;(2)用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习:(1)用1、2、3、4、5、6六个数字,可以组成多少个不同地四位数?(2)用1、2、3、4、5、6六个数字,可以组成多少个不同地四位偶数?(3)用0、1、2、3、4、5六个数字,可以组成多少个不同地四位数?(4)用0、1、2、3、4、5六个数字,可以组成多少个不同地四位偶数?例5:一本书有235页,打印页码共用了多少个数字码?其中有多少个数字“1”?练习:一本书打印页码共用了6889个数字码,这本书有多少页?例6:下图中有7个点和10条线段,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何线段和点不得重复经过.问:这只甲虫最多有几种不同地走法?练习:(1)如图所示,从甲地到乙地,最近地道路有几条?(2)如果沿图中地线段,以最短地路程,从A点出发到B点,共有多少种不同地走法?巩固练习:1、学生饭堂有主食3种,副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭,可以配成()种.2:学生饭堂有主食3种,副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭,可以配成()种.3:小明有7种红色画纸,4种蓝色画纸,3种黄色画纸,如果每种颜色取一张,有()种取法.4:小明有7种红色画纸,4种蓝色画纸,3种黄色画纸,如果要取一张画纸,有()种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6:小红有不同地上衣4件,下装5种,鞋子3双,问小红能有()种不同地穿着方法?7.数字和是4地三位数有个.8:小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本,他看见书架上数学书有3种,语文书有2种,外语书有2种可供选择,她有()种不同地选择方法?9.用一个5分币、四个2分币,八个1分币买一张蛇年8分邮票,共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11:公园里有小红旗4款,小白旗5款,小蓝旗6款,如果三种颜色地小旗各取一款,有()不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏,以及其他非商业性或非盈利性用途,但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定,不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外,将本文任何内容或服务用于其他用途时,须征得本人及相关权利人地书面许可,并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用,不得对本文内容原意进行曲解、修改,并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。
(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1
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高中数学讲义摆列组合问题的常有模型1知识内容1.基本计数原理⑴加法原理分数原理:做一件事,达成它有n 法,在第一法中有m1种不一样的方法,在第二法中有 m2种方法,⋯⋯,在第 n 法中有 m n种不一样的方法.那么达成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法.又称加法原理.⑴乘法原理分步数原理:做一件事,达成它需要分红 n 个子步,做第一个步有 m1种不一样的方法,做第二个步有 m2种不同方法,⋯⋯,做第 n 个步有 m n种不同的方法.那么完成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法.又称乘法原理.⑴加法原理与乘法原理的综合运用假如达成一件事的各样方法是互相独立的,那么计算达成这件事的方法数时,使用分类计数原理.假如达成一件事的各个步骤是互相联系的,即各个步骤都一定达成,这件事才告达成,那么计算达成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导摆列数、组合数公式的理论基础,也是求解摆列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要一定仔细学好,并正确地灵巧加以应用.2.摆列与组合⑴摆列:一般地,从n 个不一样的元素中任取m(m ≤ n) 个元素,依据必定的次序排成一列,叫做从n 个不一样元素中拿出m 个元素的一个摆列.(此中被取的对象叫做元素)摆列数:从 n 个不一样的元素中拿出m(m ≤ n) 个元素的所有摆列的个数,叫做从n个不一样元素中拿出m 个元素的摆列数,用符号 A m n表示.摆列数公式: A m n 全摆列:一般地,n的阶乘:正整数由n(n 1)(n 2) L (n m 1) , m,n N,而且 m ≤ n .n 个不一样元素所有拿出的一个摆列,叫做n 个不一样元素的一个全摆列.1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用n! 表示.规定: 0! 1 .思想的挖掘能力的飞腾1高中数学讲义⑴组合:一般地,从 n 个不一样元素中,随意拿出 m ( m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m个元素的一个组合.组合数:从 n 个不一样元素中,随意拿出m (m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不一样元素中,随意拿出 m 个元素的组合数,用符号C n m表示.组合数公式: C n m n( n1)(n 2)L( n m1)n!, m, n N ,而且m≤ n .m!m!( n m)!组合数的两个性质:性质1:C n m C n n m;性质 2:C n m1 C n m C n m 1.(规定 C n0 1 )⑴摆列组合综合问题解摆列组合问题,第一要用好两个计数原理和摆列组合的定义,即第一弄清是分类仍是分步,是排列仍是组合,同时要掌握一些常有种类的摆列组合问题的解法:1.特别元素、特别地点优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其余元素;地点优先法:先考虑有限制条件的地点的要求,再考虑其余地点;2.分类分步法:对于较复杂的摆列组合问题,常需要分类议论或分步计算,必定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3.清除法,从整体中清除不切合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.4.捆绑法:某些元素必相邻的摆列,能够先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其余元素进行摆列,而后再给那“一捆元素”内部摆列.5.插空法:某些元素不相邻的摆列,能够先排其余元素,再让不相邻的元素插空.6.插板法:n个同样元素,分红 m( m≤ n) 组,每组起码一个的分组问题——把n个元素排成一排,从 n 1个空中选 m 1 个空,各插一个隔板,有C n m11.7.分组、分派法:分组问题(分红几堆,无序).有平分、不平分、部分平分之别.一般地均匀分红 n 堆(组),一定除以n !,假如有m 堆(组)元素个数相等,一定除以m !8.错位法:编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1 到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不一样,这类摆列称为错位摆列,特别当n 2 ,3,4,5 时的错位数各为1,2,9,44.对于 5、6、7 个元素的错位摆列的计算,能够用剔除法转变为 2 个、 3 个、 4 个元素的错位摆列的问题.1.摆列与组合应用题,主要考察有附带条件的应用问题,解决此类问题往常有三种门路:⑴元素剖析法:以元素为主,应先知足特别元素的要求,再考虑其余元素;⑴地点剖析法:以地点为主考虑,即先知足特别地点的要求,再考虑其余地点;⑴间接法:先不考虑附带条件,计算出摆列或组合数,再减去不切合要求的摆列数或组合数.2思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义求解时应注意先把详细问题转变或归纳为摆列或组合问题;再经过剖析确立运用分类计数原理仍是分步计数原理;而后剖析题目条件,防止“选用”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.2.详细的解题策略有:⑴对特别元素进行优先安排;⑴理解题意后进行合理和正确分类,分类后要考证能否不重不漏;⑴对于抽出部分元素进行摆列的问题一般是先选后排,以防出现重复;⑴对于元素相邻的条件,采纳捆绑法;对于元素间隔摆列的问题,采纳插空法或隔板法;⑴次序固定的问题用除法办理;分几排的问题能够转变为直排问题办理;⑴对于正面考虑太复杂的问题,能够考虑反面.⑴对于一些摆列数与组合数的问题,需要结构模型.典例剖析排队问题【例 1】三个女生和五个男生排成一排⑴ 假如女生一定全排在一同,可有多少种不一样的排法?⑵ 假如女生一定全分开,可有多少种不一样的排法?⑶ 假如两头都不可以排女生,可有多少种不一样的排法?【例 2】 6 个人站成一排:⑴此中甲、乙两人一定相邻有多少种不一样的排法?⑴此中甲、乙两人不相邻有多少种不一样的排法?⑴此中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不一样的排法?⑴此中甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不一样的排法?思想的挖掘能力的飞腾3高中数学讲义【例 3】 7 名同学排队照相.⑴若分红两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不一样的排法?⑵若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但此中甲一定在前排,乙一定在后排,有多少种不一样的排法?⑶ 若排成一排照,甲、乙、丙三人一定相邻,有多少种不一样的排法?⑷若排成一排照,7 人中有 4 名男生, 3 名女生,女生不可以相邻,有多少种不一样的排法?【例 4】 6 个队员排成一排,⑴共有多少种不一样的排法?⑴若甲一定站在排头,有多少种不一样的排法?⑶若甲不可以站排头,也不可以站排尾,问有多少种不一样的排法?【例 5】ABCDE 五个字母排成一排,若 ABC 的地点关系一定按 A 在前、 B 居中、 C 在后的原则,共有 _______种排法(用数字作答).【例 6】用 1 到 8 构成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻, 3 与 4 相邻,5 与6 相邻,而7 与8 不相邻,这样的八位数共有___个(用数字作答).4思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照,要求排成一排, 2 位老人相邻但不排在两头,不一样的排法共有()A .1440 种B. 960种C. 720种D. 480 种【例 8】12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现拍照师要从后排 8人中抽 2 人调整到前排,若其余人的相对次序不变,则不一样调整方法的总数是()22B.2622D.22A .C C C A CA A A【例 9】记者要为5名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排, 2 位老人相邻但不排在两头,不一样的排法共有()A . 1440 种B .960 种C.720 种 D .480 种【例 10】在数字 1,2 ,3与符号,五个元素的所有全摆列中,随意两个数字都不相邻的全摆列个数是()A .6B.12C.18D.24【例 11】计划展出 10 幅不一样的画,此中 1 幅水彩、 4 幅油画、 5 幅国画,排成一列陈设,要求同一品种的画一定连在一同,而且水彩画不放在两头,那么不一样的陈设方式有_____种.思想的挖掘能力的飞腾5高中数学讲义【例 12】 6 人站一排,甲不站在排头,乙不站在排尾,共有_________种不一样的排法(用数字作答).【例 13】一条长椅上有7 个座位, 4 人坐,要求 3 个空位中,有 2 个空位相邻,另一个空位与 2 个相邻位不相邻,共有几种坐法?【例 14】3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两头, 3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不一样排法的种数是()A. 360B. 288C. 216D. 96【例 15】古代“五行”学说以为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不一样属性的物质随意排成一列,但摆列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的摆列方法有种(结果用数值表示).【例 16】在1,2,3,4,5,6,7的任一摆列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中,使相邻两数都互质的摆列方式共有()种.A. 288B. 576C. 864D. 11526思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 17】从会合P ,Q ,R ,S 与 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不可以重复).每排中字母 Q和数字0至多只好出现一个的不一样排法种数是_________.(用数字作答)【例 18】从会合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不可以重复).每排中字母 O,Q 和数字 0 至多只好出现一个的不一样排法种数是_________.(用数字作答)【例 19】6个人坐在一排10个座位上,问⑴空位不相邻的坐法有多少种?⑵ 4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种?⑶ 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?【例 20】3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两头, 3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不一样排法的种数是()A . 360B. 288C. 216D. 96思想的挖掘能力的飞腾7高中数学讲义【例 21】12名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现拍照师要从后排8 人中抽 2 人调整到前排,其余人的相对次序不变,则不一样调整的方法的总数有()2 A 2B.2A6C.2A2D.22A .C C C C A【例 22】两部不一样的长篇小说各由第一、二、三、四卷构成,每卷1本,共 8 本.将它们随意地排成一排,左侧 4 本恰巧都属于同一部小说的概率是_______.【例 23】2007年12月中旬,我国南方一些地域遭受历史稀有的雪灾,电煤库存吃紧.为了增援南方地域抗灾救灾,国家一致部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调动,决定将这 6 列列车编成两组,每组3列,且甲与乙两列列车不在同一小组.假如甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不一样的发车次序共有()A. 36种B.108种C. 216种D. 432种数字问题【例 24】给定数字0、1、2、3、5、9,每个数字最多用一次,⑴可能构成多少个四位数?⑴可能构成多少个四位奇数?⑴可能构成多少个四位偶数?⑴可能构成多少个自然数?【例 25】用 0 到 9 这 10 个数字,可构成多少个没有重复数字的四位偶数?8思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 26】在1,3,5,7,9中任取3个数字,在0,2,4, 6,8 中任取两个数字,可构成多少个不一样的五位偶数.【例 27】用1,2,3,4,5排成一个数字不重复的五位数 a1,a2,a3,a4,a5,满足a1 a2,a2 a3,a3 a4,a4 a5的五位数有多少个?【例 28】用0,1,2,L,9这十个数字构成无重复数字的四位数,若千位数字与个位数字之差的绝对值是2,则这样的四位数共有多少个?【例 29】用数字0,1,2,3,4,5,6构成没有重复数字的四位数,此中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个(用数学作答).【例 30】有4张分别标有数字1,2,3 ,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4 的蓝色卡片,从这8思想的挖掘能力的飞腾9张卡片中拿出 4 张卡片排成一行.假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ,则不一样的排法数一共有种.432;【例 31】有8张卡片分别标有数字1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8,从中拿出 6 张卡片排成 3行 2列,要求 3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ,则不一样的排法共有()..A .1344种B .1248种C.1056种D.960种【例 32】有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4 张分别标有数字 1,2 ,3,4的蓝色卡片,从这 8张卡片中拿出 4 张卡片排成一行.假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ,则不一样的排法共有 ____种(用数字作答).【例 33】用 1, 2, 3, 4, 5, 6 构成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不一样,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是__________ (用数字作答).【例 34】用数字1,2,3,4,5能够构成没有重复数字,而且比20000大的五位偶数共有()A.48个B.36个C.24个D.18个【例 35】从1,2,3,8,9,10这6个数中,拿出两个,使其和为偶数,则共可获得个这样的不一样偶数?10思想的挖掘能力的飞腾【例 36】求无重复数字的六位数中,能被 3 整除的数有 ______个.【例 37】用数字0,1,2,3,4,5,6构成没有重复数字的四位数,此中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数学作答).【例 38】从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,构成没有重复数字的四位数的个数为()A.300B. 216C.180D. 162【例 39】从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,构成没有重复数字的四位数的个数为()A.300B. 216C.180D.162【例 40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:⑴能构成多少个没有重复数字的七位数?此中随意两偶数都不相邻的七位数有几个?⑴上述七位数中三个偶数排在一同的有几个?⑴⑴中的七位数中,偶数排在一同、奇数也排在一同的有几个?思想的挖掘能力的飞腾11⑷ ⑴此中随意两偶数都不相邻的七位数有几个?【例 41】用0到9这九个数字.可构成多少个没有重复数字的四位偶数?【例 42】有4张分别标有数字1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2 ,3,4 的蓝色卡片,从这8张卡片中拿出 4 张卡片排成一行.假如拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10 ,则不一样的排法共有 ______种(用数字作答).【例 43】在由数字1,2,3,4,5构成的所有没有重复数字的5 位数中,大于23145且小于 43521的数共有()个A. 56个B. 57个C. 58个D. 60个【例 44】由0,1,2,3,4这五个数字构成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的次序排成一个数列 a n,则 a19_____.A . 2014B . 2034C. 1432D. 143012思想的挖掘能力的飞腾【例 45】从数字0、 1、 3、 5、 7 中拿出不一样的三个作系数,可构成多少个不一样的一元二次方程ax2bx c0 ,此中有实数根的有几个?【例 46】从 3 , 2 , 1,0 ,1,2 ,3 ,4 中任选三个不一样元素作为二次函数y ax2bx c 的系数,问能构成多少条图像为经过原点且极点在第一象限或第三象限的抛物线?思想的挖掘能力的飞腾13。
排列组合(加法与乘法原理)

第1讲排列组合(加法与乘法原理)1、加法原理:完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法,在第二类方法中有m2种不同地方法,……,在第N类方法中有mn种不同地方法,那么完成这件工作共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法.运用加法原理计数,关键在于合理分类,不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中地具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务地任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点,不同地问题,分类地标准往往不同,需要积累一定地解题经验.2、乘法原理:完成一件工作共需N个步骤:完成第一个步骤有m1种方法,完成第二个步骤有m2种方法,…,完成第N个步骤有mn种方法,那么,完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数,关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤,各个步骤之间是相互联系地,任何一步地一种方法都不能完成此工作,必须连续完成这N步才能完成此工作;各步计数相互独立;只要有一步中所采取地方法不同,则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题,在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题,正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理,可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1:(1)教室图书角放有4种不同地故事书,有7种不同地漫画书,从中取一本,共有多少种不同地取法?(2)教室图书角放有4种不同地故事书,有7种不同地漫画书,从中各取一本,共有多少种不同地取法?练习:(1)由镇往县城有3条路,由县城往长青山旅游区有4条路,由镇区经县城去长青山有几种不同地走法?(2)某人到食堂去买饭菜,食堂里有4种荤菜,3种蔬菜,2种汤.他要各买一样,共有多少种不同地买法?例2:用1角、2角和5角地三种人民币(每种地张数没有限制)组成1元钱,有多少种方法?练习:现有一架天平和1g,3g,9g,27g地砝码各一个,能称出多少种不同地重量?例3:各数位地数字之和是24地三位数共有多少个?练习:在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4:(1)用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数;(2)用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习:(1)用1、2、3、4、5、6六个数字,可以组成多少个不同地四位数?(2)用1、2、3、4、5、6六个数字,可以组成多少个不同地四位偶数?(3)用0、1、2、3、4、5六个数字,可以组成多少个不同地四位数?(4)用0、1、2、3、4、5六个数字,可以组成多少个不同地四位偶数?例5:一本书有235页,打印页码共用了多少个数字码?其中有多少个数字“1”?练习:一本书打印页码共用了6889个数字码,这本书有多少页?例6:下图中有7个点和10条线段,一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点,要求任何线段和点不得重复经过.问:这只甲虫最多有几种不同地走法?练习:(1)如图所示,从甲地到乙地,最近地道路有几条?(2)如果沿图中地线段,以最短地路程,从A点出发到B点,共有多少种不同地走法?巩固练习:1、学生饭堂有主食3种,副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭,可以配成()种.2:学生饭堂有主食3种,副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭,可以配成()种.3:小明有7种红色画纸,4种蓝色画纸,3种黄色画纸,如果每种颜色取一张,有()种取法.4:小明有7种红色画纸,4种蓝色画纸,3种黄色画纸,如果要取一张画纸,有()种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6:小红有不同地上衣4件,下装5种,鞋子3双,问小红能有()种不同地穿着方法?7.数字和是4地三位数有个.8:小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本,他看见书架上数学书有3种,语文书有2种,外语书有2种可供选择,她有()种不同地选择方法?9.用一个5分币、四个2分币,八个1分币买一张蛇年8分邮票,共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11:公园里有小红旗4款,小白旗5款,小蓝旗6款,如果三种颜色地小旗各取一款,有()不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏,以及其他非商业性或非盈利性用途,但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定,不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外,将本文任何内容或服务用于其他用途时,须征得本人及相关权利人地书面许可,并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用,不得对本文内容原意进行曲解、修改,并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。
排列与组合.版块一.加法原理.学生版

1.基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.又称加法原理.⑵乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.又称乘法原理.⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示.排列数公式:A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+,m n +∈N ,,并且m n ≤. 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=.⑵组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合.组合数:从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号C m n 表示.组合数公式:(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-,,m n +∈N ,并且m n ≤. 知识内容加法原理组合数的两个性质:性质1:C C m n m n n -=;性质2:11C C C m m m n n n -+=+.(规定0C 1n =)⑶排列组合综合问题解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6.插板法:n 个相同元素,分成()m m n ≤组,每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排,从1n -个空中选1m -个空,各插一个隔板,有11m n C --.7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n 堆(组),必须除以n !,如果有m 堆(组)元素个数相等,必须除以m ! 8.错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n =,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.2.具体的解题策略有:①对特殊元素进行优先安排;②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法; ⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.典例分析加法原理【例1】高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名学生作代表,参加学校组织的调查团,问选取代表的方法有几种.【例2】若a、b是正整数,且6≤,则以()a ba b为坐标的点共有多少个?,【例3】用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.648【例4】用数字12345,,,,组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120【例5】用012345,,,,,这6个数字,可以组成____个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.。
高中数学排列组合讲义
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高中数学排列组合一.基础知识1.分类计数原理:完成一件事情有n 类方法,在第一类办法里有m 1种不同的方法,在第二类办法里有m 2种不同的方法......在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m m m n +++...21种不同的方法。
2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事情共有N=m m m n ...21⨯⨯种不同的方法。
3.(1)排列:一般地,从n 个不同的元素中取出m (n m ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
(2)排列数:一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数,用符号A mn 表示(3))1...(2)(1(+---=m n n n n A mn )若m=n ,得123)...2)(1(!••--==n n n n A nn ,左边表示n 个不同元素全部取出的排列数,称为全排列数。
右边表示正整数1到n 的连乘积,称为n 的阶乘。
4.(1)组合:一般地,从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
(2)组合数:一般地,从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C mn 表示 (3)组合数公式)!(!!m n m n AA C m mm n mn -==(4)常用性质:①C C mn n mn -= ②C C C m n mn mn 11-++=5.相邻问题(捆绑问题)n 个元素排列,其中的m 个元素要求相邻,把这m 个元素看成1个元素与其他n-m 个元素排列,在考虑这m 个元素自身的顺序即可,其结果是!)!1(m m n +- 6.相离问题(插空问题)n 个元素排列,其中的m 个元素要求彼此互不相邻,先排其余的n-m 个元素,这n-m 个元素的每相邻的两个元素之间都有一个空,再加上两端,共有n-m+1个空,从这n-m+1个空中选m 个空去排要求彼此互不相邻的m 个元素就可以了,其结果是A mm n m n 1)!(+--7.定位问题:(1)单定位:n 个元素排列,某个元素要求排在某个指定的位置上,等价于没有这个元素和没有这个位置,其结果是(n-1)!(2)复定位:n 个元素排列,k 个元素要求排在m 个指定的位置上,先从这m 个位置中选出k 个位置去排这k 个元素,再排其余n-k 个元素即可,其结果是)!(k n Ak m-8.平均分组问题:把n 个元素平均分成m 组,每组k (k=mn)个元素,共有不同的分法AC C C mmkkn kk n kn ...2--种9.)(......*222111)(N b C baC baC baC a C b a n n n n rrn r n n n n n nn n∈++++++=---+这个公式叫做二项式定理。
排列组合之加法与乘法原理

丙地
丁地
点评
• 解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成”,还是“分步完成”。“分类 完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘 法原理”。
练习
• 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 • (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选 法? • (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加 座谈会,有多少种不同的选法?
如上图,从A到C分2步: 第一步,由A到B,有2条路; 第二步,由B到C,有3条路。 所以,从A到C共有 2×3=6 条路。
加法原理与乘法原理
• 加法原理和乘法原理是解排列组合题目的最基本 的出发点。 • 要做一件事,完成它有n类办法,是分类问题,每 一类中的每一个方法都是独立的,因此用加法原 理; • 要做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续 的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次 相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理。 • 完成一件事的分“类”和分“步”是有本质区别 的,因此也将两个原理区分开来。
例
• 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还 可以乘轮船。一天中,火车有4 班,汽车有2班, 轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法? • 分析:从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以,从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。
回答下面的问题 : 1. 本节课学习了那些主要内容? 答: 加法原理和乘法原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么?不同点是什么? 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同, 加 法原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个 方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”, 即这 些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了, 才能完成这件事情。这也是本节课的重点。
高一数学-第十章排列组合和二项式定理(第1课)加法原理
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课题:10.1加法原理和乘法原理(一)教学目的:1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪内容分析:两个基本原理是排列、组合的开头课,学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少,排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的,而一些较复杂的排列、组合应用题的求解,更是离不开两个基本原理,所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题对于学生陌生的知识,在开头课中首先作一个大概的介绍,使学生有一个大致的了解是十分必要的基于这一想法,在引入新课时,首先是把这一章将要学习的内容,以及与其它科目的关系做了介绍,同时也引入了课题正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件;分类用加法原理,分步用乘法原理,单纯这点学生是容易理解的,问题在于怎样的,目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用两个原理是教与学重点,又具有相当难度.加法和乘法在小学就会,那么,在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求,而忽视了其过程中包含的深层次思想;两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”,即“分解”的思想.更具体地说就是把事物分成类或分成步去数.“分类”、“分步”,看似简单,不难理解,却是全章的理论依据和基本方法,贯穿始终,所以,是举足轻重的重点.两个原理,要能在各种场合灵活应用并非易事,所以,着实有其难用之处教学过程:一、复习引入:一次集会共50人参加,结束时,大家两两握手,互相道别,请你统计一下,大家握手次数共有多少?某商场有东南西北四个大门,当你从一个大门进去又从另一个大门出来,问你共有多少种不同走法?揭示本节课内容:等我们学了这一部分内容后,这些问题会很容易解决而这部分内容是代数中一个独立的问题,与旧知识联系很少,但它是以后学习二项式定理、概率学、统计学等知识的基础内容从本节课开始,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合它们研究对象独特,研究问题的方法不同一般虽然份量不多,但是与旧知识的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关至于在日常的工作、生活上,只要涉及安排调配的问题,就离不开它今天我们就来学习本章的两个基本原理(这是排列、组合的第一节课,把这一章的内容作一个大概的介绍,能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解,并为本章的学习研究打下思想基础)二、讲解新课:1.问题一(1-1)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法?分析:因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以,共有3+2=5种不同的走法,如图所示(1-2) 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船一天中,火车有4 班, 汽车有2班,轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法:第一类方法,乘火车,有4种方法;第二类方法,乘汽车,有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以,从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法 分类计数原理(加法原理):做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法3.问题二(2-1)从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以,乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地,共有326⨯=种不同走法,如图所示,所有走法:火车1──汽车1;火车1──汽车2;火车2──汽车1;火车2──汽车2;火车3──汽车1;火车3──汽车2(2-2)如图,由A 村去B 村的道路有2条,由B 村去C 村的道路有3条从A 村经B 村去C 村,共有多少种不同的走法?分析: 从A 村经 B 村去C 村有2步, 第一步, 由A 村去B 村有2种方法, 第二步, 由B 村去C 村有3种方法,所以 从A 村经 B 村去C 村共有 2×3 = 6 种不同的方法4.分步计数原理(乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法5.原理浅释分类计数原理(加法原理)中,“完成一件事,有n 类办法”,是说每种办法“互斥”,即每种方法都可以独立地完成这件事,同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以.分步计数原理(乘法原理)中,“完成一件事,需要分成n 个步骤”,是说每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤,彼此间也不能有重复和遗漏.如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m 种不同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理. 可以看出“分”是它们共同的特征,但是,分法却大不相同.两个原理的公式是: 12n N m m m =+++, 12n N m m m =⨯⨯⨯这种变形还提醒人们,分类和分步,常是在一定的限制之下人为的,因此,在这里我们大有用武之地:可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步.强调知识的综合是近年的一种可取的现象.两个原理,可以与物理中电路的串联、并联类比.两个基本原理的作用:计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别:一个与分类有关,一个与分步有关;加法原理是“分类完成”,乘法原理是“分步完成”三、讲解范例:例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书,(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?解:(1)从书架上任取1本书,有3类办法:第1类办法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有2种方法根据分类计数原理,不同取法的种数是4+3+2=9种所以,从书架上任取1本书,有9种不同的取法;(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本艺术书,有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有2种方法根据分步计数原理,从书架的⨯⨯=种第1、2、3层各取1本书,不同取法的种数是43224所以,从书架的第1、2、3层各取1本书,有24种不同的取法例2.一种号码拨号锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?解:每个拨号盘上的数字有10种取法,根据分步计数原理,4个拨号盘上N=⨯⨯⨯=,各取1个数字组成的四位数字号码的个数是1010101010000所以,可以组成10000个四位数号码例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?解:从3名工人中选1名上日班和1名上晚班,可以看成是经过先选1名上日班,再选1名上晚班两个步骤完成,先选1名上日班,共有3种选法;上日班的工人选定后,上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理,不同的选法数N=⨯=种,6种选法可以表示如下:是326日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙所以,从3名工人中选出2名分别上日班和晚班,6种不同的选法例4.甲厂生产的收音机外壳形状有3种,颜色有4种,乙厂生产的收音机外壳形状有4种,颜色有5种,这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看,共有所少种不同的品种?解:收音机的品种可分两类:⨯=第一类:甲厂收音机的种类,分两步:形状有3种,颜色有4种,共3412种;⨯=第二类:乙厂收音机的种类,分两步:形状有4种,颜色有5种,共4520种+=个品种所以,共有122032说明:分类和分步计数原理,都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在于:分类计数原理针对“分类”问题,其中方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对“分步”问题,各个步骤中方法相互独立,只有各个步骤都完成才算完成了这件事四、课堂练习:1 .书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书(1) 从中任取一本,有多少种不同的取法?(2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少种不同的取法?解:(1)从书架上任取一本书,有两种方法:第一类可从6本数学书中任取一本,有6种方法;第二类可从5本语文书中任取一本,有5种方法;根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法(2) 从书架上任取数学、语文书各一本,可以分成两步完成:第一步任取一本数学书,有6种方法;第二步任取一本语文书,有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法2.某班级有男学生5人,女学生4人(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法?(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法?解:(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,m = 5种不同的方法;第一类办法,从男学生中任选一人,共有1m = 4种不同的方法第二类办法,从女学生中任选一人,共有2所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种(2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成,m= 5种方法;第一步,选一名男学生,有1m= 4种方法;第二步,选一名女学生,有2所以,根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种由例1可知:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”3. 满足A∪B={1,2}的集合A、B共有多少组?分析一:A、B均是{1,2}的子集:φ,{1},{2},{1,2},但不是随便两个子集搭配都行,本题尤如含A、B两元素的不定方程,其全部解分为四类:1)当A=φ时,只有B={1,2},得1组解;2)当A={1}时,B={2}或B={1,2},得2组解;3)当A={2}时,B={1}或B={1,2},得2组解;4)当A={1,2}时,B=φ或{1}或{2}或{1,2},得4组解.根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.分析二: 设A、B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B 不装入A,还可以既装入A又装入B,有3种装法;第2步装2,同样有3种装法.根据分步计数原理共有3×3=9种装法,即原题共有9组解.4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法?答案:2×3+4×2=14五、小结:本节课主要介绍了两个基本原理,解题时应紧扣原理,弄清事情完成的前后经过,分清是分类还是分步,或分类中含分步、分步中含分类无论是分类、分步,关键是做到不重不漏六、课后作业:七、板书设计(略)八、课后记:。
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学而思高中完整讲义:排列与组合.版块一.加法原理.学生版
1.基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第
二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有
12n N m m m =+++种不同的方法.又称加法原理.
⑵乘法原理
分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,
做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事
共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.又称乘法原理.
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.
2. 排列与组合
⑴排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m
n 表示.
排列数公式:A (1)(2)
(1)m n n n n n m =---+,m n +∈N ,,并且m n ≤. 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=. ⑵组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合.
组合数:从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号C m
n 表示. 组合数公式:(1)(2)(1)!C !!()!
m n n n n n m n m m n m ---+==-,,m n +∈N ,并且m n ≤. 组合数的两个性质:性质1:C C m n m n n -=;性质2:11C C C m m m n n n -+=+.(规定0
C 1n =)
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;
位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;
知识内容
2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.
3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.
5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.
6.插板法:n 个相同元素,分成()m m n ≤组,每组至少一个的分组问题——把n 个元素排
成一排,从1n -个空中选1m -个空,各插一个隔板,有11m n C --.
7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n 堆(组),必须除以n !,如果有m 堆(组)元素个数相等,必须除以m !
8.错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n =,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.
1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.
2.具体的解题策略有:
①对特殊元素进行优先安排;
②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;
④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法; ⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;
⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.
⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.
加法原理
【例1】 高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名学生作代表,参加学校组织
的调查团,问选取代表的方法有几种.
【例2】 若a 、b 是正整数,且6≤a b +,则以(),a b 为坐标的点共有多少个?
典例分析
【例3】用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324 B.328C.360D.648
【例4】用数字12345
,,,,组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120
【例5】用012345
,,,,,这6个数字,可以组成____个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.。