绝对值考点专题讲解(新)

聚焦《绝对值》

【图解考点】

【技法透析】

1．绝对值的基本性质 在含有绝对值式子的运算及变形中，绝对值的性质有很重要的作用，其主要性质有：若a 、b 为有理数，则：

(1)非负性：①a ≥0；②若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0；

(2)若a ＝b ，则a ＝±b ；222a a a == (3)ab a b =•；a a b b

=（b ≠0）；

④a b a b a b -≤±≤+．

特别关注：若干个非负数之和为0，则这几个非负数必须同时为0，即：a ＋b ＋…＋n ＝0，则a ＝b ＝…＝n ＝0．

2．去绝对值符号的方法

去掉绝对值符号是绝对值化简的关键，而绝对值符号内的数（或式）的正负性的判断是化简的关键，在实际运用中常见的去绝对值符号的方法有：

(1)由已知条件去绝对值．

(2)从数轴上“读取”相关信息，运用数形结合去绝对值．

(3)运用“零点分段法”分类讨论去绝对值，

特别关注：对于多个绝对值问题，其解题思路为：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成若干个区间，再在各区间内化简求值即可．

3．绝对值方程

(1)最简单的绝对值方程为x ＝a ，它的解法情况如下：

①当a>0时，方程有两解：x ＝a 或x ＝－a ，

②当a ＝0时，方程有一解：x ＝0，

③当a<0时，方程无解．

(2)解绝对值方程的一般步骤

①求出各个零界点．

②根据未知数的取值范围分类讨论．

③去绝对值符号，化为一般方程求解，在转化过程中，经常荽用到分类讨论，数形结合等方法．在解题过程中，要充分利用绝对值的意义和性质，善于观察，发掘题目中的隐含条件，从而简化解题过程．

特别关注：对于解绝对值方程，零点分段法是一种非常重要的方法．

4．绝对值的几何意义在生活中的应用

在实际生活中经常要通过借助数轴模型使复杂的数量关系形象化，简单化，同时又使实际问题数学化，从而运用绝对倌的几何定义求解．一般地，设a 1，a 2，a 3，…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，对于12n x a x a x a -+-+-，则：

(1)当n 为奇数时，此式在x ＝12n a +时取最小值；

(2)当n 为偶数时，此式在2n a ≤x ≤1

2n a +时取最小值．

【名题精讲】

赛点1 绝对值的化简

例1 1111111111201720162016201520152014322

-+-+-++-+-＝_______． 【切题技巧】 脱去绝对值符号是绝对值化简的切入点，而对绝对值符号中的正负性的判断是化简的关键，本例若直接化简会很繁锁，应从a 的性质入手，由题中条件可知，每一绝对值符号内均为负数，于是有当a<0时a ＝－a ．

【规范解答】 原式=

1111111-

----12017201620162015201520142----（）（）（）（）=12016-+120172017

= 【借题发挥】 绝对值化简关键是要去掉绝对值符号，而要去掉绝对值符号，先要对绝对值符号中的数（或式）的正负性进行判断．去掉绝对值符号有三种方法，本例可以由已知条件直接判断各个绝对值符号内均为负数，于是可以利用1a 1的性质顺利达到去掉绝对值符号的目的．

【同类拓展】1．有理数a ，b 的大小关系如图，则1212a b a b a b a b

-++-+-++的值是( D ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．－3

赛点2 绝对值的分类讨论 例2 若abc<0，a ＋b ＋c>0，且x ＝a b c a b c

++，试求代数式(1－2x)2016－2016 x ＋2016的值．

【切题技巧】 解决本题的关键是对a 、b 、c 的符号的所有可能情况进行分类讨论，由abc<0可知a 、b 、c 中有一个或三个全为负数，又由a ＋b ＋c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以a 、b 、c 中有一个负数，两个正数．

【规范解答】 由abc<0，可知a 、b 、c 中有一个负数或三个全为负数，又由a ＋b ＋c>0知a 、b 、c 不可能全为负数，所以可得a 、b 、c 中有一个负数，两个正数，依x 的轮换性，不妨设a>0、b>0、c<0．则：

1a b c x a b c

=

++=-．所以原代数式的值为：(1－2×1)2016－2016×1＋2016＝1－2016＋2016＝1．

【借题发挥】 解含绝对值符号的化简求值题的关键，在于善于运用已知条件去掉绝对值符号，而用分类讨论法是能达到去掉绝对值符号的常用方法．在分类讨论时，分类要全面、准确、不失一般性． 【同类拓展】 已知有理数x ，y ，z 满足xy<0，yz>0，且x ＝3，y ＝2，12z +=，求x ＋y ＋z 的值． －2

赛点3 求1232016x x x x -+-+-++-的最小值．

【规范解答】 由绝对值的几何意义知1x －a 1在数轴上表示数x 与数a 两点之间的距离，故求原式的最小值就是在数轴上找出表示x 的点，使它到1，2，3，…，2015，2016的点的距离和最小．

【规范解答】 由绝对值的几何意义可知：求原式的最小值，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到1，2，3，…2016的点的距离之和最小，

可看出当1008≤x ≤1009时，原式的值最小，把x ＝1008代入原式中得： 原式＝10081100821008310082016-+-+-++-

=1007+1006+1005+...+1+0+1+2+3+ (1008)

=2（1+2+3+…1007）+1008

【借题发挥】 (1)由绝对值的几何意义可知如图①当a ≤x ≤b 时，x a x b -+-的值最小，如图②当x ＝b 时，x a x b x c -+-+-的值最小．

(2)一般地，设a 1，a 2，a 3…a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数，若n 为奇数，则当x ＝12n a +时，12n x a x a x a -+-+

+-的值最小；若n 为偶数，则当a 2n a ≤x ≤1

2n a +时， 12n x a x a x a -+-++-的值最小．

(3)在实际牛活中，有时需借助数轴模型，使实际问题数学化，从而运用绝对值的几何定义解决问题．

如某公共汽车运营线路AB 段上有A 、B 、C 、D 四个汽车站，如图所示，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处最好？求最小路程总和，即求M 到A 、

B 、

C 、

D 的距离和最小，不妨设A 、B 、C 、D 四点在数轴上且分别表示为数a ，b ，c ，d(a

【同类拓展】 3．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少？并求出调出电脑的最少总台数．

一小向二小调3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调出的电脑总数最小数目为12台．