中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．

()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；

()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；

②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =

②42或22.

【解析】

【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明

EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；

②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.

【详解】

()1如图①中，结论：AF 2AE =．

理由：四边形ABFD 是平行四边形，

AB DF ∴=，

AB AC =，

AC DF ∴=，

DE EC =，

AE EF ∴=，

DEC AEF 90∠∠==， AEF

∴是等腰直角三角形，

AF 2AE ∴=．

故答案为AF 2AE =．

()2①如图②中，结论：AF 2AE =

．

理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．

四边形ABFD 是平行四边形，

AB//DF ∴，

DKE ABC 45∠∠∴==，

EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =， ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，

EKF ADE ∠∠∴=，

DKC C ∠∠=，

DK DC ∴=，

DF AB AC ==，

KF AD ∴=，

在EKF 和EDA 中，

EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

EKF ∴≌EDA ，

EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，

FEA BED 90∠∠∴==，

∴是等腰直角三角形，

AEF

∴=．

AF2AE

=时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知

②如图③中，当AD AC

=+=，EH DH CH2

===，22

=-=，AE AH EH42

AH(25)(2)32

=时，四边形ABFD是菱形，易知

如图④中当AD AC

=-=-=，

AE AH EH32222

综上所述，满足条件的AE的长为4222

【点睛】

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．

2．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．

（1）求证：AD=EC；

（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；

（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.

【详解】

(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE=BD，

∵AD是边BC上的中线，

∴BD=DC，

∴AE=DC，

又∵AE∥BC，

∴四边形ADCE是平行四边形.

(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.

∴AD=CD

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.

3．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明

△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．

（3）结论依然成立．

【详解】

（1）CG=EG．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=1

2

FD，

同理．在Rt△DEF中，EG=1

2

FD，∴CG=EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；

在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．

证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=1

2

MC，∴EG=CG．

（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证