《近世代数》作业参考答案

《近世代数》作业参考答案

一．概念解释

1．代数运算：一个集合B A ?到集合D 的映射叫做一个B A ?到D 的代数运算。 2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：

1）G 对乘法运算封闭；

2）结合律成立： )()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。 3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。 3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。

4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。

5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；

（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。 6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）N b a N b a ∈-?∈, （2）N ar N ra N r N a ∈∈?∈∈,,

7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ: ，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。

若：b a b a ≠?≠。

8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。

9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。 （2）R 有单位元。

（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。 10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。

11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。 12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。 二．判断题

1．×； 2．×；3． √；4．×；5．√；6．√ ；7．√； 8，√；9．√；10．√；11．×；12．√ 三．证明题

1． 证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且1±=?=B A AB ， 故G AB ∈，即G 对乘法封闭。结合律显然成立，且E 是G 单位元。

又设G A ∈，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵*

A 也是整数方阵； 又,1±=A 故**-±==

A A A

A 11

，即1

-A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作 成一个群。

2．证：设∞=a ，则当n m ≠时，n m

a a ≠，于是映射Φ：m a m →就是G=（a ）到整数加群Z 的一个一一

映射。又n m a

a a n

m n

m

+→=?+，故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=（a ）与整数加群Z 同构。

3．证：i ±±,1显然是Z[i]的单位，设x=a+bi 是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di ][i Z ∈使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)

从而 a abd c a =-2

又ad= –bc 代入前式有：（a c b a =+)(2

2

，即)(22b a +|a

若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=1±,即i x ±=。

若0≠a ，则由)(2

2

b a +|a 得b=0, a=1±,即x=1±,因此证得：Z[i] 的单位元只有i ±±,1。 4．证：由题设可列乘法表：

a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a

由此表可知：方阵普通乘法是G 的代表运算，a 是G 的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G 中都有逆元，结合率显然成立。故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。

5．证：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设,G a ∈且a a =2

，则有a a a a 1

2

1

--= 即a=e, 即只有e 满足方程x x =2

。 6．证：因为5212=±i

为素数，则i 21±（以及i i i ±-±±-2,2,21）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：

)21)(21(5i i -+= 若设i n a a a a (521 =不可约） 则

2222125n a a a ?=且25,12

2

≠≠i

i

a a ，这只有2=n ，且52

=i

a 不妨设

5=ab 且52

2

==b a

则只能b a =，即5=a a ，即5有唯一分解。

7．证：由乘法表可知，G 对所给乘法封闭，e 是单位元，又e e

=-1

，b a =-1，a b =-1，即每个元素在G 中

都有逆元，因此要证G 是一个群，只要再证结合律成立即可。

任取G y x ∈,，则显然有：)()()(ye x xy ey x xy e === )()(xx x x xx =

其次令},{,b a y x ∈，且y x ≠，则由乘法表知：e yx xy x yy y xx ====,,，可知结合律成立。 8．证：1）设21,e e 分别是环R 的左右单位元，则由此有：1e 22e e = ，1e 2e =1e ， 从而1e =2e ，即它是R 的单位元。

2）设1e ，2e 是R 的两个互异的左单位元，则对任意的0,≠∈a R a ，有

a e a a e 21== 或（1e -2e ）a =0，但1e -2e ≠0，故a 是R 的一个右零因子。同理，若R 有至少两个右单位

元，则R 的每一个非零元都是R 的左零因子。

9． 证：任取A ，B ∈F ，且令???? ??-=a b b a A ，???

?

??-=c d

d c B ，显然F B A ∈-，又当 0≠B 时，实数c,d 不全为零，于是022≠+=d c B ，

且F bd ac bc ad ad bc bd ac AB ∈???

?

??+--+=-1

，故F 是M （R ）的一个子域。

10．证：显然所给运算是G 的一个代数运算，又任取,,,G c b a ∈则

c u b au c b au c b a 111)()()(---== )()()(111c bu au c bu a c b a ---== 而G 是群。)()(1111c bu au c u b au ----= 即)()(c b a c b a = 即G 对新代数运算结合律成立。又任取

G a ∈， a a u u

u a ==-1

，即u 是右单位元。 又u u ua au u ua a ==---)()(111 ，即u ua 1

-是a 的右逆元。由群的定义知，G 对新运算也作成一个群。

11．证：设E AB =，由于R 可交换，得：

1===A B B A AB ，从而A 可逆，设*A 是A 的伴随矩阵，则由R 有单位元1可知：

E A AA A A ==** 于是*--=A A A 1

1 故若：E AB =，则：

A ABA = E A A A

B A

A ==--11 ，即E BA = 同理可由E A

B E BA =?=，证毕。 12．证：不妨设A 含有单位元e ，任取A a a ∈21,，R r B b b ∈∈,,21，由题设A ，B 都是R 的理想，得:

B b a b a ∈-2211 B A b a b a e b a e b a e b ea b ea b a b a ∈-=-=-=-)()()()()(2211221122112211

四．解答题

1．解：A a a a a a a ∈→Φ212121,},,m in{),(:，就是一个A A ?到A 的一个满射。 2．解1）H 不一定是群G 的子群，例： G=Z Z m m ??

?

???????∈?

???

??101为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群，而 H=?????????? ?????? ?????? ?????? ?

? 101,1021,1011,1001n 为G 的一个非空子集，易知有H H =2，但

H 不是G 的子群，???

?

??1011在H 中没有逆元。 2）当H 有限时，则H 是G 的子群。任取H b a ∈,，由于H H =2

，而H H ab =∈2

即H ab ∈即H 对乘法运算封闭，即H 是G 的子群。

3．解：易知R 作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵

021

22≠???

?

??=A ，属于R 但0=A ，故A 在R 中没有逆元，从而R 不能作成域，但是当F 为有理数域时，R 可以作成域。

4．解：Φ是X 到F 的一个映射，但不是一一映射，因为

???

? ??-=???? ??=0011,0001B A ，A ，B ,X ∈且A B ≠，但在Φ下，0)()(=Φ=ΦB A ，不是一一映射。 5．解： 1）如整数加群G 除单位元O 外，每个元的阶都无限。

2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。

6．解：能作成群，因为数的普通乘法显然是R 的代数运算，结合律当然成立，又1是R 的单位元，1与-1的逆

元均为自身，任意R 的元a 都有逆元

a

1

，故R 作成群。 7．解：105,84,63;42;21:1→→→→→Φ

105,84,63,42,01:2→→→→→Φ 则1Φ，2Φ是X 到Y 的两个单射。

8．解：易知整数k,l 有相同的奇偶性?存在整数x,y,满足：y x l y x k +=-=, （1） 又Z[i]是有单位元的可换环，所以

{}{}Z y x i y x y x i Z yi x i yi x i G ∈++-=∈+++>=+=<,|)()(][|)1)((1 由（1）知对][i Z li k ∈+，有.,.1l k i li k >?+∈<+有相同的奇偶性

又][1i Z ∈，但>+?,即m,n 有相反的奇偶性，从而

>+∈<+-=-+i 1ni )1m (1ni m ，即>+<+>=+<++i 11i 1ni m ，故

>

+

[Z 共有两个元素

>+<+>+

9．解：域或其子域有相同的单位元，事实上若1F 是F 的子域，I 是F 的单位元，I '是1F 的单位元，则任取1F a ∈，且0≠a ，由1F 是域知F a ∈-1

，且I aa '=-1，

但I aa F a

a =∈--1

11

,,，故I aa I =='-1，即F 与1F 有相同的单位元。

10．解：设Z 为整数集，2Z 为偶数集，x x 2:1→Φ， )1(2:2+→Φx x ，其中Z x ∈，则1Φ，2Φ就是Z 到

2Z 的两个不同的映射。

11．解：G 的单位元为????

??=1001e ???

? ??-=0110a ???? ??--=01112a ???? ??-=01103

a ???? ??=10014a 又???? ??-=01112

b ???? ??=10013b ???

? ??=1011ab 对任意的整数n ???

? ??≠???? ??=???? ??=10011011011)(n ab n

n 即a 的阶为4，b 的阶为3, ab 的阶为无限。 12．解：不一定

例如：令F 为任意数域，又H ，N, R 分别由以下三种方阵作成的集合：

?????

??000000001a ?????

??000000021a a ???

?

? ?

?654321

00a a a a a a 其中F a i ∈ 很明显对方阵普通加法与乘法R 作成环，且N 是R 的理想，H 是N 的理想，但是：

H ????

?

?

??=????? ??????? ??000000100000100000000000010 故H 不是R 的理想。