中考数学动点专题
中考数学动点压轴题
中考数学专题复习：动点压轴题1．ABC 中，90B ∠=︒，5cm AB =，6cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =________，PB =________（用含t 的代数式表示）；(2)是否存在t 的值，使得PBQ △的面积等于24cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16cm ，BC ＝8cm 动点P 从点C 出发沿着CB 方向以2cm /s 的速度向点B 运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 方向以4cm /s 的速度向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点即停止运动，设运动时间为t （s ）．(1)当t 为多少秒时，以P 、C 、Q 为顶点的三角形和△ABC 相似？(2)当t 为多少秒时，△PCQ 的面积是△ACB 面积的143．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ，（用含t 的代数式表示）(2)当t 为几秒时，PBQ △的面积等于25cm ？(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．4．如图①，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 由A 点出发以1cm /s 的速度向终点C 匀速移动，同时点Q 由点C 出发以2cm /s 的速度向终点B 匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．(1)填空：在______秒时，△PCQ 的面积为△ACB 的面积的38；(2)经过几秒，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？(3)如图②，D 为AB 上一点，且AD AC =，运动时间t 为多少时，CD PQ ⊥？5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3:3(0)4=-+>AB y x b b 与x 轴，y 轴分别交于B 点、A 点，点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点A开始沿AO 边向终点O 以1厘米/秒的速度移动．若点P ，Q 同时出发，运动时间为t 秒．(1)当5s =t 时，①P 点的坐标__________；（用b 来表示）②当APQ 为直角三角形时，求b 的值；(2)当APQ 的面积为8平方厘米时，求b 与t 的数量关系．6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=︒，10cm AB AD ==，8cm BC =．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P 、Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)求CD 的长；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，菱形ABCD 中，5AB =cm ，6AC =cm ，动点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s ．过点P 做PM BC ∥，过点B 做BM PM ⊥，垂足为M ，连接QP ．设运动时间为t （s ）()05t <<．解答下列问题：(1)菱形ABCD 的高为______cm ，cos ABC ∠的值为______；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使四边形MPQB 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在某一时刻t ，使四边形MPQB 的面积是菱形ABCD 面积的225若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t ，使点M 在PQB ∠的角平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 匀速移动，它们的速度都是2cm/s ，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P 的运动时间为t s ，解答下列问题：(1)求△ABC 的面积；(2)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？(3)是否存在t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝8cm ，点P 以1cm/s 的速度沿DA 向终点A 运动；同时点Q 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向终点A 运动；当一个点到达终点时，另一个点同时停止运动．设点P 的运动时间为t ()s ，线段PQ 扫过的面积2(cm )y ．(1)AQ ＝cm （用含t 的代数式表示）；(2)求y 与t 之间的函数关系式；(3)当线段PQ 扫过的面积为矩形ABCD 面积的38时，求t 的值．10．如图，以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点，使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动．点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发．运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止．(1)点A 坐标为；(2)当t ＝2时，S △OPQ ＝；当t ＝3时，S △OPQ ＝；(3)当t ＝2时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，若能找到请直接写出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由．(4)设△OPQ 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式．11．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：(1)点Q 运动多少秒时，△APQ 的面积为5cm 2；(2)当t 为何值时，△QAP 与△ABC 相似？12．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 出发沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿边BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，当点P 运动到点B 后，运动停止，设运动时间为x （s ）．(1)BP =______cm ，CQ =______cm （用含x 的式子表示）；(2)若PQ =时，求x 的值；(3)当x 为何值时，DPQ V 将成为以DP 为斜边的直角三角形．13．如图所示，在△ABC 中，∠C =30°，BC =20，AC =16，E 为BC 中点．动点P 从点B 出发，沿BE 方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q 从点C 出发，沿CE 方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．过点P 作PD //AC ，交AB 于D ，连接DQ ，设点P 运动的时间为t （s ）．（0<t <10）(1)当t ＝3时，求PD 的长；(2)设△DPQ 面积为y ，求y 关于t 的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使S △DPQ ：S △ABC ＝3：25？若存在，请求出t 的值；如果不存在，请说明理由．14．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC BC ==cm ．点D 从A 出发沿AC 以1cm/s 的速度向点C 移动；同时，点F 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，移动过程中始终保持DE CB ∥（点E 在AB 上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t （s ）（其中0t ≠）．(1)当t 为何值时，四边形DEFC 的面积为182cm ？(2)是否存在某个时刻t ，使得DF BE =，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．(3)点E 是否可能在以DF 为直径的圆上？若能，求出此时t 的值，若不能，请说明理由．15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =8cm ，CD =2cm ，AD =6cm ．点P 从A 点出发，以2cm /s 的速度沿AB 向B 点运动（运动到B 点即停止）；点Q 从C 点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．16．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．17．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．（1）当x 为何值时，△PBQ 的面积等于12cm 2；（2）当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与△BDC 相似18．如图，,,,A B C D 为矩形的四个顶点，16cm,6cm AB AD ==，动点,P Q 分别从点,A C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 点为止，点Q 以2m/s 的速度向D 点移动，当点P 到达B 点时点Q 随之停止运动，（1）AP =，BP =，CQ =，DQ =(用含t 的代数式表示）；（2）t 为多少时，四边形PBCQ 的面积为233cm ；（3）t 为多少时，点P 和点Q 的距离为10cm ．19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以4cm /s 的速度移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点都停止运动．设运动时间为t s （t ＞0）．（1）线段BQ ＝cm ，PB ＝cm ；（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，PQ 的长为cm ？（3）是否存在t ，使得五边形APQCD 的面积等于99cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.点M从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点运动；同时点N从B点出发沿BC以2cm/s的速度向C点运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点M、N的运动时间为t秒.（1）当t为何值时，MN29cm？（2）当t为何值时，MN的长度最短，最短长度是多少？（3）当t为何值时，△DMN为等腰三角形．参考答案：1．(1)2t ，5t-(2)存在，当1t =时，PBQ △的面积等于24cm 2．(1)当点P 、Q 同时运动2秒或165秒后，△PCQ 与△ACB 相似；(2)当t ＝2s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的14．3．(1)2t ，()6-t ；(2)当1t =时，PBQ △的面积等于25cm ；(3)ABC 面积的23，t 的值为24．(1)3；(2)经过125秒或1811秒，以P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似；(3)运动时间t 为1.2秒时，PQ ⊥CD5．(1)①(44,3)b -；②当APQ ∆为直角三角形时，b 的值为85或2516或83；(2)当APQ ∆的面积为28cm 时，b 与t 的关系式为25200t bt -+=或15310b t -=．6．(1)16CD =；(2)四边形PBQD 的周长为8+(3)满足条件的t 的值为2512秒或5秒7．(1)245cm ，725(2)存在，当12532t =时，四边形MPQB 为平行四边形，理由见详解；(3)存在，当12536t -=时，四边形MPQB 的面积是菱形ABCD 面积的225，理由见详解；(4)不存在，理由见详解8．(1)2(2)1t =或2t =(3)不存在9．(1)82t-(2)28y t t =-(3)2t =10．(1)（3，2(3)点M的坐标为（0，）或（0，19）或（00，0，﹣(4)S()()2202231835ttt⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪⎫+≤⎪⎪⎭⎪⎩＜＜11．(1)1或5秒(2)3或1.212．(1)(6)x-，(122)x-(2)10.4x=或22x=(3)当x为1.5或6时，DPQV是以DP为斜边的直角三角形13．(1)125(2)()2240105y t t t=-+<<(3)4t=或6t=14．(1)4t=(2)不存在(3)能，103t=15．(1)梯形ABCD的高为，∠A=60°(2)53t=(3)存在t为92s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半16．（1）当x＝107或2513秒时，△APQ与△ACB相似；（2）109x=；（3）存在x使线段PQ恰好把△ABC的面积平分17．（1）2或6；（2）247或218．（1）AP=3t，BP=16-3t，CQ=2t，DQ=16-2t；（2）5；（3）85s或4.8s．19．（1）（10−2t）；4t；（2）t＝1秒（3）t＝32秒或t＝72秒20．（1）t＝1s或75s；（2）t＝65s；（3）t＝(8－)s或t＝(18)s。
中考数学动点问题(含答案)
中考数学之动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停顿，设点P运动的路程为*，△ABP的面积为y，如果y关于*的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是〔〕A、10B、16C、18D、20二、填空题：1. 如上右图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________〔把你认为正确的序号都填上〕。
三、解答题：1．〔2008年大连〕如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PM∥AB，交BC、C H于点M、Q．以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN，直线MN交直线AB于点E，直线PN交直线A B于点F．设PD的长为*，EF的长为y．⑴求PM的长(用*表示)；⑵求y与*的函数关系式及自变量*的取值范围(图13为备用图)；⑶当点E在线段AH上时，求*的取值范围(图14为备用图)．2.〔2008年福建宁德〕如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时0＜x＜，△DCQ的8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为*秒()8面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．⑴求y1与*的函数关系，并在图2中画出y1的图象；⑵如图2，y2的图象是抛物线的一局部，其顶点坐标是〔4，12〕，求点P的速度及AC的长；⑶在图2中，点G是*轴正半轴上一点〔0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于*轴，分别交y1、y2于点E、F．①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜*＜６时，求线段EF长的最大值．3.〔2008年白银〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为〔4，3〕．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿*轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t 〔秒〕． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t=秒或秒时，MN=21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？假设有，求出最大值；假设没有，要说明理由．参考答案一、选择 A二、填空：〔1〕〔2〕〔3〕〔5〕 三、解答： 2、解：⑴∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝*， ∴x y 231=． 图象如下图．⑵方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*， ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是〔4，12〕，∴12444212=⋅+⋅-k k ． 解得23=k ．图1C Q → B图2则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米． 方法二：观察图象知，当*=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ．解得23=k ． 则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2． ∵图象过〔0，0〕，〔4，12〕，〔8，0〕，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，， ∴x x y 64322+-=． ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －*k ，CQ ＝*，∴kx kx y 42122+-=． ②比拟①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．⑶①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差〔或△PDQ 面积〕． ②由⑵得 x x y 64322+-=.〔方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=〕∵EF ＝y 2－y 1， ∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大． 3、解：(1)〔4，0〕，〔0，3〕； 2分 (2) 2，6； 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =t 43，S=283t ． 6分 当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4． 方法一：由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4． 8分S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21〔8-t 〕〔6-t 43〕-)4(23-t =t t 3832+-． ·························· 10分方法二：易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ．7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 43，∴ AM =)4(43-t ．8分 以下同方法一． (4) 有最大值．方法一： 当0＜t ≤4时，∵ 抛物线S=283t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； 11分当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下，它的顶点是〔4，6〕，∴ S ＜6． 综上，当t=4时，S 有最大值6． 12分 方法二：∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如下图． 11分显然，当t=4时，S有最大值6． 12分说明：只有当第〔3〕问解答正确时，第〔4〕问只答复"有最大值〞无其它步骤，可给1分；否则，不给分．。
中考数学几何题(典型动点问题)
OECB DAα lO CBA（第3题图）动点问题一1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．C（第2题图）3、如上图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．4、（09天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且B D OB '∥，求此时点C 的坐标．5、如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD. （1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，求出点P 坐标；若不存在说明理由.P。
专题28 动点综合问题(共32题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题28动点综合问题（32题）1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，1068AB BC AC ===，，，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M 、作PN BC ⊥于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t （秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为（）A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,55⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在Rt ABC △中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（）A ．1552B ．427C ．17D ．533．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）．．．．（2023·黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）如图，在正方形ABCD 同时出发，沿射线AB 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接动的路程为(0x x ≤≤，下列图像中能反映S A ．．．．5．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点运动的路程为x ，PB PC，图2是点P 运动时关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（A ．6B ．3C ．43236．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的O 上两动点，且2CD =，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，PAB 面积的最大值是（）A ．8B ．6C ．4D ．37．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A．10B．910C 9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点P是等边AP BP CP为边的三角形中，最小内角的大小为（段,,A．14︒B．16︒C 10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形→匀速运动，运动到点C时停止．设点发沿AB BC象如图2所示，则点M的坐标为（）4,23B．()4,4A．()11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在∥交AC于点E；过点D作DF∥DE AB的面积，则一定能求出（上的点，2DM ME=．若已知CMNA．AFE△的面积C ．BCN △的面积D ．DCE △的面积12．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E 是线段AB 上一点，ADE V 和BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点．若4AB =，则下列结论错误．．的是（）A ．PA PB +的最小值为33B ．PE PF +的最小值为23C ．CDE 周长的最小值为6D ．四边形ABCD 面积的最小值为33二、填空题13．（2023·四川达州·统考中考真题）在ABC 中，43AB =，60C ∠=︒，在边BC 上有一点P ，且12BP AC =，连接AP ，则AP 的最小值为___________．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，E 为AB 边上一点，以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D ，连接AD ，3,35BE BD ==．P 是AB 边上的动点，当ADP △为等腰三角形时，AP 的长为_____________．15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点A B 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．16．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上17．（2023·河南·统考中考真题）以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形B C D A→→→运动．运动过程中，线段CB'19．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为，的中点，则N分别是EF AF20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形点E在线段BC上运动，点21．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=___________．22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，点E 是AD 上一动点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE ' ，当点A '恰好落在EC 上时，DE 的长为______．24．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________25．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线段AB 上一动点，点H 是直线BE DF +取最小值时，3BH 三、解答题26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．28．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．29．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB 的边OC 在x 轴上，60AOC ∠=︒，OC 的长是一元二次方程24120x x --=的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线OB 于点D ，直线AD 分别交x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OD 向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间t 的函数关系式．(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．30．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB ，长度为1m 的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m /s ，滑动开始前滑块左端与点A 重合，当滑块右端到达点B 时，滑块停顿2s ，然后再以小于9m /s 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A 重合，滑动停止．设时间为()s t 时，滑块左端离点A 的距离为()1m l ，右端离点B 的距离为()2m l ，记12,d l l d =-与t 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 4.5s t =和5.5s 时，与之对应的d 的两个值互为相反数；滑块从点A 出发到最后返回点A ，整个过程总用时27s （含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：(1)滑块从点A 到点B 的滑动过程中，d 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）(2)滑块从点B 到点A 的滑动过程中，求d 与t 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若18d =，求t 的值．31．（2023·天津·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点(3,0),(0,1),(23,1)A B D ，矩形EFGH 的顶点1130,,3,,0,222E F H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．32．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点，P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系(1)初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______；②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．。
中考数学动点问题专题讲解
专题一：建立动点问题的函数解析式36xPHOP--236211x -2222233621419xxx MHPH+-++N G P O B xy∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)(3)△△PGH 是等腰三角形有三种可能情况是等腰三角形有三种可能情况: : ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . . 经检验经检验经检验, , 6=x 是原方程的根是原方程的根,,且符合题意且符合题意. .②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . . 经检验经检验经检验, , 0=x 是原方程的根是原方程的根,,但不符合题意但不符合题意. . ③PH=GH 时,2=x .综上所述综上所述,,如果△如果△PGH PGH 是等腰三角形是等腰三角形,,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例例2（2006年²山东）如图2,2,在△在△在△ABC ABC 中,AB=AC=1,,AB=AC=1,点点D,E 在直线BC 上运动上运动..设BD=,x CE=y . (1) (1)如果∠如果∠如果∠BAC=30BAC=30BAC=30°°,∠DAE=105DAE=105°°,试确定y 与x 之间的函数解析式；之间的函数解析式； (2) (2)如果∠如果∠如果∠BAC BAC 的度数为a ,∠DAE 的度数为b ,当a ,b 满足怎样的关系式时满足怎样的关系式时,(1),(1),(1)中中y 与x 之间的函数解析式还成立数解析式还成立??试说明理由试说明理由. .解:(1):(1)在△在△在△ABC ABC 中,∵AB=AC,AB=AC,∠∠BAC=30BAC=30°°,∴∠∴∠ABC=ABC=ABC=∠∠ACB=75ACB=75°°, , ∴∠∴∠∴∠ABD=ABD=ABD=∠∠ACE=105ACE=105°°. ∵∠∵∠BAC=30BAC=30BAC=30°°,∠DAE=105DAE=105°°, , ∴∠∴∠∴∠DAB+DAB+DAB+∠∠CAE=75CAE=75°°, 又∠又∠DAB+DAB+DAB+∠∠ADB=ADB=∠∠ABC=75ABC=75°°, ∴∠∴∠CAE=CAE=CAE=∠∠ADB, ∴△∴△ADB ADB ADB∽△∽△∽△EAC, EAC, EAC, ∴∴ACBD CEAB =,∴11xy =, , ∴∴x y 1=.(2)(2)由于∠由于∠由于∠DAB+DAB+DAB+∠∠CAE=a b -,又∠又∠DAB+DAB+DAB+∠∠ADB=ADB=∠∠ABC=290a-°,且函数关系式成立函数关系式成立, ,∴290a-°=a b -, , 整理得整理得=-2a b °90. 当=-2a b °90时,函数解析式xy 1=成立成立. .例3(2005年²年²上海上海上海))如图3(1),3(1),在△在△在△ABC ABC 中,∠ABC=90ABC=90°°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点上的一个动点,,以点O 为圆心作半圆为圆心作半圆,,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.E.作作EP EP⊥⊥ED,ED,交射线交射线AB 于点P,P,交射线交射线CB 于点F.(1)(1)求证求证求证: : : △△ADE ADE∽△∽△∽△AEP. AEP.(2)(2)设设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式的函数解析式,,并写出它的定义域义域. . (3) (3)当当BF=1时,求线段AP 的长的长. . 解:(1):(1)连结连结OD.根据题意根据题意,,得OD OD⊥⊥AB,AB,∴∠∴∠∴∠ODA=90ODA=90ODA=90°°,∠ODA=ODA=∠∠DEP.又由OD=OE,OD=OE,得得∠ODE=ODE=∠∠OED.∴∠∴∠ADE=ADE=∠AEP, AEP, ∴∴△ADE ADE∽△∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠A E D C B 图 2●P D E A C B 3(2) O F O ●F P D E A C B 3(1) ADO=90ADO=90°°, , ∴∴OD OD∥∥BC, BC, ∴∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. . ∴∴AE=x x53+=x 58. ∵△∵△ADE ADE ADE∽△∽△∽△AEP, AEP, AEP, ∴∴AE ADAP AE=, , ∴∴xx yx585458=. . ∴∴x y 516=(8250£<x ).(3)(3)当当BF=1时，时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,F,如图如图3(1)3(1)，则，则CF=4.∵∠∵∠ADE=ADE=ADE=∠∠AEP, AEP, ∴∠∴∠∴∠PDE=PDE=PDE=∠∠PEC. PEC. ∵∠∵∠∵∠FBP=FBP=FBP=∠∠DEP=90DEP=90°°, , ∠∠FPB=FPB=∠∠DPE,∴∠∴∠F=F=F=∠∠PDE, PDE, ∴∠∴∠∴∠F=F=F=∠∠FEC, FEC, ∴∴CF=CE. ∴5-x 58=4,=4,得得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,F,如图如图3(2), 3(2), 则则CF=2. 类似①类似①,,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,=2,得得815=x .可求得6=y ,即AP=6.综上所述综上所述, , , 当当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年²上海）如图,在△在△ABC ABC 中,∠BAC=90BAC=90°°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.1.若点若点O 在BC 边上运动运动((与点B 、C 不重合不重合),),),设设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)(1)求求y 关于x 的函数解析式的函数解析式,,并写出函数的定义域并写出函数的定义域. .(2)(2)以点以点O 为圆心为圆心,BO ,BO 长为半径作圆O,O,求当⊙求当⊙求当⊙O O 与⊙与⊙A A 相切时相切时, , △AOC 的面积的面积. .解:(1):(1)过点过点A 作AH AH⊥⊥BC,BC,垂足为垂足为H.∵∠∵∠BAC=90BAC=90BAC=90°°,AB=AC=22, , ∴∴BC=4,AH=21BC=2. BC=2. ∴∴OC=4-x . ∵AH OC SAOC×=D 21, , ∴∴4+-=x y (40<<x ). (2)(2)①当⊙①当⊙①当⊙O O 与⊙与⊙A A 外切时外切时, ,在Rt Rt△△AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, , ∴∴222)2(2)1(x x -+=+. . 解得解得67=x .此时此时,,△AOC 的面积y =617674=-.②当⊙②当⊙O O 与⊙与⊙A A 内切时内切时, , 在Rt Rt△△AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , , ∴∴222)2(2)1(-+=-x x . . 解得解得27=x .此时此时,,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述综上所述,,当⊙当⊙O O 与⊙与⊙A A 相切时相切时,,△AOC 的面积为617或21.A B C O 图8 H FABED专题二：动态几何型压轴题2x321017217ABCDEOlA ′ABCDEO lF 392+x 9412+x x 9+339412+x 3F GE AB D图3-2K F GE KF G E FGE U KFG EF GE AAA AA D D D DB D A BF MN332OBACOBACGFED CBAAD O33333COCOC1O则PC BP的值为的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）23 （D ）26分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，因此可以取一个特殊位置进行研究，当点P 满足PB ⊥AB 时，可以通过计算得出PB=221322=-BC ³AP=BP ³AB ，因此，因此BC=62462288162822==+=+´BPAB BP AB ， 在三角形BPC 中，PC=36222=-BC BP，所以，PC BP=3选（B ）当然，本题还可以根据三角形相似得BP APPCBP=，即可计算出结论。
(中考数学)动点问题专题训练(含答案)
中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =． 点P 从点B 出发， 在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动， 与此同时， 垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发， 以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移， 分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时， 点P 与直线m 同时停止运动， 设运动时间为t 秒(0)t >．（1） 当2t =时， 连接DE 、DF ，求证： 四边形AEDF 为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF ∆的面积存在最大值， 当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3） 是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在， 请求出此时刻t 的值；若不存在， 请说明理由 ．【解答】（1） 证明： 当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点， 如答图 1 所示 ． 又EF AD ⊥ ，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC = ，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形 ．（2） 解： 如答图 2 所示， 由 （1） 知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， ∴EF AH BC AD =，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<< ， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值， 最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3） 解： 存在 ． 理由如下：①若点E 为直角顶点， 如答图 3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，∴PE BP AD BD =，即2385t t =，此比例式不成立， 故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点如答图 3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，∴PF CP AD CD =，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图③所示 ．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM FN DH t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，∴EM BM AD BD =，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中， 由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，∴FN CN AD CD =，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中， 由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中， 由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍 去） 280183t ∴=． 综上所述， 当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形 ．例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板Rt ABC ∆和Rt ADC ∆拼在一起，使斜边AC 完全重合， 且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，90ABC ADC ∠=∠=︒，30CAD ∠=︒，4AB BC cm ==（1） 填空：AD = )cm ，DC = ()cm（2） 点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发， 且分别在AD ，CB 上沿A D →，C B →方向运动， 当N 点运动到B 点时，M 、N 两点同时停止运动， 连接MN ，求当M 、N 点运动了x 秒时， 点N 到AD 的距离 （用 含x 的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取DC 中点P ，连接MP ，NP ，设PMN ∆的面积为2()y cm ，在整个运动过程中，PMN ∆的面积y 存在最大值， 请求出y 的最大值 ．（参考数据sin 75︒=sin15︒=【解答】解： （1）90ABC ∠=︒ ，4AB BC cm ==，AC ∴===，90ADC ∠=︒ ，30CAD ∠=︒，12DC AC ∴==，AD ∴==；故答案为：，；（2） 过点N 作NE AD ⊥于E ，作NF DC ⊥，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE DF =，90ABC ADC ∠=∠=︒ ，AB BC =，30CAD ∠=︒，45ACB ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，180456075NCF ∴∠=︒-︒-︒=︒，15FNC ∠=︒，sinFC FNCNC ∠=，NC x=，FC x∴=，NE DF x∴==+，∴点N到ADx+；（3）sinFN NCFNC ∠=，FN x∴=，P为DC的中点，PD CP∴==PF x∴=PMN∴∆的面积y=梯形MDFN的面积PMD-∆的面积PNF-∆的面积111)) 222x x x x=+-+--+2x x=+，即y是x的二次函数，0<，y∴有最大值，当x==时，y=．例3. 如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，2BC =，边BC 在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO BD ⊥，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1） 请直接写出线段BC 在平移过程中， 四边形APQD 是什么四边形？（2） 请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设OPB y S ∆=，(02)BP x x =……，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值 ．【解答】（1） 四边形APQD 为平行四边形；（2）OA OP =，OA OP ⊥，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC PQ ∴==，45ABO OBQ ∠=∠=︒，OQ BD ⊥ ，45PQO ∴∠=︒，45ABO OBQ PQO ∴∠=∠=∠=︒，OB OQ ∴=，在AOB ∆和OPQ ∆中，AB PQABO PQO BO QO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOB POQ SAS ∴∆≅∆，OA OP ∴=，AOB POQ ∠=∠，90AOP BOQ ∴∠=∠=︒，OA OP ∴⊥；（3） 如图， 过O 作OE BC ⊥于E ．①如图 1 ，当P 点在B 点右侧时，则2BQ x =+，22x OE +=， 1222x y x +∴=⨯，即211(1)44y x =+-， 又02x ……，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ；②如图 2 ，当P 点在B 点左侧时，则2BQ x =-，22x OE -=， 1222x y x -∴=⨯ ，即211(1)44y x =--+， 又02x ……，∴当1x =时，y 有最大值为14； 综上所述，∴当2x =时，y 有最大值为 2 ．例4. 如图， 在平面直角坐标系中，O 为原点， 四边形ABCO 是矩形， 点A ，C 的坐标分别是(0,2)A 和C ，0)，点D 是对角线AC 上一动点 （不 与A ，C 重合） ，连结BD ，作DE DB ⊥，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ．（1） 填空： 点B 的坐标为 ；（2） 是否存在这样的点D ，使得DEC ∆是等腰三角形？若存在， 请求出AD 的长度；若不存在， 请说明理由；（3）①求证：DE DB =； ②设AD x =，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式 （可 利用①的结论） ，并求出y 的最小值 ．【解答】解： （1） 四边形AOCB 是矩形，2BC OA ∴==，OC AB ==90BCO BAO ∠=∠=︒，B ∴2)．故答案为2)．（2） 存在 ． 理由如下：2OA = ，OC =，tan AO ACO OC ∠== ， 30ACO ∴∠=︒，60ACB ∠=︒①如图 1 中， 当E 在线段CO 上时，DEC ∆是等腰三角形， 观察图象可知， 只有ED EC =，30DCE EDC ∴∠=∠=︒，60DBC BCD ∴∠=∠=︒，DBC ∴∆是等边三角形，2DC BC ∴==，在Rt AOC ∆中，30ACO ∠=︒ ，2OA =，24AC AO ∴==，422AD AC CD ∴=-=-=．∴当2AD =时，DEC ∆是等腰三角形 ．②如图 2 中， 当E 在OC 的延长线上时，DCE ∆是等腰三角形， 只有CD CE =，15DBC DEC CDE ∠=∠=∠=︒，75ABD ADB ∴∠=∠=︒，AB AD ∴==，综上所述， 满足条件的AD 的值为 2 或（3）①如图 1 ，过点D 作MN AB ⊥交AB 于M ，交OC 于N ，(0,2)A 和C ，0)，∴直线AC 的解析式为2y x =+，设(,2)D a +，2DN ∴=+，BM a =90BDE ∠=︒ ，90BDM NDE ∴∠+∠=︒，90BDM DBM ∠+∠=︒，DBM EDN ∴∠=∠，90BMD DNE ∠=∠=︒ ，BMD DNE ∴∆∆∽，∴DE DN BD BM ===②如图 2 中， 作DH AB ⊥于H ．在Rt ADH ∆中，AD x = ，30DAH ACO ∠=∠=︒，1122DH AD x ∴==，AH x ==，BH x ∴=， 在Rt BDH ∆中，BD ==，DE ∴==， ∴矩形BDEF的面积为22612)y x x ==-+，即2y x =-+，23)y x ∴=-+，0>，3x ∴=时，y ．例5. 已知Rt OAB ∆，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，斜边4OB =，将Rt OAB ∆绕点O 顺时针旋转60︒，如图 1 ，连接BC ．（1） 填空：OBC ∠= 60 ︒；（2） 如图 1 ，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3） 如图 2 ，点M ，N 同时从点O 出发， 在OCB ∆边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点M 的运动速度为 1.5 单位/秒， 点N 的运动速度为 1 单位/秒， 设运动时间为x 秒，OMN ∆的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：OB OC =，60BOC ∠=︒，OBC ∴∆是等边三角形，60OBC ∴∠=︒．故答案为 60 ．（2） 如图 1 中，4OB = ，30ABO ∠=︒，122OA OB ∴==，AB ==11222AOC S OA AB ∆∴==⨯⨯=BOC ∆ 是等边三角形，60OBC ∴∠=︒，90ABC ABO OBC ∠=∠+∠=︒，AC ∴==2AOC S OP AC ∆∴===．（3）①当803x <…时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则sin 60NE ON x =︒= ，11 1.522OMN S OM NE x x ∆∴==⨯ ，2y x ∴=．83x ∴=时，y 有最大值， 最大值=． ②当843x <…时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动 ．作MH OB ⊥于H ． 则8 1.5BM x =-，sin 60 1.5)MH BM x =︒=- ，212y ON MH x ∴=⨯⨯=+．当83x =时，y 取最大值，y < ③当4 4.8x <…时，M 、N 都在BC 上运动， 作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==，12y MN OG ∴== ，当4x =时，y 有最大值， 最大值=，综上所述，y 有最大值， ．。
中考数学压轴题专题-动点综合问题
专题15动点综合问题【考点1】动点之全等三角形问题【例1】1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【变式1-1】已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E 、F 满足BE ＝OF （如图），且AE ⊥BF 时，问点E 在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E 、F 满足BE ＝CF （如图），写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将△ABC 和△EDF 按如图②的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）．（1）当t ＝2时，S △AQF ＝3S △BQC ，则a ＝；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△BQC 全等时，求a 的值；（3）如图③，在动点P 、Q 出发的同时，△ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△EFQ 全等时，求a 与t 的值．【考点2】动点之直角三角形问题【例2】如图，在四边形纸片ABCD 中，//AB CD ，60A ∠=︒，30B ∠=︒，2CD =，4BC =，点E 是AB 边上的动点，点F 是折线A D C --上的动点，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点A '落在AB 边上，连接A C '，若A BC ' 是直角三角形，则AE 的长为________．【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ.①求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值；②是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式2-2】如图，在矩形OAHC 中，8,12OC OA ==，B 为CH 中点，连接AB .动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接,,CM CN MN ，设运动时间为t （秒）(010)t <<.则t =_____时，CMN ∆为直角三角形【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，10cm AB =，6cm BC =．若点P 是直径AB 上一动点，当PBC 是等腰三角形时，AP =__________cm ．【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.（1）当1x =时，求BP 长；（2）如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=o ，求证：CEQ ∆为等腰三角形；（3）若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B （-3，0）和点C （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；（3）点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点．（1）求m b 、的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值．【考点4】动点之相似三角形问题【例4】如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，求AP的长．【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝3 4AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【变式4-2】如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足2PAO PCO S S ∆∆=，求出P 点的坐标；（3）连接BC ，点E 是x 轴一动点，点F 是抛物线上一动点，若以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．备用图【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．（1）如图1，当点与点重合时，________°；（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为()8,0（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线1y m=，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（0t>）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，AOB∆的顶点O是坐标原点，点A坐标为()1,3，A、B两点关于直线y x=对称，反比例函数()0ky xx=>图象经过点A，点P是直线y x=上一动点.（1）B点的坐标为______；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是线段OP 上一点（O 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE QF QB ++的值最小时，求出Q 点坐标.【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A 、C 、A′三点．（1）求A 、A′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．【变式6-1】（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC =α，AB b =(0)a b >>，当点A 位于时，线段AC 的长取得最大值，最大值为（用含,a b 的式子表示）；（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，2AC =，以AB 为边作等边ABD ∆，连接CD ，求线段CD 的最大值；（3）拓展：如图3，线段3AB =，点P 为线段AB 外一动点，且2AP =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时PBM ∆的面积．【变式6-2】如图，矩形ABCD 中，3,4AD AB ==，点P 是对角线AC 上一动点（不与A C 、重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，以线段,PE PB 为邻边作矩形BPEF ，过点P 作GH CD ⊥。
初中数学中考动点复习(例题和答案)
A CQ图9—1图9—2AB C QP初中数学动点复习（例题和答案）例1．如图9—1，在△ABC 中，∠B ＝90°, AB ＝6cm ，BC ＝3cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒钟后P 、Q 间的距离等于42cm?（1995年山东省中考试题）分析：本题如果设t 秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ，那么PB 、QB 都能用t 来表示，根据勾股定理，可以列出关于t 的方程求解．解：设t 秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ． 则PB ＝（6－t ）cm ，QB ＝2t cm ．根据勾股定理，得（6－t ）2＋（2t ）2＝（42）2．解这个方程，得t 1＝52，t 2＝2．因为点Q 从点B 开始沿BC 边移动到点C 以只需要1.5秒，所以只取t ＝52．答：52秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置关系：PQ ＝42cm ，直接利用勾股定理，建立方程模型解决问题．例2．如图9—2，在△ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝8 cm ，sin B ＝53，点P 从点B 开始沿BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发，第几秒时PQ ∥AB ?（1997年陕西省咸阳市中考试题）分析：如图9—2，假设运动开始后t 秒时，PQ ∥AB 根据这时图形的特殊位置，利用平行线分线段成比例定理求解．解: 设P 、Q 分别从B 、C 同时出发，运动开始后t 秒时，PQ ∥AB ． 则ACAQ BC BP =． ∵sin B ＝53，∴cos B ＝54，tg B ＝43．∴AC ＝BC ·tg B ＝8·43＝6． ∴BP ＝2t ，AQ ＝AC －QC ＝6－t ．∴6682tt -=．图9—3A 图9—4BQ P 解得 t ＝2.4(s )．∴P 、Q 分别从B 、C 同时出发，运动开始后2.4 s 时，PQ ∥AB ．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置PQ ∥AB ，利用平行线分线段成比例定理求解． 例3．如图9—3，已知：在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发．设S 表示面积，x 表示移动时间（x ＞0）．（1）几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）写出S △DPQ 与x 的函数关系式； （3）求出S △DPQ 最小值和S △DPQ 最大值，并说明理由．（1998年湖北省襄樊市中考试题）分析：点P 、Q 在运动过程中，x 在变，S △DPQ 也在变，而S △DPQ 与x 之间可以根据条件列出方程或函数关系式求解．解：（1）根据题意，得21·2x ·（6－x ）＝8． 即 x 2－6x +8＝0． 解得 x 1＝2，x 2＝4．所以2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8cm 2． （2）S △DPQ ＝S 四边形ABCD －S △APD －S △PBQ －S △DCQ＝12·6－21·x ·12－21·6·（12－2x ）－21·（6－x ）·2x ＝ x 2－6x +36．（3）S △DPQ ＝ x 2－6x +36＝（x －3）2+27．∴S △DPQ 的最小值是27，S △DPQ 的最大值是36．∵当|x －3|最小时，S △DPQ 有最小值；当| x －3|最大时，S △DPQ 有最大值， 又∵0＜x ≤6，∴当x ＝3时，S △DPQ 有最小值；当x ＝6时，S △DPQ 有最大值．说明：本题第（1）小题是利用方程模型求解，它是P 、Q 运动过程中，△PBQ 处于特殊位置；而第（2）、(3)小题是利用函数模型求解．另外，在几何图形中求函数关系式，问题具有一定的实际意义，因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需有约束条件．例4．如图9—4，在△ABC 中，AB ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？（1998年江苏省宿迁市中考试题）分析：在P 、Q 分别从A 、B 同时出发运动的过程中，可能有两种状态出现：（1）BC BQ AB PB =；（2）AB BQ BC PB =． 因此，这两种情况都要考虑．解：设P 、Q 分别从A 、B 同时出发后，经 x s ，△PBQ 与△ABC 相似． 则AP ＝2x ，BQ ＝4x ，PB ＝8－2x ．（1）如果BC BQ AB PB =，那么可得164828xx =-． 解得 x ＝2．（2）如果AB BQ BC PB =，那么可得841628xx =-． 解得 x ＝54． 所以经过2 s 钟或54s 钟，△PBQ 与△ABC 都相似．说明：本题是一道需要讨论的质点运动型中考题，即在P 、Q 分别从A 、B 同时出发运动的过程中，有两种情况使△PBQ 与△ABC 相似．例5．如图9—5，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/ s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？（2002年河北省中考试题）分析：（1）只要把QA 、AP 用含t 的代数式表示，利用QA ＝AP 求解；（2）可以分别求出△QAC 和△APC 的面积；（3）同例4一样，要分两种情况求解．解：（1）对于任何时刻t ，AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ． 当QA ＝AP 时，△QAP 为等腰直角三角形． 即6－t ＝2t ．解得t ＝2（秒）．所以当t ＝2秒时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA ＝6－t ，QA 边上的高DC ＝12，∴S △QAC ＝21QA •DC ＝21（6－t ）•12＝36－6t ． ∵在△APC 中，AP ＝2t ，BC ＝6，A CB QD P 图9—5A 图9—6BCD A 图9—7 B C D F E∴S △APC ＝21AP •BC ＝21•2t •6＝6t ． ∴S 四边形QAPC ＝S △QAC ＋S △APC ＝36－6t ＋6t ＝36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点的移动过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可以提出：P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来求解：当BCAP ABQA =时，△QAP ∽△ABC ．∴62126tt =-． 解得t ＝1.2（s ）．∴当t ＝1.2 s 时，△QAP ∽△ABC ．当AB AP BCQA =时，△PAQ ∽△ABC ．∴122126t t =-．解得t ＝3（秒）．∴当t ＝3 s 时，△PAQ ∽△ABC ．例6．如图9—6，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC ＝2cm ．现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2cm/s 的速度向点C 运动．设点E 离开点的B 时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，线段EF 和BC 平行？（2）设1＜t ＜2，当t 为何值时，EF 与半圆相切？（3）当1≤t ＜2时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP :PC 的值．（2001年南昌市中考试题）分析：（1）当EF ∥BC 时，四边形BCFE 是矩形；（2）线段EF 与半圆相切时，EF ＝ BE+CF ，可以过点F 作KF ∥BC 交AB 于K ，构造直角三角形求解；（3）可以利用正方形ABCD 中的不变关系AB ∥DC ，通过△AEP ∽△CFP 求解．解：（1）如图9—7，设E 、F 出发后运动了t s 时，有EF 和BC 平行． 则BE ＝ t ，CF ＝4-2t ． ∴t ＝4-2t ．解得t ＝34．∴当t ＝34 s 时，线段EF 和BC 平行．（2）设E 、F 出发后运动了t 秒时，EF 与半圆相切． 过点F 作KF ∥BC 交AB 于K ．如图9—8．则A 图9—8BCD FE K A 图9—9 BC D F E P BE ＝ t ，CF ＝4-2t ，EK ＝ t -（4-2t ）＝3t -4，EF ＝ BE+ CF ＝ t +（4-2t ）＝4-t ． 又∵EF 2＝ EK 2+FK 2， ∴（4-2t ）2＝（3t -4）2+22． 解得t ＝222±．∵1＜t ＜2，∴t ＝222+． ∴当t ＝34 s 时，线段EF 与半圆相切．（3）答：当1≤t ＜2时，点P 的位置不会发生变化． 证明：1≤t ＜2时，设E 、F 出发后运动了t s 时，EF 位置如图9—9所示，则BE ＝ t ，AE ＝2-t ， CF ＝4-2t ．∴FCAE ＝21242=--tt .又∵AB ∥DC ，∴△AEP ∽△CFP . ∴21==FCAE PCAP .即点P 的位置与t 的取值无关．∴1≤t ＜2时，点P 的位置不会发生变化，且AP :PC 的值是21． 练习1．解：（1）运动开始后第x s 钟时，△PBQ 的面积等于8cm 2．根据题意，得21·2x ·（6－x ）＝8．即 x 2－6x +8＝0． 解得 x 1＝2，x 2＝4．所以2 s 或4 s 后△PBQ 的面积等于8cm 2． （2）运动开始后第t s 钟时，S ＝S 矩形ABCD －S △PBQ＝12·6－21·（6－t ）·2t ＝ t 2－6x +72． （3）S ＝t 2－6x +72＝( t －3 )2+63．））所以当t ＝3时，S 最小，S 的最小值是63 cm 2．2．解：当t ＝1 s 时，OE ＝1，AP ＝3． ∴OP ＝28－3＝25． ∵OA ＝OB ，EF ∥OA ， ∴EF ＝EB ＝28－1＝27． ∴S 梯形OPFE ＝2)(OE EF OP +＝21)2725(⨯+＝26．S ＝228328t t -+-＝－2 t 2+28 t＝－2（t －7）2+98．所以当t ＝7 s 时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是98． （2）相似．证明：分别过F 1 、F 2作F 1H 1⊥AP 2，F 2 H 2⊥AP 2，垂足分别为H 1、H 2． ∵∠OAB ＝45°,∴AH 1＝F 1H 1＝t 1，AH 2＝F 2H 2＝t 2． ∴AF 1＝2t 1，AF 2＝2t 2． ∴2121t t AF AF =． 又∵AP 1＝3t 1，AP 2＝3t 2，∴21212133t t t t AP AP ==． ∴2121AF AF AP AP =． ∵∠OAB ＝∠OAB ，∴△AF 1P 1∽△AF 2P 2．3．解：（1）当点Q 在OC 上时，坐标为（x 58，x 56），当点Q 在CB 上时，坐标为（2 x －1，3）．（2）①点Q 所经过的路程为16－x ，速度为xx-16． ②当Q 在OC 上时，作QM ⊥OA ，垂足为M ．则QM ＝53（16－x ）．） ） ∴S △OPQ ＝21·53（16－x ）·x 103 x （16－x ）． 令103x （16－x ）＝18． 解得x 1＝10，x 2＝6．∵当x 1＝10时，16－x ＝6，这时点Q 不在OC 上，故舍去．∴当Q 在OC 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分． 点Q 在CB 上时，CQ ＝16－x －5＝11－x ． ∴S 梯形OPQC ＝21·（11－x ＋x ）·3＝233． ∵233≠18， ∴点Q 在CB 上时，PQ 不可能同时把梯形OABC 的面积也分成相等的两部分．。
人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形 则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ． 由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =． 在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==． 所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==． 在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++． 整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1【答案】 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +， 那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。
中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案
中考数学高频考点《动点综合问题》专项测试卷-带答案（16道）一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．484．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x 菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中O为原点35OA OB==点C为平面内一动点32BC=连接AC点M是线段AC上的一点且满足:1:2CM MA=．当线段OM取最大值时点M的坐标是（）A．36,55⎛⎫⎪⎝⎭B．365,555C．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D．6125,55510．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC△中动点P从A点运动到B点再到C点后停止速度为2单位/s 其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A155B427C．17D．5311．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中60A∠=︒4AB=动点M N同时从A 点出发点M以每秒2个单位长度沿折线A B C--向终点C运动点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动当其中一点运动至终点时另一点随之停止运动．设运动时间为x秒AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C．D．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P从等边三角形ABC的顶点A出发沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x PByPC图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．43D．23二解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC中①C=90° 点M从点C出发沿CB方向以1cm/s 的速度匀速运动到达点B停止运动在点M的运动过程中过点M作直线MN交AC于点N且保持①NMC=45° 再过点N作AC的垂线交AB于点F连接MF将①MNF关于直线NF对称后得到①ENF已知AC=8cm BC=4cm设点M运动时间为t（s）①ENF与①ANF重叠部分的面积为y（cm2）．（1）在点M的运动过程中能否使得四边形MNEF为正方形？如果能求出相应的t值如果不能说明理由（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围（3）当y取最大值时求sin①NEF的值．AB=点O是对角线AC的中点动点P 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中4cmQ分别从点A B同时出发点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动点Q以2cm/s的速度沿折线-向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M连接QO并延长交折线DA ABBC CD-于点N连接PQ QM MN NP得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（04<<）四边形PQMN的x面积为y（2cm）(1)BP的长为__________cm CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）(2)求y关于x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．(3)当四边形PQMN是轴对称图形时直接写出x的值．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 (3D ()1,1P --．点M 在菱形的边AD 和DC 上运动（不与点A C 重合） 过点M 作MN y ∥轴 与菱形的另一边交于点N 连接PM PN 设点M 的横坐标为x PMN 的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标 分M 的横坐标x 在01 12 23~之间三个阶段 用含x 的代数式表示出PMN 的底和高 进而求出分段函数的解析式 根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上 顶点B C 在x 轴的正半轴上 ∴2AB AD == 3OA =∴()2222231OB AB OA --= ∴123OC OB BC =+=+=∴(3A ()10B , ()3,0C 设直线AB 的解析式为y kx b =+ 将(3A ()10B ,代入 得： 03k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AB 的解析式为33y x =-MN y ∥轴∴N 的横坐标为x（1）当M 的横坐标x 在01之间时 点N 在线段AB 上 PMN 中MN 上的高为1x + ∴(,33N x x ∴(3333MN x x -+∴()()2113313122PMNS MN x x x x =⋅+=⋅+= ∴该段图象为开口向上的抛物线（2）当M 的横坐标x 在12之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中3MN = MN 上的高为1x + ∴()()113313122PMNS MN x x x =⋅+=+=∴该段图象为直线（3）当M 的横坐标x 在23~之间时 点N 在线段BC 上 PMN 中MN 上的高为1x + 由(3D ()3,0C 可得直线CD 的解析式为333y x =-+∴(,333M x x + (),0N x ∴333MN x =-+ ∴()(()21133313331322PMN S MN x x x x =⋅+=-+⋅+=++ ∴该段图象为开口向下的抛物线观察四个选项可知 只有选项A 满足条件故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 涉及坐标与图形 菱形的性质 二次函数 一次函数的应用等知识点 解题的关键是分段求出函数解析式．2．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物① ①之间 从①开始 沿直线跑至①处 用手碰到①后立即转身沿直线跑至①处 用手碰到①后继续转身跑至①处 循环进行 全程无需绕过标志物．小华练习了一次250m ⨯的折返跑 用时18s 在整个过程中 他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大 匀速跑一段时间后减速到① 然后再加速再匀速到① 由于体力原因 应该第一个50米速度快 用的时间少 第二个50米速度慢 用的时间多故他的速度大小v （m/s ）随时间t （s ）变化的图像可能是D ．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图象 要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件 结合实际意义得出正确的结论．3．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，ABC 中 90C ∠=︒ 15AC = 20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止 过点D 作DE AB ⊥ 垂足为E ．设点D 运动的路径长为x BDE △的面积为y 若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48【答案】B 【分析】根据点D 运动的路径长为x 在图中表示出来 设,25AE z BE z ==- 在直角三角形中 找到等量关系 求出未知数的值 得到BDE △的值．【详解】解：当10x =时 由题意可知10,5AD CD ==在Rt CDB △中 由勾股定理得22222520425BD CD BC =+=+=设,25AE z BE z ==-222(25)50625BE z z z ∴=-=-+在Rt ADE △中 由勾股定理得2222100DE AD AE z =-=-在Rt DEB △中 由勾股定理得222BD DE BE =+即2242510050625z z z =-+-+解得6z =6,19DE BE ∴==1198762BDE a S ∴==⨯⨯=当25x =时 由题意可知 10CD BD ==设,25BE q AE q ==-222(25)62550AE q q q =-=-+在Rt CDA △中 由勾股定理得222221510325AD AC CD =+=+=在Rt BDE △中由勾股定理得2222100DB BD BE q =-=-Rt DEA 中 由勾股定理得222AD DE AE =+即2232510062550q q q =-+-+解得8q =6DE ∴=168242BDE b S ∴==⨯⨯= 762452a b ∴-=-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理 根据勾股定理列出等式是解题的关键 运用了数形结合的思想解题． 4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 对角线,AC BD 交于点O 4AB = 43BC = 垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 当直线MN 与CD 重合时停止运动 运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E F 以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH 设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S 直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象 即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧 即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的外部时 重叠部分为矩形 如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K①垂直于BC 的直线MN 从AB 出发 沿BC 3 ①3IE FK t ==①在矩形ABCD 中 4AB =43BC =①228AC AB BC =+=①4OA OB AB ===①ABO 为等边三角形①60OAB OBA ∠=∠=︒①tan60AI BK IE t ==÷︒=①42IK t =- ①()23422343S IK IE t t t t =⋅=-=-+ 图象为开口向下的一段抛物线①当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时 与AOB 重叠部分即为正方形EFGH 如图：由①可知：42EF IK t ==-①()242S t =- 图象是一段开口向上的抛物线当MN 过点O 时 即2t =时 ,E F 重合 此时 0S =综上：满足题意的只有B 选项故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置 利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 3AC = 4BC = 在DEF 中 5DE DF == 8EF = BC 与EF 在同一条直线上 点C 与点E 重合．ABC 以每秒1个单位长度的速度沿线段EF 所在直线向右匀速运动 当点B 运动到点F 时 ABC 停止运动．设运动时间为t 秒 ABC 与DEF 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分04t ≤< 48t ≤< 812t ≤<三种情况 分别求出函数解析即可判断．【详解】解：过点D 作DH CB ⊥于H①5DE DF == 8EF = ①142EH FH EF === ①223DH DE EH =-当04t ≤<时如图，重叠部分为EPQ △ 此时EQ t = PQ DH ∥①EPQ EDH ∽ ①PQ EQ DH EH= 即34PQ t = ①34PQ t = ①2133248S t t t =⨯= 当48t ≤<时如图，重叠部分为四边形PQC B '' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=- 8FC t '=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽ ①2PB F DCF S B F SCF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭又183122DCFS =⨯⨯=①212128PB F S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ①()231216PB F S t '=-①DH BC ⊥ 90A B C '''∠=︒①A C DH ''∥①C QF HFD '∽①2C QF HFD S C F S HF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即2814432C QF S t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⨯ ①()2388C QF S t '=-①()()22233331283168162PB F C QF S S S t t t t ''=-=---=-++当 812t ≤<时如图，重叠部分为四边形PFB ' 此时BB CC t ''== PB DE '∥①12B F BC CF BB t ''=+-=-①PB DE '∥①PB F DCF '∽①2PB F DCF S B F S CF ''⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即212128PB FS t '-⎛⎫= ⎪⎝⎭①()231216PB F S S t '==-综上 ()()()()22230483334816231281216t t S t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪=-++≤<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩①符合题意的函数图象是选项A ．故选：A ．【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律 考查二次函数相关知识根据平移点的特点列出函数表达式是关键 有一定难度．6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，60MAN ∠=︒ 在射线AM AN 上分别截取6AC AB == 连接BC MAN ∠的平分线交BC 于点D 点E 为线段AB 上的动点 作EF AM ⊥交AM 于点F 作EG AM ∥交射线AD 于点G 过点G 作GH AM ⊥于点H 点E 沿AB 方向运动 当点E 与点B 重合时停止运动．设点E 运动的路程为x 四边形EFHG 与ABC 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分三种情况分别求出S 与x 的函数关系式 根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：①60MAN ∠=︒ 6AC AB ==①ABC 是边长为6的正三角形①AD 平分MAN ∠①30MAD NAD ∠=∠=︒ AD BC ⊥ 3CD DB ==①当矩形EFGH 全部在ABC 之中 即由图1到图2 此时03x <≤①EG AC ∥①30MAD AGE ∠=∠=︒①30NAD AGE ∠=∠=︒①AE EG x ==在Rt AEF 中 60EAF ∠=︒ ①33EF AE =①23S = ①如图3时 当AE AF GE AF AF CF AC +=+=+= 则162x x += 解得4x = 由图2到图3 此时34x <≤如图4 记BC EG 的交点为Q ，则EQB △是正三角形①6EQ EB BQ x ===-①()626GQ x x x =--=- 而60PQG ∠=︒ ①)3326PG QG x ==-①PQG EFHG S S S =-矩形())231263262x x =-⨯-- 233123183x =+- ①如图6时 6x = 由图3到图6 此时46x <≤如图5 同理EKB △是正三角形①6EK KB EB x ===- 162FC AC AF x =-=- 3EF x = ①EKCF S S =梯形1136622x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 23333x x =+ 因此三段函数的都是二次函数关系 其中第1段是开口向上 第2段 第3段是开口向下的抛物线 故选：A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象 求出各种情况下S 与x 的函数关系式是正确解答的前提 理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．7．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1 在平行四边形ABCD 中 120ABC ∠=︒ 已知点P 在边AB 上 以1m/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在边BC 上 3m /s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处 此时两点都停止运动．图2是BPQ 的面积()2m y 与点P的运动时间()s t 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．212mB ．23mC ．224mD ．2243m【答案】C【分析】根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a = 作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，则可得33m AF AB == ))333m PE PB AB PA a t =-=- 从而得到22334216PBQa St a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 根据PBQS的最大值为3求出a 的值 从而得到4m 43m 23m AB BC AF ===，， 最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：3BC = 3AP t BQ t ==， 设m AB a =，则3m BC a =作PE BC ⊥交CB 的延长线于点E 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F120ABC ∠=︒ 60ABF ∴∠=︒33m AF AB ∴== ))333m PE AB PA a t ==-=- )2221133333322444216PBQa SBQ PE t a t t at t a ⎛⎫∴=⋅⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ 由图象可得PBQS 的最大值为323316a ∴=解得：4a =或4a =-（舍去） 4a ∴=4m 43m 23m AB BC AF ∴===，，∴平行四边形ABCD 的面积为：2432324m BC AF ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握平行四边形的性质 二次函数的图象与性质 添加适当的辅助线构造直角三角形 是解题的关键．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ 3cm AB =．动点P 从点A 出发 以1cm/s 的速度沿射线AB 匀速运动 到点B 停止运动 同时动点Q 从点A 出发 3cm/s 的速度沿射线AC 匀速运动．当点P 停止运动时 点Q 也随之停止运动．在PQ 的右侧以PQ 为边作菱形PQMN 点N 在射线AB ．设点P 的运动时间为()s x菱形PQMN 与ABC 的重叠部分的面积为()2cm y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明菱形PQMN 是边长为x 一个角为60︒的菱形 找到临界点 分情况讨论 即可求解． 【详解】解：作PD AC ⊥于点D 作⊥QE AB 于点E由题意得AP x = 3AQ x = ①3cos30AD AP =⋅︒= ①12AD DQ AQ ==①PD 是线段AQ 的垂直平分线 ①30PQA A ∠=∠=︒①60QPE ∠=︒ PQ AP x == ①132QE AQ x == PQ PN MN QM x ==== 当点M 运动到直线BC 上时此时 BMN 是等边三角形 ①113AP PN BN AB ==== 1x = 当点Q N 运动到与点C B 、重合时①1322AP PN AB === 32x = 当点P 运动到与点B 重合时 ①3AP AB == 3x = ①当01x <≤时 233y x x ==当312x <≤时 如图，作FG AB ⊥于点G 交QM 于点R则32BN FN FB x ===- 33FM MS FS x ===- )333FR x =- ①())2231373939333332y x x -⋅--=+当332x <<时 如图，作HI AB ⊥于点I则3BP PH HB x ===- )33HI x =- ①())21333393332y x x =⋅--= 综上 y 与x 之间函数关系的图象分为三段 当01x <≤时 是开口向上的一段抛物线 当312x <≤时 是开口向下的一段抛物线 当332x <≤时 是开口向上的一段抛物线 只有选项A 符合题意 故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象 二次函数的图形的性质 等边三角形的性质 菱形的性质 三角形的面积公式 利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．9．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 O 为原点 35OA OB == 点C 为平面内一动点 32BC =连接AC 点M 是线段AC 上的一点 且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是（ ）A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．365,555C ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．6125,555 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E 先证OAM DAC ∽ 得23OM OA CD AD == 从而当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时 CD 取得最大值 然后分别证BDO CDF ∽ AEM AFC ∽ 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：①点C 为平面内一动点 32BC = ①点C 在以点B 为圆心32为半径的OB 上 在x 轴的负半轴上取点350D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭连接BD 分别过C M 作CF OA ⊥ ME OA ⊥ 垂足为F E①35OA OB ==①AD OD OA =+=95①23OA AD = ①:1:2CM MA = ①23OA CMAD AC==①OAM DAC ∠∠= ①OAM DAC ∽ ①23OM OA CD AD == ①当CD 取得最大值时 OM 取得最大值 结合图形可知当D B C 三点共线 且点B 在线段DC 上时CD 取得最大值①35OA OB == OD =35①BD =()222235153522OB OD ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭①9CD BC BD =+= ①23OM CD = ①6OM =①y 轴x ⊥轴 CF OA ⊥ ①90DOB DFC ∠∠==︒ ①BDO CDF ∠∠= ①BDO CDF ∽①OB BDCF CD=153529=解得185CF =同理可得 AEM AFC ∽①23ME AM CF AC ==23185= 解得125ME =①22221256565OE OM ME ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭①当线段OM 取最大值时 点M 的坐标是65125⎝⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 相似三角形的判定及性质 圆的一般概念以及坐标与图形 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．10．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1 在Rt ABC △中 动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止 速度为2单位/s 其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（ ）A 155B 427C ．17D ．53【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时 点P 与点A 重合 得到15AB = 进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间 进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间 求出BC 的长 再利用勾股定理求出AC 即可． 【详解】解：由图象可知：0=t 时 点P 与点A 重合 ①15AB =①点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷= ①点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s -= ①248BC =⨯=在Rt ABC △中：2217AC AB BC += 故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象 勾股定理．从函数图象中有效的获取信息 求出,AB BC 的长 是解题的关键．11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = 动点M N 同时从A 点出发 点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动 点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动 当其中一点运动至终点时 另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒 AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 根据已知条件得出ABD △是等边三角形 进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒ 当04t <<时 M 在AB 上 当48t ≤<时 M 在BC 上 根据三角形的面积公式得到函数关系式【详解】解：如图所示 连接BD 过点B 作BE AD ⊥于点E 当04t <<时 M 在AB 上菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 4AB = ①AB AD =，则ABD △是等边三角形 ①122AE ED AD === 33BE AE =①2,AM x AN x ==①2AM ABAN AE== 又A A ∠=∠ ①AMN ABE ∽ ①90ANM AEB ∠=∠=︒ ①223MN AM AN x - ①21332y x x x =当48t ≤<时 M 在BC 上①1123322y AN BE x x =⨯=⨯ 综上所述 04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分 当48t ≤<时 函数图象是直线的一部分 故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 二次函数图象的性质 一次函数图象的性质 菱形的性质 勾股定理 等边三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4AB = 动点M N 分别从点A B 同时出发 沿射线AB 射线BC 的方向匀速运动 且速度的大小相等 连接DM MN ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤ DMN 的面积为S 下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADMDCNBMNABCD S S S SS=---正方形 求出S 与x 之间函数关系式 再判断即可得出结论．【详解】解：ADMDCNBMNABCD S S SSS=---正方形1114444(4)(4)222x x x x =⨯-⨯-⨯---21282x x =-+ 21(2)62x =-+ 故S 与x 之间函数关系为二次函数 图像开口向上 2x =时 函数有最小值6 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质 二次函数的图像与性质 本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式 再判断S 与x 之间函数类型．13．（2023·河南·统考中考真题）如图1 点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点 再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x PBy PC= 图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．6B ．3C ．43D ．23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时 PB PC = 23AO = 易知30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为3 可知23AO OB == 过点O 作OD AB ⊥ 解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒= 进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发 沿直线运动到三角形内部一点O 再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知 当点P 在AO 上运动时1PB PC= ①PB PC = 3AO =又①ABC 为等边三角形①60BAC ∠=︒ AB AC =①()SSS APB APC △≌△①BAO CAO ∠=∠①30BAO CAO ∠=∠=︒ 当点P 在OB 上运动时 可知点P 到达点B 时的路程为43①3OB = 即23AO OB ==①30BAO ABO ∠=∠=︒过点O 作OD AB ⊥①AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=①6AB AD BD =+=即：等边三角形ABC 的边长为6故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．2二 解答题14．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知①ABC 中 ①C =90° 点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s的速度匀速运动 到达点B 停止运动 在点M 的运动过程中 过点M 作直线MN 交AC 于点N 且保持①NMC =45° 再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F 连接MF 将①MNF 关于直线NF 对称后得到①ENF 已知AC =8cm BC =4cm 设点M 运动时间为t （s ） ①ENF 与①ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中 能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能 求出相应的t 值 如果不能 说明理由（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围（3）当y 取最大值时 求sin ①NEF 的值．【答案】（1）85（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y （3310 【详解】试题分析：（1）由已知得出CN =CM =t FN ①BC 得出AN =8﹣t 由平行线证出①ANF ①①ACB 得出对应边成比例求出NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得出①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t 由正方形的性质得出OE =ON =FN 得出方程 解方程即可（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 由三角形面积得出2124y t t =-+ ①当2＜t ≤4时 作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH 得出GH =23NF =13（8﹣t ） 由三角形面积得出21(8)12y t =-（2＜t ≤4） （3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM ，则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM 得出方程 解方程求出CN =CM =2 AN =6 得出BM =2 NF =12AN =3 因此EM =2BM =4 作FD ①NE 于D由勾股定理求出EB 22EM BM +=25 求出EF =12EB 5 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF 的长 在Rt①DEF 中 由三角函数定义即可求出sin①NEF 的值．试题解析：解：（1）能使得四边形MNEF 为正方形 理由如下：连接ME 交NF 于O 如图1所示：①①C =90° ①NMC =45° NF ①AC ①CN =CM =t FN ①BC ①AN =8﹣t ①ANF ①①ACB ①84AN AC NF BC == =2 ①NF =12AN =12（8﹣t ） 由对称的性质得：①ENF =①MNF =①NMC =45° MN =NE OE =OM =CN =t ①四边形MNEF 是正方形 ①OE =ON =FN ①t =12×12（8﹣t ） 解得：t =85即在点M 的运动过程中 能使得四边形MNEF 为正方形 t 的值为85（2）分两种情况：①当0＜t ≤2时 y =12×12（8﹣t ）×t =2124t t -+ 即2124y t t =-+（0＜t ≤2） ①当2＜t ≤4时 如图2所示：作GH ①NF 于H 由（1）得：NF =12（8﹣t ） GH =NH GH =2FH ①GH =23NF =13（8﹣t ） ①y =12NF ′GH =12×12（8﹣t ）×13（8﹣t ）=21(8)12t - 即21(8)12y t =-（2＜t ≤4） 综上所述：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<<+-=)42(31643121)20(24122t t t t t t y ．（3）当点E 在AB 边上时 y 取最大值 连接EM 如图3所示：则EF =BF EM =2CN =2CM =2t EM =2BM ①BM =4﹣t ①2t =2（4﹣t ） 解得：t =2 ①CN =CM =2 AN =6 ①BM =4﹣2=2 NF =12AN =3 ①EM =2BM =4 作FD ①NE 于D ，则EB 22EM BM +2242+=5 ①DNF 是等腰直角三角形①EF =12EB 5 DF =22 NF 32 在Rt①DEF 中 sin①NEF =DF EF 3225310【点睛】本题是四边形综合题目 考查了正方形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角函数 三角形面积的计算 等腰直角三角形的判定与性质等知识 本题综合性强 有一定难度． 15．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 4cm AB = 点O 是对角线AC 的中点 动点P Q 分别从点A B 同时出发 点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动 点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M 连接QO 并延长交折线DA AB -于点N 连接PQ QM MN NP 得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<） 四边形PQMN 的面积为y （2cm ）(1)BP 的长为__________cm CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）(2)求y 关于x 的函数解析式 并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时 直接写出x 的值．【答案】(1)()4x - x(2)()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x = 【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON == 可得四边形PQMN 是平行四边形 证明ANP CQM ≌即可（2）分02x <≤ 24x <≤两种情况分别画出图形 根据正方形的面积 以及平行四边形的性质即可求解 （3）根据（2）的图形 分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意 1AP x x =⨯=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-①四边形ABCD 是正方形①,90AD BC DAB DCB ∠=∠=︒∥①点O 是正方形对角线AC 的中点①,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形①MQ PN = MQ NP ∥①PNQ MQN ∠=∠又AD BC ∥①ANQ CQN ∠=∠①ANP MQC ∠=∠在,ANP CQM 中ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ANP CQM ≌①()cm MC AP x ==故答案为：()4x - x ．（2）解：当02x <≤时 点Q 在BC 上由（1）可得ANP CQM ≌同理可得PBQ MDN ≌①4,2,PB x QB x MC x =-== 42QC x =-则222MCQ BPQ y AB S S =--()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+当24x <≤时 如图所示则AP x = 224AN CQ x CB x ==-=-()244PN AP AN x x x =-=--=-+①()44416y x x =-+⨯=-+综上所述 ()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（3）依题意 ①如图，当四边形PQMN 是矩形时 此时90PQM ∠=︒①90PQB CQM ∠+∠=︒①90BPQ PQB ∠+∠=︒①BPQ CQM ∠=∠又B BCD ∠=∠①~BPQ CQM ①BP BQ CQ CM= 即4242x x x x-=- 解得：43x =当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =①()()()22224242x x x x -+=+-解得：0x =（舍去）①如图所示 当PB CQ =时 四边形PQMN 是轴对称图形424x x -=- 解得83x = 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ == 即44x -+= 解得：0x =（舍去）综上所述 当四边形PQMN 是轴对称图形时 43x =或83x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质 动点问题 全等三角形的性质与判定 矩形的性质 平行四边形的性质与判定 菱形的性质 轴对称图形 熟练掌握以上知识是解题的关键．三 填空题16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 3AB = 4BC =．点E 在边AD 上 且3ED = M N 分别是边AB BC 上的动点 且BM BN = P 是线段CE 上的动点 连接PM PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为 ．。
2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件
∴
=
4
Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，
25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题 在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，
4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，
∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2） 如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动 态 几 何 研 究 重 要 性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技 巧 ，
挑战自我
展
初中数学中考复习动态型问题(动点动线动面)专项练习及答案解析(50道)
初中数学中考复习动态型问题（动点动线动面）专项练习及答案解析（50道）一、选择题1、如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm22、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C． D．4、数轴上一动点A向左移动3个单位长度到达点B，再向右移动4个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（）A．7 B．1 C．0 D．﹣15、如图，正方形ABCD边长为4个单位，两动点P、Q分别从点A、B处，以1单位/s、2单位/s的速度逆时针沿边移动．记移动的时间为x（s），△PBQ面积为y（平方单位），当点Q移动一周又回到点B终止，则y与x的函数关系图象为（）A． B．C． D．6、如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7、如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π8、如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD的延长线上移动时，则△PBD的外接圆的半径的最小值为（）A．1 B．C．D．9、如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动（到达点C后停止运动），同时点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿AB﹣BC的方向向点C移动（到达点C后停止），若△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S（cm2）与移动时间t （s）之间函数关系的大致图象是图2（）A．B．C．D．10、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定12、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．13、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．14、已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）二、填空题15、如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s， V Q=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___ s时，△PBQ为直角三角形.16、如图，AO OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF.等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为_________．17、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．18、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．20、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点（0，1），（1，1），（1，0），（1，－1），（2，－1），（2，0），…，则点的坐标是.21、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M、N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，MN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当时间为t秒时，点P到BC的距离为cm．（2）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．22、如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，⊙P的半径为1cm，且OP=4cm，如果⊙P 以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒后⊙P与直线CD相切．三、解答题24、如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。
中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)
中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。
最新九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题含答案
2023年九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题1．如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，3cos5B=，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∥DAE＝∥BAC，射线EA交射线CD于点F．设,AFBC x yAC==(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若AC∥AE，求AF的长．2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF(1)如图，当点落在BD上时，求AE的长；(2)如图，当2AE=时，探索BF与CF的位置关系，并说明理由；(3)在点E从点A出发后，当BCF△为等腰三角形时，直接写出AE的长．3．如图1，将等腰三角形ABC沿着底边AC对折得到∥ADC，∥ABC是锐角，E是BC(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)当AE ∥BC ，∥EAF ＝∥ABC 时，求证：AC 垂直平分EF ；(3)如图2，当∥EAF ＝∥BAC 时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连接BD ，MN ，若AB ＝4，sin∥ABD 14=，则当CE ＝ 时，∥AMN 是等腰三角形．4．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在AB 边上，1AE =．点F 是直线BC 上的动点．将BEF 沿EF 折叠得到将GEF △．直线GF 与直线BD 的交点为点H ．(1)若点G 落在AD 边上（如图2），连结BG ，请判断BGF 的形状并说明理由； (2)若点F 与点C 重合（如图3），求点G 到直线BC 的距离；(3)在点F 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BHF 是以FH 为腰的等腰三角形？若存在，求CF 的长；若不存在，请说明理由．5．已知，在矩形ABCD 中，BCAB＝m ，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ． （1）如图，当F 为AB 的中点，G 与D 重合时，将∥AFD 沿FD 翻折至∥EFD ，连AE ，BE ．∥若C ，E ，F 三点共线，求m 的值．（2）当F ，G 不与端点重合时，将四边形AFGD 沿FG 翻折至四边形FHPG ，点H 恰好落在BC 上，HP 交CD 于点Q ，连AH ，交GF 干占O ，若m ＝1516，tan∥CGP ＝247，GF ＝752，求CP 的长．6．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD ．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为()3,4-，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB △的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）．（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，M PB ∠与BCO ∠互为余角，并求此时直线OP 的解析式．8．如图，菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点P 是线段BC 上一动点（不与点B 重合），AP 与对角线BD 交于点E ，连接EC ． （1）求证：△ABE ∥ △CBE ；（2）如图∥，若∥ABC ＝60°，BPBE 的长；（3）若AB ＝AC ，如图∥，点P 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同速度沿BC 、CA向终点C 和A 运动，连接AP 和BN 交于点G ，当tan ∥CBN 求BG 与GN 的比值．9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15BC =，25AB =．动点P 从点A 出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC CB -向终点B 运动，当点P 不与ABC 顶点重合时，作135CPQ ∠=︒，交边AB 于点Q ，以CP 、PQ 为边作CPQD ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求AC 的长（2）当点P 在边AC 上时，求点Q 到边AC 的距离（用含t 的代数式表示） （3）当CPQD 的某条对角线与ABC 的直角边垂直时，求CPQD 的面积（4）以点P 为直角顶点作等腰直角三角形EPQ ，使点E 与点C 在PQ 同侧，设EQ 的中点为F ，CPQD 的对称中心为点O ，连结OF ．当//OF PQ 时，直接写出t 的值10．如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8,点P 是对角线BD 上一动点,PQ∥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得N 点落在射线PD 上，点O 是边CD 上一点， 且OD ：BP=3:4.（1）联结DQ ，当DQ 平分∥BDC 时，求PQ 的长； （2）证明：点O 始终在QM 所在直线的左侧；（3）若以O 为圆心，半径长为0.8作∥O,当QM 与∥O 相切时，求BP 的长．11．如图，已知∥ABC 中，∥ABC ＝45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．（1）如图1，若∥ABE ＝15°，BC1，求DF 的长；（2）如图2，若BF ＝AC ，过点D 作DG ∥BE 于点G ，求证：BE ＝CE ＋2DG ； （3）如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角∥BRH ，M 为RH 的中点．在（2）的条件下，将∥CEF 绕点C 旋转，得到∥CE ′F ′，E ，F 的对应点分别为E ′，F ′，直线MF ′与直线AB 交于点P ，tan∥ACD ＝13，直接写出当MF ′取最小值时'RMPF 的值．12．（1）问题发现如图1，在Rt ABC 和Rt CDE △中，90,45ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ． 填空：∥BEAD的值为___________________，∥DBE ∠的度数为__________； （2）类比探究如图2，在Rt ABC 和Rt CDE 中，90,60ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请判断BEAD的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D 改为直线AB 上一动点，其余条件不变．取线段DE 的中点M ，连接,BM CM ，若2AC =，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是菱形时，则菱形的边长是多少？请直接写出答案．13．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，A α∠=，点D 为射线AC 上一动点，作BDE α∠=，过点B 作BE BD ⊥，交DE 于点E ，（点A ，E 在BD 的两侧）连接CE ．（1）如图1，若45α=︒时，请直接写出线段AD ，CE 的数量关系：（2）如图2，若60α=︒时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由：（3）若30α=︒，6AC =，且ABD △为等腰三角形时，请直接写出线段CE 的长．14．如图1，在Rt∥ABC 中，点C 为直角顶点，点D 为AB 上的一点，且AB ＝10． （1）当CD ∥AB 时，求证：BC 2＝AB ·BD ；（2）如图2，当点D 为AB 的中点时，AC ＝8，点E 是边BC 上的动点，连结DE ，作DF ∥DE 交AC 于点F ，连结EF 、CD 交于点G ，当EG ∥FG ＝1∥2时，求线段CE 的长； （3）当∥CAB ＝15°时，点P 是AC 上一点，求12P A ＋PB 的最小值．15．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝20，cos A ＝4，点D 为AC 边上的动点（点D 不与点A ，C 重合），以D 为顶点作∥BDF ＝∥A ，射线DE 交BC 边于点E ，过点B 作BF ∥BD 交射线DE 于点F ，连接CF ． （1）求证：△ABD ∥∥CDE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AD 的长；（3）点D 在AC 边上运动的过程中，若DF ＝CF ，则CD ＝ ．16．平行四边形ABCD 中，N 为线段CD 上一动点．（1）如图1，已知90ADC ∠<︒．若DR BN =，求证：四边形DRBN 为平行四边形； （2）如图2，已知60ABC ∠=︒．若BN 为ABC ∠的角平分线，T 为线段BN 上一点，DT 的延长线交线段BC 于点M ，满足：1tan 2BTM ∠=且DN BM =．请认真思考（1）中图形，探究MDAD的值． （3）如图3，平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2AB BC ==，P 在线段BD 上，Q 在线段CD 上，满足：2BP CQ =．直接写出()2QA AP +的最小值为________．17．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝16，cos B ＝45，点P 是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长 （3）当∥AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．18．（1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：如图∥，当四边形ABCD 是矩形时，Rt EMF 的直角顶点M 在BC 边上运动，直角边分别与线段BA 、线段CD 交于E 、F 两点，在点M 运动的过程中，始终存在着EBM MCF ∽.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图∥，在ABC 中，A B ∠=∠，点D 为AB 边上的动点，过点D 作EDF A ∠=∠，交AC 于点E ，交BC 于点F ，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）结合上述规律，解决下列问题：如图∥，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），过点P 作PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥交AC 于点F ，若PEF 为等腰三角形，求PC 的长.19．在Rt ABC 中，90BCA A ABC D ∠︒∠∠＝，＜，是AC 边上一点，且DA DB ＝，O 是AB 的中点，CE 是BCD △的中线．()1如图a ，连接OC ，请直接写出OCE ∠和OAC ∠的数量关系：；()2点M 是射线EC 上的一个动点，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得射线ON ，MON ADB ON ∠∠＝，与射线CA 交于点N ．∥如图b ，猜想并证明线段OM 和线段ON 之间的数量关系；∥若30BAC BC m ∠︒＝，＝，当15AON ∠︒＝时，请直接写出线段ME 的长度（用含m 的代数式表示）．20．在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点A （0，2），B （1，0），点C 为线段AB 的中点．将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，连结CD ，AD ．点P 是直线BD 上的一个动点．（1）求点D 的坐标和直线BD 的解析式； （2）当∥PCD ＝∥ADC 时，求点P 的坐标；（3）若点Q 是经过点B ，点D 的抛物线y ＝ax 2+bx +2上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点Q ，使得以点P 、点Q 、点D 为顶点的三角形与∥ACD 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(2)220425y x x =---（0＜x ＜5）；2．(1)6(2)CF BF ⊥，(3)12+12-3． (3)43或2或454．(1)BGF 是等边三角形 (2)10029 (3)195或2535．（1）∥∥AEB ＝90°；∥m（2）CP． 6．（1）1；（2）)3PB x -；（3）222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩7．（1）1522y x =-+；（2）52524S t =-（552t <≤）；（3）1,22t y x ==-或256t =；13y x = 8．（2）125；（3）34 9．（1）20；（2）3MQ t =；（3）36或3600121；（4）2013t =或4t = 10．（1）PQ =3;（3）163BP =． 11．（1（312．（1）1；90︒；（2）90BE DBE AD=∠=︒；（3）2或13．（1）AD CE =；（2）不成立，EC ；（33或14．（2）7541；（3）15．（2）252；（3）14．16．（2（3）17．（1）10；（2）72；（3）18．（1）存在两个相似的三角形，AED BDF ∽；（2）PC 的长为94或10843或2.19．（1）∠∠＝ECO OAC （2）∥＝OM ON ；∥满足条件的EM 的值为m 或12m ． 20．（1）1122y x =-；（2）点P 的坐标为（2，12）或（8，72）；（。
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专题一动点专题雷鸣东所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．一、动点小压轴题1.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．2、在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）3、如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE ＝35；③当0＜t≤5时，y＝25t2；④当t＝294秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是__ __(填序号)．4、如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2）,则y与x（0≤x≤8）之间的函数关系可用图象表示为（）图(1) 图(2)A DEPQ CBM NHytO 5 710图(3)A BCDE F G H P ABCDEF GH P（备用图）5、如图,△ABC 中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=2 2 ,D 是线段BC 上的一个 动点,以AD 为直径画⊙O 分别交AB,AC 于E,F ,连接EF,则线段EF 长度 的最小值为___________6、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标 为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴 正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M,N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数 关系的图象是（ ）7、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中， B (2，0)，∠AOB =60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为ky x=.在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´. （1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ； （2）设P (t ，0)，当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .二、几何图形中的动点压轴题1、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2、如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或边CD （含端点）交于点F .然后再展开铺平，则以B E F 、、为顶点的BEF △称为矩形ABCD 的“折痕三角形”． （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕BEF △”一定是一个______三角形； （2）如图②，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，.当它的“折痕BEF △”的顶点E 位于边AD 的中点时，画出这个“折痕BEF △”，并求出点F 的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，.该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF △”？若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标；若不存在，为什么？10题图xy ABC O MNltsO 242343AtsO242343B tsO242343C tsO242343DOlB ´xy A B PO ´PB Q AM D C F第24题3、已知，如图在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，直线PQ 由点B 出发沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于P 、交BC 于Q 、交BD 于F ．连接PM ，设运动时间为t （s ）(0＜t ＜5)．解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形PQCM 是平行四边形？（2）设四边形PQCM 的面积为y （cm ）2，求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形PQCM ＝ 916S △ABC ？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接PC ，是否存在某一时刻t ，使点M 在线段PC 的垂直平分线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．三、抛物线中的动点1、如图，已知抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(03)C ，，对称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =34AB 时，求∠CED 的正切值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．B A O CD 1 1x=1 x yB A OCD 1 1 x=1 x y第24题图2、已知：抛物线2y a x b x c=++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，． （1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ， PN ⊥DB 于N ，请判断PM PNBE AD+是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EFPB EG =是否成 立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3、如图，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为(8，6)，直线AC 和直线OB 相交于点M ，点P 是OA 的中点，PD ⊥AC ，垂足为D ． （1）求直线AC 的解析式；（2）求经过点O 、M 、A 的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得S △P AD : S △QOA =8:25，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B（3-，0）两点，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC△的A B、两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，已知OA:OB＝15:，OB＝OC，ABC△的面积15ABCS=△，抛物线()20y ax bx c a=++≠经过A B C、、三点．（1）求此抛物线的函数表示式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B C、的点M，使MBC△中BC边上的高为72？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．ByxA OCByxA OC6、已知抛物线2()y a x m n =-+与y 轴交于点A ，它的顶点为点B ，点A B ，关于原点O 的对称点分别是点C ，D ．若点A B C D ，，，中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线．（1）如图1，求抛物线2(2)1y x =-+的伴随直线的解析式；（2）如图2，若抛物线2()(0)y a x m n m =-+>的伴随直线是3y x =-，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线2()y a x m n =-+的伴随直线是2(0)y x b b =-+>，且伴随四边形ABCD 是矩形．①用含b 的代数式表示m n ，的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PBD △是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标（用含b 的代数式表示）；若不存在，请说明理由．7、如图1．已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点．P (0，m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ． (1) 求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； (2) 当△APD 是等腰三角形时，求m 的值； (3) 设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过 的路径长．（不必写解答过程）专题二 新定义专题雷鸣东1、在ABC △中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，我们不妨称这种直线为过点．．P 的．ABC △的相似线．．．．，简记为()x P l （x 为自然数）． （1）如图①，90A ∠=°，B C ∠=∠，当2BP PA =时，()1P l 、()2P l 都是．．过点P 的ABC △的相似线（其中12l BC l AC ⊥，∥），此外，还有______条； （2）如图②，9030C B ∠=∠=°，°，当BPBA=_______时，()x P l 截得的三角形面积为ABC △面积的14．2、小华和小丽两人玩数字游戏，先由小丽心中任意想一个数字记为x ，再由小华猜小丽刚才想的数字，把小华猜的数字记为y ，且他们想和猜的数字只能在1、2、3、4这四个数中． （1）请用树状图或列表法表示出他们想和猜的所有情况；（2）如果他们想和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”．求他们“心灵相通”的概率；（3）如果他们想和猜的数字满足∣x-y ∣≤1.5，则称他们“心有灵犀”．求他们“心有灵犀”的概率．3、定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差 倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2014＝ ．4、定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ ，PI=PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2，∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ，EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点． （2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则P A+PB=PC+PD 或P A+PC=PB+PD ．（ ）5、定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx c +的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32错误！未找到引用源。