二次函数图像与性质完整归纳

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图
. 一般我们
选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 ，c 、以及 0 ，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、
与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）
.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
y
2
ax h
k与y
ax 2
bx
c是两种不同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，即
b 2 4ac b2
y ax
，其中 h
2a
4a
b
4ac b 2
，k
．
2a
4a
四、二次函数 y ax2 bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a( x h) 2 k ，确定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向下
h ，k
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
2
y a x h k ，确定其顶点坐标 h ，k ；
⑵ 保持抛物线 y ax2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：
【例 1】 求作函数 y 1 x2 4 x 6 的图象 2
【解】 y 1 x 2 4x 6 1 ( x2 8x 12)
2
2
1 [( x2 4) 2 - 4] 1 ( x2 4) 2 - 2
2
2
以 x 4 为中间值，取 x 的一些值，列表如下：
x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 …
y…5 0 2
y a( x b ) 2 4ac b2 ( a 0)
2a
4a
【二次函数题型总结】
1. 关于二次函数的概念
例 1 如果函数 y (m 3)x m2 3m 2 mx 1是二次函数， 那么 m的值为
向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位
y=a ( x-h )2+k
2. 平移规律 在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移；
概括成八个字“左加右减，上加下减” ． 方法二：
k 值正上移，负下移 ”．
⑴ y ax2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax2 bx c 变成
永远不变． 求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适
的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）
的顶点坐标及开口方向， 再确
定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数图像参考：
y=2x 2 y=x 2
x2 y=
2
y=2x 2
x 轴的交点，与 y 轴的交点 .
五、二次函数 y ax2 bx c 的性质
1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x
b ，顶点坐标为
2a
b ，4ac b2 ． 2a 4a
当 x b 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x 2a
2
时， y 有最小值 4ac b ． 4a
2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x
解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．
一般来说，有如下几种情
况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 ．
2. y ax2 c 的性质：
上加下减。
a 的符号 a0
开口方向 向上
顶点坐标 0 ，c
对称轴 y轴
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ．
ab 的符号的判定：对称轴 x
概括的说就是“左同右异”
b 在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，
2a
总结：
3. 常数项 c ⑴ 当 c 0 时，抛物线与 ⑵ 当 c 0 时，抛物线与
y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y 轴交点的纵坐标为正； y 轴交点的纵坐标为 0 ；
ax2
bx
c
b2 ；
2a
2
2
y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k ．
5. 关于点 m ，n 对称
2
2
y a x h k 关于点 m ，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m 2n k
根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此 a
, 3 ] 上是增函数，在区间 [ 3, 10
29 ymaz 20 ) 上是减函数。
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例 3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
二、一元二次函数性质
【例 3】 求函数 y x 2 6 x 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】
y
2
x
6x 2
2
x
6x 9 7
( x 3) 2
7
由配方结果可知：顶点坐标为 ( 3， 7) ，对称轴为 x 3 ；
10
∴当 x 3 时， y min 7
函数在区间 ( ， 3] 上是减函数，在区间 [ 3， ) 上是增函数。
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： y ax2 的性质：
a 的符号 a0
开口方向 向上
顶点坐标 0 ，0
对称轴 y轴
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ．
a0
向下
0 ，0
y轴
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a0
向下
0 ，c
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0时， y 随 y轴
x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ．
2
3. y a x h 的性质：
左加右减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标
a0
向上
h ，0
对称轴 X=h
性质
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．
【例 4】 求函数 y 5 x2 3x 1 图象的顶点坐标、对称轴、最值。
b
3
3 4ac b2 4 ( 5) 1 32 29
，
2a 2 ( 5) 10
4a
4 ( 5)
20
3 29
29
∴ 函数图象的顶点坐标为 ( , ) ，对称轴为 x
10 20
20
50 函数在区间 (
∴当 x
3
时，函数取得最大值
10
3. 两根式： y a ( x x1)( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，
但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4 ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交
点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
．
八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y a 2x b x 关c于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ；
2
2
y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；
2. 关于 y 轴对称 y a 2x b x 关c于 y 轴对称后，得到的解析式是
b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b
2a
2a
b ，顶点坐标为 2a
b ，4ac b2 ．当 2a 4a
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a
2
有最大值 4ac b ． 4a
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2a
b 时， y 2a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a ( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a
二次函数 y
2
ax
bx
c 中， a 作为二次项系数，显然
a 0．
⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．
y=ax 2
向上 (k>0)【或向下 (k <0)】平移 |k |个单位
y=ax 2+ k
向右 (h>0)【或左 ( h<0)】 平移 |k|个单位
y=a(x-h)2
向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 平移 |k|个单位
向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】 平移 |k|个单位
向右 (h>0)【或左 (h<0)】 平移 |k|个单位
y
2
ax
bx
c
m （或 y
ax 2
bx
c
m）
⑵ y ax2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成
y a( x m) 2 b( x m) c （或 y a(x m) 2 b( x m) c ）
三、二次函数 y
ax
2
h
k与 y
2
ax
bx c 的比较
从解析式上看，
⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 2a
总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．
a0
向下
h ，0
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．
2
4. y a x h k 的性质：
a 的符号 a0
a0
开口方向 向上
顶点坐标 h ，k
对称轴 X=h
性质
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．
3 2 -2
3 2 0 5…
2
【例 2】 求作函数 y x 2 4 x 3 的图象。
【解】 y x 2 4x 3 ( x2 4x 3)
[( x 2) 2 7] [( x 2) 2 7 先画出图角在对称轴 x 2 的右边部分，列表
x -2 -1 0 1 2 y 76 5 4 3
【点评】 画二次函数图象步骤： (1) 配方； (2) 列表； (3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利 用对称性描出右（左）部分就可。
y ax2 bx c ；
2
2
y a x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；
3. 关于原点对称 y a 2x b x 关c于原点对称后，得到的解析式是
y ax2 bx c ；
2
y ax h
关k 于原点对称后，得到的解析式是
2
y a x h k；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） y a 2x b x 关c于顶点对称后，得到的解析式是 y
⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．
总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．
总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的
y=3(x+4) 2
y=2(x-4) 2
y=2(x-4) 2-3
十 一、
y=3x 2
y=3(x-2) 2
y=2 x 2 +2 y=2 x 2
y=2 x2 -4
x2 y= -
2
y= -x 2
y=-2x 2
y=-2(x+3) 2
y=-2x 2
y=-2(x-3) 2
【例题精讲】
一、一元二次函数的图象的画法
总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决
定开口的大小． 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下， 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a