1.2 集合间的基本关系2019版 新高一word讲义

1.2集合间的基本关系课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.新知探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示(1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集的相关概念(1)子集、真子集、集合相等概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合BA⊆B(或B⊇A)中的元素，就称集合A为集合B的子集Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.②集合相等一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.③真子集的概念如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).(2)空集注意区分与空集有关的符号：∅，0，{∅}，{0}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集2.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C：①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C；③若A⊆B，A≠B，则A B.拓展深化[微判断]1.1⊆{1，2，3}.(×)提示“⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.(×)提示空集只有子集，没有真子集.3.∅和{∅}表示的意义相同.(×)提示∅是不含任何元素的集合，而集合{∅}中含有一个元素∅.[微训练]1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________.解析∵{6}⊆A，∴6m－6＝6，∴m＝2.答案 22.(多空题)若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.解析由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.答案－103.若{1，2}⊆B⊆{1，2，4}，则B＝________.解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.答案{1，2}或{1，2，4}[微思考]1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝∅，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么？提示符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系.题型一集合关系的判断角度1概念间的包含关系【例1－1】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B. 答案 B角度2数集间的包含关系【例1－2】设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为() A.A∈B B.B∈AC.A⊆BD.B⊆A解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.答案 C规律方法判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.【训练1】(1)我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________.(2)已知集合A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}，则()A.A∈BB.A BC.B AD.B⊆A解析(2)由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有AB.答案(1)N Z Q R(2)B题型二子集、真子集个数问题【例2】(1)(多空题)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.解析集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.答案∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}7(2)写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P.解由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个.2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.【训练2】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三由集合间的包含关系求参数【例3】 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围.(2)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的取值集合.解 (1)∵B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得实数m 的取值范围是{m |m ≥－1}. (2)由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. ∴集合A ＝{1，3}.①当B ＝∅时，此时m ＝0，满足B ⊆A . ②当B ≠∅时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .∵B ⊆A ，∴3m ＝1或3m ＝3，解之得m ＝3或m ＝1. 综上可知，所求实数m 的取值集合为{0，1，3}.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.【训练3】 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，集合B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围.解(1)若A B，由图可知a>2，即a的取值范围为{a|a>2}.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2，即a的取值范围为{a|1≤a≤2}.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.二、素养训练1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B.答案 B2.已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A.P＝{－3，0，1}B.Q＝{－1，0，1，2}C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D.S＝{x||x|≤3，x∈Z}解析集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.答案 D3.①0∈{0}，②∅{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}(a≠b)，上面关系中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，∵a≠b集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.答案 B4.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}解析画出数轴可得a≥2.答案 D5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.解A＝{x|x－7≥2}＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A B.基础达标一、选择题1.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有()A.1∉AB.0AC.∅AD.{0}⊆A解析由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误；因为∅是任何非空集合的真子集，所以C正确.故选C.答案 C2.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为()A.5B.6C.7D.8解析集合N的真子集有：∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个.答案 C3.集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝()A.2B.－1C.2或－1D.4解析∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.答案 C4.已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，那么这样的集合M的个数为()A.5B.6C.7D.8解析由题意可知：1，2∈M，且M可包含{3，4，5}中的元素，所以集合M的个数即为集合{3，4，5}的子集个数，即为23＝8个.答案 D5.若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4解析由B⊆A，知x2＝3或x2＝x，解得x＝±3或x＝0或x＝1.当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1(舍去). 答案 C 二、填空题6.集合∅和{0}的关系表示正确的有________.(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}.解析 ∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，①②③不正确.答案 ④7.设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则满足B ⊆A 的实数m 的值所组成的集合为________.解析 ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，又∵B ⊆A ，当m ＝0时，mx ＋1＝0无解，故B ＝∅，满足条件；若B ≠∅，则B ＝{－3}或B ＝{2}，即m ＝13或m ＝－12，故满足条件的实数m ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，13. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，138.已知集合A ＝{x |x 2＝a }，当A 为非空集合时，a 的取值范围是________. 解析 要使集合A 为非空集合，则方程x 2＝a 应有解，故只须a ≥0. 答案 {a |a ≥0} 三、解答题9.判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3>2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }.解 (1)因为A ＝{x |x －3>2}＝{x |x >5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52，所以可利用数轴判断A ，B 的关系.如图所示，AB .(2)因为A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，所以B ＝{0，1，2}，所以B A .10.已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解 当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3, 即a ＞3.当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4.解得a ＜－4或2＜a ≤3. 综上，实数a 的取值范围为{a |a ＜－4或a ＞2}.能力提升11.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________.解析 因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 中仅有一个元素，当a ＝0时，方程化为2x ＝0，方程只有一个根x ＝0，符合题意.当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋a ＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a ·a ＝0， 即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意.∴a ＝0或a ＝±1. 答案 {－1，0，1}12.已知集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0}.(1)若∅M ，求实数a 的取值范围；(2)若N ＝{x |x 2＋x ＝0}且M ⊆N ，求实数a 的取值范围.解 (1)由题意得，方程x 2＋2x －a ＝0有实数解，∴Δ＝22－4×(－a )≥0，得a ≥－1，∴实数a 的取值范围是{a |a ≥－1}.(2)∵N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，且M ⊆N ，∴当M ＝∅时，Δ＝22－4×(－a )<0，得a <－1；当M ≠∅时，当Δ＝0时，a ＝－1，此时M ＝{－1}，满足M ⊆N ，符合题意.当Δ>0时，a >－1，M 中有两个元素，若M ⊆N ，则M ＝N ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1＋0＝－2，（－1）×0＝－a ，无解. 综上，实数a 的取值范围为{a |a ≤－1}.创新猜想13.(多选题)下列说法中，正确的有( )A.空集是任何集合的真子集B.若A B ，B C ，则A CC.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集D.如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A ⊆B解析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A 错；真子集具有传递性，故选项B 正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C 错；由Venn 图易知选项D 正确.故选BD.答案 BD14.(多空题)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x ＝0}，则集合A ＝________；若集合B 满足{0}B ⊆A ，则集合B ＝________.解析 ∵解方程x 2－x ＝0，得x ＝1或x ＝0，∴集合A ＝{x ∈R |x 2－x ＝0}＝{0，1}，∵集合B 满足{0}B ⊆A ，∴集合B＝{0，1}.答案{0，1}{0，1}。