1.2 集合间的基本关系2019版 新高一word讲义

1.2集合间的基本关系

课标要求素养要求

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养

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新知探究

草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.

问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？

(2)集合A与集合B又存在什么关系？

提示(1)集合A中的元素都是B的元素.

(2)A是B的子集.

1.子集的相关概念

(1)子集、真子集、集合相等概念

①子集的概念

文字语言符号语言图形语言

一般地，对于两个集合A，B，如果

集合A中任意一个元素，都是集合B

A⊆B(或B⊇A)

中的元素，就称集合A为集合B的

子集

Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

②集合相等

一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

③真子集的概念

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).

(2)空集注意区分与空集有关的符号：∅，0，{∅}，{0}

一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集

2.集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C：

①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；

②若A B，B C，则A C；

③若A⊆B，A≠B，则A B.

拓展深化

[微判断]

1.1⊆{1，2，3}.(×)

提示“⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.

2.任何集合都有子集和真子集.(×)

提示空集只有子集，没有真子集.

3.∅和{∅}表示的意义相同.(×)

提示∅是不含任何元素的集合，而集合{∅}中含有一个元素∅.

[微训练]

1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________.

解析∵{6}⊆A，∴6m－6＝6，∴m＝2.

答案 2

2.(多空题)若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.

解析由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.

答案－10

3.若{1，2}⊆B⊆{1，2，4}，则B＝________.

解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.

答案{1，2}或{1，2，4}

[微思考]

1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？

提示A⊆B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝∅，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.

2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么？

提示符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系.

题型一集合关系的判断

角度1概念间的包含关系

【例1－1】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方

形}，则这些集合之间的关系为()

A.P⊆N⊆M⊆Q

B.Q⊆M⊆N⊆P

C.P⊆M⊆N⊆Q

D.Q⊆N⊆M⊆P

解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B. 答案 B

角度2数集间的包含关系

【例1－2】设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为() A.A∈B B.B∈A

C.A⊆B

D.B⊆A

解析∵0<2，∴0∈B.

又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.

答案 C

规律方法判断集合关系的方法

(1)观察法：一一列举观察.

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.

【训练1】(1)我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N，Z，Q，R表示，用符号表示N，Z，Q，R的关系为____________.

(2)已知集合A＝{x|－1

A.A∈B

B.A B

C.B A

D.B⊆A

解析(2)由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有A

B.

答案(1)N Z Q R(2)B

题型二子集、真子集个数问题

【例2】(1)(多空题)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.

解析集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.

答案∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}7

(2)写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P.

解由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.

规律方法 1.假设集合A中含有n个元素，则有：

(1)A的子集有2n个；

(2)A的非空子集有(2n－1)个；

(3)A的真子集有(2n－1)个；

(4)A的非空真子集有(2n－2)个.

2.求给定集合的子集的两个注意点：

(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；

(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

【训练2】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.

解∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.

∴A的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.

题型三由集合间的包含关系求参数